WPŁYW WARUNKÓW CHŁODZENIA

Transkrypt

1 Akademia Górniczo-Hunicza im. Sanisława Saszica Wydział Inżynierii Meali i Informayki Przemysłowej Kaedra Techniki Cieplnej i Ochrony Środowiska Rozprawa dokorska WPŁYW WARUNKÓW CHŁODZENIA ORAZ PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ WYBRANYCH METALI NA WSPÓŁCZYNNIK WYMIANY CIEPŁA W PROCESIE CHŁODZENIA NATRYSKIEM WODNYM mgr inż. Agnieszka Cebo-Rudnicka Promoor: dr hab. inż. Andrzej Buczek, prof. AGH Kraków

2 SPIS TREŚCI Wykaz oznaczeń Wsęp Charakerysyka procesu chłodzenia Charakerysyka paramerów wpływających na wymianę ciepła podczas chłodzenia naryskiem cieczy Cel i eza pracy Meody idenyfikacji współczynnika wymiany ciepła Zagadnienie odwrone dla równania przewodzenia ciepła Model maemayczny i numeryczny wymiany ciepła i przemian fazowych Pole emperaury Przemiany fazowe w sali Analiza wpływu błędu obliczeń numerycznych i danych wejściowych na rozwiązanie brzegowego zagadnienia odwronego dla równania przewodzenia ciepła Analiza wpływu błędu obliczeń numerycznych Ocena dokładności obliczeń numerycznych rozwiązania bezpośredniego równania przewodzenia ciepła Analiza wpływu błędu danych wejściowych zadawanych w rozwiązaniu odwronym Wpływ błędu pomiaru emperaury Błąd zabudowy czujnika Błąd układu pomiarowego Wpływ błędu oznaczenia ciepła właściwego, przewodności cieplnej oraz gęsości Charakerysyka maeriałów przyjęych do badań Opis sanowiska i meodyka badań eksperymenalnych Przykład zasosowania przyjęej meody badań i obliczeń Badanie wpływu ciśnienia wody, odległości dyszy rozpylacjącej od chłodzonej powierzchni, gęsości srumienia wody, emperaury począkowej próbki oraz przewodności cieplnej na współczynnik wymiany ciepła podczas chłodzenia naryskiem wodnym Wpływ ciśnienia wody na współczynnik wymiany ciepła Wpływ odległości dyszy rozpylającej od powierzchni chłodzonej na współczynnik wymiany ciepła Wpływ gęsości srumienia wody na współczynnik wymiany ciepła Porównanie wyników badań własnych z danymi lieraurowymi Wpływ emperaury począkowej próbki na współczynnik wymiany ciepła Wpływ przewodności cieplnej maeriału na współczynnik wymiany ciepła Podsumowanie i wnioski... 5 Lieraura... 8 Spis rysunków... 3 Spis ablic... 8

3 WYKAZ OZNACZEŃ SYMBOL WIELKOŚĆ FIZYCZNA JEDNOSTKA a współczynnik wyrównania emperaury A, A Pole powierzchni pobocznicy i osłony walca m C ij macierz pojemności cieplnej - m s c p ciepło właściwe J kg K d 3 średnica Sauera m D v E F G wyznacznik macierzy przekszałcenia współrzędnych cylindrycznych do współrzędnych nauralnych elemenu energia akywacji konieczna do przemiany fazowej funkcja uwzględniająca wpływ składu chemicznego sali (C, Mn,..) gęsość srumienia cieczy - J mol - kg m s G i wekor obciążenia cieplnego - H L x G z, H L x k wielkość ziarna funkcje kszału wielomianu Hermia - współczynnik przenikania ciepła W m K K ij macierz przewodności cieplnej - l długość walca / grubość płyy m L s sała (dla boku elemenu na kórym zadawane są warunki s s brzegowe L, w pozosałych przypadkach L ) - N gęsość srumienia kropli m s N i liniowe funkcje kszału - W q M gęsość srumienia ciepła m R promień walca m 3

4 r, z, θ współrzędne cylindryczne - R T sała gazowa J mol K s p grubość warswy powierza m S(X) funkcja opisująca zmiany prędkości przemiany w funkcji objęości przemienionej T emperaura bezwzględna K T, T emperaura bezwzględna pobocznicy i osłony walca K emperaura C p emperaura powierzchni C emperaura począkowa ºC o emperaura ooczenia ºC w emperaura wody ºC pom p i, emperaura zmierzona w wybranych punkach ciała ºC num emperaura obliczona numerycznie w wybranych p, i punkach ciała an p, i emperaura obliczona z równania analiycznego w wybranych punkach ciała M emperaura począku przemiany marenzyycznej ºC u prędkość kropli V, I macierz jednoskowa - V k odwroność macierzy drugich pochodnych (hesjanu) - w, w, w 3, w 4 współczynniki, kóre zasępują funkcje kszału wielomianu Hermia X ułamek nowej fazy dla przemian dyfuzyjnych - x Z n k k b odległość punku pomiaru emperaury od powierzchni chłodzonej maksymalny zakres pomiarowy przyrządu pomiarowego gradien funkcji celu - k n d kierunek poprawy procesu opymalizacyjnego - - ºC ºC m s - m 4

5 α współczynnik przejmowania ciepła W m K α m współczynnik Koisinena i Marburgera - α r współczynnik przejmowania ciepła przez promieniowanie W m K J ΔH enalpia przemian fazowych 3 m Δo Δp max błąd odczyu wskazania maksymalny błąd bezwzględny pomiaru Δ średni błąd obliczeń emperaury K Δ a emperaura przechłodzenia auseniu K Δz max δ α maksymalny błąd bezwzględny przyrządu błąd względny obliczeń współczynnika przejmowania ciepła Δτ krok czasowy s % ε, ε ε z emisyjność powierzchni walca i osłony walca emisyjność zasępcza ζ zmienna pomocnicza - λ λ pow przewodność cieplna przewodność cieplna powierza W m K W m K ξ, ξ, ξ 3 współrzędne lokalne elemenu - kg ρ gęsość 3 m σ napięcie powierzchniowe τ czas s Φ norma błędu (funkcja celu) - K, K punky na krzywej wrzenia /chłodzenia - N m 5

6 . WSTĘP W celu szybkiego odbioru ciepła z chłodzonych powierzchni w procesach chłodzenia sosowanych w wielu nowoczesnych echnologiach, wysępuje porzeba sosowania dużych gęsości srumienia ciepła. Wśród różnych sposobów chłodzenia jednym z najbardziej efekywnych jes proces chłodzenia z zasosowaniem narysku cieczy. Pozwala on na uzyskiwanie gęsości srumienia ciepła rzędu 7 W/m [5] co sprawia, że jes sosowany w wielu dziedzinach przemysłu m.in. mikroelekronice, inżynierii kosmicznej, a akże w elekrowniach nuklearnych oraz medycynie [48]. W mealurgii żelaza chłodzenie przy pomocy narysku wodnego sosuje się w procesie ciągłego odlewania sali, przeróbki plasycznej na gorąco oraz przy obróbce cieplnej harowaniu. Właściwy dobór paramerów wpływających na wymianę ciepła podczas chłodzenia ma isony wpływ na jakość półproduków salowych i goowych wyrobów. Umożliwia również konsruowanie algorymów opymalizujących procesy produkcyjne, w kórych niezbędne jes sosowanie chłodzenia wodnego. Narzędziem wspomagającym procedury opymalizacyjne jes numeryczna symulacja procesu wymiany ciepła danej echnologii. W ym, akże wymiany ciepła w obszarze sosowanego sysemu chłodzenia. Poprawne przeprowadzenie akiej symulacji jes możliwe przy znajomości warunków brzegowych wymiany ciepła zwłaszcza zaś, znajomości współczynnika wymiany ciepła. Określenie ego parameru w procesie chłodzenia naryskiem wodnym należy do zadań rudnych, ponieważ współczynnik wymiany ciepła jes zależny od szeregu czynników. Głównie od paramerów opisujących fizyczne zjawiska procesu chłodzenia oraz właściwości chłodziwa. Duża dynamika procesu chłodzenia powoduje, że warunki brzegowe wymiany ciepła symulowane są przez szybkość przewodzenia ciepła w chłodzonym maeriale. A zaem pośrednio na proces chłodzenia mają akże wpływ właściwości chłodzonego maeriału. W pracy dokonano m.in. przeglądu i analizy najczęściej badanych paramerów, wpływających na wymianę ciepła podczas chłodzenia naryskiem wodnym. Przeprowadzono akże, przegląd sposobów idenyfikacji współczynnika wymiany ciepła. W części badawczej przedsawiono meodykę wyznaczania współczynnika wymiany ciepła. Do obliczeń wykorzysano rozwiązanie brzegowego zagadnienia odwronego dla równania przewodzenia ciepła. Obliczenia przeprowadzono wykorzysując własne kody numeryczne. Danymi do obliczeń były wyniki pomiaru emperaury wewnąrz próbek chłodzonych naryskiem wodnym. 6

