STATYSTYCZNY OPIS PRZEPŁYWU BAROTROPOWEGO NA SFERZE
|
|
- Halina Jankowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN X 3, s , Gliwice 6 SAYSYCZNY OPIS PRZEPŁYWU AROROPOWEGO NA SFERZE ANDRZEJ ICHA Insyu Maemayki, Pomorska Akademia Pedagogiczna w Słupsku Sreszczenie. Praca doyczy wybranych aspeków opisu urbulencji w ramach eorii układów dynamicznych. Jako przykład zaprezenowano saysyczne ujęcie przepływu baroropowego na sferze. Wprowadzono definicję rozwiązania probabilisycznego dla równania przenoszenia wiru w akim przepływie. Wykorzysując sosowną nierówność energeyczną pokazano, że miara probabilisyczna zadana na zbiorze wszyskich warunków począkowych generuje miarę niezmienniczą skoncenrowaną na arakorze półgrupy operaorów związanych z ym równaniem.. WSĘP Najrudniejszy problem klasycznej fizyki, o podsawowym znaczeniu dla nauk echnicznych, wiąże się z maemaycznym opisem urbulennych przepływów cieczy i gazów. Na obecnym eapie rozwoju wiedzy powszechnie przyjmuje się, że urbulencję można opisać zagadnieniem począkowo-brzegowym Naviera-Sokesa (NSE). Należy przy ym zaznaczyć, że, w przeciwieńswie do dwuwymiarowych zagadnień przepływowych, problem isnienia, jednoznaczności i regularności rozwiązań NSE w przypadku 3 pozosaje owary. Osobną kwesią jes problem znalezienia jawnych (w ym saysycznych) rozwiązań układu NSE w celu analizy ważnych problemów inżynierskich i geofizycznych. Celem niniejszej pracy jes eoreyczny opis zjawiska urbulencji w ramach paradygmau NSE, przy wykorzysaniu meod eorii układów dynamicznych. Jako przykład rozważymy, pochodzący z geofizycznej hydrodynamiki, saysyczny opis przepływu baroropowego na sferze. Pokażemy, że sformułowanie problemu w języku rozwiązań saysycznych prowadzi do wniosku, że dowolna miara probabilisyczna zadana na zbiorze wszyskich możliwych warunków począkowych generuje miarę niezmienniczą skoncenrowaną na arakorze półgrupy operaorów związanej z równaniem przenoszenia wiru.
2 94 A. ICHA. UKŁADY DYNAMICZNE Rozważymy na wsępie pewne absrakcyjne zagadnienie Cauchy ego w przesrzeni anacha, posaci: du = G( u,), = [, ); u ( ) = u, () d gdzie u, a G jes (nieliniowym) operaorem określonym jako G : U a. Oznaczmy przez F : a ciągłą półgrupę ciągłych odwzorowań z w, zn. rodzinę przekszałceń przesrzeni w siebie, aką, że []:. F jes półgrupą, j. dla dowolnych s,u zachodzi związek F( Fu s ) = F+ su;. funkcja F ( u ) jes ciągła ze względu na parę uporządkowaną (,u),,u ; 3. F jes odwzorowaniem ożsamościowym, zn. Fu = u. Definicja. Parę {, F } nazywamy układem dynamicznym, a zbiór przesrzenią fazową ego układu. W szczególności, jeżeli = n oraz odwzorowanie G jes ciągłe i spełnia globalnie warunek Lipschiza, o z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności rozwiązania dla problemu () wynika, że układ równań różniczkowych zwyczajnych ypu () definiuje ciągły układ dynamiczny F []. Spośród mnogości układów dynamicznych generowanych przez równania różniczkowe ypu () rozważmy układ związany z równaniami Naviera-Sokesa. Jak pokazał Leray, problem NSE można sformułować w posaci analogicznej do () zn. zapisać go w formie operaorowego równania ewolucyjnego dla pola prędkości u ()( x) = ux (, ) w pewnej przesrzeni funkcyjnej, czyli dla rodziny {() u [, )} [3]. Na fizycznym poziomie ścisłości rozważań zwykle przyjmujemy a priori, że zagadnienie NSE posiada jednoznaczne rozwiązanie: wedy u () = Fu na pewnym odcinku [, ] i operaor F = ϕ( u, ) charakeryzuje się własnościami grupowymi w sensie definicji (). Oznacza o, że półgrupa nieliniowych operaorów F opisuje ewolucję wszyskich przepływów cieczy w obszarze o zadanej geomerii i przy wszyskich możliwych warunkach począkowych. Jakościowa analiza problemu urbulencji sugeruje, że dynamika rozwinięego przepływu urbulennego powinna koncenrować się na pewnym niezmienniczym podzbiorze przesrzeni fazowej. W rakcie ewolucji układu, san począkowy opisywany miarą probabilisyczną zadaną na zbiorze wszyskich dopuszczalnych warunków począkowych powinien coraz mniej wpływać na san końcowy układu. W rezulacie w przesrzeni fazowej przepływu pojawia się pewien podzbiór scharakeryzowany miarą niezmienniczą (arakor), kóry całkowicie określa saysyczne własności urbulencji [4]. Z powyższych rozważań wynika, że podsawową rolę przy analizie geomerycznej srukury przesrzeni fazowej przepływu odgrywają obieky zwane arakorami układu dynamicznego oraz ich charakerysyki (srukura, miary probabilisyczne (nierównowagowe i niezmiennicze), ergodyczność ip.). Króko odniesiemy się do ych pojęć. Niech A, będą dwoma zbiorami zawarymi w przesrzeni fazowej, z normą i meryką generowaną przez normę, ρ(, ). Przez odległość (dis) dwóch zbiorów A, def
3 SAYSYCZNY OPIS PRZEPŁYWU AROROPOWEGO NA SFERZE 95 w przesrzeni rozumiemy liczbę: dis( A, ) = sup ρ( a, ), ρ( a, ) = inf ρ( ab, ) = inf a b. a A b b Definicja. Arakorem półgrupy operaorów F działającej w przesrzeni fazowej nazywamy zbiór zwary A aki, że:. F A = A,, (własność F -niezmienniczości);. limdis( F, A ) =, (własność przyciągania), gdzie jes ograniczonym zbiorem. ak więc, jeżeli san począkowy układu należy do arakora, u A, o układ dynamiczny ewoluuje wyłącznie na ym zbiorze. Jeżeli san począkowy u należy do pewnego ooczenia arakora, o rajekorie układu przy są przyciągane do ego zbioru [5]. Niech δ ( ) będzie σ -ciałem podzbiorów oraz niech + = x ; x }. Definicja 3. Miarą na σ -ciele δ ( ) nazywamy odwzorowanie µ : δ ( ) a! +, przy czym:. µ ( ) = ;. jeżeli Ai δ ( ), i =,, n,, oraz Ai Aj =, i j, o ( ) = µ U A i µ ( A i ). Definicja 4. Miarę µ na arakorze A nazywamy niezmienniczą, jeżeli E A, zachodzi równość: µ ( E) = µϕ ( ( E, )). Skonsruowanie akiej miary na arakorze jes bardzo złożonym zagadnieniem. Doyczy o m.in. układów dyssypaywnych (np. układu NSE), dla kórych w przesrzeni fazowej może wysępować więcej zbiorów przyciągających (arakorów) i w związku z ym, może isnieć więcej miar niezmienniczych skoncenrowanych na ych zbiorach. Nie jes np. oczywise, kórą z nich należałoby wybrać, gdyż saysyczne własności rozwiązań ϕ ( u, ) zależą, ogólnie mówiąc od ego do jakiego obszaru przyciągania należą warunki począkowe. Jednoznaczność miary uzyskujemy w przypadku ergodycznych układów dynamicznych. Definicja 5. Układ dynamiczny nazywamy ergodycznym (lub nierozkładalnym) względem miary µ, jeżeli żaden zbiór niezmienniczy układu (arakor) nie może być przedsawiony w posaci sumy dwóch niezmienniczych, nieprzecinających się zbiorów o miarach dodanich. Własności