Algebra liniowa. dla studentów informatyki. Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Płocku

Algebra liniowa z geometria analityczna dla studentów informatyki Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Płocku Aktualizacja: 15 stycznia 2012

Spis treści Spis treści 2 1 Macierze i wyznaczniki 1 1.1 Macierze podstawowe określenia...................... 1 1.2 Działania na macierzach............................ 4 1.3 Wyznacznik macierzy.............................. 8 1.4 Własności wyznaczników........................... 10 1.5 Macierz odwrotna................................ 13 2 Układy równań 17 2.1 Podstawowe określenia............................. 17 2.2 Układy Cramera................................. 18 2.3 Rzad macierzy.................................. 19 2.4 Rozwiazywanie dowolnych układów równań liniowych......... 21 3 Liczby zespolone 23 3.1 Podstawowe definicje i własności....................... 23 3.2 Postać algebraiczna i sprzężenie liczby zespolonej.............. 25 3.3 Moduł i argument liczby zespolonej...................... 26 3.4 Postać trygonometryczna liczba zespolonej.................. 27 3.5 Pierwiastkowanie liczb zespolonych...................... 28 4 Przestrzenie liniowe. Przekształcenia liniowe 30 4.1 Podstawowe definicje.............................. 30 4.2 Liniowa niezależność. Baza i wymiar przestrzeni liniowej......... 32 4.3 Przekształcenia liniowe. Obraz i jadro przekształcenia liniowego..... 37 4.4 Macierz przekształcenia liniowego...................... 38 4.5 Działania na przekształceniach liniowych.................. 41 2

5 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni 43 5.1 Wektory...................................... 43 5.2 Równania płaszczyzny............................. 50 5.3 Równania prostej................................ 51 5.4 Wzajemne położenie punktów, prostych i płaszczyzn........... 52 Dodatek 54 Indeks 55

Rozdział 1 Macierze i wyznaczniki 1.1 Macierze podstawowe określenia Definicja 1.1. Macierza (rzeczywista) wymiaru m n, gdzie m, n N, nazywamy prostokatn a tablicę złożona z m n liczb rzeczywistych ustawionych w m wierszach i n kolumnach. a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn Macierze będziemy oznaczali wielkimi literami alfabetu np. A, B, C, X itd. Element macierzy stojacy w i tym wierszu oraz w j tej kolumnie oznaczamy przez a ij. Macierz A można zapisywać w postaci [ a ij ]m n lub [ a ij ], gdy znany jest jej wymiar. Macierze A i B sa równe, gdy maja takie same wymiary i gdy a ij {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n}. Przykład 1.1. 1. A = 1 0 6 3 macierz wymiaru 2 2, [ ] 2. B = 2 3 1 2 1 macierz wymiaru 1 4, = b ij, dla i 1

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 2 3. C = 2 3 7 1 2 5 0 3 3 0 4 2 macierz wymiaru 4 3. Mamy tu: c 12 = 3, c 23 = 5. Definicja 1.2. 1. Macierz wymiaru m n, w której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierza zerowa wymiaru m n i oznaczamy 0 m n lub 0, gdy znamy jej wymiar. 0 0... 0 0 0... 0 0 =....... 0 0... 0 2. Macierz, w której liczba wierszy jest taka sama jak liczba kolumn (m = n) nazywamy macierza kwadratowa. Liczbę kolumn (wierszy) nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadratowej. Elementy macierzy, które maja taki sam numer wiersza i kolumny (a 11, a 22,... a nn ) tworza główna przekatn a macierzy a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =....... a n1 a n2... a nn 3. Macierz kwadratowa stopnia n 2, w której wszystkie elementy leżace nad główna przekatn a sa równe 0, nazywamy macierza trójkatn a dolna a 11 0... 0 a 21 a 22... 0 A =....... a n1 a n2... a nn Analogicznie określamy macierz trójkatn a górna a 11 a 12... a 1n 0 a 22... a 2n A =...... 0 0... a nn.

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 3 4. Macierz kwadratowa stopnia n, w której wszystkie wyrazy nie stojace na głównej przekatnej sa równe 0, nazywamy macierza diagonalna a 11 0... 0 0 a 22... 0 A =....... 0 0... a nn Macierz diagonalna stopnia n, w której wszystkie elementy na głównej przekatnej sa równe 1 nazywamy macierza jednostkowa i oznaczamy I n lub I, gdy znamy jej wymiar 1 0... 0 0 1... 0 I =....... 0 0... 1 5. Załóżmy, że mamy m n różnych macierzy A ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Ustawmy te macierze w m wierszach i n kolumnach. Otrzymana w ten sposób macierz A nazywamy macierza blokowa A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n A =...... A m1 A m2... A mn Oczywiście macierze A i1, A i2,..., A in stojace w i tym wierszu musza mieć te same liczby wierszy. Podobnie macierze A 1j, A 2j,..., A mj stojace w j tej kolumnie musza mieć te same liczby kolumn. Przykład 1.2. 1. Macierze zerowe 2. Macierze kwadratowe 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 7 0 5 8 9 5 4,, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 7 34 3..

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 4 3. Macierze trójkatne górna i dolna 1 2 7 0 5 8 0 0 4, 5 0 0 0 4 5 4 0 0 5 7 5 2 0 4 77 11 7 4. Macierz diagonalna 4 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 64 0 0 0 0 5 5. Macierz jednostkowa 1 0 0 0 1 0 0 0 1 6. Macierz blokowa A = 4 5 7 1 2 3 1 3 1 2 4 2 1 7 7 19 6 1 0 11 1.2 Działania na macierzach Definicja 1.3. Niech A = [ ] a ij m n, B = [ ] b ij m n. Suma [różnic a] macierzy A i B nazywamy macierz C = [ c ij, której elementy określone s ]m n a wzorami c ij = a ij ± b ij, dla i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n}. Piszemy wtedy C = A ± B. Zatem, c 11 c 12... c 1n c 21 c 22... c 2n...... = a 11 ± b 11 a 12 ± b 12... a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 22 ± b 22... a 2n ± b 2n....... c m1 c m2... c mn a m1 ± b m1 a m2 ± b m2... a mn ± b mn

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 5 Uwaga 1.1. Z definicji wynika, że dodawać i odejmować możemy od siebie tylko macierze tych samych wymiarów Przykład 1.3. Niech 3 1 0 1 A = 2 3 5 1 4 2 4 2 2 1 3 Wówczas A + B =, B = 3 + 2 3 1 + 1 0 3 1 + 4 2 3 + 14 5 + 9 1 + 11 4 + 0 2 4 4 + 3 2 2 1 + 1 3 2 2 3 1 3 4 14 9 11 0 4 3 1 2 =. 11 3 2 3 5 44 3 4 12 4 2 1 7 2 1 Definicja 1.4. Niech A = [ a ij, α niech będzie dowoln ]m n a liczba rzeczywist a. Iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz B = [ b ij której elementy ]m n określone sa następujaco: b ij = α a ij, dla i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n}. Piszemy wtedy B = α A.. Zatem b 11 b 12... b 1n b 21 b 22... b 2n...... = α a 11 α a 12... α a 1n α a 21 α a 22... α a 2n....... b m1 b m2... b mn α a m1 α a m2... α a mn Przykład 1.4. Niech Wówczas 3 A = 3 1 4 2 1 A = = 1 4 2 1. 3 1 3 4 3 ( 2) 3 1 = 3 12 6 3. Przykład 1.5. Niech A = 5 6 2 5 2 1, B = 3 7 1 4 1 3.