7 . CHARAKTERYSTYKA PROCESU CHŁODZENIA Wśród różnych chłodziw sosowanych w procesach chłodzenia najańszym i najczęściej sosowanym jes woda. Wymiana ciepła w procesie chłodzenia naryskiem wodnym jes zjawiskiem bardzo złożonym i ma charaker zbliżony do wymiany ciepła podczas wrzenia na powierzchni zanurzonej w cieczy [8,, 3, 78, 88]. Zjawisko wrzenia jes rudne do opisu maemaycznego, przez co brak jes rozwiązań analiycznych ego problemu. W lieraurze spokać można ylko zależności opisujące korelację danych eksperymenalnych [3, 37, 94]. W procesie chłodzenia naryskiem wodnym, na skuek zeknięcia się wody ciekłej z gorącą powierzchnią mealu, nasępuje zmiana sanu skupienia wody w parę wodną. Ilość ciepła przekazana do ośrodka chłodzącego zależy od właściwości ermofizycznych zarówno cieczy jak i ciała sałego oraz od emperaury i chropowaości powierzchni [9, 4, 66]. Procesowi wrzenia owarzyszą duże warości gęsości srumienia ciepła, a akże bardzo duże warości współczynnika przejmowania ciepła, przy sosunkowo niewielkiej różnicy emperaury powierzchni chłodzonej i emperaury nasycenia cieczy. Opis zależności gęsości srumienia ciepła i współczynnika przejmowania ciepła od sopnia przegrzania przy wrzeniu wody w warunkach konwekcji swobodnej nosi nazwę krzywej wrzenia i można go znaleźć w licznej lieraurze doyczącej wymiany ciepła [7, 3, 4, 94]. Do opisu procesu chłodzenia wykorzysuje się naomias zw. krzywą chłodzenia, kóra przedsawia zależność zmian emperaury powierzchni chłodzonej od czasu. Zarówno na krzywej wrzenia (rys. 3.) jak i na krzywej chłodzenia (rys. 3.) można wyodrębnić czery obszary, kóre różnią się między sobą mechanizmem wymiany ciepła. Począek procesu chłodzenia charakeryzuje się względnie niskimi warościami gęsości srumienia ciepła i współczynnika wymiany ciepła jes o zw. obszar wrzenia błonowego (rys. 3. i 3.). W obszarze ym, nasępuje bardzo powolna zmiana emperaury. Czasem w wyniku pojawienia się na powierzchni mealu warswy pary i urudnionego procesu wymiany ciepła isnieje możliwość wysąpienia chwilowego wzrosu emperaury powierzchni. Zakres wrzenia błonkowego kończy się w zw. drugim kryzysie wrzenia K (punk Leidenfrosa) (rys. 3.) [4, 94]. Chłodzenie w zakresie wrzenia błonkowego jes z powodzeniem wykorzysywane w chłodzeniu wórnym echnologii ciągłego odlewania sali, w szczególności w obszarze, w kórym emperaura chłodzonej powierzchni powinna być urzymywana na poziomie nie niższym niż 9 C. 7

8 Rys. 3.. Zależność współczynnika wymiany ciepła od sopnia przegrzania wody dla procesu ogrzewania wody w naczyniu podgrzewanym od dołu przy ciśnieniu amosferycznym, w warunkach konwekcji swobodnej Poniżej emperaury odpowiadającej punkowi Leidenfrosa proces chłodzenia wchodzi w obszar wrzenia przejściowego. W obszarze ym krople cieczy zaczynają efekywnie zwilżać powierzchnię, co powoduje, że szybkość wymiany ciepła rośnie a emperaura powierzchni maleje dużo szybciej niż w obszarze wrzenia błonkowego. Dolna granica ego obszaru jes wyznaczona przez maksymalną gęsość srumienia ciepła. Warość a nazywana jes akże kryycznym srumieniem ciepła (Criical Hea Flux - CHF) i odpowiada punkowi przegięcia na krzywej chłodzenia (rys. 3.). Naomias na krzywej wrzenia odpowiada ona pierwszemu kryzysowi wrzenia K (rys. 3.). Zakres wrzenia przejściowego jes wykorzysywany w zw. harowaniu marenzyycznym. W procesie ym, konieczne jes ochłodzenie przypowierzchniowych warsw wyrobu od emperaury ok. 8 C do emperaury ok. 3 C niekiedy z szybkością K/s. Warości i przedział emperaury procesu oraz szybkość chłodzenia zależne są od gaunku obrabianej cieplnie sali. 8

9 Rys. 3.. Krzywa chłodzenia dla małego obieku chłodzonego poprzez zanurzenie Kolejnym eapem na krzywej chłodzenia jes obszar wrzenia pęcherzykowego, w kórym szybkość wymiany ciepła sopniowo maleje wraz ze spadkiem emperaury. Powodem ego zjawiska jes fak, że wraz ze spadkiem emperaury coraz mniej pęcherzyków pary worzy się na chłodzonej powierzchni i proces wrzenia sopniowo zanika, a wymiana ciepła zaczyna odbywać się poprzez warswę cieczy na zasadzie konwekcji [8, ]. Krzywa chłodzenia przedsawiona na rys. 3. odnosi się do przypadku chłodzenia małego obieku poprzez zanurzenie. Krzywa chłodzenia naryskiem wodnym ma przebieg podobny. Jedyna różnica doyczy wielkości srumienia ciepła wymienianego z ooczeniem. Warości srumienia ciepła w przypadku chłodzenia naryskiem wodnym są znacznie większe niż przy chłodzeniu przez zanurzenie [8]. Przyczyną ego zjawiska jes sposób w jaki ciecz wchodzi w konak z gorącą powierzchnią mealu. 9

