Autoreferat. dr Grzegorz Guzik

Auorefera dr Grzegorz Guzik 1. Sopnie naukowe (a) magiser maemayki, Wyższa Szkoła Pedagogiczna, Insyu Maemayki, Kraków 1993. Tyuł pracy magiserskiej: Twierdzenie Li Yorke a o chaosie funkcji ciagłej na odcinku. Promoor: Prof. dr hab. Marek C. Zdun. (b) dokor maemayki, Uniwersye Śląski, Insyu Maemayki, Kaowice 21. Tyuł pracy dokorskiej: O ieracyjnym zanurzaniu liniowego równania funkcyjnego. Promoor:Prof.drhab.WioldJarczyk. 2. Informacje o zarudnieniu w insyucjech naukowych (a) 1994, asysen, Insyu Maemayki, Wyższa Szkoła Pedagogiczna, Kraków. (b) 2 22, asysen, Wydział Maemayki Sosowanej, Akademia Górniczo Hunicza, Kraków. (c) 22 28, adiunk, Wydział Maemayki Sosowanej, Akademia Górniczo Hunicza, Kraków. (d) 28 216, sarszy wykładowca, Wydział Maemayki Sosowanej, Akademia Górniczo Hunicza, Kraków. (e) 216 eraz, adiunk, Wydział Maemayki Sosowanej, Akademia Górniczo Hunicza, Kraków. 3. Wskazanie osiągnięcia wynikającego z ar. 16 us. 2 usawy z dnia 14 marca 23 r. o sopniach naukowych i yule naukowym oraz o sopniach i yule w zakresie szuki (Dz. U. 216 r. poz. 882 ze zm. w Dz. U. z 216 r. poz. 1311.): (a) Tyuł osiągnięcia naukowego: Asympoyczne własności semipooków mulifunkcji półciągłych z dołu z zasosowaniem do przemodelowania dynamiki nieauonomicznych i losowych układów dynamicznych (b) Osiągnięcie naukowe opare jes na sześciu opublikowanych arykułach: (G1) G. Guzik, Asympoic sabiliy of discree cocycles, J. Difference Equ. Appl. 21, No.11(215),144 157. 1

2 DR GRZEGORZ GUZIK (G2) G. Guzik, Asympoic properies of mulifuncions, families of measures and Markov operaors associaed wih cocycles, Nonlinear Anal. 13 (216), 59 75. (G3) G. Guzik, Semiaracors of se valued semiflows, J. Mah. Anal. Appl. 435 (216), 1321 1334. (G4) G. Guzik, Minimal invarian closed ses of se valued semiflows, J. Mah. Anal. Appl. 449 (217), 382 396. (G5) G. Guzik, A noe on he Conley aracors of lower semiconinuous mulifuncions, J. Difference Equ. Appl. (217), DOI: 1.18/1236198. 217.129348, w druku. (G6) G. Guzik, On a class of cocycles having aracors which consis of singleons, Topol. Mehods Nonlinear Anal. 5, No. 2(217), 727 739. 4. Przedsawienie celu naukowego osiągnięych wyników 1. Moywacja Przedsawiamy alernaywne podejście do dynamiki nieauonomicznych i losowych układów dynamicznych opare głównie na asympoycznym zachowaniu semipooków ak zwanych mulifunkcji sanów, kóre akie układy nauralnie indukują. Nasza eoria zosała zbudowana w oparciu o nasępujące obserwacje i przesłanki: (i) ponieważ każdy ierowany układ funkcyjne daje się opisać jako odwzorowanie ypu kocykl powinno udać się przenieść idee wypracowane przez A. Lasoę i J. Myjaka w pracach [45] [47] nadowolnysysemreprezenowanyprzezkocykl(lub alernaywnie, przez produk skośny); (ii) dowolny zbiór przyciągający jes obserwowalny w przesrzeni fazowej raczej jako pojedynczy zbiór, a nie jako suma swych włókien, ponado zbiory przyciągające będąc z reguły zbiorami domknięymi nie muszą być koniecznie zwrae, a bywa, że nawe nie są ograniczone; (iii) możemy zunifikować dynamikę opologiczną nieauonomicznych i losowych ukladów dynamicznych używając semipooków mulifunkcji sanów, w szczególności możemy dzięki emu pominąć sandardowe założenia o przesrzeni paramerów (zwykle zakłada się w eorii nieauonomicznych układów dynamicznych, że jes o przesrzeń meryczna, nawe zwara, a w eorii losowych układów dynamicznych, że jes o przesrzeń probabilisyczna) używając po prosu niepusych zbiorów; (iv) isniejące doychczas w lieraurze próby przemodelowania dynamiki nieauonomicznych bądź losowych układów dynamicznych przy pomocy dynamiki odpowiadających im pooków mulifunkcji (zobacz prace [13] [15], [43], [49] oraz[51] [52]) są ograniczone bądź do zwarych przesrzeni, bądź mulifunkcji o domknięych warościach, bądź ciągłych semipooków funkcji wielowarościowych, bądź wreszcie do zwarych zbiorów przyciągających nasze podejście jes dużo bardziej ogólne i nauralne, gdyż mulifunkcje generowane przez rozważane układy są zwykle ylko półciągłe z dołu;

AUTOREFERAT 3 (v) isnieje wzajemna relacja miedzy opologicznym (deerminisycznym), aprobabilisycznympodejściemdorozważanychsysemówprowadzącadoejsamej klasy zbiorów przyciągających. 2. Granice opologiczne W całych naszych rozważaniach zamias meryki Hausdorffa używamy jako głównego narzędzia granic opologicznych (w sensie Kuraowskiego). To podejście wygdaje się być bardziej ogólne i prossze, a w konsekwencji owocne. W szczególności dzięki emu możemy jako zbiory przyciągające brać pod uwagę nie ylko zbiory zware, lecz bardziej nauralne na przykład w przesrzeniach nieskończenie wymiarowych zbiory domknięe, nawe nieograniczone. Podsawowe faky doyczące granic opologicznych można znaleźć w monografiach [12] oraz[42]. My ograniczymy się uaj jedynie do podania definicji. Niech więc (X, %) bedzie przesrzenią meryczną i niech (, apple) będzie zbiorem skierowanym. Mówimy, że zbiór U X przecina prawie wszyskie zbiory A X, gdy isnieje aki elemen 2, żea \ U 6= ; dla każdych. Mówimy naomias, że U przecina nieskończenie wiele zbiorów A jeśli dla każdego 2 isnieje akie, żezachodziwaruneka \ U 6= ;. Definiujemygranicę dolną lim inf A oraz granicę górną lim sup A wnasepującysposób:x2lim inf A, gdy dla każdego ">kula owara B o (x, ") ośrodkux ipromieniu" przecina prawie wszyskie A, naomias x 2 lim sup A gdy dla każdego " > kula owara B o (x, ") przecina nieskończenie wiele zbiorów A. Jeśli obie granice są równe, o mówimy, że ciąg uogólniony (A ) 2 jes opologicznie zbieżny. Tę wspólną granicę oznaczamy lim A inazywamygranicą opologiczną ego ciągu uogólnionego zbiorów. 3. Mulifunkcje półciągłe z dołu Niech eraz X i Y będą przesrzeniami opologicznymi. Przez P(Y ) oznaczmy klasę wszyskich niepusych podzbiorów przesrzeni Y. MulifunkcjaF : X! P(Y ) nazywa się półciągłą z dołu, gdydlakażdegozbioruowaregov Y zbiór F (V )={x2x : F (x) \ V 6= ;} jes owary w X. Jeśli X i Y są przesrzeniami merycznymi, o prawdziwe są kluczowe równoważności pomiędzy poniższymi warunkami (zobacz na przykład [12, Secion2.5], aakże[47, Proposiion2.1]): (i) mulifunkcja F : X!P(Y) jes półciągła z dołu; (ii) F (cl B) cl F (B) dla każdego B X; (iii) dla każdego ciągu uogólnionego (x ) 2 elemenów z X oraz x 2 X warunek lim x = x implikuje F (x) lim inf F (x ). 4. Wielowarościowe semiukłady dynamiczne W naszych rozważaniach prezenujemy jednolie podejście do układów z ak zwanym czasem dyskrenym jak i z czasem ciągłym. Co isone, nie zakładamy żadnych warunków regularnościowych na współrzędne czasowe. Mając o na uwadze oznaczmy przez T nierywialną podgrupę addyywnej grupy (R, +) ciała wszyskich liczb rzeczywisych zawierającą zbiór N wszyskich liczb nauralnych jako swą podpółgrupę. Nasepnie oznaczmy T + := T \ (, 1) oraz T + := T \ [, 1). Zbiory T, T + i T + będziemy rozważać jako zbiory skierowane z nauralnym porządkiem