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 6 Obliczymy Mamy 3 A 4 B. 3 A 4 B =3 5 6 2 4 3 7 1 = 5 2 1 4 1 3 15 18 6 12 28 4 = 3 46 2. 15 6 3 16 4 12 31 2 15 Przejdziemy teraz do najtrudniejszego działania mnożenia macierzy. Definicja 1.5. Niech A = [ ] a ij m n, B = [ ] b ij. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [ c ij, której elementy określone s n k ]m k a wzorami c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +... + a in b nj dla i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., k}. Piszemy wtedy C = A B. Uwaga 1.2. Z definicji wynika, że iloczyn A B jest wykonalny, gdy liczba kolumn macierzy A jest taka sama jak liczba wierszy macierzy B. Otrzymana macierz ma tyle wierszy, ile miała macierz A i tyle kolumn, ile miała macierz B. Mnożenie macierzy polega zatem na mnożeniu kolejnych wierszy pierwszej macierzy przez kolejne kolumny drugiej macierzy (przez mnożenie rozumiemy tu znany ze szkoły średniej iloczyn skalarny). Przykład 1.6. Niech A = 1 3 12 2 21 2, B = 5 2 1 0 1 1. Wówczas AB = 1 5 + 3 1 + 12 1 1 2 + 3 0 + 12 1 2 5 + 21 1 + ( 2) 1 2 2 + 21 0 + ( 2) 1 = 20 14 9 6. Uwaga 1.3. Mnożenie macierzy nie jest na ogół przemienne. Twierdzenie 1.1. Mamy następujace własności działań na macierzach:

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 7 1. Jeśli macierz A ma wymiar m n oraz macierze B i C wymiar n k, to A (B + C) = AB + AC. 2. Jeśli macierze A i B maja wymiar m n oraz macierz C wymiar n k, to (A + B) C = AC + BC. 3. Jeśli macierz A ma wymiar m n, macierz B wymiar n k oraz α jest liczba rzeczywista, to A (αb) = (αa) B = α (AB). 4. Jeśli macierz A ma wymiar m n, macierz B wymiar n k oraz macierz C wymiar k l, to 5. Jeśli macierz A ma wymiar m n, to (AB) C = A (BC). AI n = I m A = A. Definicja 1.6. Niech A = [ a ij ]m n. Macierza transponowan a do macierzy A nazywamy macierz B = [ b ij ]n m określona wzorem b ij = a ji, dla i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n}. Piszemy wtedy B = A T. Uwaga 1.4. Transponowanie macierzy polega więc na zamianie wierszy z kolumnami. Przykład 1.7. Niech Wówczas 5 2 1 1 6 2 A =. 2 0 1 2 64 5 A T = 5 1 2 2 2 6 0 64 1 2 1 5.

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 8 Twierdzenie 1.2. Mamy następujace własności transponowania macierzy 1. Jeśli macierze A i B maja wymiar m n, to (A + B) T = A T + B T. 2. Jeśli macierz A ma wymiar m n oraz α R, to ( A T) T = A oraz (αa) T = αa T 3. Jeśli macierz A ma wymiar m n,, macierz B wymiar n k, to (AB) T = B T A T 1.3 Wyznacznik macierzy Definicja 1.7. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywamy liczbę det A, określona w sposób następujacy: 1. jeśli macierz A ma stopień n = 1 (A = [a 11 ]), to 2. jeśli A ma stopień n 2, to det A = a 11, det A = ( 1) 1+1 a 11 det A 11 + ( 1) 1+2 a 12 det A 12 +... + ( 1) 1+n a 1n det A 1n, gdzie A ij oznacza macierz stopnia n 1, powstała z macierzy A przez skreślenie i tego wiersza i j tej kolumny. Uwaga 1.5. Określamy stopień wyznacznika z macierzy jako stopień tej macierzy. Jeśli a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =,...... a n1 a n2... a nn to wyznacznik det A oznaczamy również jako a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n det...... a n1 a n2... a nn

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 9 albo a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a n1 a n2... a nn. Uwaga 1.6. Dla macierzy stopnia n = 2 wyznacznik liczymy w następujacy sposób det a b = ad cb. c d Uwaga 1.7. Dla macierzy stopnia n = 3 wyznacznik liczymy stosujac tzw. metodę Sarrusa a b c a b c det d e f = d e f g h i g h i a d g b e h = aei + b f g + cdh ceg a f h bdi. Definicja 1.8. Niech A = [ ] a ij będzie macierza kwadratowa stopnia n 2. Wówczas dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A nazywamy liczbę D ij = ( 1) i+j det A ij, gdzie A ij oznacza macierz stopnia n 1, powstała z macierzy A przez skreślenie i tego wiersza i j tej kolumny. Przykład 1.8. Niech Wówczas A = 4 2 1 4 2 3 2 1 0. D 13 = ( 1) 1+3 4 2 2 1 = 1 0 = 0, D 23 = ( 1) 2+3 4 2 = 1 ( 8) = 8. 2 1 Twierdzenie 1.3. Niech A = [ ] a ij będzie macierza kwadratowa stopnia n 2. Ustalmy liczby naturalne i, j {1, 2,..., n}. Wtedy wyznacznik macierz A możemy obliczyć z następujacych wzorów det A = a i1 D i1 + a i2 D i2 +... + a in D in, (1.1)

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 10 det A = a 1j D 1j + a 2j D 2j +... + a nj D nj. (1.2) Uwaga 1.8. Wzór (1.1) mówi, że wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów wyrazów i tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace a względem i tego wiersza. Wzór (1.2) mówi, że wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów wyrazów j tej kolumny i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace a względem j tej kolumny. Przykład 1.9. Niech A = 4 2 1 4 2 3 2 1 0 obliczymy det A rozwinięciem Laplace a względem 2 ego wiersza, a następnie względem 3 ej kolumny. det A = 4 ( 1) 2+1 2 1 1 0 + 2 4 1 ( 1)2+2 2 0 + 3 4 2 ( 1)2+3 2 1 =, = 4 ( 1) + 2 ( 2) + ( 3) ( 8) = 24. W drugim przypadku mamy: det A = 1 ( 1) 1+3 4 2 2 1 + 3 ( 1)2+3 4 2 2 1 + 0 ( 1)3+3 4 2 4 2 = = 1 0 + ( 3) ( 8) + 0 = 24. 1.4 Własności wyznaczników W rozdziale tym przedstawimy podstawowe własności wyznaczników, które będa bardzo pomocne przy ich obliczaniu. Twierdzenie 1.4. Wyznacznik macierzy trójkatnej górnej lub dolnej równy jest iloczynowi wyrazów na głównej przekatnej. a 11 0... 0 a 21 a 22... 0. = a..... 11 a 22... a nn, a n1 a n2... a nn

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 11 a 11 a 12... a 1n 0 a 22... a 2n...... 0 0... a nn = a 11 a 22... a nn. Twierdzenie 1.5. Mamy następujace własności wyznaczników 1. Wyznacznik macierzy kwadratowej majacej kolumnę albo wiersz złożone z samych zer jest równy zero. 2. Wyznacznik macierzy majacej dwie identyczne kolumny albo dwa identyczne wiersze jest równy zero. 3. Wyznacznik macierzy danej i transponowanej sa równe. 4. Jeśli w macierzy kwadratowej przestawimy między soba dwie kolumny albo dwa wiersze, to wyznacznik zmieni znak na przeciwny. 5. Jeśli wszystkie wyrazy kolumny lub wiersza w danej macierzy kwadratowej maja wspólnych czynnik, to czynniki ten możemy wyłaczyć przed znak wyznacznika a 11 c a 12... a 1n a 11 a 12... a 1n a 21 c a 22... a 2n a 21 a 22... a 2n det. = c det......,..... a n1 c a n2... a nn a n1 a n2... a nn a 11 a 12... a 1n a 11 a 12... a 1n c a 21 c a 22... c a 2n a 21 a 22... a 2n det. = c det........... a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn 6. Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny [wiersza] dodamy odpowiadajace im wyrazy innej kolumny [wiersza] pomnożone przez dowolna liczbę. Korzystajac z powyższych własności można tak poprzekształcać macierz kwadratowa, aby otrzymać macierz trójkatn a, której wyznacznik jest bardzo łatwo policzyć korzystajac z Twierdzenia 1.4. Aby doprowadzić dana macierz do postaci trójkatnej wygodnie jest zastosować poniższy algorytm pochodzacy od C. F. Gaussa.