10 3. CHARAKTERYSTYKA PARAMETRÓW WPŁYWAJĄCYCH NA WYMIANĘ CIEPŁA PODCZAS CHŁODZENIA NATRYSKIEM CIECZY W przemyśle mealurgicznym chłodzenie przy pomocy narysku cieczy sosuje się w celu polepszenia oraz zopymalizowania wydajności i jakości produków wywarzanych w procesach odlewania, kucia, obróbki cieplnej czy spawania [,, 35-36, 75-79, 88]. Konrola procesu chłodzenia pozwala na zmniejszenie i ograniczenie wad maeriału, ilości odpadu echnologicznego, czasu realizacji danego procesu oraz koszów procesu. Paramerem, kóry odgrywa kluczową rolę w konroli procesu chłodzenia jes współczynnik wymiany ciepła [, 3, 9, 5, 36, 39, 75, 79]. Współczynnik en wpływa na wielkość gęsości srumienia ciepła wymienianego z ooczeniem i jes w złożony sposób powiązany ze zmianami pola emperaury chłodzonego maeriału. W układach chłodzenia powierzchni meali naryskiem cieczy wykorzysuje się dysze rozpylające (rozpylacze), a ich różna konsrukcja ma wpływ na paramery hydrauliczne cieczy, wydajność srumienia cieczy oraz decyduje o rozkładzie srumienia cieczy na chłodzonej powierzchni. Dysze rozpylające można sklasyfikować w oparciu o rodzaj energii użyej do rozpylania. Może o być energia ciśnienia cieczy, energia ciśnienia gazu, energia obracającego się rozpylacza bądź generaor drgań [65]. Najczęściej sosowane są dysze, w kórych wykorzysywana jes energia ciśnienia cieczy. Energia a zamienia się w rozpylaczu w energię kineyczną, co prowadzi do rozpylenia cieczy. W aki sposób działają dysze ciśnieniowe (hydrodynamiczne) o wypływie prosym lub zawirowanym. Tego rodzaju dysze ze względu na rodzaj wypływu dzieli się na srumieniowe i wirowe. Dysze srumieniowe należą do najprosszych rozpylaczy i charakeryzują się ym, że dobrze rozpylają ylko przy dużych spadkach ciśnienia cieczy. Naomias w przypadku rozpylaczy wirowych orzymuje się dobre rozpylenie przy umiarkowanych, a nawe przy małych spadkach ciśnienia cieczy. Oba ypy dysz różni akże rodzaj srugi jaką uzyskuje się z danego rozpylacza. W przypadku dysz srumieniowych można orzymać srugę o przekroju kołowym lub płaskim (wachlarzowym), zaś w przypadku dysz wirowych o przekroju kołowym lecz pusą w środku. Niekiedy w procesach mealurgicznych sosowane są akże dysze pneumayczne, w kórych rozpylanie odbywa się koszem energii gazu, głównie powierza lub pary wodnej. Ze względu na kierunek oddziaływania gazu na ciecz można rozróżnić rozpylacze o przepływie równoległym, skrzyżowanym lub zawirowanym [65]. W przypadku chłodzenia gorącej powierzchni mealu naryskiem wodnym zmiany pola emperaury chłodzonego maeriału, a co za ym idzie zmiany współczynnika wymiany ciepła na powierzchni ego maeriału zależą od fizyki procesu chłodzenia, właściwości chłodzonego maeriału, właściwości medium chłodzącego oraz od rodzaju dyszy zasosowanej w procesie chłodzenia [6, 79]. Geomeria dyszy decyduje o paramerach hydraulicznych cieczy, wydajności srumienia cieczy oraz rozkładzie srumienia cieczy na chłodzonej powierzchni.

11 Wpływ ych paramerów na wymianę ciepła podczas chłodzenia jes zagadnieniem badanym najczęściej [9-, 5]. Ciecz charakeryzują nasępujące paramery hydrodynamiczne: średnia średnica kropli zw. średnica Sauer a, prędkość kropli, gęsość srumienia kropli. Wpływ paramerów hydrodynamicznych cieczy na współczynnik wymiany ciepła może być badany przy zmianie jednego z nich, przy czym dwa pozosałe paramery zosają sałe. Rozważa się eż równoczesny wpływ prędkości i średniej średnicy kropel przy wykorzysaniu zależności pomiędzy ymi paramerami, kórą opisuje się przy pomocy liczby Webera wg nasępującego wzoru u d3 We (3.) gdzie: gęsość cieczy, kg/m 3, u prędkość kropel, m/s, d 3 średnia średnica Sauera, m, napięcie powierzchniowe naryskiwanej cieczy, N/m. W wielu przypadkach badania nad wpływem paramerów hydrodynamicznych prowadzone były dla małej wydajności srumienia cieczy, kóra nie przekraczała kg/(m s) [7, 33-34, 6]. Opinie na ema wpływu poszczególnych paramerów charakeryzujących ciecz zależą od ego, czy wpływ ych paramerów jes badany w zakresie wymiany ciepła przy wrzeniu błonowym [34, 75], czy eż przy wrzeniu przejściowym lub pęcherzykowym [38-39]. Powszechnie uważa się, że wzros prędkości kropel padających na chłodzoną powierzchnię powoduje wzros warości współczynnika wymiany ciepła, niezależnie od ego jaki charaker ma proces wrzenia cieczy na chłodzonej powierzchni. Wpływ gęsości srumienia kropli oraz ich wielkość zależy od rodzaju wrzenia. Badania przedsawione przez Fujimoo [34] doyczyły wymiany ciepła przy wrzeniu błonowym. Prowadzono je dla bardzo małych gęsości srumienia wody ok. - kg/(m s). Orzymane wyniki wykazały, że wielkość współczynnika wymiany ciepła rośnie wraz ze wzrosem prędkości oraz średnicy kropel uderzających o chłodzoną powierzchnię. Naomias gęsość srumienia kropel w ym zakresie wrzenia w dużo mniejszym sopniu wpływa na wielkość współczynnika wymiany ciepła. W pracach [9] i [5] przedsawiono badania nad wpływem prędkości i wielkości kropel na warość kryycznej gęsości srumienia ciepła oraz związany z nią współczynnik wymiany ciepła. Sosowano wydajność srumienia wody znacznie przekraczającą kg/(m s). Auorzy obu prac niezależnie swierdzili, że w przypadku wrzenia przejściowego i pęcherzykowego, wpływ wielkości kropel uderzających o chłodzoną powierzchnię na wielkość kryycznej gęsości srumienia ciepła oraz na współczynnik wymiany ciepła jes bardzo mały. Chen [9] dowodzi, że największy wpływ na wymianę ciepła podczas chłodzenia naryskiem ma prędkość kropli, a w drugiej kolejności gęsość srumienia ych kropel. Ciofalo naomias, w swoich badaniach [5] oprócz wpływu prędkości i wielkości kropel cieczy, uwzględnił dodakowo