układów ergodycznych precyzuje nasępujące wierdzenie irkhoffa [6]: wierdzenie. Niech ϕ ( u, ) będzie ergodycznym układem dynamicznym a µ ( A ) niezmienniczą miarę probabilisyczną określoną na arakorze A ego układu. Wedy dla każdego E A ma miejsce równość: lim χe( ϕ ( u, )) d = µ ( E), gdzie χ E jes funkcją charakerysyczną zbioru E. Fizycznie oznacza o, że czas przebywania rajekorii (prawie) każdego punku ergodycznego układu dynamicznego na arakorze, jes proporcjonalny do miary ego arakora. i= i =
4 96 A. ICHA 3. RÓWNANIE PRZENOSZENIA WIRU Niech S % = S % ( λφ, ) będzie dwuwymiarową sferę o promieniu jednoskowym w przesrzeni 3!. Równania dynamiki cieczy baroropowej, zn. akiej, kórej gęsość jes ylko funkcją ciśnienia, uzyskujemy analizując układ równań Naviera-Sokesa w sferycznym układzie współrzędnych związanym z obracającym się ośrodkiem. Orzymamy [5]: u u + grad + u rou+ lk u+ ν rorou = grad p+ f, () divu = ; u = u ( a), a S%, = gdzie k jes jednoskowym wekorem normalnej zewnęrznej do sfery S %, l paramerem Coriolisa a f = f ( λφ, ) gęsością sił zewnęrznych. Rozważany przepływ jes dwuwymiarowy; zaem, wykorzysując równanie ciągłości, wprowadzamy poencjał ψ = ψ(, λφ, ) pola prędkości zgodnie z zależnością u = k gradψ. Uwzględniając powyższy fak w równaniu () orzymujemy: ψ + J( ψ, ψ + l) = ν ψ + ro f, ψ() = ψ, lub, wprowadzając pole wiru ω = ψ, równanie ω + J( ωω, + l) = ν ω+ f, f = ro f, ω = = ω, gdzie J (, ) jes jakobianem przekszałcenia w zmiennych ( λφ, ). Równanie (3) sanowi punk wyjścia dalszych rozważań. Analizowane zagadnienie rozparujemy w przesrzeni H( S) = { ω: ω L ( S), ωds = }, kórej elemenami są funkcje całkowalne z kwadraem spełniające warunek poencjalności. Normę w ej przesrzeni oznaczamy przez. Nasępnie, wprowadzimy rodzinę przesrzeni H α ( S) D( ( ) α/ ) =, α, gdzie jes operaorem Laplace a na sferze. Normy w ych α/ przesrzeniach określamy jako u = u = ( ) u. Zachodzi nasępujące wierdzenie [7]: α H α wierdzenie. Jeżeli ω H, f H, o isnieje jedyne rozwiązanie problemu (3), akie, że ω C( [,, ) H) L(, : H). W świele wierdzenia (), równanie (3) generuje pewien układ dynamiczny wyznaczony przez ciągłą półgrupą ciągłych operaorów S : ω a ω(), zn. ω() = Sω w przesrzeni H. Mnożąc równanie (3) przez ω, a nasępnie całkując po czasie orzymujemy nasępujące oszacowanie (nierówność energeyczną) ν S ω() + ωτ ( ) dτ f + ω. (4) (3) Załóżmy, że na przesrzeni H, kórej elemenami są określone w chwili począkowej pola ω zadana jes miara probabilisyczna µ ( E), E δ ( H), µ ( H) =.
5 SAYSYCZNY OPIS PRZEPŁYWU AROROPOWEGO NA SFERZE 97 Definicja 6. Saysycznym rozwiązaniem problemu (3) nazywamy rodzinę miar µ (, E) spełniającą warunek µ (, E) = µ ( S E) = µ ({ ω HS : ω E}), E δ ( H ). (5) Jeżeli µ (, E) = µ ( E),, o saysyczne rozwiązanie µ (, E) nazywamy sacjonarnym. Niech F : H będzie dowolnym, ciągłym funkcjonałem. Z definicji (6) wynika, że FS ( ωµ ) ( d ω ) = F( ωµ ) (, d ω ). (6) wierdzenie 3. Załóżmy, że całka ω µ ( dω) isnieje i jes skończona. Wedy, dla rozwiązania saysycznego µ (, E) ma miejsce nasępujące oszacowanie (nierówność energeyczna): / ω µ (, dω) + dτ ( ) ω µτ (, dω) f + ω µ ( dω). τ (7) Dowód. Wykorzysując nierówność (4), w kórej zasępujemy ω () przez Sω a nasępnie całkując