Wykład 1 14.1 Podstawowe infomacje doświadczalne cd. 14. Pąd elektyczny jako źódło pola magnetycznego 14..1 Pole indukcji magnetycznej pochodzące od nieskończenie długiego pzewodnika z pądem. 14.. Pawo Ampea w postaci óżniczkowej 14..3 Potencjał wektoowy 14.3 Pola magnetyczne wybanych konfiguacji pzewodników 14.3.1 Momenty magnetyczne atomów i jąde 14.4 Siły wynikające z pawa Loentza i Biota-Savata Reinhad Kulessa 1
Ziemia posiada ównież własne pole magnetyczne. Bieguny magnetyczne nie pokywają się z biegunami geogaficznymi. Magnetyczne Południe Geogaficzna Północ Ziemskie pole magnetyczne Ziemskie pole magnetyczne Magnetyczna Północ Geogaficzne Południe Reinhad Kulessa
Powiedzieliśmy, że pole magnetyczne wytwazane jest ównież pzez wszelkiego odzaju pądy elektyczne. Pole magnetyczne wpływa na pouszające się ładunki elektyczne, działając na nie siłą. Wpowadzone w tabelce na stonie 34 Wykładu 9 natężenie pola magnetycznego jest wielkością, któą uwzględnia się ze względów histoycznych podobnie jak wekto pzesunięcia w elektostatyce. Dugą wielkością chaakteyzującą pole magnetyczne jest wekto indukcji magnetycznej B. B H (14.) Okazało się, że właściwe pole magnetyczne opisane jest pzez wekto indukcji magnetycznej B, a wekto natężenia pola magnetycznego opisuje tą część pola, któa jest wytwazana Reinhad Kulessa 3
pzez makoskopowe pądy elektyczne o natężeniu, dipoli atomowych i pądów okężnych ośodka mateialnego. Jednostkami natężenia pola magnetycznego H, oaz indukcji magnetycznej B w układzie S są odpowiednio: [ ] 1 A m [ ] B 1 Tesla 1T V s m H W podanym kształcie ównanie (14.) oganicza się do póżni. Będziemy ównież ozważali zachowanie się tych pól w obecności mateii. Wóćmy w tej chwili do doświadczalnej ewidencji siły, któą pole indukcji magnetycznej wywiea na pouszające się ładunki. Reinhad Kulessa 4
Znane są następujące fakty doświadczalne dotyczące Oddziaływania pola indukcji magnetycznej na pouszające się elektony: a). Pouszające się elektony są odchylane, b). Działająca na ładunki siła F jest do kieunku wskazywanego pzez igłę magnetyczną, czyli do kieunku wektoa B, c). Siła F do pędkości ładunku v, d). Siła F v, e). Watość siły F q. Wszystkie te wyniki doświadczalne zebał Hendik Loentz(1853-198) definiując siłę nazwaną obecnie siłą Loentza F q( v B) k (14.3) W układzie S stała popocjonalności (k * 1). Reinhad Kulessa 5
Równanie (14.3) jest ównocześnie definicją wektoa indukcji magnetycznej B pzez znane wielkości, siłę F, ładunek q, oaz pędkość v. W ogólnym pzypadku na cząstkę o ładunku q pouszającą się w jakimś układzie współzędnych działa siła: F qe + q( v B) (14.4) Zauważając, że pzewodnik z pądem zawiea pouszające się ładunki, możemy ozszezyć pawo Loentza (14.3) dl B df dq( v B) dq v dq dt v dt dl Reinhad Kulessa 6
Otzymujemy wyażenie na siłę działającą na element pzewodu dl, pzez któy płynie pąd. Jest to siła Biota Savata. df ( dl B) (14.5) Analogicznie do stumienia pola elektycznego możemy zdefiniować stumień wektoa indukcji magnetycznej. da B Φ B B A da (14.6) Ze względu na to, że linie pola indukcji magnetycznej są zamknięte zgodnie z pawem Gaussa zachodzi: Reinhad Kulessa 7
A B da (14.7) Rezultat ten jest niezależny od tego, czy powiezchnia A zawiea pzewodniki, izolatoy, ładunki, natężenia pądu, czy magnesy. Powiezchnia A z y S N x B Ponieważ nie istnieją monopole magnetyczne, stumień pola indukcji magnetycznej pzez powiezchnie A musi być ówny zeo. Reinhad Kulessa 8
W opaciu o twiedzenie Ostogadzkiego-Gaussa możemy napisać; A B da τ div B dτ (14.8) Równanie to jest spełnione dla każdej objętości τ, a więc ównież dla objętości dτ. Otzymujemy więc; div B (14.9) Równanie (14.9) opisuje fundamentalną własność pola indukcji magnetycznej. Jest to pole bezźódłowe. Linie pola B nie mają ani początku ani końca. Twozą one więc wiy. Dla natężenia pola elektycznego zgodnie z ównaniem (5.7) div E ρ ε Reinhad Kulessa 9
Równanie (14.9) mówi nam, że nie ma ozdzielonych ładunków magnetycznych. Z bezźódłowości pola indukcji magnetycznej, któą inaczej nazywamy solenoidalnością wynika, że pole to chaakteyzuje się pewnym potencjałem wektoowym A. Zakładamy, że potencjał ten też jest bezźódłowy, oaz że znika w nieskończoności. Definiujemy go następującym wzoem. B ot A (14.1) Zgodnie z twiedzeniem Stokes a możemy zdefiniować stumień indukcji pola magnetycznego jako kążenie(cykulację) potencjału wektoowego A. Φ B da ot Α da Α dl B (14.11) A A Reinhad Kulessa 1 Γ
14. Pąd elektyczny jako źódło pola magnetycznego Rozważmy element pzewodnika o długości dl, pzekoju A, w któym płynie pąd, któego nośniki o ładunku q i o liczbie N w jednostce objętości, mają śednią pędkość v. Gęstość pądu jnqv, a natężenie pądu ma watość Aj. Zakładamy, że ładunki pouszają się ównolegle do pzewodnika. P dl θ A Jeśli w pzewodniku znajduje się n nośników,to wytwazają one pole Reinhad Kulessa 11
db n q 4π v 4π ( nqv ) Wiemy, że n N dτ N A dl,wobec tego n qv N Adl q v ( Nqv) A dl j Adl Ponieważ zachodzi, że nqvdl, stąd; dl db 4π dl (14.1) Jest to pawo Biota-Savata. Reinhad Kulessa 1
14..1 Pole indukcji magnetycznej pochodzące od nieskończenie długiego pzewodnika z pądem. dl ϕ /sinϕ P Chcemy znaleźć pole indukcji w punkcie P oddalonym o od pzewodnika. dl db 3 4 π Pzyjmując, że pzewodnik leży na osi x, mamy x/ ctg ϕ dx dl - /sin ϕ dϕ /sinϕ x Reinhad Kulessa 13
Reinhad Kulessa 14 Po podstawieniach otzymamy: ϕ ϕ π ϕ ϕ ϕ π ϕ π d d dl db sin 1 4 sin sin 1 4 sin 1 4 3 3 3 Wekto indukcji w odległości od pzewodnika wynosi więc: 4 ) sin ( 4 ) ( d B o π ϕ ϕ π π
Policzyliśmy watość wektoa indukcji. Jaki zaś będzie jego kieunek? Musi on być postopadły zaówno do dl jak i. Ze względu na symetię cylindyczną i fakt, że div B, (muszą to być zamknięte linie), jedyną możliwością są koncentyczne okęgi wokół pzewodnika. Stosuje się śuby egułę pawej tak jak na ysunku powyżej. B( ) Γ dγ 1. Policzmy cykulację wektoa B po podanym okęgu. B dγ B( ) π Γ Reinhad Kulessa 15
Wynik ten nie zależy od watości. Watość indukcji B( ) jest więc ówna: B( ) π 4π.. Policzmy cykulację dla dowolnej kzywej pzestzennej. Rozkładamy element kzywej dγ. na składowe db, dz i d. Do cykulacji pzyczynek będzie pochodził tylko od elementu db, gdyż dz i d są d postopadłe do B. Położenie pętli nie odgywa więc żadnej oli. B dγ Γ dz db dγ Reinhad Kulessa 16 Γ
Pętla Γ może obejmować wiele pzepływających pądów. Zawsze wtedy jest słuszny wzó: 1 3 ν B d Γ N Γ ν 1 wewn ν (14.11) Γ Wzó (14.11) pzedstawia pawo Ampea. Z pawa Ampea wynika, że pądy poza pętlą nie dają żadnego pzyczynku do liczonej cykulacji. Należy ównież pzyjąć negatywną watość dla pądu N, pamiętając o stosowaniu eguły pawej śuby. N Reinhad Kulessa 17
Poniżej pzedstawione są dwa pzykłady dla innych konfiguacji pzewodników. 1 Γ Γ n B dγ ( ( + ) B dγ n 1 Γ Γ Reinhad Kulessa 18
14.. Pawo Ampea w postaci óżniczkowej Zdefiniujmy sobie dowolne pole wektoów gęstości pądu j(). Rozważmy pewną powiezchnię A oganiczoną pętlą Γ. Należy pzy tym zaznaczyć, że dla pętli Γ istnieje dowolnie wiele powiezchni A. Obliczając natężenie pądu pzepływającego pzez tą powiezchnię, Γ A mamy: j() Γ B dγ j da A dγ da Stosując znane nam pawo Stokes a, możemy całkę kzywoliniową zamienić na całkę powiezchniową. Reinhad Kulessa 19
B dγ otb da j da Γ A A Równanie to jest słuszne dla każdej powiezchni epezentowanej pzez wekto da, pzez któą pzepływa wekto gęstości pądu j. Jest więc ównież słuszna dla samej powiezchni da. Możemy więc napisać: ot B j (14.1) Sfomułowaliśmy pawo Ampea w postaci óżniczkowej dla wektoa indukcji magnetycznej B. W ównaniu (14.1) wekto gęstości pądu j może być wywołany pzez każdy odzaj pouszającego się ładunku, gdyż każdy odzaj pądu powoduje powstanie pola magnetycznego. Reinhad Kulessa
j j + j + j. pzew molek pol Pzy czym j pzew σ E, j molek pochodzi od uchu elektonów w atomach, a j pol ma swoje źódło w pzesunięciu ładunku w dielektykach na wskutek włączenia pola E. Widzimy tu wyaźnie, że zachodzi koelacja pomiędzy wektoami E i B. Równanie (14.1) mówi ównież, że pole B nie może być pochodną skalanego potencjału U, gdyż ot(gadu). Nie jest więc ono polem zachowawczym. Reinhad Kulessa 1
14..3 Potencjał wektoowy Wpowadźmy zdefiniowany w ównaniu (14.1) potencjał wektoowy do pawa Ampea. otb ot( ota) j o Pamiętamy, że ot( ot A) gad div A div gad A( A ) Wekto A jest wektoem solenoidalnym, wobec tego div A. Z dwóch ostatnich ównań otzymujemy więc: A j (14.13) Reinhad Kulessa
Każda składowa tego ównania jest odpowiednikiem ównania Poissona dla potencjału skalanego, któe miało ozwiązanie (5.1). V 1 ρ ( ξ ) dτ ( ) 4πε ξ τ Analogicznego ozwiązania powinniśmy poszukać dla potencjału wektoowego. Dla potencjału wektoowego otzymamy; 4π τ j dτ ξ A (14.14) Potencjał wektoowy A możemy wykozystywać zamiast indukcji magnetycznej B, gdyż A ma kieunek pądu. Równanie to możemy też podać dla pądów powiezchniowych, liniowych i pojedynczych ładunków. Reinhad Kulessa 3
14.3 Pola magnetyczne wybanych konfiguacji pzewodników W zależności od geometii pzewodnika do wyznaczania wektoa indukcji stosujemy pawo Ampea lub Biota- Savata. Rozważmy kilka takich konfiguacji. A). Długa cewka o małej śednicy (d<l). Γ d n zwoi Całka po kontuze Γ Bl N. Więc B N l Reinhad Kulessa 4
B). Cewka tooidalna d Γ Γ B d Γ N Γ B π N Γ B N π Γ ' Na zewnątz zwoi tooidu B, bo Bd ' '' Γ Bd Γ Γ '' Reinhad Kulessa 5
C). Pole pętli kołowej ds a dϕ a dϕ z θ db z db Zauważmy, że zielony tójkąt jest postopadły do pętli kołowej a +z Zgodnie z pawem Biota-Savata db ds. oaz db. Element pądu (ds, ) wytwaza pole db. db ds a dϕ 4π 4π z + a Reinhad Kulessa 6
Reinhad Kulessa 7,cos cos a z a a db db z + θ θ Po podstawieniu tych watości i całkowaniu po całej pętli mamy: π π ϕ π π ) ( 4 ) ( 4 3 / 3 / + + a z a a z d a B z Możemy teaz ozważyć pzypadki ganiczne. a a B z z 4 π π 3 4 z a B a z z π π >>
Widzimy więc, że w tym pzypadku B z ~1/z 3. Otzymaliśmy więc taka samą zależność jak w pzypadku elektycznego momentu dipolowego. Wyażenie na B z dla z >> a możemy ównież napisać następująco: 1 Bz p 3 M, 4π z gdzie p M S (14.15) p M definiuje nam dipolowy moment magnetyczny pętli z pądem. S jest wektoem okeślającym powiezchnię pętli z pądem. S Reinhad Kulessa 8
14.3.1 Momenty magnetyczne atomów i jąde Rozważmy atom wodou, w któym wokół dodatnio naładowanego potonu kąży elekton o masie m e. L v + p M z Pąd któy płynie jest ówny: ev, π a moment magnetyczny elektonu wynosi: p ev 1 π M π ev Reinhad Kulessa 9
Kążący po obicie elekton posiada moment pędu ówny: L m v e Możemy więc magnetyczny moment dipolowy napisać jako: p M gl (14.16) g -e/m e nosi nazwę czynnika giomagnetycznego i wynosi g -.87943 1 11 C kg -1. Jeśli policzymy w opaciu o wzó (14.16) moment magnetyczny wodou w stanie podstawowym zdefiniujemy magneton Boha B (9.7478 ±.36) 1-4 A m. Jąda atomowe, któe składają się z neutonów i potonów, ównież posiadają momenty magnetyczne, któych jednostką jest magneton jądowy. J (5.584 ±.) 1-7 A m. Reinhad Kulessa 3
14.4 Siły wynikające z pawa Loentza i Biota-Savata A). Ładunek w jednoodnym polu indukcji magnetycznej cykloton. Zakładamy, że B v, oaz że ładunek pousza się w póżni. B Nie ma więc zdezeń wpływających na uch ładunku. F L F o v Siła Loentza F L qvb. Siła ta jest postopadła do pędkości, więc nie wykonuje pacy. Oznacza To, że d F L v (1/ mv ) v dt Jedyny to po któym może się pouszać ładunek pzy stałej sile postopadłej do pędkości jest okąg. const Reinhad Kulessa 31
Pomień tego okęgu znajdziemy z waunku ównowagi sił, siły Loentza z siłą odśodkową. qvb mv mv (14.17) qb Pomień ten dla stałego B i ładunku q zależy tylko od pędu cząstki. Wyażenie B nazywamy sztywnością magnetyczną. Częstość obiegu obity zwana częstością cyklotonową jest ówna: qb ω (14.18) v Częstość obiegu nie zależy od tak długo, jak długo pomień nie zmienia się elatywistyczna masa. m Reinhad Kulessa 3
B). Efekt Halla Załóżmy, że mamy cienką (małe b) płytkę pzewodzącą w polu indukcji magnetycznej, tak jak na poniższym ysunku. b - - - - - - - - - - - - - z V H a v D F L e - + + + + + + + + + + B Elektony pzewodnictwa, któe pouszają się ze śednią pędkością dyfu v D, są odchylane w kieunku z. Reinhad Kulessa 33
Waz z upływającym czasem wzasta óżnica potencjałów pomiędzy góną a dolną częścią pzewodnika. Pojawia się więc siła wynikająca z tej óżnicy potencjałów. Jest ona skieowana pzeciwnie do siły Loentza. Wyównanie się tych dwóch sił powadzi do stanu ównowagi. ev D B F L F E V e a Z teoii pzewodnictwa elekonowego pamiętamy, że v D j ne ne a b Otzymujemy więc na óżnicę potencjałów geneowaną w efekcie Halla V H B 1 (14.19) ne b H Reinhad Kulessa 34
C). Siła działająca pomiędzy ównoległymi pzewodnikami F F W miejscu, gdzie znajduje się pzewodnik watość indukcji magnetycznej jest ówna B( ) 4π 1 1 F F df dl B( ) Reinhad Kulessa 35
Poniżej mamy pzedstawiony widok linii indukcji wokół pzewodników. 1 x F F Rysunki:D. Kaspzak@auckland.ac.nz Silne pole B 1 F F Słabe pole B Reinhad Kulessa 36
Siła działająca na element długości pzewodnika wynosi zgodnie z pawem Faaday a: df 1 dl B dl. 4π Siła działająca na jednostkę długości pzewodnika wynosi; F 4π ' df 1 (14.19) dl Na podstawie ównania (14.19) stwiedzamy, że gdy w obydwu pzewodnikach odległych od siebie o 1 m płynie pąd o natężeniu 1A, działa pomiędzy nimi siła 1-7 N/m Reinhad Kulessa 37
D). Moment obotowy pętli z pądem F + a 1/b M D. b sinϕ B + Umieszczamy amkę z pądem o natężeniu w polu indukcji magnetycznej skieowanej F - postopadle do pokazanej oś osi amki. Na odcinki ównoległe do osi amki działa siła Loentza. Dwie działające siły twozą paę sił z momentem obotowym M D. Reinhad Kulessa 38 A ϕ B
Siła działa na odcinki amki ównoległe do osi obotu i jest ona ówna: F a B ±. Moment obotowy M D staa się ustawić powiezchnię amki A ównolegle do wektoa indukcji magnetycznej B. M F b ab ϕ B ( ± ) D sinϕ sin loczyn ab sin ϕ B można pzedstawić jako A B. Ponieważ M D A i B możemy napisać: M D A B p B (14.) Równanie to jest słuszne dla każdej pętli, gdyż zawsze możemy ją ozłożyć na odcinki postopadłe i ównoległe do osi obotu. M Reinhad Kulessa 39
Ostatni pzykład ma badzo szeokie zastosowania m.in. w pzyządach pomiaowych z uchomą szpulą, silnikach pądu stałego, oaz pzy magnetyzowaniu mateii. Oddziaływanie pomiędzy pouszającymi się ładunkami a wektoem indukcji magnetycznej ma ównież zastosowanie w tzw. Kole Balow a oaz w pompach elektomagnetycznych. Reinhad Kulessa 4