12 wpływ wydajności srumienia wody. Wykazał, podobnie jak auorzy prac [,5,39,6], że współczynnik wymiany ciepła rośnie liniowo wraz ze wzrosem wydajności srumienia wody. Z kolei Oliveira i Sousa wskazują, że wydajność srumienia wody nie ma wpływu na współczynnik wymiany ciepła jeśli emperaura powierzchni jes wyższa niż 75ºC [64], a więc w zakresie emperaury, przy kórym wysępuje wrzenie błonowe. Efekywność chłodzenia wzrasa wraz ze wzrosem liczby Webera. Powierdzają o badania przeprowadzone przez Pasandideg a Fard a i współpracowników [67]. Podobne wnioski wynikają z badań przeprowadzonych przez zespół Hsieh, Fan, Tsai [38-39], w kórych wykazano, że wraz ze wzrosem warości liczby Webera rośnie warość współczynnika wymiany ciepła, zarówno podczas chłodzenia wodą jak i podczas chłodzenia czynnikiem R-34a (,,,-erafluoroeanem). Przy wzroście prędkości kropel ich średnica maleje. Nasuwa się sąd wniosek, że akże w przypadku opisu zależności wymiany ciepła od warości liczby Webera decydujący wpływ na wielkości paramerów opisujących ę wymianę ma prędkość kropel. Zaprezenowane przez auorów wyniki badań pozwalają swierdzić, że warość gęsości srumienia ciepła podczas chłodzenia wodą jes o rząd wielkości większa niż w przypadku chłodzenia czynnikiem R-34a. Wskazuje o, że wybór czynnika chłodniczego wpływa w znaczący sposób na wymianę ciepła przy chłodzeniu naryskiem cieczy. Dowodzą ego akże prace Lina a i Ponnappan a [57] oraz Puschmann a i Spech a [73]. W pierwszej z nich [57] wykazano, że warość kryycznej gęsości srumienia ciepła w przypadku chłodzenia miedzianej płyki przy pomocy różnych cieczy może przyjmować warości od 9 W/cm w przypadku zasosowania do chłodzenia fluoropochodnych węglowodorów (FC- 87 i FC-7) do 5 W/cm w przypadku wody. Odpowiadający ym warościom współczynnik wymiany ciepła wynosi odpowiednio.6 i 84. kw/(m K). Puschmann i Spech [73] badali w jaki sposób na wymianę ciepła wpływa chłodzenie gorącej powierzchni za pomocą wody rozpylonej powierzem. W swojej pracy auorzy dokonali podziału całkowiego współczynnika wymiany ciepła na dwie części. Pierwsza odpowiadała wymianie ciepła spowodowanej przez silny srumień powierza, druga wywołana była przez srumień wody. Wykazano, że zasadniczy wpływ na warość współczynnika wymiany ciepła ma ciśnienie powierza użyego do rozpylenia wody. Przy zachowaniu sałej wydajności srumienia wody, współczynnik wymiany ciepła od wody rośnie wraz ze wzrosem ciśnienia powierza. Zjawisko o wiąże się ze zmianą paramerów hydrodynamicznych cieczy. Krople cieczy sają się mniejsze i uzyskują większą prędkość. Najwyższa odnoowana przez Puschmann a i Spech a warość współczynnika wymiany ciepła wynosiła 3 kw/(m K). O wymianie ciepła podczas chłodzenia naryskiem cieczy decyduje akże orienacja dyszy względem chłodzonej powierzchni i kierunek sił grawiacji, a akże sposób w jaki ciecz opuszcza chłodzoną powierzchnię [75]. Efek oddziaływania sił grawiacji na proces chłodzenia naryskiem cieczy może zosać pominięy zwłaszcza w przypadku chłodzenia małych powierzchni ze względu na o, że pęd kropli opuszczających dyszę rozpylającą jes dużo większy w porównaniu z wekorem sił ciężkości [48]. Heming i jego zespół wykazali, że na wymianę ciepła przy chłodzeniu naryskiem wodnym wpływa akże rozmiar chłodzonego obieku. W swojej pracy [36] przedsawili wyniki

13 eksperymenu chłodzenia naryskiem dwóch pręów salowych o różnych wymiarach. Na podsawie orzymanych wyników auorzy swierdzają, że maksymalny współczynnik wymiany ciepła odpowiadający kryycznej gęsości srumienia ciepła jes większy w przypadku pręa salowego o średnicy Ø 4 mm i długości mm (ok. 5 kw/(m K)) niż w przypadku pręa wykonanego z ego samego maeriału ale o wymiarach Ø mm x 6 mm (ok. 7.5 kw/(m K)). Na zaprezenowanych w pracy [36] zależnościach współczynnika wymiany ciepła od emperaury powierzchni można zaobserwować, że w przypadku pręa o wymiarach Ø 4 x mm okres wrzenia błonowego jes dłuższy niż w przypadku pręa o wymiarach Ø x 6 mm. Naomias po wejściu procesu chłodzenia w okres wrzenia przejściowego, warość współczynnika wymiany ciepła rośnie znacznie szybciej w przypadku pręa o większych wymiarach niż w przypadku pręa o mniejszych wymiarach. Z kolei Tararini i jego zespół, zwrócili uwagę na inny czynnik wpływający na wymianę ciepła przy chłodzeniu naryskiem, a mianowicie na właściwości ermofizyczne maeriału. W swoich badaniach [84] wykorzysali rzy maeriały, różniące się właściwościami cieplnofizycznymi. Tymi maeriałami były: aluminium, macor oraz sal. Macor jes o skrawalne worzywo szklano ceramiczne, kóre składa się w ok. 55 % z fluoroflogopiu. Pozosałą część sanowi szkło borokrzemianowe. Maeriał en ma zasosowanie w przemyśle loniczym, kosmonauycznym i medycynie. Sosowane jes jako izolaor lub maeriał na dysze spawalnicze, a akże jako uszczelniacz w urządzeniach wywarzających próżnię. Na podsawie orzymanych wyników badań swierdzono, że w przypadku maeriałów charakeryzujących się dużą warością przewodności cieplnej począek procesu wrzenia nasępuje szybciej niż w przypadku maeriałów o niskiej przewodności cieplnej. Nasuwa się sąd wniosek, że warości paramerów ermofizycznych maeriału akże w znaczący sposób wpływają na charaker wymiany ciepła przy chłodzeniu. Dowodem na o może być akże przykład zjawiska, kóre wysępuje podczas chłodzenia gorącej powierzchni bardzo dużym srumieniem cieczy. W akim przypadku emperaura chłodzonej powierzchni gwałownie spada, a ilość ciepła odbierana w dalszym ciągu z chłodzonej powierzchni zależy od szybkości ransporu ciepła z wnęrza maeriału do powierzchni. Zjawisko o odgrywa dużą rolę zwłaszcza w przypadku chłodzenia próbek o dużych wymiarach, np. salowe odkuwki [79]. Pomimo isonego wpływu jaki na wymianę ciepła podczas chłodzenia naryskiem wodnym mają właściwości ermofizyczne chłodzonego maeriału, w lieraurze brakuje danych opisujących wpływ ych paramerów na warość współczynnika wymiany ciepła. Na podsawie dosępnych wyników badań rudno jes usalić jaki wpływ na współczynnik wymiany ciepła ma przewodność cieplna maeriału. Problem en wynika sąd, że badacze przyjmują różne założenia wsępne. Część z nich przyjmuje do obliczeń sałą warość przewodności cieplnej, ciepła właściwego i gęsości [5, 84]. Inni zakładają zmianę właściwości ermofizycznych wraz z emperaurą [, 3, 35, 88]. Jeszcze inni nie precyzują ich opisu [9, 38-39, 6, 73]. Próba usalenia wpływu właściwości ermofizycznych na proces chłodzenia jes rudna akże ze względu na o, że w wielu pracach ograniczono się do badania wpływu wybranych paramerów na jeden charakerysyczny obszar wrzenia wysępujący przy chłodzeniu [8, 34, 38-39, 75]. 3

14 W abeli 3. przedsawiono przykładowe warości współczynnika wymiany ciepła orzymane przez różnych auorów. Dane doyczą chłodzenia wórnego w procesie ciągłego odlewania sali (COS) oraz chłodzenia pasma podczas walcowania na gorąco. Na podsawie przedsawionego zesawienia można swierdzić, że warości współczynnika wymiany ciepła przyjmują podobne wielkości w odpowiednich procesach. Ewenualne różnice pomiędzy ymi wielkościami są wynikiem założeń wsępnych dokonanych przez auorów, np. przyjęcia różnego rodzaju dysz rozpylających wodę [79], różnych warości wydajności srumienia wody [, 6] i sposobu odprowadzania wody z chłodzonej powierzchni [75, 9]. Tab. 3.. Warości współczynnika wymiany ciepła podczas chłodzenia naryskiem wodnym według różnych auorów Lp. Auor Rodzaj procesu Buczek [] COS Współczynnik przejmowania ciepła, kw/(m K) Uwagi dla G = kg/(m s) dla G = 5 kg/(m s) Mizikar [6] COS - 6 dla G < kg/(m s) 3 Sengupa [78] COS 3 maksymalny współczynnik przejmowania ciepła Warości zależą od rodzaju dyszy 4 Sewar [79] COS.3 3 dla średniej wydajności srumienia wody 5 Kuziak [55] 6 Pierzyk [68] 7 Rivallin [75] 8 Tseng [9] Walcowanie na gorąco Walcowanie na gorąco Walcowanie na gorąco Walcowanie na gorąco dla dużej wydajności srumienia wody bezpośrednio pod naryskiem wodą bezpośrednio pod naryskiem wodą - bezpośrednio pod naryskiem wodą - w srefach przy ściance bezpośrednio pod naryskiem wodą 4

15 4. CEL I TEZA PRACY Tezę pracy sanowiło nasępujące swierdzenie: podczas chłodzenia naryskiem wodnym isnieje graniczna warość współczynnika wymiany ciepła, a paramerem decydującym o ej warości jes przewodność cieplna chłodzonego maeriału. Określony emaem zakres oraz eza pracy wyznaczyły nasępujące cele pracy: określenie wpływu paramerów chłodziwa i właściwości ermofizycznych wybranych meali na współczynnik wymiany ciepła, określenie paramerów chłodziwa, dla kórych współczynnik wymiany ciepła osiąga warość graniczną. 5

16 5. METODY IDENTYFIKACJI WSPÓŁCZYNNIKA WYMIANY CIEPŁA W zagadnieniach przewodzenia ciepła pole emperaury jes jednoznacznie określone przez równanie różniczkowe przewodzenia ciepła, warunki brzegowe oraz warunek począkowy [83]. Znajomość zależności paramerów opisujących warunki brzegowe od czasu pozwala na wyznaczenie rozkładu emperaury wewnąrz ciała poprzez rozwiązanie równania przewodnicwa cieplnego. Tego ypu zagadnienia nazywane są zagadnieniami bezpośrednimi. W większości przypadków bezpośredni pomiar wielkości określających warunki brzegowe j. gęsości srumienia ciepła, emperaury powierzchni wymieniającej ciepło z ooczeniem, współczynnika wymiany ciepła oraz emperaury ooczenia nie jes możliwy. Czasem sosuje się pośrednie meody wyznaczania ych wielkości przy wykorzysaniu odpowiednich czujników np. czujników grzejnych (akywnych), kalorymerycznych, cienkościennych np. Gardona [3, 83]. Jednak częso zdarza się, że umieszczenie czujników na badanej powierzchni nie jes możliwe lub, że pomiar żądanych wielkości nie jes dokładny ze względu na warunki w jakich zachodzi wymiana ciepła, np. gdy powierzchnia ciała jes omywana gorącą cieczą lub parą pod wysokim ciśnieniem. W akich przypadkach ławiej przeprowadzić pomiar emperaury w wybranych punkach wewnąrz ciała i na ej podsawie określić zmieniające się w czasie pole emperaury, gęsość srumienia ciepła na powierzchni ciała sałego lub współczynnik wymiany ciepła. Tego ypu problemy noszą nazwę brzegowego zagadnienia odwronego dla równania przewodzenia ciepła. Idenyfikację gęsości srumienia ciepła i współczynnika wymiany ciepła dokonuje się przy wykorzysaniu meod, kóre można podzielić na dwie zasadnicze grupy. Są o meody opare na [3]: usalonym polu emperaury, do kórych zalicza się meody przewodnościowe i bilansu cieplnego, nieusalonym polu emperaury, do kórych należą meody usalonego sanu cieplnego, analogowe oraz rozwiązań odwronych. W części eksperymenalnej prac doyczących idenyfikacji gęsości srumienia ciepła lub współczynnika wymiany ciepła w oparciu o rozwiązanie zagadnienia odwronego, przeprowadzano pomiar emperaury wewnąrz próbek mealowych. Kszał ych próbek przyjmowano najczęściej ak, by podczas chłodzenia dominowało w nich jednokierunkowe przewodzenie ciepła. Sosowano próbki cylindryczne [9, 77, 87], izolowane bloczki [, 7, 39, 84], płyki [5, 33-34], a akże cienkie folie [38-39, 73]. Do nagrzewania najczęściej sosowano grzejne elemeny wkładkowe, czasem czujniki nagrzewanie były w piecu, bądź eż przy użyciu lasera [33]. Do pomiaru emperaury próbki wykorzysywano najczęściej ermoelemeny, a niekiedy echnikę ermowizyjną [33, 73, 84]. 6

17 6. ZAGADNIENIE ODWROTNE DLA RÓWNANIA PRZEWODZENIA CIEPŁA Jak wspomniano w poprzednim rozdziale, zagadnienie odwrone pozwala na określenie nieznanych paramerów na podsawie pomiaru wielkości, kóre przez e paramery zosały spowodowane. W przypadku zagadnień odwronych doyczących przepływu ciepła analizie podlega zw. emperaurowa odpowiedź układu, czyli danymi do obliczeń jes emperaura lub przebiegi emperaury w wybranych punkach ciała. Biorąc pod uwagę rodzaj poszukiwanych paramerów, zagadnienia odwrone dla równania przewodzenia ciepła można podzielić na [, 3]: rerospekywne gdzie poszukiwane są warunki począkowe, a do rozwiązania problemu porzebne są warunki brzegowe i pomiar emperaury w wewnęrznych punkach ciała, graniczne (brzegowe) w kórych poszukuje się warunków brzegowych na podsawie znajomości warunku począkowego oraz pomiarów emperaury w wewnęrznych punkach ciała, współczynnikowe w kórych na podsawie znanych warunków brzegowych i pomiaru emperaury wewnąrz ciała, poszukiwane są właściwości fizyczne ciała sałego np. przewodność cieplna, pojemność cieplna, geomeryczne kóre polegają na wyznaczeniu położenia i wydajności wewnęrznych źródeł ciepła. Odwrone brzegowe zagadnienia przewodzenia ciepła należą do klasy zagadnień źle uwarunkowanych. Oznacza o, że znacznemu wymuszeniu na brzegu ciała, w wyniku kórego nasępuje duża zmiana emperaury powierzchni, może owarzyszyć niewielka zmiana emperaury w miejscu pomiaru. Zwłaszcza w przypadku, gdy punk pomiaru emperaury jes znacznie oddalony od powierzchni. Niewielkie zakłócenia pomiaru w ym punkcie przenoszą się z rosnącą ampliudą na wyniki obliczeń. Może o spowodować, że orzymane wyniki będą znacznie odbiegały od warości rzeczywisych [3, 83]. Aby uzyskać poprawne fizycznie wyniki obliczeń konieczne jes zasosowanie odpowiednich meod rozwiązania, kóre pozwalają na złagodzenie skuków złego uwarunkowania problemu odwronego. Do rozwiązania brzegowych zagadnień odwronych dla równania przewodzenia ciepła można zasosować meody analiyczne [5, 8]. Jednak sosowanie ych meod ogranicza się do problemów jednowymiarowych oraz do prosych form geomerycznych, w kórych zwykle przyjmuje się sałe właściwości cieplne maeriału. Dodakowo nie jes w nich możliwe przyjęcie większej liczby punków pomiaru emperaury wewnąrz ciała, ani wysępowania więcej niż jednego wewnęrznego źródła ciepła [3]. Dużo większe możliwości w rozwiązywaniu problemów odwronych dają meody numeryczne. Na przesrzeni kilkudziesięciu la powsało wiele prac, w kórych opracowano różnego rodzaju sposoby rozwiązywania brzegowego zagadnienia odwronego w oparciu o e meody. Jedną z meod odnoszących się do rozwiązania liniowych jednomiarowych 7