4 DR GRZEGORZ GUZIK indukowanym z prosej rzeczywisej. Załóżmy dalej, że (X, %) jes przesrzenią meryczną. Odwzorowanie F : T + X! P(X) nazywamy semipookiem mulifunkcji albo wielowarościowym semiukladem dynamicznym jeśli spełniona jes nasepująca inkluzja F (s +, x) F (, F (s, x)) dla s, 2 T +,x2x. Jeśli w miejsce powyższej inkluzji spełniona jes równość (równanie ranslacji) F (s +, x) =F (, F (s, x)) dla s, 2 T +,x2 X, o semipok nazywamy właściwym. Zwykle w definicji wielowarościowego semiukładu dynamicznego dodawany jes sandardowy warunek począkowy F (,x)={x} dla x 2 X, czyli F może być rozszerzone na T + X. Jednak ze wzgledu na o, że nie zakładamy żadnej regularności wzgledem, jes sensowne rozważać semipooki bez ego osaniego warunku. W dalszej części będziemy głównie rozważać semipooki F : T + X!P(X) spełniające nasępujące warunki: (H) F jes właściwy, a mulifunkcje F (, ) są półciągłe z dołu dla każdego 2 T +. Jes jasne, że jeśli F : X!P(X) jes mulifunkcją półciągłą z dołu o jej ieracje F n,n2n, worzą wielowarościowy semipook spełniający (H). 5. Ogólne kocykle i ierowane układy funkcyjne Zdefiniujemy eraz odwzorowania zadane przez warunek kocyklu wraz z ich pookami bazowymi i odwzorowaniami na włóknach. Ponado zdefiniujemy indukowany przez kocykl produk skośny. Niech zaem będzie niepusym zbiorem, a (X, %) będzie dowolną przesrzenią meryczną. nazywamy przesrzenią paramerów, a X nazywamy przesrzenią włókien albo przesrzenią fazową. Niech dalej = { :! : 2 T} będzie grupą bijekcji, o znaczy spełnione są warunki s+ = s dla s, 2 T i = id. Grupa jes nazywana pookiem bazowym. Rozważmy odwzorowanie ' : T +! X X spelniające nasępujace równanie (5.1) '(s +,!) ='(, s!) '(s,!) dla s, 2 T + i! 2. W dalszym ciągu będziemy sale zakładać, że każda funkcja '(,!) :X! X jes ciągła. Nie będziemy powarzać ego założenia. Parę (, ') nazywamy kocyklem (nad ). Każdy kocykl na T + może być rozszerzony formalnie na zbiór T + przez dołożenie warunku '(,!):=id X dla! 2. Dwie obszerne klasy układów dynamicznych są definiowane przy użyciu formalizmu kocykli. Mianowicie klasa nieauonomicznych układów dynamicznych (zobacz na przykład arykuł przeglądowy [5] imonografię[37]) oraz klasa losowych układów dynamicznych (zobacz książki [4] i[18]). Pierwsza z ych klas jes ściśle związana z nieauonomicznymi równaniami różnicowymi i różniczkowymi, a druga ze sochasycznymi równaniami różnicowymi i różniczkowymi.

AUTOREFERAT 5 Zaznaczmy jednak, że nie każdy kocykl jes generowany przez różnicowe bądź różniczkowe równania nieauonomiczne albo sochasyczne. Można akże orzymywać kocykle na gruncie eorii równań funkcyjnych, jak również eorii ak zwanych funkcji rójkąnych (zobacz Remark 4.1 w pracy (G2) oraz Example 3.4 w arykule (G1)) Zauważmy, że dany kocykl (, ') indukuje półgrupę ypu produk skośny odwzorowań iloczynu karezjańskiego X w siebie daną wzorem (!, x) =(!, '(,!)(x)) dla 2 T +,! 2 i x 2 X, asąddlakażdychs, 2 T +, s+ = s. Dla kocyklu (, ') definiujemy ciąg uogólniony (F ) 2T + mulifunkcji F : X!P(X) wzorem (5.2) F (x) :={'(,!)(x) :! 2 }, albo równoważnie [(G2), Remark 4.2] (5.3) F (x) :={'(,!)(x) :! 2 } dla każdego x 2 X. Będziemy go nazywać ciągiem uogólnionym mulifunkcji sowarzyszonych zkocyklem(, ') albo mulifunkcji sanów [(G1), Secion 3], [(G2), Secion 4]. Jedne z najważniejszych przykładów (dyskrenych) kocykli worzą ierowane ułady funkcyjne (będziemy sosować radycyjny już skró IFS; zobacz [(G1), Example 3.1], [(G6), Secion 6], a akże [37, Example 2.1]). Zaem, rozważmy dowolny niepusy zbiór i rodzinę ciągłych odwzorowań {S : X! X : 2 }. Rodzinę ę nazywamy ierowanym układem funkcyjnym. Niech eraz = Z będzie zbiorem nieskończonych ciągów dwusronnych na, a :! niech będzie operaorem lewosronnego przesunięcia, o znaczy dla! =(... 1,, 1,...), (!)(n) =!(n+1), gdzie!(k) oznacza k-ą współrzędn a ciągu!.jeślieraz! 2, '(1,!):=S 1, adlakażdegon 2, '(n,!) :=S n... S 1, para (, ') jes dyskrenym kocyklem (nad przesunięciem ). Zauważmy ponado, że '(n, n!)=s 1... S n dla n 2 N. Ta formuła opisuje ak zwany odwrony proces ieracyny badany przez licznych auorów (zobacz na przykład prace [24], [34] i pozycje bibliograficzne am wymienione). Rozważmy IFS {S (x) :X! X : 2 } ikocykl(, ') przezeń indukowany jak o opisano powyżej. Oznaczmy przez F mulifunkcję Barnsleya Huchinsona daną wzorem F (x) ={S (x) : 2 }. Dalej oznaczmy przez F n n ą ieraę mulifunkcji F.Jesjasnym,żeieracjeF n worzą wlaściwy semipook mulifunkcji sanów dla indukowanego kocyklu (, '), zaemuajf n = F n,n2n. Niech (, ') będzie dowolnym kocyklem. Jeśli położymy F (, x) :=F (x) dla 2 T + i x 2 X, gdzie(f ) 2T +jes ciągiem uogólnionym mulifunkcji sanów F zdefiniowanych wzorem (5.2). Wówczas F : T + X!P(X), jakpokazaliśmy

6 DR GRZEGORZ GUZIK w Example 5.2 w pracy (G3), jes, niekoniecznie właściwym, semipookiem. Zanoujmy, że w pracach [13] [16] wysępuje przeciwna, a więc fałszywa, inkluzja. Naomias obok ierowanych układów funkcyjnych isnieje jeszcze jedna szczególnie ważna klasa kocykli generujących semipooki mulifunkcji, kóre są właściwe. Mamy u na myśli klasę losowych układów dynamicznych z białym szumem. Dla akich układów mianowicie semipook F : T + X!P(X) dany wzorem F (, x) :=clf (x) jes właściwy. Jak się okazuje, jes o bezpośrednią konsekwencją faku, że operaory Markova związane z akim układem worzą półgrupę, a w konsekwencji nośniki prawdopodobieńsw przejścia (fakycznie cl F )generującychę półgrupę spełniają warunek Chapmana-Kołmogorova. Losowe układy dynamiczne z białym szumem omówimy bardziej szczegółowo w Sekcji 1 poniżej am znajdują się porzebne definicje i isone własności (zobacz eż [(G2), Secion 6]). 6. Minimalne domknięe zbiory niezmiennicze dla semipooków mulifunkcji półciągłych z dołu Zbiory! graniczne pelnią cenralną rolę w eorii asympoycznego zachowania układów dynamicznych. Niech F : T + X!P(X) będzie semipookiem mulifunkcji. Dla każdego niepusego zbioru A X zbiór! graniczny zbioru A poprzez F definiujemy nasępująco!(f, A) := \ 2T + cl [ s F (s, A) =limsup F (, A). Jeśli nie swarza o konrowersji, o będziemy pisać po prosu!(a) zamias!(f, A), aakżegdya = {x} jes singleonem będziemy pisać!(x) wmiejsce!({x}). Niepusy zbiór A X nazywamy ujemnie niezmienniczym względem semipooku mulifunkcji F,gdyA F (, A) dla każdego 2 T +. Z kolei nazywamy go dodanio niezmienniczym względem F,gdyF (, A) A dla każdego 2 T +.Jeśli F (, A) =A dla każdego 2 T +,onazywamygoniezmienniczym. Dalej, jeśli cl F (, A) =A dla każdego 2 T +,onazywamygocl niezmienniczym. W pracy (G4) udowodniliśmy nasępujące Theorem 6.1 (zobacz eż [(G5), Theorem 3.2]). Twierdzenie 6.1. Załóżmy, że F : T + X!P(X) jes semipookiem mulifunkcji spełniaj acym warunek (H). Jeżeli B jes niepusym podzbiorem X, o zbiór! graniczny!(b) zbioru B jes dodanio niezmienniczy względem F. Wprowadźmy eraz nasępującą definicję (zobacz prace [51], [52], (G4) oraz (G5)). Mówimy, że domknięy zbiór K X pochłania niepusy podzbiór B X (względem F ), gdy isnieje akie 2 T +,że F (, B) K dla każdego. Dla danego podzbioru B przesrzeni X klasę wszyskich domknięych, danio niezmienniczych podzbiorów, kóre pochłaniają B względem F oznaczamy symbolem K(B). Nasępujące wierdzenie przynosi nam charakeryzację zbiorów! granicznych dla semipooków mulifunkcji spełniających warunek (H) ([(G4), Proposiion 4.3] oraz [(G5), Proposiion 3.3]).

AUTOREFERAT 7 Twierdzenie 6.2. Niech F : T + X!P(X) będzie semipookiem mulifunkcji. Jeśli B jes niepusym podzbiorem X, o Ponado, jeśli F spełnia warunek (H), o!(b) \ K(B).!(B) = \ K(B). Niech F : T + X! P(X) będzie semipookiem mulifunkcji. Dodanio niezmienniczy (ujemnie niezmienniczy albo niezmienniczy) względem F podzbiór M X nazywamy minimalnym, gdy nie zawiera innych właściwych podzbiorów o ej własności. W Theorem 5.2 z pracy (G4) podaliśmy opis minimalnych domknięych zbiorów dodanio niezmienniczych. Zbiory akie okazują się być nośnikami miar niezmienniczych dla pewnych operaorów Markova (operaorów przejścia dla procesów sochasycznych), jak o zobaczymy poniżej w Sekcjach 9 i 1. Twierdzenie 6.3. Niech F : T + X!P(X) będzie semipookiem mulifunkcji spełniaj acym warunek (H). Jeżeli niepusy podzbiór M przesrzeni X jes minimalnym domknięym zbiorem dodanio nezmienniczym względem F,o (i)!(x) =M dla każdego x 2 M, (ii)!(m) =M, (iii) cl F (, M) =M dla każdego 2 T +, czyli jes on zbiorem cl niezmienniczym względem F. Najważniejszymi przykładami minimalnych dodanio niezmienniczych zbiorów są semiarakory. Pojęcie semiarakora zosało wprowadzone przez A. Lasoę i J. Myjaka w konekście ierowanych układów funkcyjnych oraz pojedynczej mulifunkcji [45] [47]. Zbiory e są czasem nazywane semifrakalami i pojawiają się jako nauralne uogólnienie pojęcia frakala. W pracach (G2) (G4) rozważamy semiarakory dowolnych semipooków mulifunkcji, a więc eż w szczególnym przypadku, semipooków mulifunkcji sanów dowolnego kocyklu. Niech zaem F : T + X!P(X) będzie semipookiem mulifunkcji. Rozważmy zbiór C := \ lim inf F (, x). x2x Jeśli C jes niepusy o nazywamy go semiarakorem dla F.Oczywiście semiarakor jes zbiorem domknięym. W Proposiion 5.5 oraz Proposiion 5.6 z pracy (G3) wykazaliśmy, co nasępuje. Twierdzenie 6.4. Dla niepusego zbioru A X zbiór C jes zawsze zawary w!(a). W szczególności, jeżeli F posiada semiarakor, o \!(A) 6= ;. A2P(X) Ponado, jeżeli A jes dodanio niezmienniczy, o C A. W Theorem 5.7 z pracy (G3) wykazaliśmy nasępujące własności semiarakorów semipooków mulifunkcji spełniających warunek (H). Twierdzenie 6.5. Załóżmy, że semipook mulifunkcji F : T + X!P(X) spełnia warunek (H). Jeśli F posiada semiarakor C, o spełnione są nasępujące własności:

8 DR GRZEGORZ GUZIK (i) cl F (, C) =C, czyli jes on zbiorem cl niezmienniczym względem F, (ii) lim F (, A) =C dla każdego niepusego zbioru A C. W szczególności z powyższych wierdzeń wynika, że jeśli semipook mulifunkcji F spełniający (H) posiada semiarakor C, o jes on jedynym minimalnym domknięym i dodanio niezmienniczym zbiorem dla F. Nasępujące Theorem 5.9 z pracy (G3) pokazuje w jaki sposób możemy wprakyceorzymywaćsemiarakory. Twierdzenie 6.6. Niech F : T + X!P(X) będzie semipookiem mulifunkcji. Załóżmy, że F : T + X!P(X) jes akim semipookiem, że F (, x) F (, x) dla każdego 2 T + i x 2 X. Jeśli F posiada semiarakor C, o akże F ma semiarakor C oraz C C. Ponado, jeśli F spełnia warunek (H), o C =lim F (, C )=cl [ 2T + F (, C ). Można zauważyć śledząc dowód powyższego wierdzenia w pracy (G3), że isonie F nie musi być właściwy, ani mulifunkcje F (, ) nie muszą być półciągłe z dołu. Twierdzenie 6.6 mówi ponado, że pod sosownymi założeniami semiarakor danego właściwego semipooku mulifunkcji nie zależy od wyboru podsemipooku posiadającego swój semiarakor. W przypadku gdy aka niezależność zachodzi semiarakor podsemipooku F semipooku F nazywamy nucleusem, asemiarakor C układu F nazywamy semifrakalem sowarzyszonym z F (zobacz prace [45] [47] orazarykuł(g1)). Poniższy wniosek [(G3), Corollary 5.11] przynosi ławe do zweryfikowania warunki dosaeczne na isnienie semiarakora. Używamy u jednowarościowych selekcji. Wniosek 6.7. Niech F : T + X!P(X) będzie semipookiem mulifunkcji spełniającym warunek (H). Załóżmy, że isnieje jednowarościowy podsemipook f : T + X! X, czylif spełnia równanie ranslacji f(s +, x) =f(, f(s, x)) dla s, 2 T +,x2 X i aki, że dla każdego 2 T + funkcja f(, ) jes selekcją F (, ), o znaczy f(, x) 2 F (, x), 2 T +, x 2 X, posiadający jedyny globalnie przyciągający punk sały, czyli aki punk x 2 X, żef(, x )=x dla każdego 2 T + oraz f(, x)! x gdy!1dla każdego x 2 X. Wówczas F posiada semiarakor. A. Lasoa i J. Myjak zaproponowali w pracy [47]nasępującądefinicjęarakora dowolnej mulifunkcji G : X!P(X). Mówimy, że zbiór A X jes arakorem G, gdydlakażdegoniepusegoiograniczonegozbiorub X isnieje granica opologiczna A =lim G n (B), n niezależna od wyboru B. Definicja a, ważna z punku widzenia ierowanych układów funkcyjnych, współgra z klasyczną definicją zbioru frakalnego dla IFS ów hiperbolicznych (zobacz [3] i[44]). Jednak dla dowolnej mulifunkcji arakor aki będąc zbiorem domknięym bywa niekoniecznie zwary. Idąc dalej ą drogą sformułowaliśmy w pracach (G1) (G3) definicję arakora dla dowolnego wielowarościowego układu dynamicznego. Ponieważ, jak zobaczymy poniżej, akie arakory mogą mieć bardzo silne własności, a ich definicja oraz srukura różni się

AUTOREFERAT 9 od sandardowo używanej dla pooków mulifunkcji (zobacz arykuł [53], akże [5]) proponujemy dla nich nazwę arakory w sensie Lasoy Myjaka. Zaem mówimy, że semipook mulifunkcji F : T + X!P(X) ma arakor w sensie Lasoy Myjaka jeśli dla każdego niepusego i ograniczonego zbioru B X isnieje wspólna granica opologiczna A =lim F (, B). Zauważmy, że arakor w sensie Lasoy Myjaka jes oczywiście semiarakorem danego semipooku. Nasępujące wierdzenie [(G3), Proposiion 8.2] ukazuje relację między arakorem w sensie Lasoy Myjaka a zbiorami! granicznymi danego semipooku mulifunkcji (porównaj z [53, Theorem 2]). Twierdzenie 6.8. Załóżmy, że semipook mulifunkcji F : T + X!P(X) posiada arakor w sensie Lasoy Myjaka A. Wówczas dla każdego niepusego i ograniczonego zbioru B X A =!(B). W szczególności, A =!(x) dla każdego x 2 X. 7. Półciągła z dołu zależność od paramerów Problem ciągłej zależności zbiorów przyciągających układów dynamicznych zarówno auonomicznych jak i nieauonomicznych był badany przez wielu auorów (zobacz na przykład prace [16], [28]). Szczególnie ineresujące ze względu na zasosowania w obrazowaniu kompuerowym jes ciągła zależność dla zbiorów frakalnych (arakorów IFS ów). Co ciekawe, pierwszy przedsawiony w ej emayce rezula [6, Theorem 2, Ch. III], bardzo popularny i częso cyowany, jes, jak się okazuje, fałszywy (zobacz [31, Example 2]). Rezula en zosał poprawiony wlemma2.3zpracy[31] napisanejprzezj.jachymskiego. W całej sekcji będziemy zakładać, że (,d ) jes przesrzenią meryczną. Najpierw przedsawimy zasadniczy rezula doyczący półciągłej z dołu zależności od paramerów semiarakorów rodziny indeksowanej semipooków mulifunkcji [(G3), Theorem 6.1]. Twierdzenie 7.1. Załóżmy, że {F : T + X! P(X) : 2 } jes rodziną semipooków mulifunkcji spełniających warunek (H). Załóżmy ponado, że dla każdego 2 isnieje jednowarościowy podsemipook f : T + X! X, dla kórego funkcja f (, ) jes selekcją F (, ) dla każdego 2 T +, mający globalnie przyciągający punk sały x 2 X. Jeżeli odwzorowanie 7! x jes ciągłe, a odwzorowanie (, x) 7! F (, x) jes półciągłe z dołu dla każdego 2 T +, o odwzorowanie 7! C jes półciągłe z dołu, gdzie C jes semiarakorem semiukładu F. Teraz przedsawimy wnioski doyczące półciągłej z dołu zależność od paramerów semiarakorów ierowanych układów funkcyjnych jak również losowych układów dynamicznych. Uogólniają one w szczególności akie sarsze rezulay jak [31, Lemma 2.3] oraz[16, Theorem 1] (porównaj akże z [28, Theorem 4.2], [37, Sec. 5]). Będziemy mówili, że kocykl (więc w szczególności eż IFS) posiada semiarakor, jeśli posiada go odpowiadający mu semipook mulifunkcji sanów. Wniosek 7.2. Niech będzie niepusym zbiorem indeksów. Załóżmy, że S = {S : X! X : 2 }, 2 jes rodziną ierowanych układów funkcyjnych

1 DR GRZEGORZ GUZIK złożonych z nierozszerzających ransformacji przesrzeni X w siebie (o znaczy odwzorowań lipschizowskich o sałych nie przekraczających 1). Załóżmy ponado, że dla każdego 2 isnieje akie 2 I, żefunkcjas ma jedyny globalnie przyciągający punk sały x. Jeżeli odwzorowanie 7! x jes ciągłe, o odwzorowanie 7! C jes półciągłe z dołu, gdzie C jes semiarakorem S. Wniosek 7.3. Niech (', ), 2 będzie rodziną losowych układów dynamicznych z białym szumem nad ym samym pookiem bazowym. Załóżmy, że funkcja ' (,!) :X! X jes nierozszerzająca dla każdych 2, 2 T + i! 2. Załóżmy dalej, że isnieje akie! 2, że! =! dla każdego 2 T +, dla każdego 2 isnieje aki punk x 2 X, że' (,! )(x )=x i x jes globalnie przyciągający dla semipooku ' (,! ). Jeżeli odwzorowanie 7! x jes ciągłe, o odwzorowanie 7! C jes półciągłe z dołu, gdzie C jes semiarakorem dla (', ). Teraz przedsawimy pewne rezulay doyczące zależności od paramerów dla ogólnych minimalnych domknięych zbiorów dodanio niezmienniczych. Jeśli 2, af : T + X!P(X) jes semipookiem mulifunkcji, o oznaczamy przez M rodzinę jego wszyskich minimalnych domknięych zbiorów dodanio niezmienniczych. Nasępujące dwa wierdzenia wykazane w [(G4), Theorems 6.1, 6.2] są paralelne z Theorem 5.1 z pracy [43], kóre opisuje ak zwany scenariusz opologicznej bifurkacji w klasie wielowarościowych semipooków generowanych przez sperurbowane układy dynamiczne z niezdegenerowanym szumem. Pierwsze z nich przedsawia syuację półciągłej z dołu zależności od paramerów dla domknięych minimalnych zbiorów dodanio niezmienniczych. Jes ono nieco w duchu poprzedniego wierdzenia dla semiarakorów (porównaj z punkem (i) w Theorem 5.1 z pracy [43]). Twierdzenie 7.4. Niech {F : T + X!P(X) : 2 } będzie rodziną semipooków mulifunkcji spełniających warunek (H) z rodzinami {M : 2 } minimalnych domknięych zbiorów dodanio niezmienniczych. Załóżmy nasępnie, że dla każdego 2 T + odwzorowanie (, x) 7! F (, x) jes półciągłe z dołu. Jeżeli M 2M, 2 oraz 1 2 są akie, że isnieje selekcja 3 7! x 2 M ciągła w punkcie 1, o dla każdego ciągu ( n ) n2n zbieżnego do 1, M 1 lim inf M n. n W szczególności, odwzorowanie 7! M jes półciągłe z dołu w punkcie 1. Rozważmy eraz naspępujący warunek: (B) dla każdego zbioru M 2 M, 2 isnieje aka liczba " >, że B o (x,") M dla pewnego x 2 M. Rezula, kóry eraz przedsawimy pokazuje, że dla minimalnych domknięych zbiorów dodanio niezmienniczych spełniających warunek (B) możemy spokać się z naychmiasowym pojawianiem się (porównaj z punkem (ii) Theorem 5.1 z arykułu [43]). Twierdzenie 7.5. Niech {F : T + X!P(X) : 2 } będzie rodziną semipooków mulifunkcji spełniających warunek (H) z rodzinami {M : 2 } minimalnych domknięych zbiorów dodanio niezmienniczych spełniających warunek (B). Załóżmy ponado, że dla każdego 2 T + odwzorowanie (, x) 7! F (, x) jes

AUTOREFERAT 11 półciągłe z dołu. Jeżeli ciąg ( n ) n2n zbieżny do 1 2 posiada aki podciąg ( nk ) k2n, że isnieją zbiory M nk 2M nk spełniające o M nk \ M 1 = ; dla k 2 N, ; =limsup k M nk \ M 1. W [(G4), Proposiion 6.3] pokazaliśmy, że akże w naszych realiach ciągły proces łączenia jes niemożliwy, o znaczy dwa różne minimalne domknięe zbiory dodanio niezmiennicze nie mogą zderzyć się przy zmianie parameru (porównaj z[43, Proposiion5.2]). Twierdzenie 7.6. Niech {F : T + X! P(X) : 2 } będzie rodziną semipooków mulifunkcji spełniających warunek (H). Załóżmy, że M 1 i M 2 są dwoma różnymi minimalnymi domknięymi zbiorami dodanio niezmienniczymi względem F dla każdego 2. Wówczas dla każdego 2, zachodzi lim inf inf %(x, y) >.! (x,y)2m 1 M 2 Uwaga 7.7. (i) Przykład zaprezenowany w punkcie (i) z Remark 6.4 z arykułu (G4) pokazuje, że w Twierdzeniu 7.5 warunek (B) jes isony i nie może być pominięy. (ii) Jeśli będziemy rozważać semipook mulifunkcji sanów generowany przez zaburzony przez szum (dyskreny) układ dynamiczny (zobacz Example 5.2 z pracy (G1) oraz wsęp do arykułu [43]), Twierdzenie 7.4 i Twierdzenie 7.5 pozosają wmocygdypozadomknięymizbioramidodanioniezmienniczymiszumjeszdegenerowany. Zaznaczmy, że w Theorem 5.1 z pracy [43] akiprzypadeknieza- chodzi. Tam wielowarościowe semipooki nie dopuszczają w ogóle singleonów jako warości. Wobec powyższego nasz rezula jes ogólniejszy. 8. Arakory kocykli i ierowanych ukłów funkcyjnych Dla danego kocyklu (, ') zdefiniujmy dla każdego włókna zbiór graniczny nasępująco: dla parameru! 2 ipodzbiorud przesrzeni X L(!, D) := \ [ '(s, s!)(d). 2T + cl Wówczas L(!, D) =limsup '(,!)(D). Nasępnie zdefiniujmy rodzinę A = {A! :! 2 } wzorem (8.1) A! := cl [ D s L(!, D) dla! 2, gdzie sumowanie po prawej sronie jes po wszyskich ograniczonych podzbiorach D przesrzeni X. Rozważmy semiopok mulifunkcji sanów F : X! P(X) kocyklu (, ') zdefiniowany równością (5.3). Jeśli semipook en posiada arakor w sensie Lasoy Myjaka A, o mówimy, że jes o arakor kocyklu (, '). W Proposiion 4.3 z pracy (G2) wykazaliśmy nasępującą relację pomiędzy rodziną A iarakoremwsensielasoy Myjaka.

