Matematyka dyskretna dla informatyków
|
|
- Damian Sobolewski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007
2 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności kombinatorycznych można wyrazić prosto w postaci równań rekurencyjnych. Typowym przypadkiem jest, gdy rozwiązanie danego problemu możemy sprowadzić do rozwiązań mniejszych problemów tego samego typu Proste zależności rekurencyjne Przykład 4.1. Wyznaczyć przy pomocy zależności rekurencyjnej liczbę wszystkich permutacji zbioru {1, 2,..., n}. Przykład 4.2. Na ile spójnych obszarów dzieli płaszczyznę n prostych, z których żadne dwie nie są równoległe i żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie? 4.2. Jednorodne zależności rekurencyjne Zajmiemy się teraz rozwiązywaniem tak zwanych jednorodnych (liniowych) równań rekurencyjnych. Są one postaci a n = c 1 a n 1 + c 2 a n c r a n r, (4.1) gdzie c i, i = 1, 2,..., r, są zadanymi stałymi (niezależnymi od n) i c r 0. Powyższa zależność ma głębokość r więc, jak za chwilę pokażemy, aby ją rozwiązać musimy mieć zadanych r warunków początkowych. Zauważmy, że to równanie ma zawsze rozwiązanie trywialne a n = 0, dla każdego n N. Ciąg a n spełniający (4.1), taki że a k 0 dla pewnego k N, nazywamy rozwiązaniem nietrywialnym. Przykład 4.3. Udowodnić, że jeżeli ciągi a n i a n spełniają równanie rekurencyjne (4.1), a c jest dowolną stałą, to ciągi a n + a n oraz ca n spełniają także to równanie. Bezpośrednią konsekwencją powyższego przykładu jest fakt, iż kombinacja liniowa dwóch (skończonej liczby) rozwiązań jednorodnego liniowego równania rekurencyjnego jest również rozwiązaniem tego równania. Z każdym jednorodnym równaniem rekurencyjnym (4.1) związane jest równanie algebraiczne x r c 1 x r 1 c 2 x r 2... c r = 0, (4.2) zwane jego równaniem charakterystycznym. Równanie (4.2) możemy otrzymać z (4.1) poprzez zamianę a k na x k, a następnie podzielenie przez najmniejszą potęgę x. Jak zobaczymy w dalszej części, rozwiązanie ogólne zależności (4.1) zależy od pierwiastków równania charakterystycznego (4.2) w zbiorze liczb zespolonych C. Przykład 4.4. Udowodnić, że ciąg a n = α n jest nietrywialnym rozwiązaniem równania rekurencyjnego (4.1) wtedy i tylko wtedy, gdy α jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (4.2).
3 20 4. Zależności rekurencyjne Przykład 4.5. Udowodnić, że jeżeli α jest k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego (4.2), to ciąg a n = n i α n jest nietrywialnym rozwiązaniem równania rekurencyjnego (4.1), dla i = 0, 1,... k 1. W szczególnym przypadku, gdy zależność rekurencyjna (4.1) ma głębokość dwa, to równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym, zatem możemy sformułować następujący fakt. Lemat 4.1. Jeżeli α i β są różnymi (nie koniecznie rzeczywistymi) pierwiastkami równania charakterystycznego x 2 = Ax + B, to równanie rekurencyjne ma rozwiązanie ogólne postaci a n = Aa n 1 + Ba n 2 W przypadku, gdy α = β, to rozwiązanie ogólne ma postać a n = C 1 α n + C 2 β n. (4.3) a n = (C 1 + C 2 n)α n. (4.4) Stałe C 1 oraz C 2 występujące powyżej zależą od warunków początkowych nałożonych na równanie rekurencyjne. Zauważmy, że w powyższym przypadku potrzebne są nam dwa warunki początkowe, które dadzą układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi C 1 i C 2. Przykład 4.6. Będziemy mówili, że rozwiązujący pewien problem student jest na n-tym etapie jeżeli do rozwiązania problemu pozostało mu n (n 1) kroków. Na każdym etapie ma on pięć możliwości. Dwie z nich prowadzą go z n-tego etapu do (n 1)-go etapu, a pozostałe trzy prowadzą go bezpośrednio do (n 2)-go etapu. Niech a n oznacza liczbę sposobów rozwiązania problemu zaczynając od n-tego etapu. Przyjmując, że a 1 = 5 oraz a 2 = 13 wyznaczyć wzór na a n. Przykład 4.7. Rozwiązać równanie rekurencyjne z warunkami początkowymi a 0 = 1, a 1 = 9. a n = 6a n 1 9a n 2, Przykład 4.8. Ile jest różnych sposobów wejścia po schodach zbudowanych z n stopni, jeśli w każdym kroku można pokonać jeden lub dwa stopnie? a n = a n 1 + a n 2, n 2, a 0 = 1 i a 1 = 1. (4.5) Zależność rekurencyjna (4.5) nazywa się równaniem Fibonacciego a ciąg liczb 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... nosi nazwę ciągu Fibonacciego. Przykład Wyznaczyć liczby Lucasa L n określone wzorem L n = F n+1 + F n 1, gdzie F k oznacza liczbę Fibonacciego z dodatkowym założeniem F 0 = 0. Przykład Niech b n oznacza liczbę n-elementowych ciągów o elementach ze zbioru {0, 1, 2} takich, że żadne dwie po sobie następujące jedynki ani żadne dwie po sobie następujące dwójki nie są dozwolone. Wyznaczyć wzór na b n. Lemat 4.1 jest szczególnym przypadkiem następującego twierdzenia.
4 4.3. Niejednorodne liniowe zależności rekurencyjne 21 Twierdzenie 4.2. Jeżeli α 1, α 2,..., α r są różnymi (nie koniecznie rzeczywistymi) pierwiastkami równania charakterystycznego to równanie rekurencyjne x r c 1 x r 1 c 2 x r 2... c r = 0, a n = c 1 a n 1 + c 2 a n c r a n r, ma rozwiązanie postaci Ogólnie, jeżeli a n = C 1 α n 1 + C 2 α n C r α n r. x r c 1 x r 1 c 2 x r 2... c r = (x α 1 ) m 1 (x α 2 ) m2... (x α k ) m k, gdzie m i 1, i = 1, 2,..., k oraz m 1 +m m k = r równania charakterystycznego), to (tzn. α i jest m i -krotnym pierwiastkiem a n = ( C 1 + C 2 n C m1 n m 1 1 ) α n 1 + ( D 1 + D 2 n D m2 n m 2 1 ) α n 2. + ( Z 1 + Z 2 n Z mk n m k 1 ) α n k. Stałe występujące powyżej zależą od warunków początkowych nałożonych na równanie rekurencyjne. Przykład Przypuśćmy, że pewien prymitywny organizm osiąga dojrzałość po dwóch godzinach i ma wtedy pierwszych czterech potomków a następnie już co godzinę ma sześciu kolejnych potomków. Zakładając, że wszystkie urodzone organizmy zachowują się tak samo oraz, że rozpoczynaliśmy z jednym nowourodzonym organizmem, znaleźć zależność rekurencyjną dla a n liczby organizmów po n godzinach. Przykład Rozwiąż równanie rekurencyjne z warunkami początkowymi a n = 2a n a n 2 + 4a n 3 20a n 4, a 0 = 6, a 1 = 3, a 2 = 71, a 3 = Niejednorodne liniowe zależności rekurencyjne Niejednorodnym liniowym równaniem rekurencyjnym nazywamy równanie postaci a n = c 1 a n 1 + c 2 a n c r a n r + f(n). (4.6) Funkcję f(n) występującą w tym równaniu nazywamy wyrazem wolnym. Rozwiązanie ogólne tej zależności jest postaci a n = a (1) n + a (2) n, gdzie a (1) n jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego a (1) n = c 1 a (1) n 1 + c 2a (1) n c ra (1) n r, (4.7) które wyznaczamy zgodnie z zasadami poznanymi w poprzednim paragrafie.
5 22 4. Zależności rekurencyjne Natomiast a (2) n jest dowolnym szczególnym rozwiązaniem równania niejednorodnego (4.6). Niestety, nie ma ogólnej metody znajdowania tego rozwiązania szczególnego. W dalszej części tego paragrafu, będziemy wykorzystywać metodę przewidywania rozwiązania. Polega ona na tym, że w zależności od postaci wyrazu wolnego, możemy odgadnąć postać rozwiązania. Najważniejsze przypadki, to 1 Jeżeli wyraz wolny f(n) jest wielomianem (zmiennej n) stopnia d oraz rozwiązanie ogólne równania jednorodnego a (1) n nie jest wielomianem, to istnieje rozwiązanie szczególne, które jest również wielomianem stopnia d, czyli zakładamy, że a (2) n = C d n d + C d 1 n d C 0. 2 Jeżeli f(n) jest wielomianem (zmiennej n) stopnia d oraz a (1) n jest wielomianem stopnia k, to przewidujemy rozwiązanie szczególne postaci a (2) n = n k+1 (C d n d + C d 1 n d C 0 ). 3 Jeżeli f(n) jest funkcją wykładniczą postaci f(n) = Cβ n i β nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to przewidywane rozwiązanie szczególne jest również funkcją wykładniczą postaci a (2) n = Aβ n. 4 Jeżeli f(n) jest funkcją wykładniczą postaci f(n) = Cβ n i β jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotności k, to przewidywane rozwiązanie szczególne jest również funkcją wykładniczą postaci a (2) n = An k β n. 5 Jeżeli natomiast wyraz wolny f(n) jest sumą pewnych funkcji (zmiennej n), to przewidywane rozwiązanie szczególne jest sumą przewidywanych rozwiązań dla poszczególnych składników. Zwróćmy uwagę, że stałą możemy interpretować jako wielomian stopnia zero lub jako funkcję wykładniczą o podstawie 1. Przykład Rozwiązać równanie rekurencyjne z warunkami początkowymi a 0 = 0 i a 1 = 1. a n = 7a n 1 10a n n Przykład Znaleźć rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego a n = 3a n 1 2a n n. Przykład Znaleźć rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego a n = 2a n 1 + 7n 2. Przykład Korzystając z faktu, że liczba podziałów zbioru {1, 2,..., n} na dwa niepuste zbiory równa jest 2 n 1 1 (patrz Przykład??) pokazać, że a n określające liczbę podziałów zbioru {1, 2,..., n} na trzy niepuste zbiory, spełnia dla n 1 zależność a n = 1 6 3n 1 2 2n Na zakończenie tego paragrafu zwróćmy uwagę, że równania tu prezentowane można również rozwiązać innymi metodami, np. wykorzystując aparat funkcji tworzących (patrz następny rozdział).
6 4.4. Złożone zależności rekurencyjne Złożone zależności rekurencyjne W paragrafie tym przedstawimy przykłady nieliniowych równań rekurencyjnych oraz sposoby ich rozwiązywania. Zwróćmy uwagę, że nie ma ogólnego sposobu rozwiązywania wszystkich zależności rekurencyjnych. Przykład Niech D n będzie liczbą permutacji rzędu n bez punktów stałych (nieporządków). Znaleźć równanie rekurencyjne dla ciągu D n. Przykład Niech B n oznacza liczbą wszystkich podziałów zbioru mocy n na rozłączne i niepuste podzbiory, których kolejność nie jest ważna. Liczby B n są znane w kombinatoryce jako liczby Bella. Wyznaczyć równanie rekurencyjne na B n+1. Jednym, ze sposobów rozwiązywania złożonych zależności rekurencyjnych jest metoda podstawiania nowych zmiennych i sprowadzania równania do znanej postaci. Przykład Rozwiązać zależność rekurencyjną a 2 n = 2a 2 n z warunkiem początkowym a 0 = 2 i założeniem, że a n 0 dla każdego n naturalnego. Przykład Rozwiązać