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 12 Algorytm Gaussa Niech dana będzie macierz kwadratowa (niezerowa) A = [ a ij ]n n. 1. Dzielimy pierwsza kolumnę macierzy przez wyraz a 11, tak aby pierwszy wyraz nowej macierzy był równy 1 (gdy a 11 = 0, przestawiamy wiersze albo kolumny macierzy A tak, aby po przestawieniu wyraz nowy wyraz a 11 był różny od zera oczywiście należy pamiętać o zmianie znaku wyznacznika): a 11 a 12... a 1n 1 a 12... a 1n a 21 a 22... a a 21 2n det. k..... 1 = k 1 a a 11 = a 11 det 11 a 22... a 2n....... a a n1 a n2... a n1 nn a 11 a n2... a nn 2. Od każdego z wierszy (z wyjatkiem pierwszego) odejmujemy pierwszy wiersz pomnożony przez pierwszy wyraz danego wiersza: 1 a 12... a 1n a 21 a a 11 det 11 a 22... a 2n...... a n1 a 11 a n2... a nn w 2 = w 2 w 1 a21 a 11. w n = w n w 1 an1 a 11 1 a 12... a 1n 0 a 22... a 2n = a 11 det....... 0 a n2... a nn Otrzymamy wtedy macierz, w której pierwsza kolumna składa się z pierwszego wyrazu równego 1 i samych zer. 3. Kontynuujemy nasze postępowanie dzielac drugi wiersz przez a 22 i zeruj ac kolejne (leżace poniżej) wyrazy drugiej kolumny, itd. = Uwaga 1.9. Aby ułatwić wykonywane działania można zamieniać ze soba komuny lub wiersze między soba pamiętajac oczywiście o ewentualnej zmianie znaku wyznacznika. Jest to w szczególności konieczne, gdy wyraz a 11 = 0. Uwaga 1.10. Często zamiast dzielić wiersz, aby otrzymać wyraz 1 od kolejnych wierszy odejmuje się pierwszy wiersz mnożony przez takie współczynniki, aby wyzerować kolejne wyrazy poszczególnych kolumn.

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 13 Przykład 1.10. Obliczyć stosujac algorytm Gaussa: 1 4 2 det 3 5 7. 4 2 1 1 4 2 w 3 5 7 2 = w 1 4 2 2 3 w 1 w 4 2 1 3 = w = 0 7 1 = 3 + 4 w 1 0 14 9 1 4 2 1 4 2 0 7 1 w 3 = w 3 + 2 w 2 = 0 7 1 = 77 0 14 9 0 0 11 1.5 Macierz odwrotna Definicja 1.9. Niech A będzie macierza kwadratowa stopnia n. Macierza odwrotna do macierzy A nazywamy macierz A 1, która spełnia warunek AA 1 = A 1 A = I n, gdzie I n jest macierza jednostkowa stopnia n. Przykład 1.11. Niech wówczas A = A 1 = 2 1 5 3, 3 1 5 2. Rzeczywiście oraz AA 1 = A 1 A = 2 1 5 3 3 1 5 2 3 1 5 2 2 1 5 3 = = 1 0 0 1 1 0 0 1. Uwaga 1.11. Jeśli macierz A posiada macierz odwrotna, to nazywamy ja odwracalna.

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 14 Definicja 1.10. Macierz kwadratowa A nazywamy osobliwa, gdy det A = 0. W przeciwnym razie macierz A nazywamy nieosobliwa. Twierdzenie 1.6. Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa: det A = 0. Ponadto, jeśli macierz A = [ a ij ] stopnia n jest nieosobliwa, to D 11 D 12... D 1n A 1 = 1 D 21 D 22... D 2n det A...... D n1 D n2... D nn gdzie D ij oznaczaja algebraiczne dopełnienia elementów a ij macierzy A. Twierdzenie 1.7. Niech macierze A i B będa macierzami odwracalnym tego samego stopnia oraz niech α = 0. Wówczas macierze A 1, A T, AB, αa oraz A n (n N) sa odwracalne, ponadto: 1. det ( A 1) = (det A) 1 2. ( A 1) 1 = A 3. ( A T ) 1 = ( A 1 ) T 4. (AB) 1 = B 1 A 1 5. (αa) 1 = 1 α A 1 6. (A n ) 1 = ( A 1) n Przykład 1.12. Wyznaczyć macierz odwrotna do macierzy A = 2 5 7 6 3 4 5 2 3. T, Obliczmy wyznacznik det A 2 5 7 2 5 7 det A = 6 3 4 = 6 3 4 5 2 3 5 2 3 2 5 6 3 5 2 = 18 + 100 84 105 + 16 + 90 = 1. Obliczmy następnie dopełnienia algebraiczne kolejnych elementów. D 11 = ( 1) 1+1 3 4 2 3 = 1, D 12 = ( 1) 1+2 6 4 5 3 = 38,

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 15 Zatem A 1 = 1 1 38 27 1 41 29 1 34 24 D 13 = ( 1) 1+3 6 3 5 2 = 27, D 21 = ( 1) 2+1 5 7 2 3 = 1, D 22 = ( 1) 2+2 2 7 5 3 = 41, D 23 = ( 1) 2+3 2 5 5 2 = 29, D 31 = ( 1) 3+1 5 7 3 4 = 1, D 32 = ( 1) 3+2 2 7 6 4 = 34, D 33 = ( 1) 3+3 2 5 6 3 = 24. T 1 1 1 = 1 38 41 34 27 29 24 = 1 1 1 38 41 34 27 29 24. Podamy jeszcze jeden sposób znajdowania macierzy odwrotnej. W metodzie tej nie korzystamy z wyznaczników. Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnej. Niech A będzie macierza nieosobliwa. Aby znaleźć macierz A 1 postępujemy w następujacy sposób: 1. Z prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkowa tego samego stopnia a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a n1 a n2... a nn 1 0... 0 0 1... 0....... 0 0... 1

ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 16 2. Działajac na wierszach tak przekształcamy otrzymana macierz blokowa [A I] aby uzyskać macierz [I B] przy czym możemy: przestawiać między soba dowolne wiersze, dowolny wiersz mnożyć przez stała różna od zera, do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy innych wierszy pomnożonych prze dowolne liczby. 3. Otrzymana w wyniku tych operacji macierz B jest macierza odwrotna do macierzy A. Ćwiczenie 1.1. Znaleźć macierz odwrotna do macierzy A = 2 2 3 1 1 0 1 2 1 korzystajac z bezwyznacznikowego algorytmu.

Rozdział 2 Układy równań 2.1 Podstawowe określenia Definicja 2.1. Układem m równań z n niewiadomymi x 1, x 2,..., x n, gdzie m, n N, nazywamy układ równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2....... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m gdzie a ij, b i R dla i {1, 2,..., m} oraz j {1, 2,..., n}., (2.1) Rozwiazaniem układu (2.1) nazywamy ciag liczb (x 1, x 2,..., x n ) spełniajacych ten układ. Układ, który nie ma rozwiazania nazywamy sprzecznym. Uwaga 2.1. Układ (2.1) możemy zapisać w postaci macierzowej gdzie a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =, X =...... a m1 a m2... a mn AX = B, (2.2) x 1 x 2. x n, B = Macierz A nazywa się macierza główna układu, macierz X kolumna niewiadomych, macierz A B macierza dołaczon a układu, zaś macierz B kolumna wyrazów wolnych. b 1 b 2. b m. 17

ROZDZIAŁ 2. UKŁADY RÓWNAŃ 18 Ćwiczenie 2.1. Podany układ zapisz w postaci macierzowej x y = 0 y + z = 2 z = 5 Definicja 2.2. Układ, w którym B = 0, czyli układ postaci AX = 0 nazywamy jednorodnym. W przeciwnym wypadku (gdy B nie jest kolumna zerowa) układ nazywamy niejednorodnym. Uwaga 2.2. Układ jednorodny ma zawsze rozwiazanie zerowe: X = 0.. 2.2 Układy Cramera Definicja 2.3. Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych w którym macierz A jest macierza kwadratowa nieosobliwa. AX = B, (2.3) Twierdzenie 2.1 (Cramera). Układ Cramera (2.3) ma dokładnie jedno rozwiazanie wyrażajace się wzorem det A 1 X = 1 det A 2, det A. det A n gdzie n oznacza stopień macierzy A, natomiast A j, j {1, 2,..., n} oznacza macierz A, w której j ta kolumnę zastapion a kolumna wyrazów wolnych B. Mamy zatem x 1 = det A 1 det A, x 2 = det A 2 det A,..., x n = det A n det A. Ćwiczenie 2.2. Korzystajac ze wzorów Cramera znaleźć rozwiazanie układu x y z = 1 3x + 4y 2z = 1 3x 2y 2z = 1.