12 DR GRZEGORZ GUZIK Twierdzenie 8.1. Załóżmy, że (, ') jes akim kocyklem, że dla każdego 2 T +,!2 ikażdego ograniczonego podzbioru D przesrzeni X obraz '(,!)(D) jes akże zbiorem ograniczonym. Jeśli (, ') posiada arakor w sensie Lasoy Myjaka A, o dla każdego! 2 zachodzi inkluzja A! A. Powyższe wierdzenie pokazuje, że arakor w sensie Lasoy Myjaka danego kocyklu pokrywa się (jes bowiem minimalny) z globalnym (wsecznym) arakorem wsensie[5], [1], [13], [37] w przypadku nieauonomicznych układów dynamicznych oraz w sensie [2], [41] w przypadku układów losowych. W pracach (G1) i (G2) wprowadziliśmy nasępującą definicję. Mówimy, że kocykl (, ') jes wsecznie jednosajnie zwężający jeśli dla każdego niepusego iograniczonegozbiorud X ikażdego"> isnieje akie = (", D) 2 T +,że (8.2) diam('(,!)(d)) <" dla każdego i! 2. W arykule (G6) wprowadziliśmy nieco słabszy warunek. Mianowicie, kocykl (, ') nazywamy wsecznie jednosajnie zwężającym na włóknach jeśli dla każdego! 2, każdegoniepusegoiograniczonegozbiorud X oraz każdego "> isnieje akie = (",!, D) 2 T +,żedlakażdych jes spełniony warunek (8.2). Oczywiście kocykl wsecznie jednosajnie zwężający jes wsecznie jednosajnie zwężający na włóknach. W [(G2), Theorem 4.4] (w [(G1), Theorem 4.3] w przypadku dyskrenym) wykazaliśmy nasępujący rezula. Twierdzenie 8.2. Załóżmy, że kocykl (, ') jes wsecznie jednosajnie zwężający. Niech F,2 T +, oznaczają jego mulifunkcje sanów. Wówczas dla każdych niepusych i ograniczonych podzbiorów A, B przesrzeni X oraz lim inf lim sup F (A) =liminf F (A) =limsup F (B) F (B). Naomias w [(G6), Proposiion 4.1] używając podobnej echniki udowodniliśmy nasępujący wynik. Twierdzenie 8.3. Załóżmy, że kocykl (, ') jes wsecznie jednosajnie zwężający na włóknach. Wówczas dla każdych niepusych i ograniczonych podzbiorów A, B przesrzeni X oraz lim inf lim sup dla każdego! 2. '(,!)(A) =liminf '(,!)(A) =limsup '(,!)(B) '(,!)(B) Powyższe wierdzenie pozwala naychmias sformułować nasępujący wnniosek [(G6), Corollary 4.2].

AUTOREFERAT 13 Wniosek 8.4. Jeżeli kocykl (, ') jes wsecznie jednosajnie zwężający na włóknach, o A! = L(!, D) dla! 2 dla każdego niepusego i ograniczonego zbioru D X, gdzie A! jes zdefiniowany wzorem (8.1). Niesey zbiory L(!, D) mogą być puse dla niekórych! 2. Kolejnyrezula [(G6), Theorem 4.3] pokazuje, że pod pewnymi słabymi i nauralnymi założeniami zbiory A! zdefiniowane równością (8.1) są niepuse, co więcej są singleonami. Twierdzenie 8.5. Niech (X, %) będzie przesrzenią meryczną zupełną, a (, ') będzie kocyklem wsecznie jednosajnie zwężającym na włóknach. Załóżmy, że isnieje aki niepusy i ograniczony podzbiór A przesrzeni X, że (8.3) '(,!)(A) A dla 2 T + i! 2. Wówczas dla każdego! 2 isnieje aki jedyny punk x! 2 X, żea! = {x! }. Uwaga 8.6. Jes jasnym, że jeśli X jes przesrzenią zwarą, o wysarczy położyć A = X i warunek (8.3) jes spełniony. Powyższe wierdzenie zainspirowne było przez wyniki L. Alsedy i M. Misiurewicza z prac [1] oraz[2], gdzie rozważane są pewne szczególne układy ciągłych ransformacji na domknięym przedziale prosej rzeczywisej. Ma ono eż związki z rezulaami doyczącymi ak zwanych dziwnych niechaoycznych arakorów (zobacz na przykład pracę [33]). Odwzorowanie 3! 7! x! 2 X nazywamy equilibrium kocyklu (, '), gdy '(,!)(x! )=x! dla 2 T + i! 2 (porównaj z Definiion 1.7.1 w monografii [18]). Twierdzenie 8.5 pozwala naychmias uzyskać: Wniosek 8.7. Jeżeli A! = {x! } dla! 2 są jak w Twierdzeniu 8.5, o odwzorowanie! 7! x! jes equilibrium kocyklu (, '). Teraz przedsawimy warunki dosaeczne isnienia arakorów w sensie Lasoy Myjaka dla ogólnych kocykli ([(G2), Theorem 4.4] i [(G1), Theorem 4.4]). Twierdzenie 8.8. Niech kocykl (, ') będzie wsecznie jednosajnie zwężający. Załóżmy, że isnieje akie! 2 i aki punk x 2 X, że isnieje granica lim '(,!)(x ).!1 Wówczas kocykl (, ') posiada arakor w sensie Lasoy Myjaka. Nasępujący wniosek jes wersją powyższego wierdzenia dla przypadku ierowanych układów funkcyjnych. Oryginalnie zosał on orzymany jako Theorem 4.2 wpracy[47] A.LasoyiJ.Myjakajakouogólnieniedobrzeznanegorezulau o arakorach (frakalach) IFS ów składających się ze ścisłych konrakcji (hiperbolicznych) [3] (zobaczeż[44]). Wniosek 8.9. Załóżmy, że ierowany układ funkcyjny {S : X! X : 2 } ciągłych ransformacji przesrzeni merycznej X spełnia nasępujące warunki:

14 DR GRZEGORZ GUZIK (i) dla każdego "> isnieje aki wskaźnik n 2 N, że dla każdego n n i każdego ograniczonego zbioru D X zachodzi diam(s 1... S n (D)) <" dla 1,..., n 2 ; (ii) isnieje zbieżna rajekoria, a dokładniej isnieje granica lim S... S 1 n!1 n (x ) dla pewnego x 2 X i pewnego ciągu ( n ) n2n elemenów z. Wówczas IFS en posiada arakor w sensie Lasoy Myjaka A. Uwaga 8.1. Oczywiście A,będącsemiarakoremsemipookuieracjimulifunkcjiBarnsleya Huchinsona F, spełnia warunek (8.3). Rzeczywiście, dla każdych n 2 N i! 2 Z mamy '(n,!)(a ) {'(n,!)(a ):! 2 } = F n (A ) A. Na mocy Wniosku 8.9 i Twierdzenia 8.5 możemy dosać Theorem 6.3 z pracy (G6), kóre uogólnia Theorem 6.2 z arykułu [7]. Zaznaczmy, że w amym wierdzeniu brane są pod uwagę ylko skończone IFS y. Twierdzenie o jes rodzajem ak zwanego wierdzenia adresowego. Twierdzenie 8.11. Załóżmy, że ierowany układ funkcyjny {S : X! X : 2 } ciągłych ransformacji zupełnej przesrzeni merycznej X spełnia założenia (i) i (ii) Twierdzenia 8.9. Niech A będzie jego arakorem w sensie Lasoy Myjaka. Jeżeli A jes ograniczony, o zbiory A! = \ n2n cl S 1... S n (A ) dla! =(... 1,, 1,...) 2 Z są singleonami. Ponado (8.4) A = [!2 Jeżeli arakor A IFS u ma posać (8.4) z A!,kóresąsingleonami,wówczas nazywamy go punkowo rozwłóknionym [7, Definiion6.1]. Nasępująca klasa funkcji zosała wprowadzona przez F.E. Browdera [11]. Mówimy, że funkcja S : X! X jes konrakcją jeśli isnieje aka półciągła z góry, niemalejąca funkcja :[, 1)! [, 1), spełniająca warunek () <dla >, że A!. %(S(x),S(y)) apple (%(x, y)) dla x, y 2 X. J. Makowski w [5, Theorem1.2] dowiódł, że każda konracja przesrzeni zupełnej ma globalnie przyciągający punk sały. Nasępujący wniosek [(G6), Corollary 6.4] odpowiada Theorem 1 z arykułu [26]. Zauważmy, że w pracy [26] są rozważane ylko przeliczalne IFS y. Wniosek 8.12. Dla każdego IFS u {S : X! X : 2 } składającego się z konrakcji zupełnej przesrzeni merycznej X z funkcją niezależną od 2 spełnione są założenia (i) oraz (ii) Wniosku 8.9. Wobec ego posiada on arakor w sensie Lasoy Myjaka, kóry jes punkowo rozwłókniony, o ile ylko jes on zbiorem ograniczonym.

AUTOREFERAT 15 Nierudno zobaczyć, że każda konrakcja jes akże konrakcją z () = L, 2 [, 1), gdziel 2 (, 1) jes sałą Lipschiza. Rozważmy nasępujący ważny przykład [(G6), Example 6.5]. Przykład 8.13. Niech (X, k k) będzie przesrzenią Banacha, a będzie niepusym zbiorem. Rozważmy dwa odwzorowania L :! R i M :! X oraz nasępujące równanie różnicowe na X (8.5) x n+1 = L( n )x n + M( n ) dla n 2 N. Zauważmy, że odwzorowania S : X! X dane wzorem (8.6) S (x) =L( )x + M( ) dla 2 i x 2 X worzą IFS. Załóżmy, że K := sup { L( ) : 2 } < 1 a M jes ograniczone, o znaczy isnieje aka liczba rzeczywisa R >, że M( ) 2 B o (,R) dla 2. Załóżmy jeszcze, że isnieje aki indeks 2, żem( )=. Przy ych założeniach ransformacje S( ) są ścisłymi konrakcjami. Dodakowo, ponieważ kl n ( )(x)k! przy n!1, więc isnieje zbieżna rajekoria (wzdłuż ciągu! =(...,,,...)). Zaem, na mocy Wniosku 8.9, rozważany IFS posiada arakor w sensie Lasoy Myjaka i w konsekwencji, na mocy Twierdzenia 8.5, zbiory A! zadane wzorem (8.1) są jedno punkowe. Policzmy włókna A! = {x! },! 2, explicie. Zauważmy, że używając indukcji dosajemy dla każdych n 2 N,! =(... 1,, 1,...) 2 Z i x 2 X, że Teraz Y n '(n, n!)(x) = n Y k=1 niezależnie od x 2 X. Ponado co oznacza, że szereg (8.7) k 1 Y j=1 k=1 L( k ) x + nx k=1 k 1 Y j=1 L( k ) x! gdy n!1 L( j ) M( k ) apple K k 1 R, 1X n=1 n 1 Y j=1 L( j ) M( n ) L( j ) M( k ). jes bezwzględnie zbieżny. Osaecznie, isnieje jedyny elemen x! 2 X, kóryjes sumą szeregu (8.7). Ponieważ A! = L(!, D) jes niezależny od wyboru ograniczonego zbioru D X możemy wziąć D = {x} dla dowolnego x 2 X i wywnioskować, że A! = {x! },gdziex! jes zdefiniowany jak wyżej. Jak widzieliśmy zbiór A := S!2 {x!} jes podzbiorem arakora w sensie Lasoy Myjaka A.Pokażemyeraz,żewisociezachodzirówność.Abyouczynić rozważmy mulifunkcję Barnsleya Huchinsona daną wzorem

16 DR GRZEGORZ GUZIK F (x) ={S (x) : 2 } izauważmy,żef (A) A. Rzeczywiście, jeśli! =(... 1,, 1,...) i x! 2 A, omamy X 1 F (x! ) = F = [ 2 n=1 n 1 Y {L( ) j=1 1X n=1 L( j ) M( n ) n 1 Y j=1 L( j ) M( n ). + M( )} Jednak nierudno zauważyć, że dla 2 są o singleony {x! } A, gdzie! =(...,, 1, 2,...). Wobec ego, zachodzi oczekiwana inkluzja. Dalej, ponieważ A jes podzbiorem każdego niepusego domknięego zbioru B X, dlakórego F (B) B, więc A A. Zaznaczmy, że równanie różnicowe (8.5) gra ważną rolę w eorii perpeui (zobacz arykuł [25], a akże referencje amże; akże [34, Remark1]). Ponado, IFS (8.6) jes kluczowy w rozwiązywaniu szerokiej klasy równań skalujących (zobacz prace [55], [34] oraz referencje amże). Z drugiej srony odwzorowanie M można rakować jako losowe inerwencje w liniowy IFS lub nawe, gdy L jes funkcją sałą, równanie (8.5) można rakować jako indukujące zaburzony dyskreny układ dynamiczny (porównaj na przykład [(G1), Example 5.2] lub [37, Example2.11]). Przy powyższych założeniach zaburzenia są ograniczone. W pracy (G5) rozważaliśmy lokalne zbiory przyciągające, dokładniej arakory w sensie Conleya (zobacz pozycją [19], gdzie można znaleźć oryginalną definicję i własności) dla pojedynczej mulifunkcji półciągłej z dołu i omawiamy pewne ich własności podobne do prezenowanych w pracach [51] i[52] dladomknięychrelacji na przesrzeniach zwarych. Nasępnie wprowadzamy lokalną wersję jednosajnego zwężania dla ierowanych układów funkcyjnych. Niech więc F : X! P(X) będzie mulifunkcją. Zbiór (domknięy) A X nazywamy arakorem (w sensie) Conleya dla F,gdyisniejeakie(oware) ooczenie U X zbioru A, że A =!(U). Nasępujący wynik jes konsekwencją definicji arakora Conleya i własności zbiorów granicznych [(G5), Corollay 4.1 oraz Corollary 4.2]. Twierdzenie 8.14. Załóżmy, że F : X!P(X) jes mulifunkcją półciągłą z dołu. Jeśli A jes arakorem Conleya dla F, o jes on dodanio niezmienniczy. Ponado, jeśli F posiada domknięe warości, o!(a) A. W eorii arakorów Conleya ważną rolę odgrywają bloki arakorowe. Podzbiór Q przesrzeni X nazywa się blokiem arakorowym dla mulifunkcji F : X!P(X), gdy F (cl Q) in Q. Kolejny rezula [(G5), Proposiion 4.3] pokazuje własności bloków arakorowych. Twierdzenie 8.15. Niech Q X będzie blokiem arakorowym dla mulifunkcji F : X!P(X). Wówczas (i) zbiory Q oraz cl Q są dodanio niezmiennicze względem F ; (ii) zbiory in Q oraz cl Q są akże blokami arakorowymi dla F ; a jeśli dodakowo F jes półciągła z dołu, o

AUTOREFERAT 17 (iii)!(in Q) =!(Q) =!(cl Q) cl Q. Nasępny wynik [(G5), Proposiion 4.4] powiada, że dla mulifunkcji półciągłych z dołu blok arakorowy deerminuje arakor. Twierdzenie 8.16. Zalóżmy, że F : X!P(X) jes mulifunkcją półciągłą z dołu. Jeżeli Q jes blokiem arakorowym, o zbiór cl Q jes ooczeniem!(q), a zbiór A =!(Q) = \ n2n cl F n (Q) =lim n F n (Q) jes arakorem Conley dla F. Uwaga 8.17. Zaznaczmy, że dla relacji domknięych na zwarych przesrzeniach Hausdorffa wierdzenie przeciwne eż jes prawdziwe, o znaczy każdy arakor Conleya jes wyznaczony przez (niekoniecznie jedyny) blok arakorowy, jednak dla ogólnych mulifunkcji półciągłych z dołu nie jes o wiadome. Dla danego arakora Conleya A mulifunkcji F : X! P(X) zdefiniujmy (punkowy) basen zwany inaczej dziedziną przyciągania arakora A jako zbiór B(A) :={x 2 X :!(x) A}. Zdefiniujmy dalej lokalną wersję arakora w sensie Lasoy Myjaka. Niech F : X!P(X) będzie mulifunkcją, a U X zbiorem owarym. Zbiór (domknięy) A X nazywa się lokalnym arakorem (w sensie) Lasoy Myjaka w U, gdy dla każdego ograniczonego podzbioru B U isnieje wspólna granica opologiczna A = lim n F n (B). Jeśli dodakowo U jes zbiorem ograniczonym, o oczywiście lokalny arakor w sensie Lasoy Myjaka jes akże arakorem w sensie Conleya. Jego basen definiujemy jak powyżej. W [(G5), Proposiion 5.2 i Theorem 5.3] proponujemy lokalne wersje Twierdzenia 8.2 i Wniosku 8.9, a nasępnie przedsawiamy wynik doyczący relacji pomiędzy arakorami Conleya i lokalnymi arakorami Lasoy Myjaka dla lokalnie jednosajnie zwężających IFS ów [(G5), Proposiion 5.5]. Twierdzenie o uogólnia Corollary 4.2 z pracy [8]. Twierdzenie 8.18. Załóżmy, że IFS {S : 2 } posiada arakor Conleya A z owarym i ograniczonym basenem B(A). Jeśli IFS en jes jednosajnie zwężający na B(A) i posiada zbieżną rajekorię x n = S 1... S n (x ), n 2 N, dla kórej lim n!1 x n 2 B(A), oa jes arakorem w sensie Lasoy Myjaka w B(A). 9. Nośniki miar niezmienniczych dla półgrup Markova W ej części zakładamy, że X jes przesrzenią polską, o znaczy zupełną iośrodkowąprzesrzeniąmeryczną. BędziemyrakowaćX jako przesrzeń mierzalną wyposarzoną w sandardową -algebrę B(X) wszyskich borelowskich podzbiorów X. OznaczmyprzezM(X) przesrzeń wszyskich skończonych miar borelowskich na X, aprzezm 1 (X) przesrzeń wszyskich borelowskich miar probabilisycznych (dysrybucji) na X. Ponado,niechB b (X), C b (X) i L b (X) oznaczają odpowiednio przesrzeń wszyskich (rzeczywisych) ograniczonych funkcji borelowskich na X, podprzesrzeń wszyskich ograniczonych funkcji ciągłych oraz podprzesrzeń wszyskich ograniczonych funkcji lipschizowskich wyposażone w normę supremum k k 1.Dlafunkcjif 2 B b (X) imiaryµ 2M(X) połóżmy Z hf,µi = f(x) µ(dx). X

18 DR GRZEGORZ GUZIK gdzie W przesrzeni miar M(X) rozważamy normę Fore Mouriera zadaną wzorem kµk F =sup{ hf,µi : f 2 F }, F := {f 2 B b (X) : kfk 1 apple 1 i f(x) f(y) apple%(x, y) dla x, y 2 X}. Wiadomo, że M 1 (X) jes domknięym podzbiorem przsrzeni unormowanej (M(X), k k F ). Ponado zbieżność w normie Fore Mouriera jes równoważna słabej zbieżności. Dokładniej, dla ciągu (µ n ) n2n miar µ n 2M 1 (X) i µ 2M 1 (X) mamy lim n!1 kµ n µk F =wedy i ylko wedy, gdy lim n!1 hf,µ n i = hf,µi dla f 2 C b (X). Dla miary µ 2M(X) jej nośnik definiujemy wzorem supp µ := {x 2 X : µ(b(x, r)) > dla r>}. Jes oczywisym, że supp µ jes zbiorem domknięym oraz µ(a) =dla każdego borelowskiego zbioru A X \ supp µ. Odwzorowanie liniowe P : M(X)!M(X), dlakóregopµ(x) =µ(x) dla każdej miary µ 2M(X) nazywamy operaorem Markova (na miarach). Rodzinę (P ) 2T + operaorów Markova P : M(X)!M(X), 2 T + nazywamy półgrupą gdy P s+ = P P s dla s, 2 T +. W dalszej części będziemy mieli do czynienia z operaorami Markova generowanymi przez prawdopodobieńswa przejścia. Odwzorowanie : X B(X)! [, 1] nazywamy prawdopodobieńswem przejścia, gdy (x, ) jes miarą probabilisyczną dla każdego x 2 X, a (,A) jes funkcją mierzalną dla każdego zbioru borelowskiego A X. Dla danego prawdopodobieńswa przejścia : X B(X)! [, 1] definiujemy mulifunkcję G : X!P(X) wzorem G(x) :=supp (x, ), kórą nazywamy mulifunkcją Markova generowaną przez lub po prosu nośnikiem. Oczywiście G ma domknięe warości. Mówimy, że prawdopodobieńswo przejścia : X B(X)! [, 1] jes Fellera, albo fellerowskie gdy funkcja X 3 x 7! (x, ) 2M 1 (X) jes ciągła. Wiadomo, że jeśli jes fellerowskie, o jego nośnik G jes mulifunkcją półciągłą z dołu [47]. Dla danego prawdopodobieńswa przejścia : X B(X)! [, 1] definiujemy odpowiadający mu operaor Markova P : M(X)!M(X) formułą Z Pµ(A) = (x, A) µ(dx) X dla każdej miary µ 2M(X) izbiorua2b(x). TakioperaorMarkovanazywamy generowanym przez prawdopodobieńswo przejścia. Jeśli jes fellerowskim pradopodobieńswem przejścia, o odpowiadający mu operaor Markova P akże nazywamy fellerowskim. Odwzorowanie p : T + X B(X)! [, 1] jes markowowską funkcją przejścia (zobacz na przykład pracę [65]), gdy (i) p(, x, ) jes miarą probabilisyczną dla każdego 2 T + ikażdegox 2 X, a p(,x, ) = x dla każdego x 2 X, (ii) p(,,a) jes wspólnie B(T + ) B(X) mierzalna dla każdego A 2B(X),

AUTOREFERAT 19 (iii) p spełnia warunek Chapmana Kołmogorova Z p(s +, x, A) = p(s, y, A)p(, x, dy) X dla każdych s, 2 T +,x2xia2b(x). Taką markowowską funkcję przejścia będziemy nazywać Markova Fellera, gdy p(,, ) jes fellerowskim prawdopodobieńswem przejścia dla każdego 2 T +. Zaznaczmy, że na mocy warunku (iii), dowolna markowowska funkcja przejścia generuje półgrupę (P ) 2T + operaorów Markova P : M(X)! M(X) zadaną wzorem Z (9.1) P µ(a) = p(, x, A) µ(dx) X dla każdych 2 T +,µ2m(x) i każdego zbioru borelowskiego A X. Zpółgrupą(P ) 2T + generowaną przez p zwiążemy półgrupę dualną (U ) 2T + operaorów U : B b (X)! B b (X) zdefiniowaną wzorem Z U f(x) = f(y) p(, x, dy) X dla każdych 2 T +,f2b b(x) i x 2 X. Wiadomo,żejeślip jes Markova Fellera, o U (C b (X)) C b (X) dla każdego 2 T +. Warunek Chapmana Kolmogorova (iii) implikuje, że rodzina G : X!P(X), 2 T + mulifunkcji Markova związanych z operaorami P określonymi wzorem (9.1) worzą właściwy semipook, kóry na mocy warunku (ii) jes wspólnie B(T + ) B(X) mierzalny. W rzeczywisości mamy więcaj: z każdym właściwym semipookiem półciągłych z dołu mulifunkcji o domknięych warościach możemy związać półgrupę operaorów Markowa, dla kórej dany semipook jes semipookiem jej mulifunkcji Markova. Niech F : T + X!P(X) będzie semipookiem mulifunkcji spełniającym waruki (H1) F (,x)={x} dla x 2 X, F jes właściwy, a mulifunkcje F (, ) są półciągłe z dołu i mają domknięe warości dla każdego 2 T +, F jes wspólnie B(T + ) B(X) mierzalny. Nasępujący rezula wykazaliśmy w [(G4), Proposiion 7.3] jako konsekwencję Theorem 5.3 z pracy [47]. Twierdzenie 9.1. Załóżmy, że F : T + X! P(X) jes semipookiem mulifunkcji spełniającym warunki (H1). Wówczas isnieje aka funkcja przejścia Markova Fellera p : T + X B(X)! [, 1], żef (, x) =suppp(, x, ) dla każdych 2 T + i x 2 X. W dalszej części pokażemy związek pomiędzy nośnikami miar niezmienniczych dla półgrupy operaorów Markova Fellera a minimalnymi domknięymi zbiorami dodanio niezmienniczymi względem semipooku jej mulifunkcji Markova. Nasępujące wierdzenie [(G4), Proposiion 7.2] jes przeformułowaniem [(G2), Proposiion 5.6] dla przypadku półgrup Markova Fellera. Twierdzenie 9.2. Załóżmy, że (P ) 2T + jes półgrupą operaorów Markova generowaną przez funkcję przejścia Markova Fellera p : T + X B(X)! [, 1],

2 DR GRZEGORZ GUZIK a F : T + X!P(X) jes akim wielowarościowym semiukładem dynamicznym, że F (, x) =suppp(, x, ) dla każdych 2 T + i x 2 X. Wówczas dla każdej miary µ 2M(X) i 2 T +. supp P µ = F (, supp µ) Miara µ 2M(X) nazywa się niezmienniczą względem półgrupy (P ) 2T + operaorów Markova P : M(X)!M(X), gdyp µ = µ dla każdego 2 T +. Twierdzenie 9.2 implikuje, że nośnik dowolnej miary niezmienniczej jes domknięym zbiorem niezmienniczym dla semipooku F (zobacz [(G4), Corollary 7.3]). Wniosek 9.3. Załóżmy, że (P ) 2T + jes półgrupą operaorów Markova generowaną przez funkcję przejścia Markova Fellera p : T + X B(X)! [, 1], a F : T + X!P(X) jes akim wielowarościowym semiukładem dynamicznym, że F (, x) =suppp(, x, ) dla każdych 2 T + i x 2 X. Jeśli miara µ 2M(X) jes niezmiennicza względem (P ) 2T +, o zbiór M =suppµ jes niezmienniczy względem F. Niech (P ) 2T + będzie półgrupą operaorów Markova P : M(X)!M(X). Dla 2 T + i µ 2M(X) definiujemy P () µ = 1 Z P s µds. Operaory P () : M(X)!M(X), 2 T +, worzą półgrupę Markova Fellera, o ile (P ) 2T + jes akowa. Zdefiniujmy dalej cp := {x 2 X : P () x zbiega słabo przy! 1}, anasępniezdefiniujmy x := lim!1 P () x dla x 2 cpi := {x 2 X : x jes niezmiennicza}. cp. Zdefiniujmy jeszcze Ponieważ (P () ) 2T + jes półgrupą operaorów Markova Fellera, można pokazać, że każda miara x jes miarą probabilisyczną niezmienniczą względem (P ) 2T +, czyli cp = cpi (zobacz arykuły [63] i[65]). W pracy (G4) pokazaliśmy nasępujące Theorem 7.4. Twierdzenie 9.4. Załóżmy, że (P ) 2T + jes półgrupą operaorów Markova generowaną przez funkcję przejścia Markova Fellera p : T + X B(X)! [, 1], a F : T + X!P(X) jes akim wielowarościowym semiukładem dynamicznym, że F (, x) =suppp(, x, ) dla każdych 2 T + i x 2 X. Jeśli M jes minimalnym domknięym dodanio niezmienniczym zbiorem względem F ijeśliisniejeelemen x 2 M należący do cp,om =supp x. Za pracą [65] (zobacz Theorem 4.2 amże, jak eż bibliografię z ej pracy) mówimy, że niezmiennicza miara probabilisyczna µ jes ergodyczna dla (P ) 2T +, gdy µ(e) =1lub µ(e) =dla każdego akiego zbioru borelowskiego E X, że P x (E) =1dla każdego x 2 E. Terazzdefiniujmyzbiór cpie := {x 2 X : x jes ergodyczna}. Wzbiorze cpie wprowadźmy relację równoważnościową zadaną nasępująco: x y wedy i ylko wedy, gdy x = y. Jej klasę równoważności dla x 2 cpie oznaczamy przez [x].

AUTOREFERAT 21 Mówimy, że półgrupa (P ) 2T + posiada e własność, gdydlakażdejfunkcjif 2 L b (X) rodzina {U f} 2T + jes równociągła (zobacz prace [35], [63] orazodnośniki amże). Uwaga 9.5. E własność zosała wprowadzona po raz pierwszy w pracy [48] auorswa A. Lasoy i T. Szarka. Jes ona bardzo pożyeczna jako ławiejsza do zweryfikowania alernaywa dla ak zwanej asympoycznej silnej własności Fellera (zobacz [27]), w szczególności do badania zdegenerowanych sochasycznych równań różniczkowych. Pojęcia e własności i asympoycznej silnej własności Fellera nie są równoważne, jednak większość sysemów, kóre posiadają ę osanią własność posiada akże e własność. Zanoujmy, że sochasyczne sysemy różnego rodzaju i pochodzenia z e własnością są wciąż szeroko badane przez licznych auorów, jak choćby w pracach T. Szarka i współauorów [35], [38], [6] [64]. Teraz zaprezenujemy cenralny rezula ej sekcji [(G4), Theorem 7.8]. Twierdzenie 9.6. Załóżmy, że (P ) 2T + jes półgrupą operaorów Markova generowaną przez funkcję przejścia Markova Fellera p : T + X B(X)! [, 1], a F : T + X!P(X) jes akim wielowarościowym semiukładem dynamicznym, że F (, x) = supp p(, x, ) dla każdych 2 T + i x 2 X. Załóżmy ponado, że (P ) 2T + posiada e własność. Jeśli µ jes miarą ergodyczną, o zbiór M =suppµ jes minimalnym domknięym dodanio niezmienniczym zbiorem względem F. Ponado, M =[x] dla każdego x 2 supp µ. Uwaga 9.7. (i) Twierdzenia 9.4 i 9.6 uogólniają rezulay zaware w Secion 5 zpracy[29]. (ii) Wiele procesów, na przykład, opisywane przez losowe dyfeomorfizmy, znane są jako posiadające skończoną liczbę miar niezmienniczych (zobacz pracę [69], aakże[3]). Możliwe jes, że półgrupa operaorów Markova Fellera posiada nieskończenie wiele miar niezmienniczych, nawe nieprzeliczalnie wiele. Zaznaczmy, że w [63, Sec. 4] można znaleźć warunki dosaeczne na o, aby półgrupa operaorów Markova Fellera z e własnością miała co najwyżej przeliczalną ilość niezmienniczych dysrybucji. Isnienie jedynej przyciągającej probabilisycznej miary niezmienniczej dla półgrupy operaorów Markova prowadzi do isnienia semiarakora dla sowarzyszonego z nią semipooku mulifunkcji. Dokładniej, probabilisyczną miarę niezmienniczą µ nazywamy przyciągającą jeśli dla każdej skończonej miary µ 2M(X) ciąg uogólniony (P µ) 2T + zbiega słabo do µ. Jeśli półgrupa (P ) 2T + posiada (z konieczności jedyną) probabilisyczną przyciągającą miarę niezmienniczą, o ę półgrupę nazywamy asympoycznie sabilną. Aby podsumować ę sekcję zaprezenujemy wynik [(G2), Theorem 5.7], kóry mówi, że pod odpowiednimi założeniami semiarakor semipooku mulifunkcji Markova dla (P µ) 2T + jes nośnikiem jedynej niezmienniczej i przyciągającej dysrybucji. Jes o uogólnienie na przypadek półgrup operaorów Markova Fellera głównego wierdzenia A. Lasoy i J. Myjaka z pracy [47], gdzie rozważa się pojedynczy operaor Markova Fellera. Twierdzenie 9.8. Załóżmy, że (P ) 2T + jes półgrupą operaorów Markova generowaną przez funkcję przejścia Markova Fellera p : T + X B(X)! [, 1], a F : T + X!P(X) jes akim wielowarościowym semiukładem dynamicznym,