Matematyka dyskretna Lista zada«

Matematyka dyskretna Lista zada«informatyka, WPPT PWr semestr letni 208/209 Rozgrzewka Niech k, n N oraz x, y R Przez [n] oznaczamy zbiór {, 2, 3,, n} Przez P (A zbiór pot gowy zbioru A silnia dolna: x k = x(x (x k +, x 0 = silnia górna: x k = x(x + (x + k, x 0 = symbol Newtona: ( x k = x k k! dwumian Newtona: (x + y n = n k=0 k x k y n k Zad Na ile sposobów mo»na ustawi 8 osób w szeregu? A na ile w kóªku? Zad 2 Na ile sposobów mo»na na szachownicy ustawi 8 wie» tak, aby»adne dwie si nie biªy, je±li wie»e s nierozró»nialne? A na ile, je±li s rozró»nialne? Zad 3 Przyjmijy,»e kod PIN mo»e by dowolnym ukªadem czterech cyfr Ile jest PIN-ów, w których jaka± cyfra si powtarza? Zad 4 Rozwa»my wszystkie ci gi dªugo±ci n o wyrazach P, I, K, A, C, H, U Ile jest wszystkich takich ci gów? Ile takich, w których»adna litera nie wyst puje 2 razy pod rz d? Ile takich,»e w±ród ka»dych kolejnych 7 wyrazów wyst puje wszystkie siedem liter? Zad 5 Znajd¹ liczb dzielników liczby 6000 Zad 6 Na pªaszczy¹nie jest 2 punktów Ile trójk tów wyznaczaj te punkty, je±li»adne trzy nie s wspóªliniowe? A ile, je±li 5 punktów le»y na jedenj prostej, a poza tym»adne trzy nie s wspóªliniowe? Zad 7 Na ile sposobów mo»na przej± po kracie 5 8 poruszaj c si tylko w gór lub w prawo? Zad 8 Ile razy wykonywana jest operacja OP wewn trz p tli for i= to n do for j=i to n do OP(i,j? Zad 9 Oblicz n n, n, ( k, ( k Zad 0 Ile jest funkcji cz ±ciowych ze zbioru n elementowego w zbiór m elementowy? (Funkcja cz ±ciowa z X w Y to funkcja f : X Y, gdzie X X Zad Wyznacz moc zbiorów {(A, B P ([n] 2 : A B} oraz {(A, B, C P ([n] 3 : A B C} Zad 2 Wyznacz moc zbioru {k [000] : 2 k 5 k 7 k} Zad 3 Niech X i = [n] {i} dla i [n] Wyznacz moc zbioru S n = {A P ([n] [n] : ( i [n](a X i } Oblicz lim n S n /2 n2

2 Wspóªczynniki dwumianowe, to»samo±ci kombinatoryczne Zad 4 Zapisz za pomoc jednego symbolu Newtona n k=0 k 2 Zad 5 Oblicz ( 0 0 + ( 0 + ( 0 2 + + ( 0 50 oraz ( 0 + ( 0 3 + ( 0 5 + + ( 0 Zad 6 Uogólnij rozwi zanie zadania 7 z poprzedniej listy na krat k m Wykorzystaj to zadanie do udowodnienia to»samo±ci Pascala ( ( ( n n n = + k k k 0 Zad 7 Ile jest podzbiorów mocy parzystej zbioru n-elementowego? Zad 8 Policz na dwa sposoby, ile jest mo»liwo±ci wyboru trzech rozdziaªów z ksi»ki maj cej ich n +, aby udowodni to»samo± n ( ( k n + = 2 3 k=2 Wyprowad¹ z niej wzór na sum kwadratów Uogólnij to»samo± tak, by otrzyma wzór na + m+ Zad 9 Przedstaw dowód kombinatoryczny oraz algebraiczny to»samo±ci k ( k( j = n j j k j Zad 20 Znajd¹ zwart posta sum n k=0 k k+ oraz n ( k k=0 k k+ Zad 2 Znajd¹ zwart posta sumy n k= k k 2 Skorzystaj z to»samo±ci n k= k k = n 2 n Zad 22 Wyznacz n k=0 ( k k 2 Wskazówka: skorzystaj z tego,»e ( x 2 n = ( x n ( + x n Zad 23 Poka»,»e iloczyn k kolejnych liczb naturalnych dzieli si przez k! Zad 24 Zaªó»my,»e p jest liczb pierwsz oraz 0 < k < p Poka»,»e p ( p k 2 Poka»,»e je±li p jest liczb pierwsz oraz a, b N, to (a + b p (a p + b p ( mod p 3 Wyprowad¹ z poprzedniego podpunktu Maªe Twierdzenie Fermata 2

3 Zliczanie, wzór wª cze«i wyª cze«wzór wª cze«i wyª cze«dla zbiorów sko«czonych A, A 2,, A n prawd jest,»e A A 2 A n = n A i i= i<j n A i A j + i<j<k n A i A j A k +( n+ A A 2 A n Zad 25 Ile jest rozmieszcze«uporz dkowanych k ró»nych elementów w n ró»nych pudeªkach (pudeªko mo»e by puste, kolejno± elementów w pudeªku ma znaczenie? Zad 26 Ile rozwi za«w zbiorze liczb caªkowitych nieujemnych ma równanie a + a 2 + + a n = k? A ile w zbiorze liczb caªkowitych dodatnich? Zad 27 Znajd¹ liczb czwórek (a, a 2, a 3, a 4 liczb caªkowitych nieujemnych, które speªniaj warunek a a 2 a 3 a 4 n Zad 28 Ile jest funkcji rosn cych f : {, 2,, n} {, 2,, k}? Zad 29 Policz, ile jest liczb pierwszych mniejszych od 00 Zad 30 Ile jest liczb 3-cyfrowych takich,»e ka»da cyfra wyst puje w nich cho raz? Zad 3 Niech n Funkcja Eulera ϕ(n liczy, ile jest liczb naturalnych w przedziale [, n] wzgl dnie pierwszych z n Poka»,»e je±li n jest iloczynem trzech ró»nych liczb pierwszych n = pqr, to ϕ(n = n( p ( q ( r Zad 32 Znajd¹ liczb ci gów dªugo±ci 2n takich,»e ka»da liczba i {, 2,, n} wyst puje dokªadnie dwa razy, przy czym»adne dwa kolejne wyrazy nie s równe Zad 33 Poka»,»e (n + m k = Wskazówka: Podziel obie strony równo±ci przez k! k s=0 ( k n s m k s s Zad 34 Poka»,»e x k = ( k ( x k, a nast pnie udowodnij (n + m k = k s=0 ( k n s m k s s 3

4 Zasada szuadkowa Dirichleta, wzór Stirlinga Wzór Stirlinga: n! 2πn e n Zad 35 Niech A b dzie ustalonym dziesi cioelementowym podzbiorem zbioru {, 2,, 50} Udowodnij,»e w zbiorze A istniej dwa ró»ne pi cioelementowe podzbiory takie,»e sumy wszystkich elementów ka»dego z nich s równe Zad 36 Niech a, a 2,, a n b d, niekoniecznie ró»nymi, liczbami caªkowitymi Poka»,»e suma pewnych spo±ród nich jest wielokrotno±ci liczby n Zad 37 Udowodnij,»e na Facebooku musz istnie dwie osoby, które maj tak sam liczb znajomych (zakªadamy,»e relacja znajomo±ci jest symetryczna, oraz»e na facebooku jest zarejestrowana wi cej ni» jedna osoba Zad 38 Udowodnij,»e dla dowolnych liczb naturalnych k n mamy ( k n e k k k k Zad 39 Zastosuj wzór Stirlinga do wyznaczenia przybli»e«liczb ( ( 2n n oraz n n/2 Zad 40 Poka»,»e k= 2k 2k 2k 2k+ = lim n 24n (n! 4 ((2n! 2 (2n+ Zad 4 Funkcj specjaln gamma deniuje si nast puj co Γ(z = 0 t z e t dt Z czym kojarzysz to wyra»enie? Rozszerza ona poj cie silni na liczby rzeczywiste, a nawet zespolone Je»eli cz ± rzeczywista liczby z jest dodatnia, to caªka ta jest zbie»na bezwzgl dnie Oblicz Γ( 2 Caªkuj c przez cz ±ci poka»,»e Γ(z + = zγ(z 3 Niech n N Wyra¹ n! za pomoc funkcji gamma 4

5 Liczby Stirlinga II rodzaju, liczby Bella Liczby Stirlinga II rodzaju (liczba podziaªów zbioru mocy n na k niepustych podzbiorów Dla k, n > 0 { } { } { } { } { } n n n n 0 = + k, = 0, = k k k 0 0 Liczby Bella (liczba partycji zbioru mocy n: B n = n { n k=0 k} Dla n 0 n ( n B n+ = B k, B 0 = k k=0 Zad 42 Niech n 3 Udowodnij,»e funkcji na f : A B, gdzie A = n, B = 3, jest 3 n 3 2 n +3 Podaj wzór na { n 3} Zad 43 Niech X = n, Y = k Przypomnij z wykªadu wzór na liczb surjekcji (funkcji na f : X na Y Wyra¹ liczb surjekcji wykorzystuj c liczb Stirlinga drugiego rodzaju Podaj wzór na { n k} Zad 44 Uzasadnij,»e { } n + = m + n ( { } n k k m Wykorzystaj t to»samo± do uzasadnienia zale»no±ci rekurencyjnej dla liczb Bella Zad 45 Rozwi» jeszcze raz zadanie 30 Tym razem u»yj liczb Stirlinga II rodzaju k=m Zad 46 Uzasadnij,»e { } n = k r i r +r 2++r k =n ( n r, r 2,, r k /k! 5

6 Permutacje Rz d permutacji σ S n to najmniejsza dodatnia liczba k taka,»e σ k = id Wektor inwersji premutacji σ S n to v = [v, v 2,, v n ], gdzie v i = {k [n] : k < i σ(k > σ(i} dla i [n] Zad 47 Niech σ = ( 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 9 5 4 8 7 6 Wyznacz rozkªad σ na cykle Znajd¹ znak σ, przedstaw j jako zªo»enie transpozycji, przedstaw j jako zªo»enie transpozycji elementów s siednich i wyznacz jej wektor inwersji Zad 48 Niech σ S n Jak zmieni si σ po zªo»eniu z transpozycj τ = (i j z prawej strony (i j? A jak po zªo»eniu z τ z lewej strony? Poka»,»e zªo»enie z transpozycj zmienia znak permutacji, tzn sgn(σ τ = sgn(τ σ = sgn(σ Zad 49 Ile spo±ród permutacji z S n ma t wªasno±,»e jedynka nale»y do cyklu o dªugo±ci k? Zad 50 Permutacja σ S n ma rozkªad na k rozª cznych cykli mocy c,, c k Wyznacz znak i rz d σ Zad 5 Inwolucj nazywamy permutacj σ S n tak,»e σ 2 = id Wyka»,»e ka»da permutacja jest zªo»eniem dwóch inwolucji Zad 52 Znajd¹ liczb inwolucji z S n nie maj cych punktów staªych Zad 53 Ustalmy liczb n > Poka»,»e funkcja sgn : S n {, } jest epimorzmem (homomorzmem na grup (S n, oraz ({, }, 2 Wyznacz j dro odwzorowania sgn 3 Wyznacz moc j dra odwzorowania sgn Zad 54 Czy absolutnie roztargniona sekretarka ma wi ksz szans na wªo»enie cho by jednego listu do wªa±ciwej koperty, gdy ma ona do wysªania 5 listów, czy wówczas, gdy ma do wysªania 6 listów? Zad 55 Na ile sposobów mo»na ustawi na szachownicy 8 jednakowych wie» tak, aby»adne dwie si nie biªy, a ponadto»adna z nich nie znajdowaªa si na przek tnej A B2 H8? 6

7 Liczby Stirlinga I rodzaju, liczby harmoniczne Liczby Stirlinga I rodzaju, nieznakowane (liczba podziaªów zbioru mocy n na k rozª cznych cykli Dla k, n > [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] n n n = + (n, = 0, = k k k 0 n-ta liczba harmoniczna to H n = n k= k Funkcja dzeta Riemanna: ζ(r = k= k r Zad 56 Poka»,»e dla n 3 liczby Bella speªniaj B n < n! (Dla n {0,, 2} mamy B n = n! Zad 57 Rozwa»my przestrze«liniow wielomianów stopnia co najwy»ej n nad liczbami rzeczywistymi Wiemy,»e E = {x i : i = 0,, n} oraz F = {x i : i = 0,, n} s bazami tej przestrzeni Na wykªadzie pokazali±my,»e znakowane liczby Stirlinga I rodzaju s(n, k = ( n+k[ n k] s wspóªczynnikami przej±cia z bazy E do bazy F Rozwa»my jeszcze jedn baz G = {x i : i = 0,, n} Poka»,»e nieznakowane liczby Stirlinga I rodzaju [ n k] s wspóªczynnikami przej±cia z bazy E do bazy G Zad 58 Doko«cz z wykªadu dowód tego,»e ±rednia liczba cykli w rozkªadzie na cykle rozª czne permutacji wybranej z S n jednostajnie wynosi H n Zad 59 Poka»,»e [ ] n+ 2 = n!hn Zad 60 Jakie jest prawdopodobie«stwo wylosowania z grupy S n permutacji skª daj cej si z jednego cyklu? A z dwóch? (Losujemy zgodnie z rozkªadem jednostajnym Zad 6 Poka»,»e n k= H k = nh n n Zad 62 Oblicz granice lim n 3n k=2n k oraz lim n n k=0 2k+ Zad 63 Poka»,»e ζ(2 < 2 Przypomnij i zapami taj, ile wynosi ζ(2 Zad 64 Wyznacz sum r=2 (ζ(r 7

8 Funkcje tworz ce Funkcj tworz c ci gu {a n } nazywamy A(x = n=0 a nx n Zad 65 Znajd¹ funkcje tworz ce ci gów: a n = /3, b n = (/3 n, c n = 5 n /n!, d n = + 2 + + n, e n = ( n+ Zad 66 Jakim ci gom odpowiadaj funkcje tworz ce: 3x, x 2 +3x, +x 2, xe 2x, 5 6x+x 2, ( x k, x k ( x k, ( + x k + ( x k, (+x 2 ( x 4? Zad 67 Podaj funkcj tworz c liczb Stirlinga I rodzaju, tzn ci gu a n = [ m n] dla ustalonego m Zad 68 Niech A(x oraz B(x b d funkcjami tworz cymi ci gów {a n } n 0 oraz {b n } n 0, odpowiednio Uzasadnij,»e A(x + B(x jest funkcj tworz c ci gu {a n + b n } n 0, 2 ca(x, gdzie c R, jest funckj tworz c ci gu {ca n } n 0, 3 A (x jest funkcj tworz c ci gu {(n + a n+ } n 0 Zad 69 Dany jest ci g a 0 = 2, a n+ = 2a n + Znajd¹ wzór na wyraz ogólny ci gu a n metod funkcji tworz cych Zad 70 Niech c n oznacza liczb ci gów dªugo±ci n utworzonych z liczb ze zbioru {0,, 2} tak, aby ani dwie jedynki ani dwie dwójki nie wyst powaªy w nich bezpo±rednio po sobie Np c 3 = 7: 000, 00, 002, 00, 02, 020, 02, 00, 0, 02, 20, 2, 200, 20, 202, 20, 22 Znajd¹ wzór rekurencyjny na c n, a nast pnie wyznacz wzór nierekurencyjny na c n Zad 7 Niech d n oznacza liczb sposobów otrzymania liczby n jako sumy oczek przy rzutach ko±ci, np d 4 = 8 : (,,,, (,, 2, (, 2,, (2,,, (2, 2, (, 3, (3,, (4 (kolejno± otrzymania poszczególnych skªadowych ma znaczenie Poka»,»e d n jest wspóªczynnikiem przy x n w nast puj cym wielomianie: ( x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Zad 72 Niech p n oznacza liczb ró»nych podziaªów liczby naturalnej n, np 5 mo»na zapisa na 7 sposobów: 5, 4+, 3+2, 3++, 2+2+, 2+++, ++++ (kolejno± nie ma znaczenia Niech d n oznacza liczb tych podziaªów, w których liczby si nie powtarzaj, r n liczb podziaªów, które zawieraj tylko liczby nieparzyste, czyli np p 5 = 7, d 5 = 3 (5, 4 +, 3 + 2, r 5 = 3 (5, 3 + +, + + + + Znajd¹ funkcje tworz ce dla p n, d n, r n i wywnioskuj,»e d n = r n dla ka»dego n Zad 73 Poka»,»e liczby Catalana speªniaj C n = n k=2 n+k k, C n = ( ( 2n n 2n n+ oraz Cn+ = 2(2n+ n+2 C n Przypomnij ich dwie dowolne interpretacje kombinatoryczne Zbadaj asymptotyk C n 8

9 Rekurencja liniowa Klasy kombinatoryczne Zad 74 Liczbami Lucasa nazywamy elementy ci gu {L n } speªniaj cego równanie L n+2 = L n+ + L n, gdzie L 0 = 2 oraz L = Znajd¹ wzór ogólny na L n Zad 75 Wyznacz metod równania charakterystycznego rozwi zanie ogólne oraz szczególne poni»- szych jednorodnych rekurencji liniowych: a 0 = 0, a =, a n+2 = 4a n+ 4a n, a 0 =, a = 4, a n+2 = 2a n+ 2a n, a 0 = 0, a =, a 2 = 2, a n+3 = 4a n+2 5a n+ + 2a n Zad 76 Na ile sposobów mo»na pokry szachownic o wymiarach 2 n kostkami o wymiarach 2? A na ile, je±li mamy do dyspozycji tak»e kostki 2 2? Zad 77 Rozwi» równanie niejednorodne a n+2 = a n+ + a n +, gdzie a 0 = 0 oraz a = Wskazówka: a wyznacz najpierw ogólne rozwi zanie równania ã n+2 = ã n+ + ã n ; b spróbuj znale¹ ci g staªy, który jest rozwi zaniem równania a n+2 = a n+ + a n + ; c zbuduj rozwi zanie równania korzystaj c z a i b Zad 78 Niech A = ({a, b}, A, gdzie a A = 2 i b A = 3 oraz B = ({c}, B, gdzie c B = 3 Jak wygl daj klasy kombinatoryczne A + B oraz A B? Wyznacz A(x, B(x, (A + B(x oraz (A B(x 2 Wyznacz SEQ(A(x, MSET (A(x oraz P SET (A(x 3 Podaj interpretacje kombinatoryczne liczb [x n ]A(x, [x n ]SEQ(A(x oraz [x n ]MSET (A(x 4 Wyznacz (w dowolny sposób [x 00 ]MSET (A(x 5 Niech SEQ(A(x = n 0 b nx n Znajd¹ wzór rekurencyjny na ci g b n Zad 79 Niech A b dzie klas kombinatoryczn liczb parzystych, za± B klas kombinatoryczn liczb nieparzystych Wyznacz A(x, B(x oraz (A + B(x Przypomnij, jak wygl da N (x Zad 80 Niech A = ({a, a 2,, a k },, gdzie a = a 2 = = a k = Wyznacz MSET (A(x Znajd¹ wzór na [x n ]MSET (A(x Zad 8 Na ile sposobów mo»na wyrazi liczb 99 za pomoc liczb, 5, 0, 25 (kolejno± nie ma znaczenia? Zad 82 Korzystaj c ze wzoru CY CLE(A(x = ϕ(n n n ln A(x n oblicz, ile ró»nych cykli dªugo±ci mo»na utworzy z dwóch ró»nych elementów? A ile z trzech ró»nych elementów? Zad 83 Zastosuj wzór na CY CLE(A(x z powy»szego zadania do klasy kombinatorycznej zªo»onej z jednego elementu o wadze Wyja±nij, co si staªo Zad 84 Znajd¹ wzór na funkcj tworz c klasy kombinatorycznej drzew takich,»e ka»dy w zeª ma 0, lub 2 dzieci (tzw drzewa Motzkina, przy czym kolejno± poddrzew ma znaczenie Przez wag drzewa rozumiemy liczb jego wszystkich w zªów (zarówno w zªów wewn trznych, jak i li±ci 9