ROZDZIAŁ 2. UKŁADY RÓWNAŃ 19 Poniższe twierdzenie podaje inna metodę rozwiazywania układu Cramera Twierdzenie 2.2. Rozwiazanie układu Cramera (2.3) jest określone wzorem X = A 1 B. Ćwiczenie 2.3. Rozwiaż przy pomocy metody macierzy odwrotnej układ z poprzedniego ćwiczenia. 2.3 Rzad macierzy W dalszych rozważaniach dotyczacych metod rozwiazywania dowolnych układów równań potrzebne nam będzie pojęcie rzędu macierzy Definicja 2.4. Rzędem macierzy A nazywamy maksymalny stopień niezerowego wyznacznika powstałego z macierzy A przez skreślenie pewnej liczby kolumn i wierszy. Dla macierzy zerowej przyjmujemy rzad równy 1. Rzad macierzy A oznaczamy symbolem rz A. Przy obliczaniu rzędu macierzy pomocne jest następujace Twierdzenie 2.3. 1. Jeśli dowolne dwa wiersze albo dwie kolumny zamienimy ze soba miejscami, to rzad macierzy nie ulegnie zmianie. 2. Jeśli kolumnę albo wiersz danej macierzy pomnożymy lub podzielimy przez pewna liczbę różna od zera, to rzad macierzy nie ulegnie zmianie. 3. Jeśli do dowolnego wiersza [dowolnej kolumny] dodamy sumę innych wierszy [kolumn] pomnożonych przez pewne liczby, to rzad macierzy nie ulegnie zmianie. Przykład 2.1. Znaleźć rzad macierzy A = 1 1 0 2 1 3 1 1 3 2 1 3 1 1 0

ROZDZIAŁ 2. UKŁADY RÓWNAŃ 20 Obliczamy kolejno 1 1 0 3 1 1 = 0, 1 3 1 1 1 2 3 1 3 = 0, 1 3 1 1 1 1 3 1 2 = 0 1 3 0 Postępujac tak dalej stwierdzamy, że wszystkie podwyznaczniki stopnia 3 sa zerowe, zatem rz A 2. Sprawdźmy, czy istnieje niezerowy podwyznacznik stopnia 2. Mamy 1 1 = 4 = 0, 3 1 zatem rz A = 2. Metoda znajdowania rzędu macierzy w oparciu o wyznaczniki jest dość kłopotliwa. Znacznie skuteczniejsze okazuje się być postępowanie, w którym za pomoca działań opisanych w poprzednim twierdzeniu (najlepiej wykonywanych w oparciu o algorytm Gaussa) doprowadzamy macierz A do następujacej postaci 1 0... 0 a 1r+1... a 1n 0 1... 0 a 2r+1... a 2n...... 0.... 0 0... 1 a rr+1... a 4n 0 0... 0 0... 0 Wówczas rz A = r. Metoda ta nazywana jest metoda przekształceń elementarnych, zaś powyższa postać macierzy postacia bazowa. Uwaga 2.3. Czasami wygodniej jest doprowadzać macierz do tzw. rozproszonej postaci bazowej. Jest to taka postać macierzy, która możemy doprowadzić do postaci bazowej jedynie przestawiajac wiersze lub kolumny.

ROZDZIAŁ 2. UKŁADY RÓWNAŃ 21 Przykład 2.2. Metoda przekształceń elementarnych zbadać rzad macierzy A = 1 1 0 2 1 3 1 1 3 2 1 3 1 1 0. Mamy rz 1 1 0 2 1 3 1 1 3 2 1 3 1 1 0 w 2 = w 2 3w 1 w 3 = w 3 + w 1 = rz 1 1 0 2 1 0 4 1 3 1 0 4 1 3 1 = rz 1 1 0 2 1 0 4 1 3 1 0 4 1 3 1 w 3 = w 3 + w 2 w 1 = w 1 + 1 4 w 2 w 2 = 1 4 w 1 1 0 1 4 = rz 5 4 0 1 4 1 3 4 1 4 0 0 0 0 0 3 4 = 2. 2.4 Rozwiazywanie dowolnych układów równań liniowych Twierdzenie 2.4 (Kroneckera-Capellego). Układ AX = B posiada rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy Przy czym rz A = rz [A B] = r. jeśli r = n (rzad macierzy A jest równy ilości niewiadomych), to układ posiada dokładnie jedno rozwiazanie, jeśli r < n (rzad macierzy A jest mniejszy ilości niewiadomych), to układ posiada nieskończenie wiele rozwiazań zależnych od n r parametrów. Uwaga 2.4. Jeśli układ jest jednorodny, to możemy nie sprawdzać warunku rz A = rz [A B], jest on bowiem spełniony w sposób oczywisty.

ROZDZIAŁ 2. UKŁADY RÓWNAŃ 22 Definicja 2.5. Załóżmy, że układ AX = B posiada nieskończenie wiele rozwiazań zależnych od n r parametrów t 1, t 2,..., t n r. Załóżmy dalej, że zbiór rozwiazań układu został zapisany w ten sposób, że dla niewiadomych x i1, x i2,..., x in r mamy, że x i1 = t 1, x i2 = t 2,..., x in r = t n r. Wtedy rozwiazaniem bazowym układu AX = B nazywamy rozwiazanie, dla którego t 1 = t 2 =... = t n r = 0. Twierdzenie 2.5. Liczba rozwiazań bazowych układu AX = B z n niewiadomymi, w którym rz A = rz [A B] = r wynosi co najwyżej ( ) n = r n! (n r)!r!. Ćwiczenie 2.4. Rozwiazać układ 4x y = 7 3x + y = 14 2x + 3y = 0. Ćwiczenie 2.5. Rozwiazać układ 5x + 3y z = 3 2x + y z = 1 3x 2y + 2z = 4 x y + 2z = 2. Ćwiczenie 2.6. Rozwiazać układ 3u + x + y + 2z = 2 u + x + 2y + z = 1 6u + 2x + 2y + 4z = 4 3u + 3x + 6y + 3z = 3.

Rozdział 3 Liczby zespolone 3.1 Podstawowe definicje i własności Definicja 3.1. Liczba zespolona nazywamy parę liczb rzeczywistych (x, y). Liczby zespolone oznaczamy zwykle przez z, u, w, itd. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy symbolem C, mamy zatem C = {z = (x, y) : x, y R}. Uwaga 3.1. Liczbę zespolona z = (x, y) interpretujemy geometrycznie na płaszczyźnie R 2 jako punkt o współrzędnych (x, y) albo jako wektor zaczepiony o poczatku w punkcie (0, 0) i końcu w punkcie (x, y). Płaszczyznę R 2 nazywa się wtedy zwykle płaszczyzna zespolona. Definicja 3.2. Niech z = (x, y), z 1 = (x 1, y 1 ), z 2 = (x 2, y 2 ) będa liczbami zespolonymi. 1. Mówimy, że liczby z 1 i z 2 sa równe (z 1 = z 2 ) wtedy i tylko wtedy gdy x 1 = x 2 oraz y 1 = y 2. 2. Zerem zespolonym nazywamy liczbę 0 określona następujaca: 0 := (0, 0). 3. Jedynka zespolona nazywamy liczbę zespolona 1 określona następujaco: 1 := (1, 0). 4. Suma liczb zespolonych z 1 i z 2 nazywamy liczbę zespolona z 1 + z 2 określona następujaco: z 1 + z 2 := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). 23

ROZDZIAŁ 3. LICZBY ZESPOLONE 24 5. Liczba przeciwna do liczby z nazywamy liczbę z określona następujaco: z := ( x, y). 6. Iloczynem liczb zespolonych z 1 i z 2 nazywamy liczbę zespolona z 1 z 2 określona następujaco: z 1 z 2 := (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ). 7. Jeśli z = 0, to odwrotnościa liczby z nazywamy liczbę z 1 (stosujemy też oznaczenie 1 z ) określona następujaco: ( x z 1 := x 2 + y 2, y ) x 2 + y 2. Iloczyn z... z n czynników oznaczamy tradycyjnie przez z n. Własność 3.1. Niech z 1, z 2, z 3 C. 1. Dodawanie liczb zespolonych jest przemienne: z 1 + z 2 = z 2 + z 1. 2. Dodawanie liczb zespolonych jest łaczne: (z 1 + z 2 ) + z 2 = z 1 + (z 2 + z 3 ). 3. Dla każdej liczby zespolonej z spełniona jest równość z + 0 = z. 4. Dla każdej liczby zespolonej z istnieje liczba przeciwna z oraz zachodzi równość: z + ( z) = 0. 5. Mnożenie liczb zespolonych jest przemienne: z 1 z 2 = z 2 z 1. 6. Mnożenie liczb zespolonych jest łaczne: (z 1 z 2 ) z 2 = z 1 (z 2 z 3 ).

ROZDZIAŁ 3. LICZBY ZESPOLONE 25 7. Dla każdej liczby zespolonej z zachodzi równość: z 1 = z. 8. Dla każdej liczby zespolonej z = 0 istnieje liczba odwrotna 1 z oraz zachodzi równość: z 1 z = 1. 9. Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania: z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3. Definicja 3.3. Niech z 1, z 2 C. oraz zachodzi równość: 1. Różnica liczb zespolonych z 1 i z 2 nazywamy liczbę z 1 z 2 określona następujaco: z 1 z 2 := z 1 + ( z 2 ). 2. Jeśli z 2 = 0, to ilorazem liczb zespolonych z 1 i z 2 nazywamy liczbę z 1 z 2 określona następujaco: ( ) z 1 1 := z 1. z 2 z 2 3.2 Postać algebraiczna i sprzężenie liczby zespolonej. Uwaga 3.2. Każda liczba zespolona z posiadajaca część urojona równa zero, tzn. liczba postaci z = (x, 0) może być traktowana jako liczba rzeczywista x. Będziemy więc pisać, że (x, 0) = x. W szczególności dla liczb (x, 0), (y, 0) i z 1 = (x 1, y 1 ) mamy, że (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) = x + y, (x, 0) (y, 0) = (x y 0 0, x 0 + 0 y) = (x y, 0) = x y, (x, 0) (x 1, y 1 ) = (x x 1 0 y 1, x y 1 + 0 x 1 ) = (x x 1, x y 1 ) = x (x 1, y 1 ). Definicja 3.4. Liczbę zespolona (0, 1) nazywamy jednostka urojona i oznaczamy przez i. Mamy zatem: i := (0, 1).

ROZDZIAŁ 3. LICZBY ZESPOLONE 26 Własność 3.2. Każda liczbę zespolona z = (x, y) można przedstawić w postaci z = x + i y. Definicja 3.5. Postać z = x + i y liczby zespolonej z = (x, y) nazywamy postacia algebraiczna. Wtedy liczbę x nazywamy częścia rzeczywista liczby z i oznaczamy Re z, zaś liczbę y nazywamy częścia urojona liczby z i oznaczamy Im z. Zatem każda liczbę zespolona z można przedstawić w postaci algebraicznej jako z = Re z + i Im z. Własność 3.3. Dwie liczby zespolone z 1, z 2 sa równe wtedy i tylko wtedy, gdy Re z 1 = Re z 2, Im z 1 = Im z 2. Definicja 3.6. Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + i y (x, y R) nazywamy liczbę zespolona z określona jako Własność 3.4. Niech z, z 1, z 2 C. Wtedy: z := x i y. 1. z 1 + z 2 = z 1 + z 2. 2. z 1 z 2 = z 1 z 2. 3. z 1 z 2 = z 1 z 2. 4. ( z1 z 2 ) = z 1 z 2, z 2 = 0. 5. z + z = 2 Re z. 6. z z = 2i Im z. 7. ( z) = z. 8. Im ( z) = Im z. 3.3 Moduł i argument liczby zespolonej. Definicja 3.7. Modułem liczby zespolonej z = x + i y (x, y R) nazywamy liczbę rzeczywista z określona jako: z := x 2 + y 2. Moduł liczby zespolonej z = (x, y) interpretujemy geometrycznie na płaszczyźnie zespolonej jako odległość punktu o współrzędnych (x, y) od poczatku układu współrzędnych. Własność 3.5. Niech z, z 1, z 2 C. Wtedy: 1. z = z = z. 2. z z = z 2. 3. z 1 z 2 = z 1 z 2. 4. z 1 z 2 = z 1 z 2, z 2 = 0. 5. z 1 + z 2 z 1 + z 2. 6. z 1 z 2 z 1 z 2. 7. Re z z, Im z z. 8. Re (z 1 z 2 ) z 1 z 2.

ROZDZIAŁ 3. LICZBY ZESPOLONE 27 Definicja 3.8. Argumentem liczby zespolonej z = 0 nazywamy każda liczbę φ R spełniajac a układ równań cos φ = Re z z, sin φ = Im z z. Dodatkowo przyjmujemy, że argumentem liczby 0 jest 0. Argumentem głównym liczby zespolonej z nazywamy ten spośród jej argumentów, który jest w przedziale 0, 2π). Argument główny liczby z oznaczamy symbolem arg z. Uwaga 3.3. Jeśli rozważymy interpretację geometryczna liczby zespolonej z na płaszczyźnie, to argumentem głównym tej liczby jest miara kata dodatnio skierowanego jaki tworzy wektor z z dodatnia półosia rzeczywista ox. Własność 3.6. Niech z = 0 będzie dowolna liczba zespolona. Wtedy: 1. arg ( z) = 2π arg z. arg z + π gdy 0 arg z < π 2. arg ( z) = arg z π gdy π arg z < 2π. ( ) 3. arg 1z = 2π arg z. 3.4 Postać trygonometryczna liczba zespolonej. Własność 3.7. Każda liczbę zespolona z można zapisać jako z = r (cos φ + i sin φ), (3.1) gdzie r 0 oraz φ R. Liczba r jest wtedy modułem liczby z, zaś φ jej argumentem. Zatem z = z (cos (arg z) + i sin (arg z)). Definicja 3.9. Postać (3.1) liczby zespolonej z nazywamy postacia trygonometryczna. Własność 3.8. Niech z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ), z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) będa liczbami zespolonymi (w postaci trygonometrycznej). Wówczas z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos (φ 1 + φ 2 ) + i sin (φ 1 + φ 2 )), z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos (φ 1 φ 2 ) + i sin (φ 1 φ 2 )) o ile z 2 = 0

ROZDZIAŁ 3. LICZBY ZESPOLONE 28 Własność 3.9. Niech z = r (cos φ + i sin φ) będzie dowolna liczba zespolona w postaci trygonometrycznej. Wówczas: 1. z = r (cos ( φ) + i sin ( φ)). 1 2. z = 1 r (cos ( φ) + i sin ( φ)), o ile z = 0. 3. z = r (cos (φ + π) + i sin (φ + π)). 4. z k = r k (cos (kφ) + i sin (kφ)) (wzór de Moivre a). Własność 3.10. Niech z, z 1, z 2 C oraz niech n N. Wówczas: 1. arg (z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 + 2kπ, dla k = 0 lub k = 1. 2. arg (z n ) n arg z + 2kπ, dla pewnego k Z. 3. arg ( z1 z 2 ) = arg z 1 arg z 2 + 2kπ, dla k = 0 lub k = 1, o ile z 2 = 0. Uwaga 3.4. Liczbę k dobieramy (w zależności od z, z 1, z 2 oraz n) w ten sposób, aby otrzymany argument był z przedziału 0, 2π). 3.5 Pierwiastkowanie liczb zespolonych. Definicja 3.10. Pierwiastkiem stopnia n N liczby zespolonej z nazywamy taka liczbę zespolona w, że w n = z. Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby z oznaczamy przez n z. Przykład 3.1. Poniżej prezentujemy wartości zespolonych pierwiastków z pewnych liczb zespolonych. Dla porównania w prawej kolumnie podane sa wartości pierwiastków rzeczywistych tych liczb: w R w C 4 = 2 4 = { 2, 2} 4 1 = 1 1 - nie istnieje 4 1 = {1, i, 1, i} 1 = {i, i}

ROZDZIAŁ 3. LICZBY ZESPOLONE 29 Własność 3.11. Każda liczba zespolona z = z (cos φ + i sin φ) (w postaci trygonometrycznej) ma dokładnie n pierwiastków n tego stopnia. Zbiór tych pierwiastków ma postać n z = {w0, w 1,..., w n 1 }, gdzie ( w k = z n cos φ + 2kπ n + i sin φ + 2kπ ), k = 0, 1,..., n 1 n

Rozdział 4 Przestrzenie liniowe. Przekształcenia liniowe 4.1 Podstawowe definicje Definicja 4.1. Przestrzenia liniowa nazywamy zbiór V, taki że dla dowolnych elementów u, v V określona jest suma u + v V oraz dla dowolnej liczby α R i dowolnego elementu u V określony jest iloczyn αu V spełniajace warunki (L1) u + v = v + u dla u, v V (przemienność dodawania), (L2) (u + v) + w = u + (v + w) dla u, v, w V (łaczność dodawania), (L3) istnieje element θ V taki, że u + θ = u dla u V (istnienie elementu neutralnego), (L4) dla każdego u V istnieje element u V taki, że u + ( u) = θ (istnienie element przeciwnego), (L5) 1u = u oraz α (βu) = (αβ) u dla u V i α, β R, (L6) (α + β) u = αu + βu oraz α (u + v) = αu + βv dla α, β R oraz u, v V. Elementy zbioru V nazywamy wektorami. Element neutralny θ V nazywamy wektorem zerowym. Definicja 4.2. Różnica wektorów u, v V nazywamy wektor u v := u + ( v). 30

ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 31 Przykład 4.1. Zbiór V = R n wektorów v = [v 1, v 2,..., v n ] dla n N z działaniami określonymi w naturalny sposób tj. u + v := [u 1 + v 1, u 2 + v 2,..., u n + v n ], αu := [αu 1, αu 2,..., αu n ], dla u = [u 1, u 2,..., u n ] R n, v = [v 1, v 2,..., v n ] R n oraz α R jest przestrzenia liniowa zwana przestrzenia euklidesowa. Przykład 4.2. Zbiór V wszystkich funkcji f : R R z działaniami określonymi jako: 1. ( f + g) (x) := f (x) + g (x), dla x R oraz f, g V 2. (α f ) (x) := α f (x), dla x R oraz f V (sa to tzw. działania określone w sposób naturalny) jest przestrzenia liniowa. Wektorem zerowym jest funkcja θ (x) = 0 dla x R (tożsamościowo równa zero). Uwaga 4.1. Z definicji wynika, że każda przestrzeń liniowa V musi zawierać co najmniej jeden element: wektor zerowy θ. Zauważmy, że zbiór V = {θ} jest przestrzenia liniowa. Taka przestrzeń nazywamy przestrzenia zerowa. Własność 4.1. Niech V będzie przestrzenia liniowa. Wówczas 1. 0u = θ dla u V 2. αθ = θ dla α V 3. jeśli αu = θ, to α = 0 lub u = θ dla u V oraz α R 4. jeśli αu = βu, to α = β dla α, β R oraz u V 5. ( α) u = (αu) = α ( u) dla α R oraz u V 6. jeśli αu = αv, to u = v dla α R, α = 0 oraz u, v V 7. (α β) u = αu βu dla α, β R oraz u V. W dalszych rozważaniach, jeśli nie będzie powiedziane inaczej, V oznacza zawsze przestrzeń liniowa. Definicja 4.3. Niepusty zbiór W V nazywamy podprzestrzenia liniowa przestrzeni V jeśli spełnione sa warunki

ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 32 1. u + v W dla u, v W 2. αu W dla α R oraz v W. Własność 4.2. Niepusty zbiór W V jest podprzestrzenia przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek dla α, β R oraz u, v W. αu + βv W Przykład 4.3. Niech V = R 3. Wówczas zbiór W := {[u 1, u 2, 0] : u 1, u 2 R} jest podprzestrzenia przestrzeni R 3. Geometrycznie zbiór W jest płaszczyzna w przestrzeni R 3. Przykład 4.4. Jeżeli V jest przestrzenia liniowa, to zbiór {θ} złożony z wektora zerowego jest zawsze podprzestrzenia liniowa przestrzeni V. 4.2 Liniowa niezależność. Baza i wymiar przestrzeni liniowej Definicja 4.4. Mówimy, że wektory v 1, v 2,..., v m V (m N) sa liniowo niezależne, gdy dla dowolnych liczb α 1, α 2,..., α m spełniony jest warunek α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α m v m = θ α 1 = α 2 =... = α m = 0. W przeciwnym razie wektory v 1, v 2,..., v n nazywamy liniowo zależnymi. Własność 4.3. Wektory v 1, v 2,..., v n V sa liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja liczby α 1, α 2,..., α m nie wszystkie równe zero takie, że α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α m v m = θ. Mamy następujac a macierzowa charakteryzację liniowej niezależności

ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 33 Twierdzenie 4.1. Niech V = R n. Niech v 1 = [ v 1 1, v2 1,..., vn 1],..., vm = [ v 1 m, v 2 m,..., v n m]. Wtedy wektory sa liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy v 1 1 v 2 1 v1 n rz...... = m. v 1 m v 2 m v n m Przykład 4.5. Niech [1, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0], [5, 3, 2] R 3. Wtedy bo 1 1 1 rz 1 0 1 = 3, 1 1 0 1 1 1 1 0 1 = 1, 1 1 0 więc wektory [1, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0] sa liniowo niezależne. Natomiast wektory [1, 0, 1], [1, 1, 0], [5, 3, 2] sa liniowo zależne, gdyż 1 0 1 rz 1 1 0 = 2, 5 3 2 bo oraz Zauważmy też, że 1 0 1 1 1 0 = 0 5 3 2 1 1 0 1 = 1. 2 [1, 0, 1] + 3 [1, 1, 0] 1 [5, 3, 2] = 0 lub, co na jedno wychodzi [5, 3, 2] = 2 [1, 0, 1] + 3 [1, 1, 0].

ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 34 Definicja 4.5. Kombinacja liniowa wektorów v 1, v 2,..., v m V o współczynnikach α 1, α 2,..., α m R nazywamy wektor v V taki, że v = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α m v m = m α i v i. i=1 Własność 4.4. Wektory v 1, v 2,..., v m V sa liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: jeżeli wektor zerowy jest kombinacja liniowa tych wektorów, to wszystkie współczynniki tej kombinacji sa zerami. Wektory v 1, v 2,..., v m V sa liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wektor zerowy daje się przedstawić jako kombinacja liniowa tych wektorów o co najmniej jednym współczynniki niezerowym lub, co na jedno wychodzi pewien wektor v i jest kombinacja liniowa pozostałych wektorów. Uwaga 4.2. Mówiac o liniowej niezależności lub zależności wektorów v 1, v 2,..., v m V będziemy używali określenia układ {v 1, v 2,..., v m } wektorów v 1, v 2,..., v m. Uogólniajac pojęcie liniowej niezależności skończonego układu wektorów {v 1, v 2,..., v m } określamy również liniowa niezależność zbioru A V (być może zawierajacego nieskończona liczbę elementów). Definicja 4.6. Mówimy, że zbiór A V jest liniowo niezależny, jeśli dla każdego skończonego układu wektorów {v 1, v 2,..., v m } A, m N układ ten jest układem wektorów liniowo niezależnych. W przeciwnym razie, zbiór A nazywamy zbiorem liniowo zależnym. Definicja 4.7. Niech v 1, v 2,..., v m V. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v 1, v 2,..., v m nazywamy otoczka liniowa wektorów v 1, v 2,..., v m i oznaczamy przez lin {v 1, v 2,..., v m }. Mamy więc lin {v 1, v 2,..., v m } := {v = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α m v m : α 1, α 2,..., α m R}. Podobnie definiujemy otoczkę liniowa zbioru A V : lin A := m N {v = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α m v m : v i V, α i R, 1 i m} Własność 4.5. Otoczka liniowa lin A, gdzie A V jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni V; dokładniej jest najmniejsza podprzestrzenia liniowa zawierajac a zbiór A.

ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 35 Ze względu na ostatnia własność otoczka liniowa wektorów v 1, v 2,..., v m (zbioru A) jest nazywana również podprzestrzenia rozpięta na wektorach v 1, v 2,..., v m (na układzie wektorów, na zbiorze A) albo generowana przez wektory v 1, v 2,..., v m (układ wektorów, zbiór A)). Definicja 4.8. Baza przestrzeni liniowej V nazywamy taki zbiór B V, że 1. jest on liniowo niezależny, 2. generuje cała przestrzeń V, tzn. lin B = V. Mamy Twierdzenie 4.2. Dla dowolnej niezerowej przestrzeni liniowej V istnieje baza tej przestrzeni. Przykład 4.6. Niech V = R 3. Układy sa bazami przestrzeni R 3. Rzeczywiście B 1 = {[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]}, B 2 = {[1, 2, 3], [2, 0, 1], [3, 2, 1]} 1 0 Sa liniowo niezależne, bo 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1, 1 2 3 2 0 1 3 2 1 = 12. 2 0 Generuja cała przestrzeń, bo dowolny wektor [v 1, v 2, v 3 ] R 3 jest kombinacja liniowa układu B 1, co wynika bezpośrednio z zapisu [v 1, v 2, v 3 ] = v 1 [1, 0, 0] + v 2 [0, 1, 0] + v 3 [0, 0, 1]. Również dla dowolnego wektora [v 1, v 2, v 3 ] R 3 istnieja współczynniki α 1, α 2, α 3 R takie, że [v 1, v 2, v 3 ] = α 1 [1, 2, 3] + α 2 [2, 0, 1] + α 3 [3, 2, 1],

ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 36 o czym łatwo przekonać się zapisujac ostatnia równość jako układ równań z niewiadomymi α 1, α 2, α 3 1 2 3 2 0 2 3 1 1 α 1 α 2 α 3 = v 1 v 2 v 3 i stwierdzajac, że jest to układ Cramera. Przykład 4.7. Niech V = R n, gdzie n N. Rozważmy układ E = {e 1, e 2,..., e n } wektorów postaci e 1 = [1, 0, 0,..., 0] e 2 = [0, 1, 0,..., 0]... e n = [0, 0, 0,..., 1] Argumentujac jak w poprzednim przykładzie widzimy, że układ E jest baza przestrzeni R n. Definicja 4.9. Niech V = R n, gdzie n N. Układ E określony w poprzednim przykładzie nazywamy baza kanoniczna albo baza standardowa przestrzeni liniowej R n. Jak widać z przytoczonych przykładów dana przestrzeń liniowa może mieć różne bazy. Baza przestrzeni liniowej nie musi być zbiorem skończonym. Zachodzi jednak Twierdzenie 4.3. Jeżeli V posiada bazę złożona z n wektorów, to każda inna baza też składa się z n wektorów. Jeżeli przestrzeń V posiada bazę nieskończona, to każda inna baza tej przestrzenie też jest nieskończona. Definicja 4.10. Niech V będzie przestrzenia liniowa. Jeżeli istnieje baza B = {b 1, b 2,..., b n } przestrzeni V złożona ze skończonej liczby n N wektorów, to wymiarem przestrzeni V nazywamy liczbę dim V := n, i mówimy, że przestrzeń jest n wymiarowa. Jeżeli baza przestrzeni V jest zbiorem nieskończonym, to mówimy, że przestrzeń V jest nieskończenie wymiarowa oraz piszemy dim V =.

ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 37 Jeżeli V = {θ} (V jest przestrzenia zerowa), to przyjmujemy dim V := 0, i mówimy, że przestrzeń zerowa jest zerowymiarowa. Przykład 4.8. Przestrzeń R n ma wymiar n. Przykład 4.9. Przestrzeń V wszystkich funkcji f : R R z działaniami określonymi w sposób naturalny jest przestrzenia nieskończenie wymiarowa. 4.3 Przekształcenia liniowe. Obraz i jadro przekształcenia liniowego Definicja 4.11. Przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej V w przestrzeń liniowa W nazywamy funkcję L : V W spełniajac a warunki (PL1) L (u + v) = L (u) + L (v) dla u, v V, (PL2) L (αu) = αl (u) dla u V oraz α R. Własność 4.6. Przekształcenie L : V W jest liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy dla u, v V oraz α, β R. L (αu + βv) = αl (u) + βl (v) Własność 4.7. Jeżeli L : V W jest przekształceniem liniowym, to L (θ) = θ. Przykład 4.10. Niech V = R 2, W = R 2. Wówczas przekształcenie liniowe L : V W przekształca płaszczyznę na płaszczyznę. Przykładami przekształceń liniowych sa znane ze geometrii przekształcenia: 1. symetria względem poczatku układu współrzędnych określona wzorem L ([x, y]) = [ x, y], 2. symetria względem prostej x = 0 określona wzorem L ([x, y]) = [ x.y],

ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 38 3. symetria względem prostej y = 0 określona wzorem L ([x, y]) = [x, y], 4. obrót dookoła poczatku układu współrzędnych, 5. rzuty prostokatne (na proste przechodzace przez poczatek układu współrzędnych), 6. jednokładności (o środku w poczatku układu współrzędnych). Definicja 4.12. Obrazem przekształcenia liniowego L : V W nazywamy zbiór Im L := {w W : L (u) = w dla pewengo u V}. Definicja 4.13. Jadrem przekształcenia liniowego L : V W nazywamy zbiór ker L := {u V : L (u) = θ}. Własność 4.8. Obraz przekształcenia liniowego L : V W jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni W. Jadro przekształcenia liniowego L : V W jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni V. 4.4 Macierz przekształcenia liniowego Własność 4.9. Niech V = R 2, W = R 2. Wówczas L : R 2 R 2 jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja liczby a 1, a 2, b 1, b 2 R takie, że dla [x 1, x 2 ] R 2 L ([x 1, x 2 ]) = [a 1 x 1 + a 2 x 2, b 1 x 1 + b 2 x 2 ] Własność 4.10. Niech V = R 3, W = R 3. Wówczas L : R 3 R 3 jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja liczby a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3, c 1.c 2, c 3 R takie, że L ([x 1, x 2, x 3 ]) = [a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3, b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3, c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 ] dla [x 1, x 2, x 3 ] R 3. Powyższe własności możemy sformułować następujaco

ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 39 1. L : R 2 R 2 jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz a 1 a 2 b 1 b 2 taka, że L ([x 1, x 2 ]) = a 1 a 2 b 1 b 2 x 1 x 2 2. L : R 3 R 3 jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz taka, że L ([x 1, x 2, x 3 ]) = Powyższe spostrzeżenia uogólnia a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Twierdzenie 4.4. Przekształcenie L : R n R m jest liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna macierz A = [ a ij ]1 i m,1 j n Rm n taka, że L(v) = Av T dla v R n tzn. dla [x 1, x 2,..., x n ] R n. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n L ([x 1, x 2,..., x n ]) =....... a m1 a m2 a mn Definicja 4.14. Jeżeli L : R n R m jest przekształceniem liniowym, to macierz A = [ ] aij Rm n spełniajaca warunek L(v) = Av T dla v R n nazywa się 1 i m,1 j n macierza przekształcenia liniowego. Własność 4.11. k ta kolumny macierzy A = [ a ij ]1 i m,1 j n Rm n przekształcenia L : R n R m liniowego jest wektorem L (e k ), gdzie e k jest k tym wektorem bazy kanonicznej (na k tej współrzędnej mamy liczbę 1 na pozostałych 0). x 1 x 2 x 3. x 1 x 2 x n

ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 40 Przykład 4.11. Niech L : R 3 R 2 będzie przekształceniem liniowym postaci Wówczas L [(x, y, z]) = [x 3y + 3z, 2x + 6y 4z]. L ([1, 0, 0]) = [1, 2]), L ([0, 1, 0] = [ 3, 6]), L ([0, 0, 1] = [3, 4]). Zatem macierz tego przekształcenia jest postaci A = 1 3 3. 2 6 4 Dla przykładu L ([1, 2, 3]) = [16, 26], L ([0, 1, 3]) = [ 12, 18], co możemy otrzymać również jako L ([1, 2, 3]) = L ([0, 1, 3]) = 1 3 3 2 6 4 1 3 3 2 6 4 1 2 3 0 1 3 = = 16 26 12 Uwaga 4.3 (Interpretacja geometryczna wyznacznika macierzy przekształcenia). 18,. 1. Niech L : R 2 R 2 będzie przekształceniem liniowym o macierzy A, D zbiorem na płaszczyźnie R 2, L (D) obrazem zbioru D w przekształceniu L. Wówczas, pola powierzchni D i L (D) zbioru D i obrazu L (D) spełniaja zależność L (D) = det A D. 2. Niech L : R 3 R 3 będzie przekształceniem liniowym o macierzy A, D zbiorem w przestrzeni R 3, L (D) obrazem zbioru D w przekształceniu L. Wówczas, objętości D i L (D) zbioru D i obrazu L (D) spełniaja zależność L (D) = det A D.

ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 41 4.5 Działania na przekształceniach liniowych Działania na przekształceniach liniowych określamy tak jak dla zwykłych funkcji. Mamy jednak Twierdzenie 4.5. Suma, iloczyn przez liczbę, złożenie i odwrotność (o ile istnieje) przekształceń liniowych jest przekształceniem liniowym. Nie każde przekształcenie liniowe posiada przekształcenia odwrotne warunek istnienia tego przekształcenia w przypadku, gdy dziedzina i przeciwdziedzina sa takie same określa Twierdzenie 4.6. Niech L : R n R n będzie przekształceniem liniowym, A jego macierza, wówczas następujace warunki sa równoważne 1. przekształcenie L jest odwracalne, 2. przekształcenie L jest różnowartościowe, 3. ker L = {θ}, 4. rz A = n, 5. det A = 0. Zwiazek pomiędzy macierzami przekształceń oraz macierzami sumy, iloczynu przez liczbę złożenia i odwrotności ustala następujace Twierdzenie 4.7. 1. Jeżeli A 1, A 2 oznaczaja macierze przekształceń liniowych L 1 : R n R m oraz L 2 : R n R m (odpowiednio), to macierz A 1 + A 2 jest macierza przekształcenia liniowego L 1 + L 2 : R n R m (sumy przekształceń L 1 i L 2 ). 2. Jeżeli A jest macierza przekształcenia liniowego L : R n R m, α R jest ustalona liczba, to macierz αa 1 jest macierza przekształcenia liniowego αl 1 : R n R m, (iloczynu przekształcenia L 1 przez liczbę α). 3. Jeżeli A 1, A 2 oznaczaja macierze przekształceń liniowych L 1 : R n R m oraz L 2 : R m R k (odpowiednio), to macierz A 2 A 1 jest macierza przekształcenia liniowego L 2 L 1 : R n R k (złożenia przekształceń L 1 i L 2 ).

ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 42 4. Jeżeli A jest macierza przekształcenia liniowego L : R n R m, odwracalnego, to A 1 jest macierza przekształcenia liniowego L 1 : R m R n

Rozdział 5 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykładzie tym większy nacisk został położony raczej na intuicyjne rozumienie definiowanych pojęć, niż ścisłe ich zdefiniowanie. Dlatego niniejszy wykład nie posiada, przynajmniej na poczatku, charakteru formalnego wykładu matematycznego. Zakładamy, że Czytelnik zna, a przynajmniej rozumie intuicyjnie, takie pojęcia geometryczne jak: punkt, odcinek, wektor, prosta i płaszczyzna w trójwymiarowej przestrzeni. 5.1 Wektory Definicja 5.1. Przestrzenia euklidesowa R 3 nazywamy zbiór wszystkich uporzadko- wanych trójek (x, y, z) liczb rzeczywistych R 3 := {(x, y, z) : x, y, z R}. Tradycyjnie elementy przestrzeni euklidesowej R 3 moga być interpretowane jako trzy rodzaje obiektów: Punkty. Do oznaczania punktów używamy wielkich liter alfabetu: A, B, C, P, Q. Zapis A = (x, y, z) oznacza, że punkt A ma współrzędne x, y, z. Wektory zaczepione. Jeśli dane sa punkty A = (x a, y a, z a ) oraz B = (x b, y b, z b ), to wektor AB jest wektorem zaczepionym w punkcie A (tzn. o poczatku w punkcie A) i o końcu w punkcie B. Współrzędne wektora AB liczymy według wzoru AB := [x b x a, y b y a, z b z a ]. 43

ROZDZIAŁ 5. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ W PRZESTRZENI 44 Wektorem zaczepionym jest więc uporzadkowana para punktów, z których jeden jest poczatkiem, a drugi końcem tego wektora. Należy jeszcze zwrócić uwagę, że dowolny wektor postaci AA, czyli o poczatku i końcu w tym samym punkcie nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy 0. Oczywiście 0 := [0, 0, 0]. Wektory swobodne. Ich określenie podamy nieco później. Definicja 5.2. Niech dane będa dwa punkty A = (x a, y a, z a ) oraz B = (x b, y b, z b ). Długościa wektora AB nazywamy długość odcinka AB. Długość wektora AB oznaczamy symbolem AB. Mamy więc, że AB := (x b x a ) 2 + (y b y a ) 2 + (z b z a ) 2. Definicja 5.3. Mówimy, że dwa wektory niezerowe AB i PQ maja ten sam kierunek jeśli proste AB i PQ sa równoległe. Zwrotem wektora AB nazywamy ten z dwu zwrotów prostej AB w którym punkt A poprzedza punkt B. Uwaga 5.1. Można pokazać, że relacja R posiadania tej samej długości zwrotu i kierunku określona w przestrzeni euklidesowej R 3 interpretowanej jako zbiór wektorów zaczepionych jest relacja równoważności. Możemy teraz podać ścisłe określenie wektora swobodnego. Definicja 5.4. Wektorem swobodnym, dokładniej wektorem swobodnym wyznaczonym przez pewien wektor zaczepiony AB, nazywamy klasę abstrakcji relacji R wyznaczona przez wektor AB. Uwaga 5.2. W dalszej części tego rozdziału będziemy mówić jedynie o wektorach swobodnych, pamiętajac, że możemy w każdej chwili utożsamiać dowolny wektor swobodny z konkretnym, dowolnie wybranym reprezentantem klasy abstrakcji R (czyli wektorem zaczepionym). Z wielu powodów najwygodniej jest wybierać reprezentanta będacego wektorem zaczepionym w punkcie (0, 0, 0), czyli utożsamiać wektor swobodny z wektorem zaczepionym w zerze. Przestrzeń euklidesowa R 3 z elementami interpretowanymi jako wektory swobodne jest oczywiście przestrzenia liniowa. Wobec tego wektory swobodne sa jej elementami

ROZDZIAŁ 5. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ W PRZESTRZENI 45 i zachodza dla nich wszystkie własności omówione w wykładzie dotyczacym przestrzeni liniowych. Powyższa uwaga dodatkowo wyjaśnia dlaczego elementy przestrzeni liniowej (niekoniecznie euklidesowej) nazywaliśmy wektorami. Wektory swobodne oznaczamy symbolami a, u, v itd. Definicja 5.5. Mówimy, że punkty A, B, C sa współliniowe, gdy istnieje prosta k, że A, B, C k. Mówimy, że punkty K, L, M, N sa współpłaszczyznowe, jeśli istnieje płaszczyzna π, że K, L, M, N π. Definicja 5.6. Mówimy, że wektory niezerowe u, v sa równoległe, co zapisujemy u v, gdy maja te same kierunki. Przyjmujemy dodatkowo, że wektor zerowy jest równoległy do każdego innego wektora. Wniosek 5.1. Niech dane będa wektory u i v. Wówczas u v wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja takie liczby rzeczywiste α, β, że α u + β v = 0 czyli, gdy wektory u i v sa liniowo niezależne. Własność 5.1. Długość wektora u = [x, y, z] wynosi u = x 2 + y 2 + z 2. Twierdzenie 5.1 (Własności długości wektorów). Niech dane będa wektory u, v oraz liczba α. Wtedy: 1. u 0 oraz u = 0 u = 0, 2. α u = α u, 3. u + v u + v, 4. u v u v. Definicja 5.7. Układem współrzędnych nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinajace się w jednym punkcie O = (0, 0, 0), które sa wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrzędnych oznaczamy przez Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami układu. W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy, Oz wyróżniamy dwie jego orientacje: układ prawoskrętny (rys. 5.1) i układ lewoskrętny (rys. 5.2).