po mierze µ ( dω) orzymujemy / + + τ Sω µ ( dω ) dτ ( ) Sω µ ( dω f ) ω µ ( dω ). (8) iorąc pod uwagę (6) uzyskujemy / d + d d f + d τ ω µ (, ω ) τ ( ) ω µτ (, ω) ω µ ( ω ). i osaecznie, zamieniając ω na ω, orzymujemy ezę.! Wprowadzimy eraz uśrednione miary µ ( E ) zgodnie z zależnością µ ( E) = µ (, Ed ), E δ( H). (9) wierdzenie 4. Rodzina miar (9) jes zbieżna słabo do sacjonarnej miary µ ˆ( E) niezmienniczej względem półgrupy operaorów S skoncenrowanej na arakorze A H ej półgrupy, przy czym µ ˆ ( E) =. Dowód. Wykorzysując nierówność energeyczną (7) mamy, z uwagi na (9) f / / d ( ) (, d ) ( ) ( d ) ( d ) c τ ω µτ ω = ω µ ω + ω µ ω ν (c =cons) i w rezulacie / ( ) ω µ ( dω ) c, >. ak więc, z ciągu miar probabilisycznych µ ( E), E σ ( H) można wybrać zbieżny słabo
6 98 A. ICHA podciąg µ ( E), aki, że µ ( E) ˆ( E). Niezmienniczość miary µ ˆ( E) n n µ n τ pokazujemy, zauważając, że F ( ω) µ ( dω) = F( Sτω) µ ˆ( dω), > i F : H. 4. UWAGI KOŃCOWE Zgodnie z wierdzeniem (4), dowolna miara probabilisyczna µ ( E) zadana na zbiorze wszyskich możliwych warunków począkowych, generuje miarę niezmienniczą µ ˆ( E) skoncenrowaną na arakorze półgrupy operaorów S związanych z równaniem (3). Jednakże, zagadnienie ergodyczności ej miary pozosaje problemem owarym. O wielkim znaczeniu problemayki zarysowanej w ej pracy, a związanej z równaniami Naviera-Sokesa, świadczy fak umieszczenia NSE na liście Millenium Prize Problems pod nazwą Navier- Sokes Exisence and Smoohness (hp:// Dodajmy jeszcze, że z uwagi na podsawowe rudności związane z analizą równań nieliniowych, wykorzysanie meod eorii układów dynamicznych odnosi się głównie do problemów fizycznych opisywanych równaniami różniczkowymi zwyczajnymi. W zagadnieniach urbulencji en san rzeczy należy uważać za,,pierwsze przybliżenie. Podejście probabilisyczne sanowi właściwy kierunek analizy (zob. szerzej [8]), chociaż, jak doąd, nie znaleziono żadnego rozwiązania saysycznego w jawnej posaci dla konkrenego przepływu urbulennego. LIERAURA. Szlenk W.: Wsęp do eorii gładkich układów dynamicznych. Warszawa: PWN, 98.. Przeradzki.: eoria i prakyka równań różniczkowych zwyczajnych. Łódź: Wyd. Uniw. Łódz., Foias C., Manley I., Rosa R., emam R.: Navier-Sokes equaions and urbulence. Cambridge: Cambridge Universiy Press,. 4. Icha A.: Problemy eorii urbulencji. Rozpr. i Mon.. Sopo: IO PAN, Dymnikov W.P., Filaov A.N.: Usojčivos krupnomassabnych amosfernych processov. Leningrad: Gidromeeoizda, Fomin S.W., Kornfeld I.P., Sinaj J.G.: eoria ergodyczna. Warszawa: PWN, 987, (łum. z jęz. ros.). 7. Dymnikov W.P., Filaov A.N.: Vvedenie v maemaičeskuju eorju klimaa. Moskva: IVM RAN, Višik M.I., Fursikov A.W.: Maemaičeskie zadači saisičeskoj gidromechaniki. Moskva: Nauka, 98. SAISICAL APPROACH O AROROPIC FLOW ON SPHERE Summary. In his paper dynamical sysems approach is applied o descripion of seleced problems in urbulence heory. A noion of saisical soluion for ranspor voriciy equaion is inroduced. A suiable energeic inequaliy for his soluion is obained. Using his fac, i is shown ha an arbirary probablilisic measure, defined on he se of all iniial daa, generaed an invarian measure concenraed on he aracor of semi-group operaors associaed wih he ranspor voriciy equaion.
Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrotechniki
Wydział Mechaniczno-Energeyczny Podsawy elekroechniki Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. zw. PWr Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław Bud. A4 Sara kołownia, pokój 359 Tel.: 7 320 320
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoDyskretny proces Markowa
Procesy sochasyczne WYKŁAD 4 Dyskreny roces Markowa Rozarujemy roces sochasyczny X, w kórym aramer jes ciągły zwykle. Będziemy zakładać, że zbiór sanów jes co najwyżej rzeliczalny. Proces X, jes rocesem
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoretycznej Zespół Chemii Kwantowej Grupa Teorii Reaktywności Chemicznej
CHEMI KWTOW CHEMI KWTOW Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoreycznej Zespół Chemii Kwanowej Grupa Teorii Reakywności Chemicznej LITERTUR R. F. alewajski, Podsawy i meody chemii kwanowej:
Bardziej szczegółowoSformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej. Fizyka II, lato
Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwanowej Fizyka II, lao 018 1 Wprowadzenie Posać funkcji falowej dla fali de Broglie a, sin sin k 1 Jes o przypadek jednowymiarowy Posać a zosała określona meodą zgadywania.
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoPobieranie próby. Rozkład χ 2
Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie
Bardziej szczegółowoC d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoZapomniane twierdzenie Nyquista
Zapomniane wierdzenie Nyquisa Bogdan Cichocki, IFT UW KMMF 01.03.1 A A Flukuacje od łac. flucuaio drgania, falowanie, nazwa wprowadzona przez Mariana Smoluchowskiego Harry Nyquis (1889-1976) inżynier elekryk,
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml
Bardziej szczegółowoSilniki cieplne i rekurencje
6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Bardziej szczegółowoPodstawowe wyidealizowane elementy obwodu elektrycznego Rezystor ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) i t i t u ( ) u t u t i ( ) i t. dowolny.
Tema. Opracował: esław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Insyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akusyki Poliechnika Wrocławska Prawa auorskie zasrzeżone Podsawowe wyidealizowane elemeny obwodu elekrycznego
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoWykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie
Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska
Bardziej szczegółowoFale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji
Fale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji Piotr Bartłomiejczyk Politechnika Gdańska Między teorią a zastosowaniami: Matematyka w działaniu Będlewo, 25 30 maja 2015 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 1 /
Bardziej szczegółowoLista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t,
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B Lisa nr 1 1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u() na okładkach kondensaora w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C,
Bardziej szczegółowoz graniczną technologią
STUDIA OECOOMICA POSAIESIA 23, vol., no. (25) Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej emil.panek@ue.poznan.pl iesacjonarny model von
Bardziej szczegółowoWykład 4 Metoda Klasyczna część III
Teoria Obwodów Wykład 4 Meoda Klasyczna część III Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 5/8 el: (7) 3 6 fax: (7)
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowogdzie M to mówimy, że na tym obszarze jest określone pole skalarne u( M) u( r)
Wykłady z Maemayki sosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład. CAŁKA KRZYWOINIOWA ZORIENTOWANA.. Definicje i własności całek krzywoliniowych zorienowanych... Nekóre zasosowania całek krzywoliniowych
Bardziej szczegółowoWykład 4: Transformata Laplace a
Rachunek prawdopodobieńwa MAP164 Wydział Elekroniki, rok akad. 28/9, em. leni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 4: Tranformaa Laplace a Definicja. Niech f() będzie funkcją określoną na R, przy czym
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoElementy równań różniczkowych cząstkowych
Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze
Bardziej szczegółowo2. Wprowadzenie. Obiekt
POLITECHNIKA WARSZAWSKA Insyu Elekroenergeyki, Zakład Elekrowni i Gospodarki Elekroenergeycznej Bezpieczeńswo elekroenergeyczne i niezawodność zasilania laoraorium opracował: prof. dr ha. inż. Józef Paska,
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoDynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) górotworu
Henryk FILCEK Akademia Górniczo-Hunicza, Kraków Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) góroworu Sreszczenie W pracy podano rozważania na ema możliwości wzbogacenia reologicznego równania konsyuywnego
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zadane przez zaburzenia generatorów C 0 półgrup operatorów
1 Równania różniczkowe zadane przez zaburzenia generaorów C półgrup operaorów 1.1 C półgrupy - informacje wsępne Definicja 1.1 Niec E będzie przesrzenią Banaca. Rodziną operaorów liniowyc ograniczonyc
Bardziej szczegółowoDobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych
Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego
Bardziej szczegółowoVII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI
Konderla P. Meoda Elemenów Skończonych, eoria i zasosowania 47 VII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI. Równanie ruchu dla zagadnienia dynamicznego Q, (7.) gdzie M NxN macierz mas, C NxN macierz łumienia, K NxN macierz
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoPrzez system Walrasa w ekonomii matematycznej rozumiemy zazwyczaj układ równań różniczkowych dynamiki cen w n-produktowej gospodarce
PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LVIII ZESZYT 3-4 011 EMIL PANEK SYSTEM WALRASA I ZAPASY 1. WSTĘP Przez sysem Walrasa w ekonomii maemaycznej rozumiemy zazwyczaj układ równań różniczkowych dynamiki cen w n-produkowej
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( τ) ( t) = 0
Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany
Bardziej szczegółowoSekantooptyki owali i ich własności
Sekantooptyki owali i ich własności Magdalena Skrzypiec Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej 19 października 2009r. Informacje wstępne Definicja Owalem nazywamy
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoPODSTAWY CHEMII KWANTOWEJ. Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoretycznej Zespół Chemii Kwantowej Grupa Teorii Reaktywności Chemicznej
PODSTWY CHEMII KWTOWEJ Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoreycznej Zespół Chemii Kwanowej Grupa Teorii Reakywności Chemicznej LITERTUR R. F. alewajski, Podsawy i meody chemii kwanowej:
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoMetody badania wpływu zmian kursu walutowego na wskaźnik inflacji
Agnieszka Przybylska-Mazur * Meody badania wpływu zmian kursu waluowego na wskaźnik inflacji Wsęp Do oceny łącznego efeku przenoszenia zmian czynników zewnęrznych, akich jak zmiany cen zewnęrznych (szoki
Bardziej szczegółowoKURS EKONOMETRIA. Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS EKONOMETRIA Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonomerycznego ZADANIE DOMOWE www.erapez.pl Srona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (ylko jedna jes prawdziwa). Pyanie 1 Kóre z poniższych
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU
Modelowanie ryzyka kredyowego MODELOWANIE ZA POMOCA PROCESU HAZARDU Mariusz Niewęgłowski Wydział Maemayki i Nauk Informacyjnych, Poliechniki Warszawskiej Warszawa 2014 hazardu Warszawa 2014 1 / 18 Proces
Bardziej szczegółowo11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.
Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoWPROWADZENIE Podsawowe kierunki badań Zachowania klasyczne i dziwne Diagnosyka dziwnych zachowań Źródła zachowań chaoycznych Sysem pojęciowy Przykłady
KLASYFIKACJA ZACHOWAŃ WYBRANYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Wojciech MITKOWSKI Kaedra Auomayki Wydział Elekroechniki, Auomayki, Inormayki i Elekroniki Akademia Górniczo-Hunicza w Krakowie Zielona Góra, lisopada
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoPojęcia podstawowe 1
Tomasz Lubera Pojęcia podsawowe aa + bb + dd + pp + rr + ss + Kineyka chemiczna dział chemii fizycznej zajmujący się przebiegiem reakcji chemicznych w czasie, ich mechanizmami oraz wpływem różnych czynników
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowo26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoLaboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
FORMOWANIE SIĘ PROFILU PRĘDKOŚCI W NIEŚCIŚLIWYM, LEPKIM PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWÓD ZAMKNIĘTY Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie analiza formowanie się profilu prędkości w trakcie przepływu płynu przez
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych
Metody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański 6 Wrzesień 2016 Zastosowania równań hiperbolicznych Nieliniowe równania hiperboliczne wykorzystywane
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.
EKONOMERIA wykład Prof. dr hab. Eugeniusz Ganar eganar@mail.wz.uw.edu.pl Przedziały ufności Dla paramerów srukuralnych modelu: P bˆ j S( bˆ z prawdopodobieńswem parameru b bˆ S( bˆ, ( m j j j, ( m j b
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoO WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH STRUKTUR PRZESTRZENNYCH
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 26 Krzyszof Heberlein Uniwersye Szczeciński O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH STRUKTUR PRZESTRZENNYCH STRESZCZENIE W arykule
Bardziej szczegółowoAutoreferat. dr Grzegorz Guzik
Auorefera dr Grzegorz Guzik 1. Sopnie naukowe (a) magiser maemayki, Wyższa Szkoła Pedagogiczna, Insyu Maemayki, Kraków 1993. Tyuł pracy magiserskiej: Twierdzenie Li Yorke a o chaosie funkcji ciagłej na
Bardziej szczegółowoϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.
VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowo