Wydział Elektryczy Zespól Automatyki (ZTMAiPC) KOMPUTERY W STEROWANIU Ćwiczeie 3 LP Projektowaie układów regulacji metodą liii pierwiastkowych 1. Cel ćwiczeia Zapozaie się z metodą liii pierwiastkowych (miejsc geometryczych pierwiastków) Wykorzystaie metody liii pierwiastkowych do sytezy układu regulacji z iestabilym obiektem.. Podstawy teoretycze Metoda liii pierwiastkowych została opracowaa przez W. Evasa w 1948 r. Techika ta umożliwia badaie wpływu zmia wartości określoego parametru a dyamikę układu regulacji poprzez obserwowaie zmia rozkładu bieguów trasmitacji układu zamkiętego w fukcji tego parametru. Korzysta się z istieia ścisłej zależości między rozmieszczeiem zer i bieguów trasmitacji układu zamkiętego a charakterem przebiegów przejściowych w układzie. Weźmy pod uwagę układ,którego schemat blokowy przedstawioy jest a rys.1. Do takiej postaci moża sprowadzić każdy układ liiowy jedowymiarowy przez zmiaę położeia węzłów sumacyjych i zaczepowych i wyzaczaie wypadkowych trasmitacji poszczególych części układu. Trasmitacja układu zamkiętego ma postać: (). Y KG G Z (1) X 1 + KG s Elemet proporcjoaly o współczyiku K ależy traktować jako wydzieloą w sposób umowy część współczyika wzmocieia układu otwartego. W skład trasmitacji G wchodzą trasmitacje wszystkich elemetów toru główego układu, tz. obiekt, regulatora oraz ewetualie elemetów wykoawczych, korekcyjych i czujików. Metoda liii pierwiastkowych zastosowaa w odiesieiu do współczyika wzmocieia układu otwartego jest ajbardziej typowym przypadkiem, ale jest to techika ogóla i moża ją stosować do badaia wpływu zmia dowolego iego parametru. Rys.1. Podstawowy schemat blokowy układu regulacji Pierwiastki rówaia charakterystyczego () 0 1 + KG s () Ćwiczeie 3 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych -1-
(czyli bieguy układu zamkiętego ) zależą od wartości K, którą moża dobierać zmieiając p. współczyik wzmocieia regulatora. Określeie zmia położeia pierwiastków rówaia charakterystyczego (), kiedy K zmieia się od zera do ieskończoości, pomaga w wyborze właściwej wartości wzmocieia przy projektowaiu układu regulacji. Wykres tych zmia a płaszczyźie zmieej zespoloej s w fukcji parametru to liie pierwiastkowe (ag. root-locus). Badając wpływ dodatkowych zer i bieguów a kształt liii pierwiastkowych moża też projektować dyamicze człoy korekcyje poprawiające właściwości układu albo aalizować kosekwecje dyamiki ie uwzględioej w modelu. Załóżmy, że trasmitacja układu otwartego jest fukcją wymierą: G m m 1 s + bm 1s + K + b0 1 + a 1s + K + a0 B A s (3) gdzie m. Po rozłożeiu a czyiki wielomiay liczika i miaowika moża zapisać w postaci: B m ( s ), A ( s ) (4) i 1 z i z i są zerami, a p k bieguami układu otwartego. Każdy z czyików moża przedstawić jako wektor łączący pukt z i lub p k z bieżącym puktem s a płaszczyźie zmieej zespoloej (rys.). Moduły tych wektorów są rówe s zi oraz s pk, atomiast fazy odpowiedio ψ i oraz ϕ k. k 1 p k Rys.. Wektory łączące bieguy i zera układu otwartego z puktem określoym przez zmieą s Trasmitacja G zapisaa w formie wykładiczej moduł-faza ma postać: jφ ( s ) G( s) G e, (5) -- Ćwiczeie 7 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych
gdzie: φ m ψ ϕ i i 1 k 1 k, (6a) G m i 1 k 1 s z i s p k, (6b) Jak wyika z rówaia (), a liiach pierwiastkowych leżą pukty, które spełiają waruek fazy 180 + l360 φ, l 0, ± 1, ±,K (7a) oraz waruek modułu G 1. (7b) K Waruek fazy (7a) jest spełioy, jeżeli K przyjmuje wartości dodatie. Z rówaia liii pierwiastkowych () wyika bowiem, że G 1 K, a to ozacza, że G musi być rzeczywiste ujeme. Jeżeli K przyjmuje wartości ujeme, to waruek fazy zmieia się a φ 0 + l360. Liie pierwiastkowe są utworzoe poprzez te pukty płaszczyzy zmieej zespoloej s, które zapewiają rówość prawych stro (6a) i (7a) oraz (6b) i (7b). W przypadku wystąpieia w układzie opóźieia e λs wystarczy uwzględić we wzorze (6a) woszoy przez elemet opóźiający stały kąt fazowy. Na właściwości dyamicze układu zamkiętego o daej strukturze moża oddziaływać dwoma sposobami: a) przez dobór współczyika wzmocieia K, od którego przy daej kofiguracji zer i bieguów układu otwartego i określoym kształcie liii pierwiastkowych zależy położeie bieguów układu zamkiętego a tych liiach; b) przez zmiaę iych parametrów układu otwartego, od których zależą współczyiki wielomiaów A(s) i B(s), a w kosekwecji rozmieszczeie bieguów i zer układu otwartego i kształt liii pierwiastkowych; parametry, które moża zmieiać to astawy regulatora, ewetualie iektóre parametry obiektu. Zera układu otwartego są także zerami układu zamkiętego, co widać po przekształceiu trasmitacji układu zamkiętego (1) do postaci: KB () G Z s. (8) KB s + A s () ().1. Reguły wykreślaia liii pierwiastkowych. Krok 1. Zazacza się bieguy i zera trasmitacji układu otwartego G. Liie pierwiastkowe zaczyają się w bieguach G, co wyika z faktu, że jeśli K 0, to G, a to ozacza, że s dąży do bieguów G. Liie kończą się w zerach trasmitacji G, poieważ G 0 jeśli K. Kiedy liczba zer m trasmitacji jest miejsza od liczby bieguów, to m liii pierwiastkowych oddala się do ieskończoości. Ćwiczeie 3 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych -3-
Wykres liii pierwiastkowych jest symetryczy względem osi rzeczywistej, poieważ wszystkie współczyiki trasmitacji są rzeczywiste, a zatem jeśli występują bieguy zespoloe, to tylko jako parami sprzężoe. Krok. Wykreśla się części liii pierwiastkowych leżące a osi rzeczywistej. Są to te części osi, a prawo od których liczba rzeczywistych zer i bieguów trasmitacji G jest ieparzysta. Zgodie z (6a) wkład do fazy wektora wodzącego puktu s leżącego a osi rzeczywistej jest rówy zeru, jeśli biegu lub zero leży a osi a lewo od tego puktu, a 180 jeśli leży a prawo od iego. Wkłady fazowe pochodzące od par bieguów i zer zespoloych zoszą się. Krok 3. Wykreśla się m asymptot, wzdłuż których liie pierwiastkowe oddalają się do ieskończoości dla dużych K. Liie te są ramioami symetryczej gwiazdy, której środek zajduje się a osi rzeczywistej w pukcie s a pk zi a 1 + bm 1 m m, (9) a kąty achyleia asymptot względem osi rzeczywistej gdzie l przyjmuje wartości 0,1,K, m 1. Krok 4. 180 + l360 φ a1, (10) m Oblicza się kąty, mierzoe względem osi rzeczywistej, pod którymi liie pierwiastkowe wychodzą z bieguów zespoloych oraz kąty, pod którymi dochodzą do zer zespoloych. Opierając się a waruku fazy moża stwierdzić, że liia pierwiastkowa wychodzi z biegua p pod kątem ϕ m i 1 ψ i 1 ( p ) ϕ ( p ) k 1 k 180 + l360, l 0, ± 1, ±, K (11) przy czym sumuje się wkłady fazowe od pozostałych 1 bieguów (sposób umerowaia jest dowoly). graficza ilustracja tej zależości polega a wykreśleiu wektorów łączących bieguy i zera trasmitacji G(s) z puktem położoym a liii pierwiastkowej blisko biegua p tak jak a rys.3. -4- Ćwiczeie 7 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych
Rys. 3. Wyzaczaie kąta wyjścia liii pierwiastkowych z biegua zespoloego p a podstawie waruku fazy φ z 90 0. W aalogiczy sposób oblicza się kąt ψ m dojścia liii pierwiastkowej do zespoloego zera z m (tym razem sumuje się wkłady od pozostałych m 1 zer trasmitacji). Krok 5. Wyzacza się krytyczą wartość współczyika K kr, przy której liie pierwiastkowe przeciają oś urojoą i układ zamkięty staje się iestabily. Obliczeń dokouje się podstawiając s jω i przyrówując do zera miaowik trasmitacji widmowej G Z ( jω ) układu zamkiętego M ( jω ) KB( jω ) + A( jω ) 0. (1) ( ) 0 Z układu rówań ReM j ω oraz Im M ( jω ) 0 wyzacza się Kkr oraz pulsację krytyczą ω kr. Krok 6. Określa się pukty, w których rówaie liii pierwiastkowych ma pierwiastki wielokrote, a podstawie rówaia: () da s db B A() s 0. (13) ds ds W pukcie pierwiastków wielokrotych K ma wartość maksymalą, a zatem zeruje się pochoda dk ds. jeżeli wyzaczoy pukt s 0 leży a osi rzeczywistej, to jest to też pukt, w którym liie pierwiastkowe oddalają się lub dochodzą do osi rzeczywistej. Kąty, pod którymi liie oddalają się lub dochodzą, oblicza się z waruku fazy, podobie jak w kroku 4. Krok 7. Uzupełia się ie elemety wykresu liii pierwiastkowych. Położeie bieguów układu zamkiętego G Z (s) a liiach pierwiastkowych w zależości od współczyika K wyzacza się z waruku modułu (7b). Żeby dowiedzieć się, dla jakiej wartości K biegu układu zamkiętego zajduje się w określoym pukcie s a liii pierwiastkowej, moża skorzystać z zależości (6b), tz. obliczyć iloczyy modułów wektorów łączących bieguy i zera układu otwartego z puktem s i podzielić je przez siebie, co daje w wyiku K. Ćwiczeie 3 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych -5-
Problem. Które z podaych wyżej reguł zmieiają się i w jaki sposób, jeśli K przyjmuje wartości ujeme z przedziału [ ]? 0,.. Wykreślaie liii pierwiastkowych w fukcji iych parametrów i aaliza wrażliwości. Metodę Evasa moża stosować rówież w odiesieiu do dowolego iego parametru β występującego w rówaiu charakterystyczym układu zamkiętego, czyli w miaowiku wzoru (8). Techika polega a pogrupowaiu tych wyrazów rówaia charakterystyczego, które są możoe przez β i zapisaiu ich jako B1(s), oraz tych wyrazów, które ie są możoe przez β i zapisaiu ich jako A1(s). do tak przekształcoego rówaia charakterystyczego βb + A 0 1 1 (14) stosują się wszystkie opisae wcześiej reguły wykreślaia liii pierwiastkowych. Możliwość wyzaczaia liii pierwiastkowych w fukcji wybraego parametru umożliwia aalizę wrażliwości układu zamkiętego a zmiay parametrów, które są zae tylko z pewą toleracją albo mogą ulegać zmiaom w czasie pracy układu. Kluczowe zaczeie ma przy tym możliwość obliczaia liii dla ujemych wartości parametrów. Niech pierwiastki przesuwają się wzdłuż liii, aż parametr β osiągie wartość β 0. Jeśli podstawimy β β 0 + β ' (gdzie β ' ozacza możliwe odchyleie od β 0 ), to owe liie pierwiastkowe obliczae względem β ' są kotyuacją starych z tymi samymi zerami, ale z pierwiastkami rówaia () () 0 β B s + A s, gdzie A B + A ' 1 1 β 0 1 jako owym zbiorem bieguów, w których liie biorą początek. Ujeme wartości posuwaie się do tyłu wzdłuż pierwotych liii pierwiastkowych. β ' ozaczają.3. Związek charakterystyk czasowych z rozmieszczeiem zer i bieguów. Rozmieszczeie zer i bieguów trasmitacji G(s) układu określa charakter przebiegu a wyjściu przy zadaym wymuszeiu a wejściu układu. Położeie bieguów decyduje o składowej przejściowej przebiegu (rys.4). Jeżeli biegu rzeczywisty zajduje się w pukcie, to w odpowiedzi skokowej występuje składik Cexp( t). Parze bieguów zespoloych sprzężoych σ ± odpowiada σ k składik exp( σ t)( Asiω t + B cosω t) (A,B,C są stałymi zależymi od waruków i i i początkowych). Części rzeczywiste wszystkich bieguów trasmitacji układów stabilych są ujeme i składowe przejściowe zaikają przy t. Określoy składik zaika tym szybciej, im dalej a lewo od osi urojoej zajduje się biegu (para bieguów). Decydujący wpływ a przebiegi przejściowe mają bieguy położoe blisko osi urojoej i dlatego azywa się je domiującymi. Przy aalizie i projektowaiu układów regulacji korzysta się z reguły z modeli uproszczoych (tz zliearyzowaych i iskiego rzędu) pomijając część zjawisk uzaych za miej istote. Jeżeli odpowiedź skokowa układu ma charakter oscylacyjy, to często moża z wystarczającą dokładością aproksymować taki układ trasmitacją drugiego rzędu σ k i jω i -6- Ćwiczeie 7 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych
ω G( s). (15) s + ζω s + ω Położeie zespoloych bieguów tej trasmitacji odpowiada położeiu domiujących bieguów rzeczywistej trasmitacji układu. Parametry ζ i określają położeie bieguów a płaszczyźie ω zespoloej (rys.5): 0 ζ < 1 azywa się współczyikiem tłumieia, jest pulsacją aturalą drgań ie tłumioych. We współrzędych prostokątych bieguy zajdują się w puktach σ ± jω d, gdzie σ ζω, ω d ω 1 ζ jest pulsacją drgań tłumioych. Rys.6 przedstawia odpowiedzi skokowe układu drugiego rzędu dla różych współczyików tłumieia w fukcji zormalizowaego czasu ω t. ω Rys. 4. Przebiegi przejściowe związae z położeiem puktów a płaszczyźie zmieej zespoloej s Ćwiczeie 3 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych -7-
Rys. 5. Współrzęde określające położeie bieguów a płaszczyźie zmieej s Rys.6. Odpowiedzi skokowe układu oscylacyjego drugiego rzędu. Układ regulacji ma spełiać określoe wymagaia dotyczące parametrów jego odpowiedzi skokowej. Parametry te to czas arastaia t r, czas regulacji (ustalaia) t s oraz dopuszczale przeregulowaie M p (rys.7). Wymagaia dotyczące odpowiedzi skokowej wiążą się z położeiem domiujących bieguów układu. Dla stadardowego układu drugiego rzędu (15), którego odpowiedzią skokową opisuje wzór zależości te wyrażają się w astępujący sposób: - czas arastaia od y 0.1 do y 0. 9 : σt σ y( t) 1 e cosω d t + siω d t (16) ω d tr 1.8 ω, - czas regulacji z dokładością 1% : t l100 σ 4. 6 σ, s -8- Ćwiczeie 7 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych
- maksymale przeregulowaie: M exp( πζ 1 ζ ) ; często używae wartości to p M 0.16 dla ζ 1 i M 0.04 dla ζ ; w zakresie 0 ζ < 0. 6 stosuje p się liiowy wzór przybliżoy M 1 ζ 0. 6. p p Przy projektowaiu układu regulacji wymaga się, żeby wymieioe parametry odpowiedzi skokowej ie przekraczały określoych wartości,, ze względu a szybkość i jakość przebiegów t r t s przejściowych. Używając pojęć określających położeie bieguów prowadzi to do ierówości: M p Rys.7. Określeie czasu arastaia t r, czasu ustalaia t s i przeregulowaia M p a podstawie odpowiedzi skokowej. ω 1.8 t ζ 0.6 1 σ 4.6 t ( M ) * s r p 0 ζ 0.6 (17) Bieguy układu zamkiętego powiy się więc zajdować odpowiedio daleko a lewo od osi urojoej. Jeśli ie moża tego osiągąć przez dobraie współczyika wzmocieia układu otwartego ależy zastosować regulator PI lub PID albo odpowiedi czło korekcyjy poprawiający dyamikę układu. Trzeba jedak przy tym pamiętać o koieczości zachowaia wystarczającej dokładości statyczej regulacji, czyli dużego wzmocieia dla sygałów stałych. Podae zależości mogą służyć jako wskazówki rówież przy aalizie układów wyższych rzędów, o ile aproksymowaie ich trasmitacją drugiego rzędu jest wystarczająco dokłade. Najprostsze rozszerzeia układu oscylacyjego polegają a dodaiu do trasmitacji (15) rzeczywistego biegua lub zera. Ich wpływ a charakterystyki skokowe pokazują rys.8 i 9. Przedstawioe wykresy moża porówać z odpowiedzią skokową układu oscylacyjego dla ζ 1 a rys.5. Stała czasowa dodaego biegua lub zera jest odwrotie proporcjoala do parametru α. Jeśli α 1, to część rzeczywista dodatkowego biegua lub zera jest rówa częściom rzeczywistym bieguów zespoloych. Dodatkowy biegu w lewej półpłaszczyźie zwiększa czas arastaia odpowiedzi, jeżeli jego wartość jest miejsza lub tego samego rzędu co części rzeczywiste bieguów zespoloych. Dodatkowe zero w lewej półpłaszczyźie zwiększa przeregulowaie i zmiejsza czas arastaia, jeżeli jego wartość jest porówywala z częściami rzeczywistymi bieguów zespoloych. Dodatkowe zero w prawej półpłaszczyźie zmiejsza przeregulowaie. Może też wywołać start odpowiedzi skokowej w kieruku wartości ujemych. Ćwiczeie 3 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych -9-
Rys.8. Charakterystyki skokowe układu trzeciego rzędu. 1 G() s s ω ζα + 1 s ω + ζs ω ( )( + 1), ζ 1 Rys.9. Charakterystyki skokowe układu oscylacyjego z dodatkowym zerem. s ω ζα + 1 G() s, ζ 1 s ω + ζs ω + 1 Występowaie zera w pobliżu biegua powoduje zmiejszeie współczyika, przez który możoa jest składowa przejściowa przebiegu związaa z tym bieguem. Przez ulokowaie zera blisko biegua układu zwłaszcza biegua domiującego moża ograiczyć iepożądae procesy przejściowe. Mechaizm te azywa się kasowaiem bieguów. Żeby go zilustrować, rozważmy dwie trasmitacje o takim samym wzmocieiu dla sygałów stałych: -10- Ćwiczeie 7 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych
1 G 1() s +, G ( s + 1)( s + ) s + 1 s + 1.1 ( s + 1.1) 0.18 1.64 + ( s + 1)( s + ) s + 1 s + W drugim przypadku zero położoe blisko biegua s 1 spowodowało radykale zmiejszeie współczyika przy wyrazie 1 ( s + 1), który moża awet aproksymować stałą rówą 0.18 obiżając rząd układu. W rzeczywistych układach ie udaje się zupełie wyelimiować wpływu określoych bieguów ze względu a skończoą dokładość określaia wartości parametrów oraz ich zmiay w czasie. Jeżeli trasmitacja układu otwartego jest ustaloa z dokładością stopia liczika i miaowika, to wymagae parametry regulacji moża próbować uzyskać przez możliwe do osiągięcia zmiay parametrów układu otwartego (iych iż współczyik wzmocieia K) powodujące korzyste przesuięcia bieguów i/lub zer. Wpływ zmiay rozmieszczeia bieguów układu otwartego a położeie bieguów układu zamkiętego przy K cost ilustrują rys.10 i 11. Rys.10. Efekty przesuięcia rzeczywistych bieguów układu otwartego; Kcost. Ćwiczeie 3 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych -11-
Rys.11. Efekty przesuięcia zespoloych bieguów domiujących układu otwartego; Kcost..4. Projektowaie kompesacji dyamiczej. Przedstawioe reguły dają możliwość przewidzeia, jakiego rodzaju kompesator dyamiczy (regulator lub czło korekcyjy) trzeba włączyć do układu, żeby uzyskać wymagaą jakość regulacji określoej wielkości. Procedura projektowaia wymaga wcześiejszego określeia modelu obiektu regulacji w formie trasmitacji lub rówań stau. Ogóly schemat postępowaia jest astępujący: 1) a podstawie wymagań określoych p. przez parametry odpowiedzi skokowej układu zamkiętego lub zapas fazy i modułu układu otwartego, określa się wymagae położeie bieguów domiujących układu zamkiętego, ) wybiera się rodzaj trasmitacji kompesatora, 3) oblicza się parametry trasmitacji kompesatora zapewiające wymagae położeie bieguów domiujących; rozwiązaie tego zadaia ie jest jedozacze i dlatego pewe parametry trzeba ustalić z góry; jeżeli rozwiązaie ie istieje, ależy wybrać iy rodzaj kompesatora, 4) sprawdza się, czy położeie pozostałych bieguów i zer układu zamkiętego z zaprojektowaym kompesatorem zapewia stabilość i odpowiedią odpowiedź skokową, 5) sprawdza się, czy układ zamkięty spełia ie wymagaia jak p. dokładość statycza regulacji i tłumieie szumów w zakresie wysokich częstotliwości (moża to odczytać z charakterystyk częstotliwościowych) oraz odpowiedio mała wrażliwość a zmiay parametrów, 6) jeżeli wymagaia, o których mowa w puktach 4) i 5), ie są spełioe, powtarza się obliczeia puktu 3) dla iych wartości parametrów ustaloych z góry; jeśli i to ie da wyiku ależy zmieić rodzaj kompesatora. Najbardziej zae kompesatory dyamicze to regulatory typu PI, PD lub PID. Ze względu a prostotę i skuteczość często stosuje się też korektory przyśpieszające lub opóźiające fazę o trasmitacji -1- Ćwiczeie 7 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych
s + z D() s, (18) s + p przy czym w układzie przyśpieszającym fazę p > z, a w układzie opóźiającym p < z ( p, z > 0). Układ przyśpieszający fazę stosuje się główie w celu rozszerzeia pasma przeoszeia i zmiejszeia czasu arastaia odpowiedzi. Jego działaie ma charakter różiczkujący. Układ opóźiający fazę ma działaie zbliżoe do całkującego i jest używay w celu zwiększeia wzmocieia w zakresie iskich częstotliwości, a tym samym poprawieia dokładości statyczej regulacji. Z tego powodu biegu układu lokuje się blisko puktu s 0. Trzeba pamiętać, aby woszoe przez korektor ujeme przesuięcie fazowe ie było duże i ie obiżało zbytio zapasu fazy układu otwartego. Realizacje elektrycze obu układów są pokazae a rys.1. a) układ przyspieszający fazę b) układ opóźiający fazę Ts + 1 1 αts + 1 D() s K, D() s K D D, αts + 1 α Ts + 1 K D RF ( R 1 + R ), T R1C, α R ( R1 + R ) K D R Ri, T R 1 C, α R R1 + Rys.1. Elektrycze realizacje korektorów dyamiczych. ( ) R.5 Komputerowe obliczaie liii pierwiastkowych i projektowaie kompesatora. Komputer jest arzędziem umożliwiającym szybkie i dokłade obliczaie miejsc geometryczych pierwiastków dla iteresujących projektata wartości parametrów, ale szczególie jest przydaty do określaia wrażliwości bieguów układu zamkiętego a zmiay wybraych parametrów, o czym była już mowa. Pakiet CSP (Cotrol Systems Programs) umożliwia obliczaie liii pierwiastkowych dla układu regulacji o ustaloej strukturze (rys.13). Rys.13. Struktura układu regulacji w pakiecie CSP. G p H 1 () jest trasmitacją obiektu, D s - trasmitacja regulatora (kompesatora) rzędu. Jeśli () () (), to struktura ta jest rówoważa strukturze z rys.1, przy czym G s D s KG s. p Ćwiczeie 3 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych -13-
Program ROOTL oblicza liie pierwiastkowe dla modelu układu określoego w pliku MODEL.DAT oraz umożliwia wyzaczeie parametrów kompesatora wybraego rodzaju. Poszczególe opcje wybiera się z meu programu. Liie pierwiastkowe obliczae są dla samego obiektu lub obiektu z kompesatorem (opcje 1 i ) zarówo dla dodatich jak i ujemych wartości współczyika wzmocieia. Współczyik może być zwiększay liiowo albo logarytmiczie (tylko dla wartości dodatich). Wyiki ostatich obliczeń są zapisywae w pliku RL.DAT w formie trzech kolum liczb: 1) współczyik wzmocieia K, )część rzeczywista pierwiastka, 3) część urojoa pierwiastka. Program może rówież podać bieguy i zera aktualie zamodelowaego układu otwartego DG p (opcja 3). Możliwe rodzaje kompesatorów to PI, PD, PID, elemet przyśpieszający lub opóźiający fazę. Parametry kompesatora mogą być podae bezpośredio (opcja 8) albo wyzaczoe przez program w oparciu o zadae położeie bieguów domiujących układu zamkiętego (opcje 4 i 5). Do istiejącego już kompesatora pierwszego rzędu moża kaskadowo dołączyć drugi, rówież pierwszego rzędu (opcja 5). Procedura projektowaia ie gwaratuje stabilości układu zamkiętego. Należy sprawdzić rozmieszczeie pozostałych bieguów oraz charakter odpowiedzi skokowej układu zamkiętego z kompesatorem. Położeia wszystkich bieguów układu zamkiętego są podawae po obliczeiu parametrów kompesatora. Każdy owo wprowadzoy kompesator trzeba dołączyć do modelu układu (opcja 6). Umożliwia to późiejsze badaia symulacyje i w dziedziie częstotliwości. Parametry badaego modelu oraz dołączoego kompesatora moża obejrzeć a ekraie (opcja 9) albo wydrukować. Najczęściej stosowaym podejściem umeryczym jest sformułowaie zadaia w formie rówań stau. Bieguy układu zamkiętego są wtedy wartościami własymi macierzy stau, a obliczaie wartości własych moża przeprowadzić z dużą dokładością (p. tzw metodą QR) awet dla dużych macierzy. W wyiku otrzymuje się pierwiastków zespoloych dla każdej wartości K. W otoczeiu puktów krytyczych pierwiastki są bardzo wrażliwe a zmiay parametrów, a co za tym idzie rzadko rozmieszczoe a liiach pierwiastkowych. W przypadku występowaia w układzie opóźień, w obliczeiach komputerowych stosuje się wymiere przybliżeia fukcji wykładiczej, tzw aproksymacje Pedé. Aproksymację Pedé drugiego rzędu fukcji s określa wzór: e λs 1 e s 1 + + ( s ) + ( s 1) ( s ) ( s 1). e -14- Ćwiczeie 7 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych
3. Program ćwiczeia Zadaie Zaprojektować sposób stabilizowaia odwrócoego wahadła dla małych odchyleń od położeia pioowego. Sygałem sterującym ma być przyśpieszeie wózka, którego masę moża pomiąć, a wielkością mierzoą odchyleie θ. Czas osiągaia owego odchyleia zadaego t r ma ie przekraczać 0.4 s, czas ustalaia s, a dopuszczale przeregulowaie Mp15%. Błąd ε u w staie ustaloym ie powiie przekraczać 1%. Podobym problemem jest stabilizowaie ustawieia pocisku rakietowego składowymi siły ciągu prostopadłymi do osi pocisku. Rówaie mometów działających a masę m ma mostać: d x d θ mgl siθ ml cosθ J dt dt (19) g cosθ d x d θ ( )siθ ( ) l l dt dt gdzie d x/dt u(t) jest przyspieszeiem, a Jml mometem bezwładości wahadła względem puktu zamocowaia. Rówaie zliearyzowae w otoczeiu puktu θθ 0 : a trasmitacja przejścia od u doθ: gθ l u l d θ dt ( s) Gp( s) θ U ( S) b s a g 1 gdzie a, b. Układ jest iestabily, co wyraża się obecością biegua sa w prawej l l półpłaszczyźie zmieej s. Jeżeli wprowadzimy rówaia stau ze zmieymi stau x 1 θ x dθ/dt, to układ moża zapisać w stadardowej formie: dx/dtax+bu, ycx gdzie: x[x 1 x ] T wektor stau, y0 wyjście układu (wielkość mierzoa), 1. Uruchomić program Matlab 5.3 0 1 0 A,, 0 B C a b [ 1 0]- macierze układu. Uwaga: Wszystkie uzyskiwae a ekraie komputera wyiki oraz wykresy kopiować do programu WordPad.. Wprowadzeie trasmitacji obiektu. w liii poleceń wpisać komedę: <obiekt> 3. Wyzaczaie liii pierwiastkowych układu zamkiętego (samego obiektu) w liii poleceń wpisać komedę: Ćwiczeie 3 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych -15-
<rys_lp_ob> 4. Odczytywaie wartości współczyika wzmocieia K dla dwóch puktów leżących a liiach pierwiastkowych. w liii poleceń wpisać komedę: <odczyt>, zazaczyć kursorem pukt a liiach pierwiastkowych leżący a osi rzeczywistej i zaotować wyświetloe a ekraie wartości, poowie wywołać komedę <odczyt> zazaczając pukt leżący a osi urojoej. 5. Symulacja układu zamkiętego z samym obiektem dla wybraych wartości współczyika wzmocieia K. w liii poleceń wpisać komedę: simulik, otworzyć plik lp_sym.mdl z katalogu C:\MatlabR11\Laboratorium\TS, w bloku regulatora wpisać astępujące wartości parametrów: Kp1, Kd0, Ki0 (ozacza brak regulatora), w bloku K wpisać pierwszą wyzaczoą w pukcie 4 wartość współczyika wzmocieia, ustawić czas symulacji rówy 4s (z meu Simulatio Parameters Stop Time4) uruchomić symulację poleceiem z meu Simulatio Start przeprowadzić symulację dla drugiej wartości K (czas symulacji 10s). 6. Poszukiwaie bieguów domiujących spełiających założeia projektowe co do wartości t r i Mp. w liii poleceń wpisać komedę domi, podać wymagae założeia projektowe dotyczące t r i Mp. 7. Obliczaie parametrów regulatora PD zapewiających odpowiedie położeie bieguów domiujących. w liii poleceń wpisać komedę: <Pdid>, podać wymagae położeie bieguów domiujących. 8. Wyzaczeie liii pierwiastkowych układu z regulatorem PD. w liii poleceń wpisać komedę: <rys_lp>. 9. Odczytywaie wartości współczyika wzmocieia K bieguów domiujących w liii poleceń wpisać komedę: odczyt, zazaczyć kursorem biegu domiujący. 10. Symulacja układu zamkiętego z regulatorem PD dla K z puktu 9. w bloku regulatora (plik lp_sym.mdl) wpisać uzyskae w pukcie 6 parametry regulatora PD: Kp i Kd oraz pozostawić Ki0 (co ozacza brak części całkującej), w bloku K wpisać pierwszą wyzaczoą w pukcie 9 wartość współczyika wzmocieia, ustawić czas symulacji rówy 4s, uruchomić symulację sprawdzić wartość błędu ustaloego e u (czy spełioe zostały założeia projektowe dotyczące e u?) 11. Zamiaa typu regulatora a regulator PID zapewiający odpowiedie położeie bieguów domiujących ora założeia projektowe co do wartości e u. w liii poleceń wpisać komedę: <PIDid>. 1. Wyzaczaie liii pierwiastkowych układu z regulatorem PID w liii poleceń wpisać komedę: <rys_lp> 13. Odczytywaie wartości współczyika wzmocieia K bieguów domiujących w liii poleceń wpisać komedę: <odczyt>, zazaczyć kursorem biegu domiujący 14. Symulacja układu zamkiętego z regulatorem PID dla K z puktu 1. w bloku regulatora (plik lp_sym.mdl) wpisać uzyskae w pukcie 11 parametry regulatora PID: Kp, Kd i Ki, w bloku K wpisać pierwszą wyzaczoą w pukcie 13 wartość współczyika wzmocieia, ustawić czas symulacji rówy 10s, uruchomić symulację -16- Ćwiczeie 7 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych
sprawdzić wartość błędu ustaloego e u (czy spełioe zostały założeia projektowe dotyczące e u ). Ćwiczeie 3 (LP) Projektowaie układu regulacji metodą liii pierwiastkowych -17-