WYKŁAD 5 Rozdział 3: Badanie i interpretacja drgań na płaszczyźnie fazowej Część 1 Odwzorowanie drgań oscyatora iniowego na płaszczyźnie fazowej 3.1. Płaszczyzna fazowa, trajektoria fazowa, obraz fazowy Pojęcie zmiennych fazowych zostało wprowadzone w dynamice punktu materianego w ceu umożiwienia anaizy prędkości punktu jako funkcji jego położenia ub drogi przebytej w czasie ruchu od pewnego położenia początkowego. Wiee zagadnień w mechanice dotyczy reacji prędkości i przemieszczeń, a czas ma w nich znaczenie drugorzędne. Przypomnijmy zastosowania zasady zachowania energii mechanicznej punktów materianych, brył ub mechanizmów, które prowadziły do takich właśnie wzajemnych reacji prędkości i przemieszczeń. Przykładem jest badanie maksymanej wysokości rzutu pionowego w pou grawitacyjnym ub prędkości ucieczki z tego poa (w przypadku poa ziemskiego niejednorodnego to probem drugiej prędkości kosmicznej). W teorii drgań [] badanie reacji prędkości i przemieszczenia oscyatora umożiwia poznanie niektórych właściwości drgań bez konieczności rozwiązywania równań ruchu. Otwiera też poe ciekawych interpretacji graficznych, pogłębiających zdobytą już wiedzę. Rozważmy oscyator o jednym stopniu swobody bez wymuszenia, opisany następującym równaniem różniczkowym: m P(, ), (3.1) które może modeować drgania punktu materianego, bryły ub mechanizmu, przy odpowiedniej interpretacji wiekości m, oraz P. Warunki początkowe mają postać: ), (). (3.) ( Równanie (3.1) można najpierw przekształcić do postaci: a następnie, wprowadzając prędkość F(, ), (3.3), przedstawić jako dwa równania I rzędu: d dt d dt F(, (3.4) 68
Dzieąc teraz stronami równania (3.4), formanie eiminujemy czas i otrzymujemy pojedyńcze równanie różniczkowe I rzędu: d F(,, (3.5) d w którym niewiadomą funkcją jest (), a warunki początkowe (3.) stają się warunkiem brzegowym: Zmienne (. (3.6) ), nazywamy zmiennymi fazowymi, płaszczyznę ich odwzorowania O - płaszczyzną fazową, równanie (3.5) - równaniem trajektorii fazowych, a jego rozwiązanie () - trajektorią fazową. Zauważmy, że rozwiązanie równania ruchu (3.3) oraz jego pochodna czasowa, czyi prędkość, są pewnymi funkcjami czasu i zaeżą od warunków początkowych: f1( t,, ) f( t,, ) (3.7) Są to parametryczne równania trajektorii fazowej na płaszczyźnie O, zaczynającej się w ( punkcie, ), która jest też rozwiązaniem równania (3.5) odpowiadającym warunkowi brzegowemu (3.6). Zbiór wszystkich możiwych trajektorii fazowych nazywamy obrazem fazowym układu. Obraz fazowy składa się z nieskończenie wieu trajektorii, które gęsto wypełniają płaszczyznę fazową. Rysujemy tyko niektóre z nich, aby pokazać ich zmienność, a czasami różny charakter w różnych częściach płaszczyzny fazowej. Przykład 3.1 Wyznaczyć obraz fazowy oscyatora iniowego nietłumionego o częstości oraz trajektorię fazową odpowiadającą warunkom początkowym ( ), (). Równanie ruchu rozpatrywanego oscyatora jest następujące: Równanie trajektorii fazowych (3.5) przyjmuje postać: Równanie to można scałkować przez rozdzieenie zmiennych:. (a) d. (b) d 1 1 d d C, (c) 69
gdzie C jest stałą całkowania o jednostce [m²/s²]. Obraz fazowy tego oscyatora jest więc jednoparametrową rodziną eips (parametr C): =1 (d) C (C)/ o półosiach C oraz C /. Stała C zapewniająca spełnienie założonych warunków początkowych ma wartość: a odpowiednia trajektoria ma równanie: 1 C, (e) C / i jest pokazana na Rys. 3.1. na te obrazu fazowego. 1 (f) Koniec Przykładu 3.1. Rys. 3.1. Trajektoria fazowa i obraz fazowy oscyatora z Przykładu 3.1. Z postaci równania trajektorii fazowych (3.5) wynikają ważne właściwości tych krzywych. Punkty płaszczyzny fazowej można podzieić na dwie kategorie reguarne i osobiwe. Punkt osobiwy, to taki punkt (, ), w którym styczna do trajektorii jest nieokreśona, co wynika z następujących warunków: d d F(, ) oraz. (3.8) Nieokreśoność stycznej do trajektorii oznacza, że przez punkt osobiwy przechodzi wiee trajektorii ub nie przechodzi żadna. Każdy punkt płaszczyzny fazowej, który nie jest punktem osobiwym, jest punktem reguarnym. Przez każdy punkt reguarny przechodzi dokładnie jedna trajektoria. 7
Punkty osobiwe eżą na osi przemieszczeń ( współrzędne są rozwiązaniami równania ogónie nieiniowego: ). Może być ich wiee, a ich F (,). (3.9) Punkty te mają ważną interpretację fizyczną, jako położenia równowagi statycznej układu. Rzeczywiście, warunek (3.8) impikuje: d F (,, (3.1) dt zatem w każdym punkcie osobiwym prędkość i przyspieszenie jest równe, czyi jest to położenie równowagi. Uwagi: 1. Oscyator iniowy ma dokładnie jedno położenie równowagi, czyi jeden punkt osobiwy.. W przypadku niewystępowania siły zaeżnej od położenia (układ nie jest oscyatorem), cała oś jest zbiorem nieskończonej, nieprzeiczanej iczby punktów osobiwych. 3. Każda trajektoria przecina oś jest punktem reguarnym. ( ) pod kątem prostym, jeśi tyko punkt przecięcia 4. Ruch punktu (, po trajektorii odbywa się tak, że na górnej półpłaszczyźnie ( ) zmienna przyrasta, a na donej ( ) maeje. Tak więc, ruch po trajektoriach eiptycznych oscyatora z Przykładu 3.1 odbywa się zgodnie ze wskazówkami zegara. Przykład 3. Punkt materiany o masie m może poruszać się po inii prostej poziomej z iniowymi oporami ośrodka o współczynniku c. Wyznaczyć i narysować obraz fazowy tego punktu. Równanie ruchu punktu ma postać: a odpowiadające mu równanie trajektorii nie zawiera zmiennej Cała oś rodzina prostych: m c, (a) d d (Uwaga ): c d c. (b) d jest zbiorem punktów osobiwych, a obrazem fazowym jest jednoparametrowa ( ) c D, (c) gdzie D jest stałą całkowania, stanowiącą parametr rodziny (Rys. 3.). 71
Rys. 3.. Obraz fazowy punktu materianego z Przykładu 3. 3.. Punkty osobiwe układu iniowego W tej części wykładu rozpatrzymy wszystkie możiwe typy punktu osobiwego układu iniowego o jednym stopniu swobody, o równaniu ruchu: nie ograniczając się tyko do oscyatorów, da których mamy, (3.11),, ae dopuszczając dowone rzeczywiste wartości współczynników i. Nie oznacza to odejścia od fizyki oscyatorów tłumionych, ae włączenie probemów nieiniowych, w których okana inearyzacja wokół pewnego położenia równowagi może prowadzić do ujemnych wartości stałych ub. Przykład 3.3. Wyznaczyć współczynnik da wahadła matematycznego o długości ruchu zinearyzowanym wokół górnego położenia równowagi., w jego równaniu Równanie ruchu wahadła wokół położenia donego jest dobrze znane z dynamiki punktu: gdzie g sin, (a) jest kątem odchyenia wahadła od donego położenia równowagi w pou grawitacyjnym. Wahadło ma też inne położenia równowagi opisane równaniem: g F(, ) sin sin k k. (b) Zbiór położeń równowagi jest formanie nieskończony, równoiczny ze zbiorem iczb naturanych, ae powtarzają się w nim iczby 1 oraz. Wprowadzając zmienną, otrzymujemy równanie wahadła w otoczeniu górnego położenia równowagi: g g sin( ) sin. (c) 7
Linearyzując równanie (c) wokół g w którym. Koniec Przykładu 3.3., otrzymujemy równanie typu (3.11): g, (d) Trajektorie fazowe układu (3.11) opisane są równaniem różniczkowym: d d. (3.1) Kasyfikacja typów punktu osobiwego jego równania charakterystycznego: równania (3.11) opiera się na pierwiastkach r r. (3.13) Rozpatrzymy cztery następujące przypadki, odpowiadające poszczegónym typom punktów osobiwych. Wyróżnik równania ma postać: 4. 1.,, - drgania oscyatora nietłumionego, punkt osobiwy typu środek Pierwiastki charakterystyczne są czysto urojone, sprzężone: r1 i. (3.14), Z Wykładu wiemy, że mamy wtedy do czynienia z drganiami swobodnymi nietłumionymi o przebiegu harmonicznym. Równanie trajektorii fazowych ma postać: d d, (3.15) a jego rozwiązanie przedstawia rodzinę eips (Przykład 3.1, Rys. 3.1):.,, 4, punkt osobiwy typu ognisko Pierwiastki charakterystyczne są zespoone sprzężone: C. (3.16) 4 r 1, i. (3.17) Pierwiastki te mogą mieć ujemne ub dodatnie części rzeczywiste, zaeżnie od znaku. Naeży więc rozróżnić te dwa przypadki. Od strony fizycznej różnią się one tym, że w przypadku drgania narastają z czasem, oddaając się coraz bardziej od punktu osobiwego. Okreśamy to jako niestateczność punktu osobiwego, a tym samym położenia równowagi układu. W przypadku drgania mają charakter zanikający i trajektoria zbiża 73
się z czasem do punktu osobiwego. Mówimy, że punkt osobiwy i położenie równowagi są stateczne. Uwaga Istnieją różne definicje stateczności używane w teorii równań różniczkowych, a nawet w teorii drgań. Niestateczność, o której mowa powyżej, nazywa się niestatecznością w sensie Lapunowa, a kryterium tej niestateczności to dodatni znak części rzeczywistej pierwiastka charakterystycznego (ub całego pierwiastka, jeśi jest rzeczywisty). Mamy zatem dwa podtypy punktu osobiwego zwanego ogniskiem: a) ognisko stateczne, gdy, b) ognisko niestateczne, gdy. W obu przypadkach trajektorie są spiraami ogarytmicznymi, które wyznacza się trudniej niż eipsy w przypadku środka. Datego pokazujemy je tyko pogądowo, a nie opisujemy równaniami (Rys. 3.3). Rys. 3.3. Obrazy fazowe wokół ogniska: a) statecznego, b) niestatecznego 3.,, 4, punkt osobiwy typu węzeł Pierwiastki charakterystyczne są rzeczywiste: 4 r 1,. (3.18) Podobnie jak w przypadku ogniska, będziemy mieć do czynienia z dwoma podtypami węzła statecznym, gdy i niestatecznym, gdy. Z podobnych powodów pokażemy w sposób pogądowy przebieg trajektorii. Przypadek znamy już z drgań swobodnych sinie tłumionych. Drgania te zanikają tak szybko, że przebiegi są nieoscyacyjne, z co najwyżej jednym miejscem zerowym. Podobnie szybkie jest narastanie drgań da. Można wykazać (zrobimy to w następnym wykładzie), że w obrazie fazowym wokół węzła pojawiają się dwie trajektorie proste, usytuowane jak pokazano na Rys. 3.4). 74
Rys. 3.4. Obrazy fazowe wokół węzła: a) statecznego, b) niestatecznego Węzeł, da którego 4, nazywa się węzłem zdegenerowanym. Pierwiastki charakterystyczne są rzeczywiste jednakowe: r 1,, (3.19) a dwie trajektorie proste łączą się w jedną. Obrazy fazowe wokół węzła zdegenerowanego pokazano na Rys. 3.5. Rys. 3.5. Obrazy fazowe wokół węzła zdegenerowanego: a) statecznego, b) niestatecznego 4.,, 4, punkt osobiwy typu siodło. Pierwiastki charakterystyczne są rzeczywiste, przeciwnych znaków. 4 r 1,. (3.) W przypadku siodła trajektorie są hiperboami. Równanie rodziny łatwo wyprowadzimy w przypadku. Mamy wtedy równanie różniczkowe trajektorii w postaci (3.15), które wobec przedstawia rodzinę hiperbo, pokazanych na Rys. 3.6. 75
Rys. 3.6. Obraz fazowy wokół siodła w przypadku braku tłumienia ( (Uwaga: strzałki na dwóch donych trajektoriach powinny być skierowane w ewo) Jak widać, obraz fazowy zawiera dwie trajektorie proste, będące asymptotami trajektorii ). hiperboicznych. Jako przykład układu dynamicznego, którego punktem osobiwym jest siodło, może służyć wahadło matematyczne z Przykładu 3.3, jeśi jego ruch rozważany jest w otoczeniu górnego położenia równowagi. Układ iniowy o jednym stopniu swobody nie ma innych punktów osobiwych niż wymienione wyżej: środek, ognisko, węzeł i siodło. Na płaszczyźnie współczynników można wskazać obszary ich występowania. Pokazano to na Rys. 3.7., Rys. 3.7. Obszary różnych punktów osobiwych w zaeżności od współczynników równania ruchu ; oznaczenia: ś środki, os ogniska stateczne, ons ogniska niestateczne, ws węzły stateczne, wns węzły niestateczne, wzs węzły zdegenerowane stateczne, wzns węzły zdegenerowane niestateczne, s - siodła Każdemu punktowi na płaszczyźnie (, ), z wyjątkiem przypadków, odpowiada punkt osobiwy odpowiedniego typu i stateczności, według powyższej kasyfikacji. W przypadku, wszystkie punkty płaszczyzny fazowej eżące na osi O są punktami osobiwymi, a jednocześnie położeniami równowagi układu. Punkty osobiwe są wszystkie stateczne, gdy, abo niestateczne, gdy. Wszystkie trajektorie fazowe są iniami prostymi. W Przykładzie 3. pokazano je da. Punktowi (, ) (,) odpowiada ruch jednostajny rozpatrywanego układu dynamicznego. Jego trajektorie fazowe są poziome. 76
3.3. Izokiny i trajektorie proste w obrazie fazowym Wróćmy do ogónej postaci równania ruchu oraz jego trajektorii fazowych: d F(, F(, ),. d Izokiną nazywamy miejsce geometryczne reguarnych punktów płaszczyzny fazowej układu, w których trajektoria fazowa ma ten sam tangens nachyenia stycznej. Jak zobaczymy, izokina jest krzywą przechodzącą przez punkty o tym samym kącie nachyenia do osi O. Ponieważ tangens kąta nachyenia stycznej jest dowoną iczbą rzeczywistą, więc izokin jest nieskończenie wiee i tworzą one jednoparametrową rodzinę krzywych na płaszczyźnie fazowej. Równanie tej rodziny jest następujące: gdzie Uwaga CR d d C F(, C, (3.1) jest tangensem nachyenia stycznej do trajektorii, będącym parametrem rodziny. Zgodnie z równaniem rodziny izokin (3.1), oś O kątowi stycznej /. Jeśi F (, jest funkcją iniową, to jest: to równanie izokin ma postać: jest izokiną, odpowiadającą C i F(,, 3.) C C (3.3) W układzie iniowym izokiny są zatem iniami prostymi przechodzącymi przez początek płaszczyzny fazowej. Przykład 3.4. Wyznaczyć rodzinę izokin oscyatora harmonicznego o równaniu. Na podstawie (3.) równanie rodziny izokin rozpatrywanego oscyatora ma postać: C. (a) C Jest to rodzina prostych przez początek układu współrzędnych, o tangensie kąta stycznej: tg. (b) C 77
Izokiny pokazano na Rys. 3.8 da = [rad/s]. Przykładowo wyróżniono izokinę da C 1. Przykład 3.5. Rys. 3.8. Rodzina izokin oscyatora harmonicznego z Przykładu 3.4 Wyznaczyć i narysować rodzinę izokin wahadła matematycznego o częstości [rad/s], w zakresie kąta obrotu wahadła, iczonego od donego położenia równowagi. Płaszczyzna fazowa da drgań kątowych wahadła ma współrzędne prędkością kątową wahadła. Równanie ruchu jest następujące: a równanie rodziny izokin ma postać nieiniową: Rodzina izokin jest zatem zbiorem sinusoid o długości fai (, ), gdzie jest 4sin, (a) 4sin 4 C sin. (b) C i ampitudzie zaeżnej od 1 1 stałej C. Na Rys. 3.9. pokazano izokiny C, 1,,,, 1,, a także izokinę C, która pokrywa się z osią odciętych płaszczyzny fazowej. 78
Rys. 3.9. Izokiny wahadła z Przykładu 3.5. Koniec Przykładu 3.5. Interesujący jest probem istnienia trajektorii fazowych układu dynamicznego, będących iniami prostymi. Bez dowodu stwierdziiśmy ich istnienie w przypadku obrazów fazowych układu iniowego wokół punktów osobiwych węzła i siodła. Zauważmy przede wszystkim, że trajektoria prosta - jeśi istnieje - musi pokrywać się z izokiną prostą, odpowiadającą jej kątowi nachyenia. Układ dynamiczny musi być zatem iniowy. Tangens kąta nachyenia trajektorii fazowej musi być równy tangensowi nachyenia izokiny. Jeśi równanie ruchu jest, to równanie rodziny izokin ma postać:. (3.4) C Równość kątów nachyenia izokiny i trajektorii prowadzi do równania: C C C C. (3.5) Zauważmy, że równanie (3.5) jest identyczne jak równanie charakterystyczne (3.13). Trajektorie proste istnieją wówczas, gdy istnieją rozwiązania rzeczywiste równania (3.5), a więc wtedy, gdy pierwiastki charakterystyczne są rzeczywiste. Ma to miejsce tyko w następujących przypadkach punktów osobiwych. węzeł stateczny i niestateczny - dwie trajektorie proste o równaniach: 4, ( ), (3.6) 79
węzeł zdegenerowany stateczny i niestateczny jedna trajektoria prosta o równaniu: siodło - dwie trajektorie proste o równaniach: 4, (, (3.7) ), (3.8) Trajektorie proste odpowiadające przypadkom (3.6) (3.8) pokazano na Rys. 3.4. - 3.6. Pytania sprawdzające do Wykładu 5 1. Co to jest płaszczyzna fazowa?. Na czym poega badanie drgań na płaszczyźnie fazowej? 3. Równanie trajektorii fazowych układu drgającego. 4. Co to jest obraz fazowy? 5. Reguarne i osobiwe punkty płaszczyzny fazowej układu drgającego. 6. Jakie punkty osobiwe może mieć układ iniowy o jednym stopniu swobody? 7. Jak rozumiemy stateczność punktu osobiwego? 8. Jaki punkt osobiwy ma układ opisany równaniem: 1? 9. Co to jest izokina? 1. Jaki jest warunek istnienia trajektorii prostych? 8