zależność rekurencyjną a 2 n 2a n 1 = 0 z warunkiem początkowym a 0 = 4 i założeniem, że a n > 0 dla każdego n naturalnego. Przykład Rozwiązać zależność rekurencyjną a n = an 1 + a n 2 + a n a 0 (4.8) z warunkiem początkowym a 0 = 4. Przykład Niech { n k } oznacza liczbę podziałów zbioru n-elementowego na k niepustych i rozłącznych podzbiorów. Liczby te są znane jako liczby Stirlinga drugiego rodzaju i są określone dla n, k 0. Znaleźć zależność rekurencyjną i warunki początkowe dla liczb Stirlinga drugiego rodzaju. Oczywiście, bezpośrednio z definicji zachodzi n { n } = B n, (4.9) k k=0 gdzie B n jest liczbą Bella. Istnieją również liczby Stirlinga pierwszego rodzaju. Oznaczamy je [ ] n k i spełniają one równanie rekurencyjne [ ] [ ] [ ] n n 1 n 1 = + (n 1). k k 1 k Przykład Wyznaczyć liczbę suriekcji zdefiniowanych na zbiorze [n] i o wartościach w zbiorze [k]. Przykład Udowodnić, że x n = n k=0 { n k } (x) k. (4.10)
7 24 4. Zależności rekurencyjne Zależności rekurencyjne znajdują między innymi zastosowanie przy rozwiązywaniu z wykorzystaniem komputerów zadań numerycznych, które polegają na obliczaniu wielkości zdefiniowanych za pomocą zależności matematycznych. Jako pierwszy przykład opiszemy pewien sposób obliczania wartości wielomianu dla danego argumentu. Przykład Obliczyć wartość wielomianu dla ustalonej wartości argumentu x = z. w n (x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n (4.11) Przykład Zadanie polega na wyznaczeniu przybliżenia pierwiastka równania f(x) = 0, gdzie f(x) jest zadaną funkcją Zadania Zadanie 4.1. Znaleźć i udowodnić wzór na wyraz ogólny ciągu, dla którego zachodzi następujące równanie rekurencyjne a n = n 2 a n 1 przy założeniu, że a 1 = 1. Zadanie 4.2. Każdego roku pewna populacja królików podwaja się. Jeżeli początkowo było sześć królików, to ile ich będzie po n latach? Zadanie 4.3. Niech b n oznacza liczbę takich n-elementowych ciągów binarnych, że żadne dwa po sobie następujące 0 nie są dozwolone. Znaleźć zależność rekurencyjną dla b n. Zadanie 4.4. Niech h(k, n) będzie liczbą rozsadzeń w określonym porządku k pacjentów w poczekalni, w której jest n krzeseł, tak aby żaden pacjent nie siedział bezpośrednio obok drugiego. Znaleźć zależność rekurencyjną dla h(k, n). Zadanie 4.5. Niech p n będzie liczbą podziałów zbioru {1, 2,..., n} na dwa niepuste zbiory? Znaleźć zależność rekurencyjną dla p n i na jej podstawie wyznaczyć wzór na liczbę takich podziałów. Zadanie 4.6. Niech s n będzie liczbą podzbiorów zbioru {1, 2,..., n}, wliczając zbiór pusty, które nie zawierają sąsiednich liczb? Znaleźć zależność rekurencyjną dla s n i na jej podstawie wyznaczyć wzór na liczbę takich podzbiorów. Zadanie 4.7. Przypuśćmy, że dowolna nowourodzona para królików ma swoją pierwszą parę potomstwa po dwóch miesiącach, a później już co miesiąc rodzi nową parę. Zakładając, że zaczynamy od jednej pary, znaleźć zależność rekurencyjną dla k n - liczby par po n miesiącach. Zadanie 4.8. Rozwiązać równania rekurencyjne: (a) a n = 2a n 1 + 3a n 2, a 0 = a 1 = 1. (b) a n = 2a n 1 a n 2, a 0 = a 1 = 2. (c) a n = a n 1 + 6a n 2, a 0 = 4, a 1 = 4. Zadanie 4.9. Korzystając z faktu, że (x 2) 2 (x + 1)(x 3) = x 4 6x 3 + 9x 2 + 4x 12 podać wzór na wyraz ogólny ciągu, dla którego zachodzi następujące równanie rekurencyjne a n = 6a n 1 9a n 2 4a n a n 4.