18 zagadnień odwronych jes meoda, w kórej wykorzysuje się ransformację Laplace a. W pracy [8] znalazła ona zasosowanie w połączeniu z meodą elemenów skończonych. Auorzy wykazali dużą skueczność ej meody w przypadku idenyfikacji sałej emperaury powierzchni bądź srumienia ciepła na brzegu. Naomias w pracy [7] w celu wyznaczenia emperaury powierzchni i gęsości srumienia ciepła podczas chłodzenia naryskiem wodnym wykorzysano ransformację Laplace a w połączeniu z meodą różnic skończonych oraz meodą najmniejszych kwadraów. Orzymane wyniki porównano nasępnie z wynikami eksperymenalnymi i wynikami orzymanymi w wyniku zasosowania kroczącej meody aproksymacji funkcyjnej (sekwencyjnej specyfikacji funkcji), będącej odmianą meody Gaussa Newona [3]. Orzymano dużą zgodność wyników, zwłaszcza w przypadku gdy poszukiwanym paramerem była emperaura powierzchni. Meoda a służy do rozwiązywania zagadnień liniowych, w kórych właściwości ermiczne są sałe. W większości procesów echnologicznych, w kórych poszukiwane są warunki brzegowe, wymiana ciepła ma charaker nieliniowy, niesacjonarny i częso nie można jej sprowadzić do zagadnienia jednowymiarowego. Nieliniowość procesów wymiany ciepła jes związana z zależnością właściwości ermofizycznych od emperaury [6, 3]. Meodologia rozwiązania ego ypu problemów opiera się na założeniu, że źle uwarunkowany problem odwrony jes problemem opymalizacyjnym, kóry warunkowo spełnia założenia zagadnienia dobrze uwarunkowanego [6]. W algorymie obliczeń problem opymalizacji sprowadza się do określenia minimum normy błędu (funkcjonału), kórym jes suma kwadraów odchyleń emperaury obliczonej i zmierzonej. Pierwszym krokiem rozwiązania jes numeryczne obliczenie emperaury w punkcie odpowiadającym punkowi pomiaru emperaury. Obliczona numerycznie warość emperaury wykorzysana jes później w procedurze opymalizacyjnej. Obliczenia powarzane są odpowiednią ilość razy. Za każdym razem zmienione zosają założenia wsępne, aż do momenu gdy osiągnięy zosanie warunek opisany przez zw. kryerium sopu. Do rozwiązywania brzegowych zagadnień odwronych przy wykorzysaniu procesu opymalizacji opracowanych zosało wiele meod. Wśród nich wyróżnić należy meodę regularyzacji wprowadzoną przez Tichonowa [89]. W ym przypadku w równaniu opisującym funkcjonał opymalizacyjny pojawia się dodakowy iloczyn, kóry służy czasowej regularyzacji parameru opisującego poszukiwany warunek brzegowy (np. gęsość srumienia ciepła). Dodakowy człon równania zawiera zw. paramer regularyzacyjny, kóry dobiera się przy pomocy błędu określonego na podsawie danych począkowych np. na podsawie błędu pomiaru emperaury zmierzonej w wewnęrznym punkcie ciała [89, 6]. Algorym do porzeb rozwiązywania zagadnień odwronych przewodzenia ciepła w oparciu o meodę regularyzacji opracował m.in. Alifanow []. Zaproponowana przez niego meoda nosi nazwę regularyzacji ieracyjnej. W procedurze obliczeń konieczne jes w ym przypadku rozwiązanie oprócz problemu bezpośredniego jeszcze dwóch dodakowych problemów, kórymi są zw. problem wrażliwości i zw. problem sprzężony. Problem wrażliwości rozwiązywany jes w celu określenia wielkości kroku w kierunku spadku, naomias problem sprzężony rozwiązuje się do określenia gradienu funkcjonału [8]. Nasępnie do rozwiązania zagadnienia 8

19 opymalizacyjnego sosowana jes meoda gradienów sprzężonych. Ten schema rozwiązania jes sosowany najczęściej w brzegowych zagadnieniach odwronych [4,, 6, 4, 46-47, 8]. Innymi meodami służącymi do rozwiązywania nieliniowych brzegowych zagadnień odwronych są meody kroczące, kóre po raz pierwszy zasosowano w laach 6-ych XX wieku [8]. W meodach ych całkowiy przedział czasu dzieli się na kilka mniejszych, w kórych wyznacza się gęsość srumienia ciepła poprzez minimalizację normy błędu. W schemacie rozwiązania zaproponowanym przez Beck a [5] norma błędu zawiera współczynniki wrażliwości definiowane przez pierwszą pochodną emperaury w rozważanych punkach ciała i chwilach czasu względem gęsości srumienia ciepła. W meodach kroczących poszukiwana gęsość srumienia ciepła może być zasąpiona krzywą schodkową, a więc w poszczególnych przedziałach przyjmuje sałą warość. Można eż w poszczególnych przedziałach aproksymować ją funkcją pierwszego lub wyższego rzędu. Taka meoda nosi nazwę kroczącej meody aproksymacji funkcji i zosała opracowana przez Beck a [6]. W przypadku, gdy linia rendu poszukiwanego parameru w rozparywanym przedziale wykazuje złożoną funkcję nieliniową, można ją aproksymować funkcją łamaną złożoną z wielomianu pierwszego lub drugiego sopnia. Można eż zasosować funkcję sklejaną złożoną z wielomianu rzeciego sopnia lub funkcję, kóra spełnia wymogi funkcji sklejanej [3]. Meoda funkcji aproksymującej jes wykorzysywana częso w połączeniu z różnymi formułami angażującymi do rozwiązania problem wrażliwości i problem sprzężony. W pracy [49] zasosowano meodę funkcji aproksymującej w połączeniu z meodą gradienów sprzężonych do rozwiązania rójwymiarowego, nieliniowego odwronego zagadnienia przewodzenia ciepła. Poszukiwana gęsość srumienia ciepła zosała aproksymowana funkcją liniową dla czasu oraz wielomianem rzeciego sopnia dla przesrzeni. W algorymie rozwiązania odwronego zagadnienia przewodzenia ciepła do rozwiązania bezpośredniego najczęściej sosuje się meodę elemenów skończonych [-3,, 46-47]. Niekiedy wykorzysuje się meodę różnic skończonych [6, 36, 5, 6] lub meodę elemenów brzegowych lub meody objęości skończonej [49]. Podejmowane akże były próby wykorzysania sieci neuronowych [64]. 9

20 7. MODEL MATEMATYCZNY I NUMERYCZNY WYMIANY CIEPŁA I PRZEMIAN FAZOWYCH 7.. Pole emperaury Model maemayczny wymiany ciepła zasosowany w pracy opisuje wymianę ciepła pomiędzy obiekem chłodzonym a czynnikiem chłodzącym. Obiekem chłodzonym był mealowy walec. Jego powierzchnia boczna i jedna podsawa ooczone były ekranem. Bezpośredni konak z czynnikiem chłodzącym miała zaem ylko druga podsawa walca [4]. Nieusalone pole emperaury w walcu opisuje równanie Fouriera Kirchhoffa,,,,,, ) (,,, ) (,,, ) ( z r c q z r r z z r z r z r r r r p v (7.). l z R; r ; Rozwiązanie równania (7.) jes możliwe po określeniu warunków jednoznaczności kórymi są: warunek począkowy opisujący wyjściowe pole emperaury ciała dla,,,,, z r z r, (7.) warunki brzegowe, kóre mają posać:,,,,,, z R r z R r p R, (7.3),,,,,, z r z z r p z, (7.4),,,,,, L r z L z r p l. (7.5) Wymiana ciepła między osłonięą powierzchnią walca i ekranem odbywała się poprzez promieniowanie oraz przewodzenie ciepła przez warswę powierza znajdującego się między walcem i ekranem. Współczynnik przenikania ciepła można wyznaczyć z równania r p s p k. (7.6) Współczynnik wymiany ciepła przez promieniowanie opisano równaniem T T A z r (7.7) gdzie A A z. (7.8)

21 Układ równań różniczkowych (7.), (7.3)-(7.5) rozwiązywano przez dyskreyzację obszaru walca meodą elemenów skończonych [96]. W modelu wymiany ciepła zaniedbano przewodzenie ciepła w kierunku obwodowym. Zasosowano meodę resz ważonych, kóra pozwoliła na przekszałcenie równania (7.) do układu równań algebraicznych. Zakładając liniową zmianę emperaury w czasie Δτ należącym do przedziału (τ,τ + Δτ) oraz sosując schema Galerkina [3, 59, 69] orzymuje się układ równań algebraicznych: A ij B, (7.9) j i kóry pozwala na wyznaczenie emperaury próbki j w węzłach elemenów po czasie W układzie równań (7.9) oznaczono: A B ij j C K ij ij, (7.) 3 6 C K G G ij ij i i (7.) gdzie K ij jes macierzą przewodności cieplnej, C ij macierzą pojemności cieplnej, G i wekorem obciążenia cieplnego. Dyskreyzacja pola emperaury była wykonana we współrzędnych cylindrycznych w płaszczyźnie r, z. Wekor obciążenia cieplnego G i oraz macierze przewodności i pojemności cieplnej K ij, C ij dla jednego elemenu czerowęzłowego mają posać: 4 s L s 4 k k k k k a q D f r k k k G N N q r D, (7.) i i k k i v v K ij N N N N 4 4 k k k i j i j s r Dv L k r r z z s k k N N D i j k f r k, (7.3) 4 k k k k k C c N N D r. (7.4) ij gdzie Gaussa, i j v k r jes współrzędną cylindryczną w obszarze elemenu w punkcie całkowania meodą s s L jes sałą (dla boku elemenu na kórym zadawane są warunki brzegowe L, s w pozosałych przypadkach L ), N i są liniowymi funkcjami kszału, D v jes wyznacznikiem macierzy przekszałcenia współrzędnych cylindrycznych r, z do współrzędnych nauralnych elemenu ξ, ξ. Współrzędne cylindryczne r, z są związane ze współrzędnymi nauralnymi ξ, ξ elemenu równaniami: 4 r N r, (7.5) i i, i 4 z N z, (7.6) i i, i gdzie przez r i, z i oznaczono współrzędne cylindryczne węzłów elemenu. Liniowe funkcje kszału dla elemenu czerowęzłowego mają posać:

22 ,,3,4 i ; 4 i i i N. (7.7) Pochodne funkcji kszału względem współrzędnych cylindrycznych opisują równania:., k k k k k k N J z N N J r N (7.8) Wyznacznik macierzy przekszałcenia współrzędnych elemenu ma posać de z z r r D v. (7.9) W przypadku boku elemenu wyznacznik D f przyjmuje posać k k k f l N l D. (7.) Układ algebraicznych równań liniowych (7.9) był rozwiązywany meodą eliminacji Gaussa. Do wyznaczenia współczynnika wymiany ciepła α l, kóry wysępuje w warunku brzegowym (7.5), wybrano rozwiązanie zagadnienia odwronego dla równania przewodzenia ciepła. W rozwiązaniu ym wykorzysano aproksymację średniokwadraową. Meodyka obliczeń polegała, na przyjęciu ogólnej posaci funkcji aproksymującej zależność współczynnika wymiany ciepła od czasu. Zadaniem obliczeń było określenie szczególnej posaci ej funkcji. Za funkcję aproksymującą przyjęo funkcję sklejaną, kóra w zadawanych przedziałach była złożona z wielomianów Hermia [3]. W dowolnym czasie τ należącym do przedziału <b, c> wielomian Hermia opisuje równanie L L L L L d df H f H f (7.) gdzie b c b. (7.) Funkcje L H i L H są wielomianami rzeciego sopnia: a b H a b H H H (7.3) Jeżeli w przedziale <a, b> zadanych będzie (n+) punków x, x,, x n, o punky x i, i=,,..,m określają podział przedziału <a, b> na m podprzedziałów. W przedziale <a, b> można wówczas uworzyć funkcję sklejaną, kóra będzie zbiorem n funkcji opisanych wielomianem Hermia

23 f H f H H m f H m m m, i m, i m m df m dm df m dm i. i (7.4) Spełnione muszą być wedy warunki ciągłości funkcji sklejanej warość sąsiadujących ze sobą w każdym węźle funkcji i jej pochodnej muszą być jednakowe [3]. Na przykład dla pierwszego wewnęrznego węzła x i=, wielomiany Hermia określone na podprzedziale m= i m= mają posać: - podprzedział m =, a = x x x f H f H df H f H,, d d - podprzedział m =, a = x x x f H f H df H f H df,, d d df Z warunku ciągłości funkcji sklejanej w węźle x i= wynikają równania: f f,, df d df, d, (7.5). (7.6) (7.7). (7.8) Podsawiając (7.6) i (7.7) do (7.5) wielomian Hermia w podprzedziale m = spełniający warunki ciągłości funkcji sklejanej ma posać f H f H H f H,, df d df d (7.9) Idenyfikacja funkcji sklejanej sprowadzała się do określenia warości funkcji f(ξ) df i jej pochodnej d we wszyskich węzłach przedziału <a, b>. Celem aproksymacji średniokwadraowej była minimalizacja normy błędu opisanej równaniem n k num pom p, p i, i p i pom num gdzie: p, i p, i (7.3), - zmierzona i obliczona emperaura w wybranych punkach ciała, p liczba punków pomiarowych, i liczba kroków czasowych. Temperaurę num p i, obliczono z rozwiązania bezpośredniego meodą elemenów skończonych. Ilość i położenie węzłów przedziałów aproksymacji współczynnika wymiany 3

24 ciepła α l wynikała z konroli warości średniego błędu dopasowania emperaury zmierzonej i obliczonej nk n k i j num pom i. (7.3)., j i, j Do minimalizacji normy błędu wykorzysano meodę zmiennej meryki [3-3, 53-54, 7]. Należy ona do gradienowych meod minimalizacji bez ograniczeń. W ego rodzaju meodach minimum funkcji określa się wzdłuż kierunków poszukiwań. Kierunki poszukiwań są na bieżąco usalane na podsawie informacji o warościach i zmianach gradienu w punkach generowanych przez algorym. Sąd eż meodę ę zalicza się do meod kierunków poprawy [3, 53]. Ogólna idea algorymu meody zmiennej meryki polega na konsrukcji ciągu macierzy, kóre sanowią przybliżenie odwroności macierzy drugich pochodnych (hesjanu) funkcji celu. Meoda zmiennej meryki jes podobna do meody Newona, gdzie w każdej ieracji oblicza się macierz odwroną hesjanu, dlaego eż meoda zmiennej meryki nazywana jes meodą quasi-newonowską. Przebieg każdej ieracji meody zmiennej meryki można przedsawić nasępująco:. Mając dany punk n w k, wyznacza się gradien funkcji celu n k n w k b, a nasępnie na jego podsawie generuje się kierunek poprawy n k n V w k d k.. W wyniku minimalizacji w ak orzymanym kierunku orzymuje się punk Działanie o jes powarzane dla każdej ieracji. n k w. 3. W pierwszej ieracji sosuje się macierz jednoskową V k = V = I. W nasępnych ieracjach macierz V k oblicza się sosując nasępujący schema: a. wyznacza się wekory: n k s w oraz n k n k w n k n k n k r w w b. nasępnie oblicza się nową macierz korzysając ze wzoru Vk Vk Vk. Poprawkę ΔV k można wyznaczyć ze wzoru zaproponowanego przez Davidona- Flechera-Powella (DFP) lub w meodzie Broydena-Flechera-Goldfarba- Shannona (BFGS) [3, 53, 7]. 4. W przypadku gdy kierunek n k d nie jes kierunkiem poprawy przeprowadzona zosaje zw. odnowa, rozumiana jako podsawienie macierzy jednoskowej, co prowadzi do użycia kierunku największego spadku n k n w k d. Odnowa przeprowadzana jes akże w przypadku, gdy od osaniej odnowy wykonano n ieracji. 5. Kryerium zakończenia procesu minimalizacji funkcji celu (kryerium sopu) polega k k na sprawdzeniu warunku w i wi n i, gdzie ε jes założoną dokładnością 4

25 obliczeń. W pracy funkcją celu była norma błędu opisana równaniem (7.3). Przyjęo również dodakowe kryerium sopu polegające na sprawdzeniu liczby wykonanych ieracji. Minimalizacja była zarzymywana jeżeli wykonano m 5 n ieracji, gdzie n odpowiada sumarycznej ilości współczynników wielomianu Hermia, kóre zosały użye do aproksymacji współczynnika przejmowania ciepła we wszyskich założonych przedziałach czasu. Poniżej przedsawiono przykładowy wynik działania algorymu opymalizacyjnego zasosowanego do idenyfikacji współczynnika wymiany ciepła. Rozważano w nim wymianę ciepła pomiędzy płyą mosiężną i ooczeniem. Zadawane w rozwiązaniu odwronym pole emperaury w płycie obliczono numerycznie, przy wykorzysaniu meody elemenów skończonych. W obliczeniach założono, że jedna z powierzchni płyy jes izolowana względem ooczenia zewnęrznego q (l, τ) =. Naomias druga powierzchnia oddaje ciepło do ooczenia zgodnie z prawem Newona, ze współczynnikiem przejmowania ciepła zmieniającym się zgodnie z równaniem α (τ)= exp ( sin (.4τ)), W/(m K). (7.3) Pozosałe dane do obliczeń były nasępujące: grubość płyy l = mm, przewodność cieplna mosiądzu λ =.59 +5, W/(m K), ciepło właściwe mosiądzu c p = , J/(kg K), gęsość ρ = 86 kg/m 3, emperaura począkowa płyy = 55ºC emperaura ooczenia o = ºC Symulowane numerycznie wyniki obliczeń emperaury w wybranych rzech punkach płyy w przedziale czasu [,5 s] przedsawiono na rysunku 7.. Wykorzysując rozwiązanie zagadnienia odwronego obliczono współczynnik przejmowania ciepła na podsawie emperaury zadawanej ylko z jednego punku, znajdującego się najbliżej powierzchni, na kórą oddziaływało wymuszenie brzegowe ( mm). Zależność poszukiwanego współczynnika wymiany ciepła od czasu aproksymowano wielomianem Hermia. Zależności (7.5) nadano posać f w H w H w H w (7.33) 3 4H 5

26 Temperaura, o C 6 5 mm 4 mm 6 mm 4 3 Wielomiany Czas, s Rys. 7.. Temperaura w wybranych punkach płyy mosiężnej H, H, H, pomocniczą ξ wyznaczono ze wzoru i, k i k, gdzie τ, τ k czas na począku i końcu danego przedziału. H wyznaczono ze wzorów (7.3). Zmienną Współczynniki w, w, w 3, w 4 były poszukiwane w rozwiązaniu zagadnienia odwronego. Wsępnie przyjęo ylko jeden wielomian w całym przedziale czasu (τ =, τ k = 4 s). Uzyskane rozwiązanie rakowano jako pierwsze przybliżenie. Współczynniki wielomianu Hermia podano w abeli 7.. Wyniki obliczeń współczynnika przejmowania ciepła i błąd obliczeń współczynnika przejmowania ciepła przedsawiono na rysunkach 7. i 7.3. Średni błąd dopasowania emperaury zadawanej do rozwiązania odwronego i obliczonej w wyniku obliczeń odwronych dla poszukiwanego współczynnika przejmowania ciepła, wyznaczony wg wzoru (7.3), wyniósł ok K. Orzymany wynik obliczeń pierwszego przybliżenia wskazuje na duży błąd rozwiązania (rys. 7.3). Błąd en wynika z błędu aproksymacji pierwszego przybliżenia. Przedział czasu, s Tab.7.. Współczynniki wielomianu Hermia, I przybliżenie Współczynniki w w w 3 w

27 Błąd obliczeń współczynnika wymiany ciepła, W/(m K) 3 6 Współczynnik wymiany ciepła, W/(m.K) rozwiązanie wg wzoru (6.3) I przybliżenie Czas, s Rys. 7.. Współczynnik wymiany ciepła obliczony dla emperaury zadawanej z punku odległego o mm od powierzchni na kórą działało wymuszenie brzegowe, I przybliżenie Czas, s Rys Bezwzględny błąd obliczeń współczynnika wymiany ciepła, I przybliżenie W celu zwiększenia dokładności rozwiązania, zasosowano funkcję sklejaną złożoną z wielomianów Hermia. Położenie węzłów ej funkcji usalono na podsawie zmian pierwszej pochodnej emperaury po czasie, emperaury zmierzonej w punkcie położonym najbliżej powierzchni, na kórą oddziaływał nieliniowy srumień ciepła ( mm) (rys. 7.4). W drugim przybliżeniu przyjęo czery przedziały czasu (,.5 s), (.5, 4.5 s), (4.5, 7 s), (7, 5 s). Warości współczynników funkcji sklejanej obliczone w drugim przybliżeniu podano w abeli 7.. Tab. 7.. Współczynniki wielomianów Hermia w funkcji sklejanej, II przybliżenie Przedział czasu, s Współczynniki w w w 3 w

28 / Czas, s Rys Pochodna emperaury po czasie dla punku znajdującego się mm od powierzchni na kórą działało wymuszenie brzegowe Na rysunku 7.5 przedsawiono wyniki obliczeń współczynnika wymiany ciepła. Dla porównania podano akże wynik pierwszego przybliżenia oraz wynik rozwiązania opisanego równaniem (7.3). Uzyskane wyniki wskazały, że aproksymacja współczynnika wymiany ciepła za pomocą funkcji sklejanej spowodowała około pięciokrone zmniejszenie błędu obliczeń współczynnika przejmowania w sosunku do wyników orzymanych za pomocą przybliżenia pierwszego (rys. 7.6). Średni błąd obliczeń emperaury w drugim przybliżeniu wyniósł ok. 3.3 K. Uzyskano zaem wyraźne zwiększenie dokładności rozwiązania numerycznego w sosunku do przybliżenia pierwszego. Zdecydowano jednak jeszcze zwiększyć liczbę przedziałów, zagęszczając je w zakresie, gdzie wysępował największy błąd obliczeń współczynnika przejmowania ciepła (rzecie przybliżenie). Przyjęo nasępujące położenie węzłów: ; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ; ; 4 s. Obliczone w ym przybliżeniu współczynniki funkcji sklejanej podano w abeli 7.3. Na rys. 7.7 porównano wyniki obliczeń uzyskane w rzecim przybliżeniu z obliczonymi z równania (7.3). Przyjęcie funkcji sklejanej w większej liczbie przedziałów, spowodowało znaczne zwiększenie dokładności rozwiązania. Błąd obliczeń współczynnika wymiany ciepła w rzecim przybliżeniu zmniejszył się prawie dziesięciokronie w sosunku do rozwiązania orzymanego w drugim przybliżeniu (rys. 7.8). Średni błąd dopasowania emperaury akże uległ wyraźnemu zmniejszeniu i osiągnął bardzo małą warość.44 K. W kolejnych esach, w kórych do obliczeń zadawano emperaurę z większej liczby punków oddalonych od akywnej powierzchni płyy, przy zachowaniu liczby węzłów i ich położenia jak w przybliżeniu rzecim, osiągnięo nieznaczne zmniejszenie średniego błędu dopasowania emperaury. Norma gradienu funkcji celu w momencie zakończenia obliczeń dla pierwszego przybliżenia wynosiła ok W kolejnych przybliżeniach przyjmowała ona coraz mniejsze warości i wynosiła odpowiednio.687 i dla drugiego i rzeciego przybliżenia. 8