8 4.5. Zadania 25 Zadanie Rozwiązać równania rekurencyjne: (a) a n + 6a n 1 + 9a n 2 = 3, a 0 = 0, a 1 = 1. (b) a n = 4a n 1 4a n n, a 0 = a 1 = 2. (c) a n + 5a n 1 + 6a n 2 = 3n 2, a 0 = 1, a 1 = 4. (d) a n = a n 1 + 7n, a 0 = 0. Zadanie Rozwiązać następujące liniowe równania rekurencyjne (a) a n+1 = 2a n 1, gdzie a 0 = 3, (b) a n = 6a n 1 9a n 2, gdzie a 0 = 1 i a 1 = 2, (c) a n = 3a n n, gdzie a 0 = 2, (d) a n = a n 1 + n 3, gdzie a 0 = 0, (e) a n = 3a n 1 4n, gdzie a 0 = 2, (f) a n = 5a n 1 6a n 2, gdzie a 0 = 2, (g) a n = 3a n n, gdzie a 0 = 2 i a 1 = 1. Zadanie Znajdź rozwiązanie ogólne następujących liniowych równań rekurencyjnych (a) a n+2 = 4a n, (b) a n+2 + 4a n a n = 0. Zadanie Dane jest równanie charakterystyczne x 4 5x 3 + 6x 2 + 4x 8 = 0 pewnego liniowego równania rekurencyjnego z warunkami początkowymi a 0 = 1, a 1 = 9, a 2 = 1 i a 3 = 2. Wyznaczyć a n. Zadanie Rozwiązać równanie rekurencyjne a n + 3a n 1 + 2a n 2 = f(n), gdzie f(n) = { 1, dla n = 5, 0, dla n 5, z warunkiem początkowym a 0 = a 1 = 0. Zadanie Niech a n oznacza liczbę rozłącznych części na jakie dzielą n-kąt wypukły jego przekątne. Zakładamy, że żadne 3 przekątne nie przecinają się w jednym punkcie. (a) Pokaż, że oraz a 0 = a 1 = a 2 = 0. (b) Wyznacz a n. a n = a n 1 + (n 1)(n 2)(n 3) 6 Zadanie Rozwiązać równanie rekurencyjne z warunkiem początkowym a 0 = na n + na n 1 a n 1 = 2 n Zadanie Rozwiązać równanie rekurencyjne z warunkiem początkowym a 0 = 2. a n = na n 1 + n! + n 2 dla n 3
9 26 4. Zależności rekurencyjne Zadanie Znaleźć wartość wielomianu dla x = 7 korzystając ze schematu Hornera. w n (x) = 9x 5 + 8x 4 + 7x 3 + 6x 2 + 5x + 4 Zadanie Korzystając z metody Newtona znaleźć z dokładnością do 10 6 pierwiastek równania e x = x Zadanie Udowodnić, że dla liczb Fibonacciego spełnione są tożsamości (a) F 1 + F F n = F n+2 1, (b) F 1 + F F 2n 1 = F 2n, (c) F 2 + F F 2n = F 2n+1 1, (d) F F F 2 n = F n F n+1. Zadanie Udowodnić, że liczby Fibonacciego spełniają tożsamość znaną jako równość Cassiniego. F n+1 F n 1 F 2 n = ( 1) n, (4.12) Zadanie Udowodnić, że dla liczb Lucasa spełnione są równania (a) L 0 + L 1 + L L n = L n+2 1, (b) L 1 + L 3 + L L 2n+1 = L 2n+2 2.
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4A/15 Liczby Fibonacciego Spośród ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie, jednym z najsłynniejszych jest ciąg Fibonacciego (z roku 1202)
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki
Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Przestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)
Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Równania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Matematyka dyskretna dla informatyków ZADANIA
Matematyka dyskretna dla informatyków ZADANIA Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 Spis treści 1 Metody dowodzenia
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/10 rekurencja Wzór (przepis) na liczenie silni: n! to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n oraz 0!=1. Oto wartości silni
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ zna i potrafi stosować przekształcenia wykresów funkcji zna i
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Wykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Zakres rozszerzony Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz wzorów objętych programem nauczania. Umiejętność zastosowania wiedzy teoretycznej
Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3a/15 Indukcja matematyczna Zasada Minimum Dowolny niepusty podzbiór S zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę najmniejszą. Zasada
Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
O rekurencji i nie tylko
O rekurencji i nie tylko dr Krzysztof Bryś Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 10 grudnia 2011 Intuicyjnie: rekurencja sprowadzenie rozwiązania danego problemu do rozwiązania
Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie
IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych,
Definicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki
ZAKRES PODSTAWOWY Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli
Matematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016
PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać
KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 5/14 Rekurencja Weźmy dla przykładu wzór (przepis) na liczenie silni: n! to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n oraz 0!=1.
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Wielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
a =, gdzie A(x 1, y 1 ),
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI 1. Funkcja liniowa (zakres podstawowy) Rok szkolny 2018/2019 - klasa
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych
Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych
ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Geometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji
Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego