Rachunek różniczkowy i całkowy 1 Wydział Fizyki UW

Rachunek różniczkowy i całkowy Wydział Fizyki UW Wyboru dokonali: J. Kamiński i J. Krupski Wersję elektroniczną przygotował J. Kamiński Zadania na ćwiczenia i do pracy własnej dla makrokierunku Energetyka i Chemia Jądrowa prowadzonego przez Wydział Chemii i Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego Wersja z 29 stycznia 23 Projekt nr: UDA - POKL.4..--/- Chemia, fizyka i biologia na potrzeby społeczeństwa XXI wieku: nowe makrokierunki studiów I, II i III stopnia Zadania oznaczone znakiem wydają się być trudniejsze J. Z. Kamiński & J. Krupski Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Tydzień I: Funkcje i wykresy Zadanie. Naszkicować wykresy następujących funkcji w zaznaczonych przedziałach:.y=x 4, dla.5 x, 2.y=x( x), dla x 2, 3.y= x, dla 3 x 3, 4.y= x + x 3 + x+2, dla 3 x 4. Zadanie.2 Wyznaczyć proste przechodzące przez pary następujących punktów:.(,) i(,5), 2.(,) i(2,), 3.(2,) i(, ). Naszkicować trójkąt utworzony przez te trzy proste i wyznaczyć długości każdego z jego boków. Zadanie.3 Wyznaczyć punkty przecięcia następujących okręgów i linii prostych:.x 2 +y 2 =8 ix=2, 2.x 2 +y 2 2x+2y 4= iy=2x+, 3.x 2 +y 2 = ix+y= 2. Zadanie.4 Wyznaczyć wszystkie wymierne wartościx, dla którychy= x 2 +x+3 również jest liczbą wymierną. W tym celu skorzystać z faktu, że dla wymiernychxiyliczbaq=y x również jest wymierna i wyznaczyćxiy poprzezq. Czy wszystkie wymierneq są dopuszczalne? Zadanie.5 Rozwiąż następujące nierówności:. 2x 3 <, 2.(x 2) 2 4, 3.x 2 +2x 8. J. Z. Kamiński & J. Krupski 2 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie.6 Wyznaczyćx, dla któregoy=3x 2 +5x osiąga minimalną wartość. Skorzystać z metody uzupełniania do pełnego kwadratu. Zadanie.7 Czym jest prostokąt o zadanym obwodzie2p, którego pole jest maksymalne. Skorzystać z metody uzupełniania do pełnego kwadratu. Zadanie.8 Pokazać, że dla każdegoxfunkcjaf(x)=x 3 +3x+5 jest funkcją rosnącą. W tym celu wykazać, że jeślix <x 2, tof(x )<f(x 2 ). Skorzystać z tożsamościa 3 b 3 =(a b)(a 2 +ab+b 2 ). Zadanie.9 Przy zadanychnliczbacha,a 2,...,a n wyznaczyć wartośćx, dla którego funkcja n f(x)= (x a i ) 2 i= osiąga minimum. Skorzystać z metody uzupełniania do pełnego kwadratu. Zadanie. Wyznaczyć największą wartość funkcji f(x)= 2 2x2 4x+3. Zadanie. Na płaszczyźnie(x,t) naszkicować wykresy następujących funkcji:.x(t)=θ(t+) θ(t ), dla 2 t 2, 2.x(t)=tθ(t ), dla t 2, 3.x(t)=(t 2 )[sgn(t+)+sgn( t)], dla 2 t 2, gdzie tzw. funkcja skokuθ(t) i funkcja znakusgn(t) są zdefiniowane następująco: dla t< θ(t)= dla t dla t< oraz sgn(t) = dla t= dla t> Zadanie.2 Wykazać, że J. Z. Kamiński & J. Krupski 3 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

. 2. cosx ctg x = 2 tgx 4 sin(2x) 2 tgx= cos(2x) +cos(2x) 3. 2ctgx+ sin 2 x = ctgx i określić zbiór wartościx, dla których ta równość zachodzi. Zadanie.3 Które z poniższych funkcji są parzyste, a które nieparzyste:.f(x)=4 2x 4 +sin 2 x; 2.f(x)= +x+x 2 x+x 2 ; 3.f(x)=(+a kx )/( a kx ); 4.f(x)=sinx+cosx; 5.f(x)= 3 ( x) 2 + 3 (+x) 2 ; 6.f(x)=x 2 x ; 7.f(x)=xsin 2 x x 3 ; 8.f(x)=(+2 x ) 2 /2 x. Zadanie.4 Niech ( ) x f(x)=ln. +x Wykazać, że dla dowolnychx,x 2 (,) spełniona jest tożsamość funkcyjna ( ) x +x 2 f(x )+f(x 2 )=f. +x x 2 Zadanie.5 Niech 3 x, dla x<, f(x)= tg(x/2), dla x<π, x/(x 2 2), dla π x 6. Wyznaczyćf( ),f(π/2),f(2π/3),f(4),f(6). J. Z. Kamiński & J. Krupski 4 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie.6 Niechϕ(x)=x 2 iψ(x)=2 x. Określićϕ[ψ(x)] iψ[ϕ(x)]. Zadanie.7 Wyznaczyć okresy funkcjitg(2x),ctg(x/2),sin(2πx), cos(x) isin 4 x+cos 4 x. Zadanie.8 Udowodnić, że jeślif(x) jest funkcją okresową o okresiet, tof(ax+b),a>, jest również funkcją okresową. Wyznaczyć jej okres. Zadanie.9 Udowodnić, że funkcjaf(x)=cosx 2 nie jest funkcją okresową. Zadanie.2 Wyprowadzić zależnościarcsinx+arccosx=π/2,arctg(/x)=arcctgx iarctgx+arcctgx= π/2. Posłużyć się rysunkami. β x β α α x Zadanie.2 WielkościA>,ωiϕwystępujące w funkcjif(t)=asin(ωt+ϕ) nazywamy odpowiednio amplitudą, częstością i fazą. Wyznaczyć je dla funkcjif(t)=3sin(t/2)+4cos(t/2). Zadanie.22 Naszkicować funkcjef(x)= sinx,g(x)=(x+3)/(x+) ih(x)=x /lnx. Uwaga na dziedziny! Zadanie.23 NiechA,c,t it będą dowolnymi stałymi. Zdefiniujmy funkcjęf(t)=ae ct. Wykazać, że ciąg jest ciągiem geometrycznym. f(t ),f(t +T),f(t +2T),...,f(t +nt),... Zadanie.24 Wyznaczyć sumy następujących szeregów geometrycznych: ( ) r, ( ) r( ) r, e r, 2 r= 2 r= 2 r= 3 +4 9 8 27... J. Z. Kamiński & J. Krupski 5 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

2 Tydzień II: Logika, zbiory i indukcja matematyczna Zadanie 2. Wykazać, że poniższe zdania są tautologiami:. p p (prawo podwójnego przeczenia) 2. p p (prawo wyłączonego środka) 3. (p p) (prawo sprzeczności) 4. (p q) ( p q) (prawo de Morgana) 5. (p q) ( p q) (prawo de Morgana) 6. (p q) ( q p) (prawo transpozycji) 7. [(p q) p] p (prawo Pierce a) 8. ( p p) p (prawo Claviusa) 9. p (p q) (prawo Dunsa-Scotusa) Zadanie 2.2 Zdaniu p przyporządkujmy jego wartość logiczną lub, którą również oznaczmy symbolem p, zatem zawsze zachodzi równośćp 2 =p. Sprawdzić następującą korespondencję pomiędzy zdaniami a operacjami algebraicznymi:. p p 2. p q pq 3. p q p+q pq 4. p q p+pq 5. p q p q+2pq Zadanie 2.3 Metoda algebraiczna z zadania 2.2 jest wygodna, gdy sprawdzamy wartość logiczną zdań złożonych z wielu zdań prostych. Sprawdzić tą metodą tautologie z zadania 2. oraz sprawdzić, czy poniższe zdania także są tautologiami,. (p q r) [p (q r)] 2. [p (q r)] [(p q) r] 3. [(p q) q] p 4. p [( p) q] 5. [(p q) r] [(p r) (q r)] Zadanie 2.4 Podać elementy następujących zbiorów:. {x N:x 2 7} 2. {x N:x 2 8x+<} 3. {x N: 3 x <3} 4. {x R:x 2 <3} 5. {x R:x 2 + } J. Z. Kamiński & J. Krupski 6 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 2.5 Udowodnić równości zbiorów posługując się rachunkiem zdań (sugeruje się skorzystać z metody algebraicznej z zadania 2.2):. A (B C)=(A B) (A B) 2. A (B C)=(A B) (A C) 3. [A B] =A B (prawo de Morgana) 4. [A B] =A B (prawo de Morgana) 5. A (B C)=[(A B) C] (A C) Zadanie 2.6 Dowieść indukcyjnie, że A A 2... A n =(A A 2 ) (A 2 A 3 )... (A n A n ) (A n A ) (A A 2... A n ) Zadanie 2.7 Niech A oznacza ilość elementów zbioru skończonego. Wykazać indukcyjnie, że A A 2... A n A + A 2 +...+ A n Zadanie 2.8 (Zadanie Lewisa Carrolla) W pewnej bitwie co najmniej8% walczących straciło rękę, co najmniej 85% nogę, co najmniej 7% oko i co najmniej 75% ucho. Oszacować liczbę tych uczestników bitwy, którzy odnieśli wszystkie cztery obrażenia, jeśli w bitwie wzięło udział 3 wojowników. Skorzystać z wyniku poprzedniego zadania i praw de Morgana. [Odpowiedź: nie mniej niż 3] Zadanie 2.9 Udowodnić indukcyjnie równości:. +2+...+n= n(n+). 2 2. 2 +2 2 +...+n 2 = n(n+)(2n+) 6. ) 2. 3. 3 +2 3 +...+n 3 = ( n(n+) 2 4. +q+q 2 +...+q n = qn+. q 5. (a+b) n = n n! k= k!(n k)! ak b n k. (trudniejsze). J. Z. Kamiński & J. Krupski 7 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

3 Tydzień III: Funkcje odwrotne i granica ciągu Zadanie 3. Zdefiniujmy funkcjęf(x)=(x+)/(x ). Wyznaczyć funkcjef (x),g(x)=f(x 2 ) ih(x)= f(f(x)) oraz ich dziedziny. Zadanie 3.2 Wyznaczyć funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych sinhx= ex e x, coshx= ex +e x, tghx= ex e x 2 2 e x +e x Zadanie 3.3 Odwrócić funkcjęy=log a (x+ x 2 +),a>,a, i wyrazić ją poprzez sinus hiperboliczny. Zadanie 3.4 Pokazać, że funkcje f(x)=x 2 x+ i ϕ(x)= 2 + x 3 4 są funkcjami wzajemnie do siebie odwrotnymi, tj. że zachodzą równości f ( ϕ(x) ) =x i ( ϕ f(x) ) =x. Sprawdzić dziedziny! Wykorzystując ten fakt znaleźć rozwiązania równania x 2 x+= 2 + x 3 4, najlepiej nie rozwiązując go, ale zastępując go prostszym! Zadanie 3.5 Wykazać, że. 2. 3. cos(arcsinx)= x 2 cos(2arcsinx)= 2x 2 sin(arctgx) = x +x 2 J. Z. Kamiński & J. Krupski 8 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

4. x arcsinx=arctg x 2 5. 2arccos +x 2 =arccosx i określić zbiór wartościx, dla których ta równość zachodzi. Zadanie 3.6 Rozwiązać równanie arctg x(x+)+arcsin x 2 +x+= π 2. Wbrew pozorom jest to prosty problem, jeśli zaczniemy od wyznaczenia dziedziny. Zadanie 3.7 Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji.y=5 lnx 2.y=2 x(x ) 3.y=( x)/(+x) Zadanie 3.8 Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że. lim n x n = dlax n =(2n )/(2n+) 2. lim n x n =/3 dlax n =(3n 5)/(9n+4) 3. lim n x n =3/5 dlax n =(3n 2 +)/(5n 2 ) 4. lim n x n = dlax n =(3 n +)/(3 n +4) Zadanie 3.9 Wyznaczyć granice ciągów: a) lim n 3n 2 +5n+4 2+n 2 b) lim +2+3+...+n c) n lim n 2 4n 2 4n+3 n 2n 3 +3n+4 ) 3 ( d) n lim 3n 2 +n 4n 2 +7 e) lim n ( 2n+3 n ) f) lim n ( 3 n 2 n 3 +n) J. Z. Kamiński & J. Krupski 9 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 3. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granicę ciągu x n = n k= n2 +k = n2 + + n2 +2 +...+ n2 +n Zadanie 3. Korzystając z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa o ciągu monotonicznym i ograniczonym wykazać, że dlaa> ciąg x = a, x 2 = ma granicę i wynosi ona( 4a++)/2. a+ a,...,x n = a+x n,... Zadanie 3.2 Wykazać, że ciąg nie ma granicy. Zadanie 3.3 Wykazać, że jest granicą ciągów: x n =cos n2 π n+2 W tym celu wykazać, że granicami a n = n5n 2 n 3 n+, b n= n n! a n+ lim n a n i b n+ n lim b n są liczby nieujemne miniejsze od, a następnie skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach. Zadanie 3.4 Zdefiniujmy dwa ciągi dla dodatnich liczbaib: x =a, y =b, x n+ = x n y n, y n+ = x n+y n 2 Wykazać, żex n y n oraz, że ciągx n jest ciągiem monotonicznie rosnącym, a ciągy n monotonicznie malejącym. Zatem ciągi te mają granicę. Wykazać, że ich granicą jest ta sama liczba. Jest to tzw. średnia arytmetyczno-geometryczna, wykorzystywana w analizie numerycznej do wyznaczania niektórych funkcji specjalnych, np. funkcji eliptycznych. J. Z. Kamiński & J. Krupski Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

4 Tydzień IV: Granica i ciągłość funkcji, asymptoty Zadanie 4. Wyznaczyć granice funkcji: a)lim 4x 5 +9x+7 x 3x 6 +x 3 + 9+5x+4x 2 3 x c)lim x b)lim x x n dlan,m N x m x d) lim 3 x 2 x+ x x 3 3x+2 e)lim x x( x 2 + x) f)lim x (+/x) 7x Zadanie 4.2 Wyznaczyć granice funkcji: ( 5x+ x 3 ) lim x 3x+9, lim arctg(x), lim x ± x 3x 2 4 x2. 3x+2 Zadanie 4.3 Wyznaczyć granice funkcji: lim x dla dowolnych rzeczywistycha. ( ) x x+3, lim 3 x (x x 2 +a 2 ), x limx(x x 2 +a 2 ), Zadanie 4.4 Wyznaczyć granice funkcji korzystając z podstawień: 2x 2.lim 3 x 26+x 3, 26+x=z 3. 2.lim x 5 +x x, +x=z 5. sin(x π/6) 3. lim x π/6 3 2cosx, x π/6=z. Zadanie 4.5 Funkcje f(x)= (+x)n, f(x)= cosx, f(x)=xctgx, f(x)=x 2 sin x x 2 x są nieokreślone dlax=. Określićf() tak, aby funkcje te były ciągłe dlax=. Zadanie 4.6 Dodefiniować funkcje w punkciex= tak, aby otrzymać funkcję ciągłą:.f(x)= tgx x ; J. Z. Kamiński & J. Krupski Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

2.f(x)= 5x2 3x x ; 3.f(x)= +x x ; 4.f(x)= sin2 x cosx. Zadanie 4.7 Dookreślić funkcje w wybranych punktach tak, aby były one w tych punktach funkcjami ciągłymi. Czy zawsze można tak zrobić? f(x)= +x x, dlax=; f(x)= f(x)= x3 + sinx, dlax= ; f(x)= arcsin(x+) x 2 4 arctg(x+2), dlax= 2; +tgx tgx, dlax=; f(x)= x2 cosx, dlax=; f(x)= sin2 x +cos 3 x, dlax=π; f(x)= x +sinx, dlax=; f(x)= arccosx x, dlax=; Zadanie 4.8 Określić dziedzinę funkcjif(x) i pokazać, że jest ona tam funkcją ciągłą f(x)=2x 2 ; f(x)= sinx ; f(x)=ex ; f(x)=lnx Zadanie 4.9 Czy funkcjaf(x)=x 3 /4 sin(πx)+3 przyjmuje wartość7/3 na odcinku[ 2,2]? Zadanie 4. Korzystając z ciągłości funkcjif(x)=2 x /x na odcinku[/4,] wykazać, że równaniex2 x = ma przynajmniej jedno rozwiązanie mniejsze od. Zadanie 4. Wyznaczyć stałeaibzwarunku: ( x. lim 2 + )=; ax b x x+ 2. lim x ( x 2 x+ ax b)=. J. Z. Kamiński & J. Krupski 2 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 4.2 Wyznaczyć asymptoty następujących funkcji: y= 5x 3x x, y= +3x, y=, y= +x x 3 x x 2 + 2 +2x y= x2 6x+3, y=xe x, y= sinx, y=xarctgx x 3 x y=xarcctgx, y=ln(4 x 2 ), y= 3 x 3 6x 2, y=x+ sinx x 2 π 2 J. Z. Kamiński & J. Krupski 3 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

5 Tydzień V: Pochodna funkcji. Styczna i normalna do krzywej płaskiej. Zadanie 5. Korzystając z definicji pochodnej jako granicy ilorazu różnicowego wyznaczyć pochodne funkcji cos(ax) i5x 2 2x. Zadanie 5.2 Wykazać, posługując się definicją pochodnej, że dla funkcji w punkciex=. 5 x3 i3 x + nie istnieją pochodne Zadanie 5.3 Wyznaczyć pochodne funkcji:.3cosx+2sinx; 2. sinx+cosx sinx cosx ; 3.(x 2 +)arctgx; 4.x 3 arcsinx; 5. 3 x 2 +6/x; 6. x+/ x+.x ; 7. cosϕ+sinϕ cosϕ ; 8. 2x 2 +x+ x 2 x+ ; 9.2e x +lnx;.e x (sinx+cosx);. ln(tgx); 2.ln[sin(x 3 +)]; 3.ln 6 [tg(3x)]; 4.arcsin( x 2 ); 5. arctg(ln x) + ln(arctgx); 6.ln 2 [arctg(x/3)]; 7. x+ x+ x; J. Z. Kamiński & J. Krupski 4 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

8.arcsin 2x x 2 +. Zadanie 5.4 Korzystając z tzw. pochodnej logarytmicznej, wyznaczyć pochodne funkcji.f(x)=a x ; 2.f(x)=(cosx) sinx ; 3.f(x)= 3 sin(3x) sin(3x) ; ( ln f(x) ) = f (x) f(x), 4.f(x)= x 3(x+2) 2 (x+3) 3. Zadanie 5.5 Wyznaczyć pochodne funkcjiy=f(sin 2 x)+f(cosx),y=f(e x )e f(x),y=log φ(x) ψ(x), dla φ(x)> iψ(x)>. Zadanie 5.6 Wiedząc, że dlax, wyznaczyć sumy i +x+x 2 +...+x n = xn+ x +2x+3x 2 +...+nx n +2 2 x+3 2 x 2 +...+n 2 x n Zadanie 5.7 Wykazać indukcyjnie, że dla x kπ, k =, ±, ±2,... zachodzi równość a następnie wyznaczyć sumę cosx+cos3x+...+cos(2n )x= sin2nx 2sinx sinx+3sin3x+...+(2n )sin(2n )x J. Z. Kamiński & J. Krupski 5 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 5.8 Napisać równanie stycznej do krzywejy=f(x) we wskazanym punkciex jeśli.f(x)=x 3 3x+2 ix =2; 2.f(x)=2x 2 x+5 ix =.5; 3.f(x)=x 4 +3x 2 6 ix =±2; 4.f(x)=sin 2 x ix =π/6. Zadanie 5.9 Znaleźć punkty na krzywejy=x 3 3x+5, w których styczna:. jest równoległa do liniiy= 2x; 2. jest prostopadła do liniiy= x/9; 3. tworzy kąt3 z dodatnią osiąx. Zadanie 5. Znaleźć związek łączący punkt przecięcia stycznej do hiperboliy=c/x,c>, z osiąx, jeśli punkt styczności ma współrzędnąx. Zadanie 5. Niechf(x)=3x 2 5. Wyznaczyćξ z przedziałua<ξ<b, spełniające formułę Lagrange a f(b) f(a)=f (ξ)(b a) jeślia= 2 ib=. To samo, gdya= ib=6. Zadanie 5.2 Na krzywejy=x 3 znaleźć punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej łączącej punkty (, ) i(2,8). Zadanie 5.3 Testem zgodności funkcji nazywamy stwierdzenie mówiące, że jeśli dla wszystkich punktów z pewnego odcinka(a,b) pochodnaf (x)=, to na tym odcinku funkcjaf(x) jest stała. Korzystając z testu zgodności wykazać równości:.arcsinx+arccosx=π/2 dlax [,]; 2.sin 2 x=( cos(2x))/2 dlax R; 3.arccos x2 +x 2 =2arctgx dla x<. Jak ta równość powinna wyglądać dlax<? J. Z. Kamiński & J. Krupski 6 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Podobnie, arcsin 2x +x 2= π 2arctgx x 2arctgx x π 2arctgx x Zadanie 5.4 Wyznaczyć parametrya,bicparaboliy=ax 2 +bx+c tak, aby w punkciex=była ona styczna do prostejy=x i przechodziła przez punkt(,). Zadanie 5.5 Niech funkcjaf(x) jest funkcją różniczkowalną i dodatnią. Pokazać, że wykresy funkcjiy = f(x) iy 2 =f(x)sin(ax) są styczne do siebie w każdym wspólnym punkcie. Zadanie 5.6 Funkcja x 2 sin(/x) x f(x)= x= jest funkcją ciągłą (sprawdzić to). Obliczyć jej pochodną i sprawdzić, czy jest ona funkcją ciągłą. Zadanie 5.7 Wykazać, że dlax>i p funkcjaf(x)=+x p (+x) p jest funkcją rosnącą. Pokazać, że z tego faktu wynika nierówność(+x) p +x p dlax. Wyprowadzić stąd nierówność(a+b) p a p +b p słuszną dlaa,b> i p. W szczególności otrzymujemy dlaa,b> in=,2,3,... n a+b n a+ n b, Zadanie 5.8 Wykazać, że dlat> funkcja f(z)=(t z +) /z jest funkcją malejącą dlaz>. Wykorzystać ten fakt przy dowodzie nierówności słusznej dlax>,y> i<α<β. (x α +y α ) /α >(x β +y β ) /β Zadanie 5.9 Podać równanie wyznaczające punkty styczności prostych przechodzących przez punkt(x,y) i stycznych do wykresu funkcjiy=f(x) (rysunek). Obliczyć punkty styczności, gdyf(x)=x 2, a punkt(x,y) ma współrzędne a)(, 3), b)(,3). J. Z. Kamiński & J. Krupski 7 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

y=f(x) (X,Y) (x f,y f ) Zadanie 5.2 Podać równania wyznaczające punkty styczności prostych stycznych do wykresów funkcji y = f(x) iy=g(x) (rysunek). Określić te styczne, gdyf(x)=x 2 2x+2 ig(x)= x 2 2x 2. y=f(x) (x g,y g ) (x f,y f ) y=g(x) Zadanie 5.2 Zadanie ilustruje metodę Newtona przybliżonego wyznaczania miejsc zerowych funkcji f(x) wykorzystującą styczne do wykresu. Niechx będzie miejscem zerowym funkcji,f(x )=. Wybierzmy jakikolwiek punktx blisko leżącyx. Wyznaczyć styczną do wykresu w punkcie (x,f(x )), a następnie miejsce przecięcia tej stycznej z osiąx. Oznaczmy odciętą tego punktu jakox 2 i powtórzmy powyższą procedurę dla punktux 2. Otrzymujemy w ten sposób ciąg liczb x,x 2,...,x n,... Wykazać, że ciąg ten zadany jest rekurencją x n+ =x n f(x n) f (x n ) i że jego granicą jest miejsce zerowe funkcjif(x). Jakie są ograniczenia tej metody? Zadanie 5.22 Zastosować metodę z zadania 5.2 do wyznaczenia 2. W tym celu wybieramyf(x)=x 2 2 i wyznaczamy rekurencję. Niech początkowym punktem będziex =. Wyznaczyćx 2,x 3,x 4 i sprawdzić jak dobrze liczby te przybliżają 2. Co otrzymamy jeśli za punkt początkowy wybierzemyx =? Powtórzyć rachunki dlax =. J. Z. Kamiński & J. Krupski 8 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

6 Tydzień VI: Reguła de L Hospitala. Ekstrema i badanie funkcji. Zadanie 6. Korzystając z reguł L Hospitala wyznaczyć granice: e.lim ax e 2ax ; x ln(+x) 2. lim x 3 +2x+ 2+x+x ; e 3.lim x e x 2x; x x sinx 4.lim x ln(+x 2 ) cos(3x) e x ; 5.lim x sin(3x 2 ) lncos(2x 2 x) ; e /x 2. x 2arctg(x 2 ) π 6. lim Zadanie 6.2 Wyznaczyć ekstrema i punkty przegięcia funkcji:.f(x)= 3 4 x4 x 3 9x 2 +7; 2.f(x)=x 4 8x 3 +22x 2 24x+2; 3.f(x)=x(x+) 3 (x 3) 2 ; 4.f(x)= x2 3x+2 x 2 +2x+. Zadanie 6.3 Przez zbadanie funkcji rozumie się na ogół wykonanie następujących czynności: Określenie dziedziny. Sprawdzenie, czy funkcja jest parzysta, nieparzysta lub okresowa. Wyznaczenie asymptot wykresu tej funkcji. Wyznaczenie punktów ekstremalnych. Wyznaczenie punktów przegięcia. Naszkicowanie wykresu. J. Z. Kamiński & J. Krupski 9 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zbadać funkcje: a)f(x)= x3 b)f(x)=x 6 3x 4 +3x 2 5 c)f(x)= x 2 x 2 x2 + ( d)f(x)=x + x) x ( ) 2x e)f(x)=arcsin f)f(x)=x+ln(x 2 ) x 2 + g)f(x)=x 2 e /x h)f(x)=(+x) /x i)f(x)= 2 sin(2x)+cosx Zadanie 6.4 Zbadać funkcję i naszkicować jej wykres, jeśli:.y=x 6 3x 4 +3x 2 9; 2.y= 3 x 3 x+; 3.y= 2x3 x 2 4 ; 4.y= x3 x 2 ; 5.y=x+ln(x 2 ); 6.y=arcsin x2 +x 2 ; 7.y=exp( x 2 + x 2 ); 8.y= +x 3/2 / x. Zadanie 6.5 Pokazać, że istnieje funkcjay=y(x) zdefiniowana równaniemy 3 +3y=xiwyznaczyć jej pochodnąy (x). Zadanie 6.6 Niechy=2x 2 x 4. Określić obszary, na których funkcja ta jest funkcją monotoniczną i wyznaczyć dla nich funkcję odwrotnąx=x(y) a następnie obliczyć jej pochodnąx (y). Zadanie 6.7 Niech u(v)= 2 ln+v v Określić obszary monotoniczności i wyznaczyć funkcję odwrotnąv(u). Sprawdzić relację u (v)v (u)= du dv dvdu = J. Z. Kamiński & J. Krupski 2 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 6.8 Niech funkcja f(x) jest określona na odcinku[a, b]. Wybierzmy jakiekolwiek dwa punkty z tego odcinkax <x 2. Funkcjęf(x) nazywamy funkcją wklęsłą na odcinku[a,b] jeśli wykres prostej przechodzącej przez punkty(x,f(x )) i(x 2,f(x 2 )) nie leży na odcinku[x,x 2 ] powyżej wykresu funkcjif(x). Wykazać, że tę właściwość można zapisać nierównością f(αx +( α)x 2 ) αf(x )+( α)f(x 2 ), α. Jak w podobny sposób zdefiniować funkcję wypukłą? Definicje te są ogólniejsze od tych wykorzystujących drugie pochodne funkcji, gdyż nie zakładają różniczkowalności funkcji. Wiemy, że funkcja ln x jest funkcją wklęsłą dla dodatnich x (tj. w całej swojej dziedzinie). Wykazać, że implikuje to nierówność której konsekwencją jest nierówność αx +( α)x 2 x α x α 2, x,x 2 >, α, n a +a 2 +...+a n + a ( ) n n+ n+ n n+ a +a 2 +...+a n n n+a n+, dla naturalnychnidodatnicha i. Wykorzystać ten wynik, aby pokazać indukcyjnie, że średnia arystmetyczna liczb dodatnich jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej, tj. a +a 2 +...+a n n ( a a 2...a n ) n. J. Z. Kamiński & J. Krupski 2 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

7 Tydzień VII: Wzór Taylora Zadanie 7. Korzystając ze wzoru Lagrange a dla funkcjif(x)=lnx dla odcinka[b,a],b>, wykazać nierówności a b a <ln a b <a b b Zadanie 7.2 Korzystając ze wzoru Lagrange a dla funkcjif(x)=x p (p>) dla odcinka[b,a],b>, wykazać nierówności pb p (a b)<a p b p <pa p (a b) Czy nierówność ta zostanie zmodyfikowana, gdyp? Zadanie 7.3 Udowodnić, że jeśli funkcjef(x) ig(x) są różniczkowalne i pierwsze pochodne są ciągłe,f(x )= g(x ) i dlax>x zachodzi nierównośćf (x)>g (x), tof(x)>g(x) dlax>x. Skorzystać ze wzoru Lagrange a. Zadanie 7.4 Udowodnić, że jeśli funkcje f(x) i g(x) są różniczkowalne n-krotnie i pochodne są ciągłe, f k (x )=g k (x ) dlak=,,...,n i dlax>x zachodzi nierównośćf n (x)>g n (x), tof(x)>g(x) dlax>x. Skorzystać ze wzoru Lagrange a. Zadanie 7.5 Wykorzystując zadanie 7.4 udowodnić nierówności: e x >+x dla x x x2 2 <ln(+x)<x dla x> x x3 6 <sinx<x dla x> tgx>x+ x3 dla <x< π 3 2 Podać geometryczną ilustrację tych nierówności. Zadanie 7.6 Podać pięć pierwszych wyrazów z rozwinięcia w szereg Taylora woków punktux= funkcji +x, (+x) α, ln(+x), arcsinx, arctgx J. Z. Kamiński & J. Krupski 22 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 7.7 Posługując się wzorem Taylora wykazać, że lim x x [( 3 x 2 + x ) e x x6 + ] = 2 6 Zadanie 7.8 Posługując się wzorem Taylora wykazać, że lim x [ x x 2 ln ( + )] = x 2 Zadanie 7.9 Posługując się wzorem Taylora wykazać, że lim x x 5 [sin(sinx) x 3 x 2 ]= 9 9 Zadanie 7. Posługując się wzorem Taylora wykazać, że lim x ( x x ctgx) = 3 J. Z. Kamiński & J. Krupski 23 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

8 Tydzień VIII: Całki nieoznaczone Zadanie 8. Wyznaczyć funkcje pierwotne (całki nieoznaczone): 3 3x, x x 2 +, x( x), x 4+x 4, 2 3x 2,, 2 3x 2 x x 2, (+x 2 ) 3/2, e x +e x,, +e 2x sinx cos2x, sinhx cosh2x, sinx+cosx 3 sinx cosx, x(+x), xlnx ln(lnx), sinxcosx a2 sin 2 x+b 2 cos 2 x. Zadanie 8.2 Wyznaczyć całkę sin2x tak, aby funkcja pierwotna była funkcją ciągłą dla wszystkichx. Zadanie 8.3 Rozłożyć na funkcje podcałkowe ułamki proste i wyznaczyć całki: x 2 +x 2, 3x 2 2x, x 4 2x 2, x 5 x 6 x 3 2, x(x 2 +2), (x 2 +)(x 2 +2), x x x 4 +3x 2 +2, x+ x 2 +x+, x (x+)(x+2)(x+3). Zadanie 8.4 Całkując przez części wyznaczyć całki: x 2 arccosx, (arcsinx) 2, sin(ln x), arcsinx x 2, xln(x+ +x 2 ), +x 2 arctg(ex ) e x, arctg( x), x 2 +x 2, ln(sinx) sin 2 x. J. Z. Kamiński & J. Krupski 24 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 8.5 Niech I n = (+x 2 ) n. Znaleźć liniową rekurencję wyrażającąi n poprzezi n, a następnie wyznaczyć całkę x2 +x (+x 2 ) 3. Zadanie 8.6 Wyznaczyć całki z funkcji trygonometrycznych: sin 4 x, sinxcos 2 x, ctg 2 x, cos3 x sinx, tg 3 x, sin 4 x. Zadanie 8.7 Wykazać, że jeżeliy=ax 2 +bx+c ia, to dlaa> y = a ln ( y 2 + ay ) +C, a dlaa< = y arcsin y a b2 4ac +C. Najprościej jest zróżniczkować prawą stronę. Zachęcamy jednak do wybrania "drogi pod prąd". Zadanie 8.8 Wyznaczyć całkę x+ x 2 +x+ korzystając z dwóch podstawień x 2 +x+=x+u lub x 2 +x+=xv+ i porównać wyniki. J. Z. Kamiński & J. Krupski 25 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

9 Tydzień IX: Całki oznaczone i ich zastosowania Zadanie 9. Korzystając z definicji całki Riemanna wykazać, że lim S n= n x= 2 gdzie S n = n n k= k n. Zadanie 9.2 Korzystając z definicji całki Riemanna wykazać, że lim S n= n +x =ln2 gdzie S n = n k= n+k. Zadanie 9.3 Korzystając z definicji całki Riemanna wykazać, że lim S n= n +x 2=π 4 gdzie S n = n k= n n 2 +k 2. Zadanie 9.4 Wykazać, że dla bardzo dużychxfunkcjaf(x) określona całką f(x)= x dte t2 zachowuje się jak f(x) ex2 2x. J. Z. Kamiński & J. Krupski 26 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

W tym celu zbadać granicę i wykazać, że jest ona równa. Zadanie 9.5 Wykazać, że dlaa> a f(x) lim x e x2 2x x 3 f(x 2 )= 2 a 2 xf(x). Zadanie 9.6 Wykazać, że całka spełnia związek rekurencyjny Wykazać, że lub gdzie Powtórzyć rachunki dla całki I n = π/2 sin n x I n = n n I n 2. I 2k = (2k )!! π (2k)!! 2 I 2k+ = (2k)!! (2k+)!! 3 5...n, dlanieparzystychn n!!= 2 4 6...n, dlaparzystychn J n = π/2 cos n x. Zadanie 9.7 Niech Wykazać rekurencję I n = I n = π/4 tg 2n x. 2n I n. J. Z. Kamiński & J. Krupski 27 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 9.8 Korzystając z wyników zadania 9.7 obliczyć całki ( x 2 ) n, x n x 2. Zadanie 9.9 Niech J(2m,2n)= π/2 sin 2m xcos 2n x. Udowodnić rekurencję J(2m,2n)= 2n 2m+ J(2m+2,2n 2) a następnie, korzystając z zadania 9.7 wykazać, że J(2m,2n)= π(2n)!(2m)! 2 2m+2n+ m!n!(m+n)!. Zadanie 9. Niech dla naturalnychnim Wykazać rekurencję a następnie równość B(m,n)= x m ( x) n B(m,n)= n m B(m+,n ) B(m,n)= (n )!(m )! (n+m )! FunkcjaB(p,q) dla dodatnich argumentów nazywana jest funkcją Eulera drugiego rodzaju. J. Z. Kamiński & J. Krupski 28 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 9. Stosując zamianę zmiennych (czasami również zamianę granic) wyznaczyć całki π/2 5π/4 π 3 3 4 2 4 x 2, x=2sint x2 4 x 4, x= 2 cost cosx 6 5sinx+sin 2 x, t=sinx sin2x cos 4 x+sin 4 x, t=tgx π/2 2+cosx, x=2arctgt Zadanie 9.2 Wyznaczyć pole ograniczone krzywymi oraz prostymix= ix=2. Zadanie 9.3 Wyznaczyć pole ograniczone krzywymi y=2 x, y=2x x 2 y= 4 x2, y= 8 x 2 +4 Zadanie 9.4 Wyznaczyć pole ograniczone krzywymi y= x(x ), y= x(x ) Zadanie 9.5 W jakim stosunku parabolay 2 =2x dzieli powierzchnię kołax 2 +y 2 =8? Zadanie 9.6 Obliczyć długość górnej części okręgu o równaniuy= a 2 x 2. J. Z. Kamiński & J. Krupski 29 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 9.7 Wyznaczyć długość linii dlab x a jeśli.y=cln(c 2 /(c 2 x 2 )),b=,a<c. 2.y=lncosx,b=,a<π/2. 3.y=aln a+ a 2 x 2 x a 2 x 2,<b<a. Zadanie 9.8 Wyznaczyć objętość figury powstałej w wyniku obrotu krzywejy=aarcsin(x/a), x a wokół osix. Zadanie 9.9 Wyznaczyć objętość figury powstałej w wyniku obrotu krzywejy=acosh(x/a), x b wokół osix. Zadanie 9.2 Wyznaczyć objętość elipsoidy osiowo-symetrycznej powstałej w wyniku obrotu krzywej y = a (x/b) 2, b x b wokół osix. Zadanie 9.2 Wyznaczyć pole powierzchni bocznej powstałej w wyniku obrotu krzywej y = x x/a, x a wokół osix. Zadanie 9.22 Wyznaczyć pole powierzchni bocznej powstałej w wyniku obrotu krzywej y = a cos(πx/2b), x b wokół osix. Zadanie 9.23 Wyznaczyć pole powierzchni bocznej powstałej w wyniku obrotu krzywejy=tgx, x π/4 wokół osix. Zadanie 9.24 Wyznaczyć pole powierzchni bocznej powstałej w wyniku obrotu krzywej y = a cosh(x/a), b x b wokół osixlub osiy. Zadanie 9.25 Wyznaczyć pole powierzchni bocznej powstałej w wyniku obrotu krzywejy 2/3 +x 2/3 =a 2/3, a x a wokół osix. Zadanie 9.26 Wyznaczyć całkę +t2 dt J. Z. Kamiński & J. Krupski 3 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

stosując np. podstawienie +t 2 =t+u, gdzieujest nową zmienną. Korzystając z powyższego wyniku wyznaczyć pole powierzchni bocznej powstałej w wyniku obrotu krzywejy=sinx, x π wokół osix. Zadanie 9.27 Obliczyć całki niewłaściwe 2 x2 + x 4 +, x 2 +x 2, xlnx (+x 2 ) 2, (2 x) x, (x 2 +x+) 2, arctgx (+x 2 ) 3/2, +x 3, x +x 5 +x, π/2 lnsinx. Zadanie 9.28 Wykazać dla a, b > równość f ( ax+ b x ) = f( x a 2 +4ab). Zadanie 9.29 Wyznaczyć granice: lim x dt cost x t, lim 2 x x lim x xα x dt f(t) tα+, lim x + gdzieα> af(t) jest funkcją ciągłą na odcinku[,]. x dt +t 4, x 3 x dtt e t ln x, Zadanie 9.3 Zbadać zbieżność całek niewłaściwych: x 2 x 4 x 2 +, x 3 x 2 +, 2 lnx, arctgx, x sin2 x x, lnx x 2, J. Z. Kamiński & J. Krupski 3 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

x p e x, x p ln q x, xm +x n. J. Z. Kamiński & J. Krupski 32 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Tydzień X: Dalsze zastosowania całek oznaczonych. Szeregi liczbowe i potęgowe Zadanie. Wyznaczyć pole powierzchni ograniczonej elipsą x 2 a 2+y2 b 2= Użyć parametryzacjix(t)=acost,y(t)=bsint. Zadanie.2 Wyznaczyć pole powierzchni ograniczonej asteroidą x 2/3 +y 2/3 =a 2/3, a> Użyć parametryzacjix(t)=acos 3 t,y(t)=asin 3 t. Zadanie.3 Wyznaczyć pole powierzchni ograniczonej krzywą zadaną parametrycznie x(t)=asint, y(t)=bsin2t Zadanie.4 Wyznaczyć pole powierzchni ograniczonej pętlą liścia Kartezjusza x 3 +y 3 =3axy, a> Użyć parametryzacji x(t) = ρ(t) cos t, y(t) = ρ(t) sin t i wyznaczyć zależność ρ(t). Zadanie.5 Wyznaczyć długość linii zadanej parametrycznie x=cos 4 t, y=sin 4 t, t π 2 Zadanie.6 Wyznaczyć długość linii zadanej parametrycznie x=a(t sint), y=a( cost), t 2π J. Z. Kamiński & J. Krupski 33 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie.7 Wyznaczyć długość linii zadanej parametrycznie x=cosh 3 t, y=sinh 3 t, t T Zadanie.8 Wyznaczyć objętość figury powstałej w wyniku obrotu krzywej zadanej parametrycznie wokół osixlub osiy. x=asin 3 t, y=bcos 3 t, t 2π Zadanie.9 Wyznaczyć objętość figury powstałej w wyniku obrotu krzywej zadanej parametrycznie wokół osixlub osiy. x=2t t 2, y=4t t 2, t 2 Zadanie. Wyznaczyć objętość figury powstałej w wyniku obrotu wokół osi x obszaru płaskiego ograniczonego krzywymi x 2 +y 2 =, y 2 = 3 2 x Zadanie. Wyznaczyć pole powierzchni bocznej figury powstałej w wyniku obrotu wokół osi x cykloidy zadanej parametrycznie x=a(t sint), y=a( cost), t 2π Zadanie.2 Wyznaczyć pole powierzchni bocznej figury powstałej w wyniku obrotu wokół osi x kardioidy zadanej parametrycznie x=a(2cost cos2t), y=a(2sint sin2t), t π Zadanie.3 Wykazać, że jeżeli wyraz szeregua n da się przedstawić w postacia n =x n x n+, gdziex n jest n-tym wyrazem ciągu zbieżnego dog, to a n =x g n= Uogólnić ten wynik, gdya n =x n x n+k, gdziek> jest pewną liczbą naturalną. J. Z. Kamiński & J. Krupski 34 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie.4 Wykorzystać wyniki z zadania.3 i wyznaczyć wartości szeregów: n= n= n= n(n+), n= n(n+3), 2n+ n 2 (n+) 2, n= n= (2n )(2n+), n= n(n+)(n+2), n= n 2 n(n+)(n+2)(n+3)(n+4), (3n 2)(3n+), n (2n ) 2 (2n+) 2, n= (a+n)(a+n+). Zadanie.5 Wykazać, że dlaαróżnych od zera i ujemnych liczb całkowitych n= (α+n)(α+n+) = α Zadanie.6 Wykazać, że dlaαróżnych od zera i ujemnych liczb całkowitych n= Jak dobraćαaby otrzymać równość (α+n)(α+n+)(α+n+2) = 2α(α+) 4 7 + 4 7 +...= 24 Zadanie.7 Stosując kryterium d Alamberta zbadać zbieżność szeregów: n= n= (n!) 2 2 n2, n n!, n= n= (n!) 2 (2n)!, n= n! n n, n 5 (2n)! 2 n +3 n, (n!) 2 e n, n= Zadanie.8 Stosując kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: (arctg(n 2 +)) n, n= n= n 2 ( ) n, 2+ n ( n ) n, ( n ) n 2 2 n, n= 2n+ n= n+ n= n= n n+/n ) n, ( 2n n (n!) n n n2. J. Z. Kamiński & J. Krupski 35 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie.9 Stosując kryteria d Alamberta lub Cauchy ego zbadać zbieżność szeregu 2 ( )n n n= Zadanie.2 Stosując kryterium całkowe zbadać zbieżność szeregów: n= n= n +s, n= nln +s n, (n+)ln 2 (n+), n= n= nlnnln(lnn), ln ( n+), n n n= 2 n 3 n. Zadanie.2 Zbadać zbieżność szeregu naprzemiennego (kryterium Leibnitza) ( ) n( 2n+) n, n= 3n+ n= ln n n sin (2n+)π, 2 ( ) n n. n= n Zadanie.22 Zbadać zbieżność szeregu potęgowego (jego promień zbieżności i zbieżność szeregu liczbowego na brzegu) x n n 2 n= oraz szeregu utworzonego z pochodnych jego wyrazów. Zadanie.23 Znaleźć promień zbieżności szeregu potęgowego n= n n 2 nxn Zadanie.24 Obliczyć promień zbieżności szeregu: n= n x n, n= n 5 nxn, n= 3 n n+ xn, J. Z. Kamiński & J. Krupski 36 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

n 2 n=3 n 4, n+xn n= (n 2 +n) 2 2n x n, n= 3 3n n! nxn, n= n=2 (2n)! (n!) 2xn, 2 3n n 3 (n 2 ) 5 nxn, n= (n!) 3 (3n)! xn, Zadanie.25 Wykazać, że rozwinięcie Taylora prowadzi do następującego szeregu potęgowego = 3 x+ 3 5 + 3 5 7 x 4...=+ +x 2 2! 2 2x2 3! 2 3x3 4! 2 4 Określić jego promień zbieżności a następnie, korzystając z całki arcsinx= podać rozwinięcie w szereg potęgowy funkcjiarcsinx. Zadanie.26 Korzystając z całki arctgx = podać rozwinięcie w szereg potęgowy funkcjiarctgx. Zadanie.27 Rozwinąć w szereg potęgowy funkcję i określić jego promień zbieżności. x x dt dt t 2 +t 2 f(x)= x3 +2x x 2 2 ( ) n(2n )!! x n n= n! 2 n J. Z. Kamiński & J. Krupski 37 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Tydzień XI: Równania różniczkowe zwyczajne Zadanie. Rozwiązać równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu (typ: o rozdzielonych zmiennych): 2x 2dy =y, x2dy x +y 2 +y +x 2dy +y a=, xy=(a+x)(b+y)dy, x(+ey ) e ydy,, xdy +=x3 dy, (x2 +)y 3 +( y 2 )x 3dy =. Zadanie.2 Rozwiązać równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu (typ: jednorodne względem x i y): x 2dy =x2 +xy+y 2, x 2 +y 2 =2xy dy, xdy =x+y, xdy =ylny x. Zadanie.3 Rozwiązać równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu (typ: liniowe jednorodne pierwszego rzędu): dy = y dy x 2, =2x y, x 2 dy =ytgx, dy =y(xsinx cosx). Zadanie.4 Rozwiązać równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu (typ: liniowe niejednorodne pierwszego rzędu): dy =xy+xex2, dy sinx= ycosx+sin2x, xdy =y+2x2, 2x dy =y+3 2 x2. Zadanie.5 Rozwiązać równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (typ:f(y,y,y )=): 2y =3e y, y 4 y 3 y =, 2y 2 =(y )y, y (+yy )=y (+y 2 ), (+y 2 )y =y 2 y. Zadanie.6 Rozwiązać równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (typ: liniowe jednorodne): y +y + 4 y=, y +2y +5y=, y =9y, y +2y +y=. J. Z. Kamiński & J. Krupski 38 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie.7 Rozwiązać równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (typ: liniowe niejednorodne): y +4y=sin(mx), y y=2xcosx+e x, y +y=tgx, y 4y +4y=e x +e x. J. Z. Kamiński & J. Krupski 39 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

2 Tydzień XII: Układy równań różniczkowych zwyczajnych. Zadanie 2. Rozwiązać układ równań różniczkowych zwyczajnych jednorodnych z zadanymi warunkami początkowymi: d dt d dt d dt ( ) ( )( ) ( ) ( ) x x x() =, = y y y() ( ) ( )( ) ( ) ( ) x 2 4 x x() =, = y 2 y y() ( ) ( )( ) ( ) ( ) x 4 x x() =, = y y y() Zadanie 2.2 Rozwiązać układ równań różniczkowych zwyczajnych jednorodnych z zadanymi warunkami początkowymi: d dt d dt d dt x 2 x x() y = 3 y, y() = z 3 3 2 z z() x x x() y = y, y() = z z z() x 2 2 x x() 2 y = 3 3 y, y() = 4 z 2 2 2 z z() Zadanie 2.3 Rozwiązać układ równań różniczkowych zwyczajnych niejednorodnych: d dt d dt d dt ( ) ( )( ) ( ) x 2 x 2e t = + y 2 y t 2 ( ) ( )( ) ( ) x 2 2 x t = + y 2 2 y +t ( ) ( )( ) ( ) x x tsint = + y y J. Z. Kamiński & J. Krupski 4 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 2.4 Rozwiązać układ równań różniczkowych zwyczajnych niejednorodnych: d dt d dt x 5 2 4 x y = y + e t z 4 3 3 z x 2 3 x t y = 2 2 y + e t z 3 z Zadanie 2.5 Układ równań opisujący schemat kinetyczny przemian chemicznych ma postać k 2 A B C k3 k da dt = k A+k 2 B, db dt =k A (k 2 +k 3 )B, dc dt =k 3B. Rozwiązać ten układ równań dlak =k 3 =2 ik 2 = z warunkiem początkowyma()=a, B()=C()=. J. Z. Kamiński & J. Krupski 4 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

3 Tydzień XIII: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe i ekstrema. Zadanie 3. Korzystając z definicji otoczeniowej Cauchy ego wykazać, że granicą funkcji f(x,y,z)= sin(xyz) x2 +y 2 +z 2 w początku układu współrzędnych jest liczba. Wykorzystać fakt, że średnia arytmetyczna trzech liczb dodatnich jest nie mniejsza niż ich średnia geometryczna. Zadanie 3.2 Wykazać, że funkcja nie ma granicy w zerze. Zadanie 3.3 Wykazać, że choć dla funkcji granice iterowane są równe f(x,y)= 2xy x 2 +y 2 f(x,y)= x 2 y 2 x 2 y 2 +(x y) 2 to mimo tego funkcja nie ma granicy w zerze. Zadanie 3.4 Wykazać, że dla funkcji lim (limf(x,y))=lim(limf(x,y))= x y y x f(x,y)=(x+y)sin x sin y granice iterowane nie istnieją, ale mimo to funkcja ma granicę w zerze. Zadanie 3.5 Wyznaczyć granice iterowane jeśli lim (lim x a y b f(x,y)), oraz lim y b (lim x a f(x,y)). f(x,y)= x2 +y 2 x 2 +y4, a=, b= ; J. Z. Kamiński & J. Krupski 42 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

2. 3. 4. 5. f(x,y)=sin πx, a=, b= ; 2x+y f(x,y)= xy +xy, a=+, b=+; f(x,y)= xy tg, a=, b= ; xy +xy f(x,y)=log x (x+y), a=, b=. Zadanie 3.6 Wyznaczyć granicę podwójną dowodząc nierówności lim x y x+y x 2 xy+y 2 x+y x 2 xy+y 2 x + y Zadanie 3.7 Wyznaczyć granicę podwójną dowodząc nierówności x 2 +y 2 lim x y x 4 +y 4 < x2 +y 2 x 4 +y 4 x 2+ y 2 Zadanie 3.8 Wyznaczyć granicę podwójną dowodząc nierówności ( xy ) x2 lim x + x 2 +y 2 y + < ( xy ) ( x2 ) x 2 x 2 +y 2 2 Zadanie 3.9 Wykazać, że dla dostatecznie wiele razy różniczkowalnych funkcji zachodzi J. Z. Kamiński & J. Krupski 43 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

. 2. 3. 2 u u 2 x 2 2 y 2α u y =α2 u, dla u=e αx f(x y) 2 u u 2 x 2 2 y = 2f, dla u=f(y x) xf (y x) x 2 2 u 2 x +y2 2 u 2 y +2xy 2 u x y =, dla u=xf(y/x) Zadanie 3. Wyznaczyć punkty krytyczne funkcji i określić ich charakter. Zadanie 3. Wyznaczyć punkty krytyczne funkcji i określić ich charakter. Zadanie 3.2 Wyznaczyć punkty krytyczne funkcji i określić ich charakter. f(x,y,z)=x 2 2x y 3 +3y+5z 2 f(x,y)=x 4 +y 4 x 2 2xy y 2 f(x,y)=2x 4 +y 4 x 2 2y 2 Zadanie 3.3 Wyznaczyć ekstremum funkcji f(x,y)= x 2 +y 2 Zadanie 3.4 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f(x,y)=x 3 +y 2 3x 2y na trójkącie (razem z jego brzegiem), którego wierzchołkami są punkty(,),(,3) i(3,). Zadanie 3.5 Wyznaczyć punkty krytyczne i określić ich charakter dla funkcji J. Z. Kamiński & J. Krupski 44 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f(x,y)=x 2 y 3 (6 x y) f(x,y)=x 3 +y 3 3xy f(x,y)=xy+ 5 x +2 y, x,y> f(x,y)=xy x2 a 2 y2 b 2 f(x,y)= ax+by+c x2 +y 2 +, a2 +b 2 +c 2 f(x,y)=x+y+4sinxsiny f(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 +2x+4y 6z f(x,y,z)=x 3 +y 2 +z 2 +2xy+2z Zadanie 3.6 Znaleźć wszystkie punkty krytyczne funkcjif(x,y)=xy 2 (3x+6y 2) orazg(x,y)=x 4 +y 4 2(x y) 2 i określić ich charakter. Zadanie 3.7 Znaleźć wszystkie punkty krytyczne funkcjif(x,y)=x 3 4x 2 xy y 2 orazg(x,y)=(y x 2 )(2 x y) i określić ich charakter. J. Z. Kamiński & J. Krupski 45 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

4 Tydzień XIV: Ekstrema z więzami Zadanie 4. Stosując metodę czynników Lagrange a znaleźć punkt na płaszczyźniex+y+z=leżący najbliżej początku układu współrzędnych. W tym celu określić punkty stacjonarne funkcji f(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 z warunkiem wiążącym zadanym przez równanie płaszczyzny. Jak sformułować ten problem (a następnie rozwiązać go), gdy szukamy punktu na płaszczyźnie najbliższego punktowi(2,,)? Zadanie 4.2 Wyznaczyć ekstrema funkcjif(x,y)=x+y i określić ich charakter z warunkiem wiążącym x 2+ y 2= a 2 Zadanie rozwiązać metodą Lagrange a i metodą eliminacji warunku wiążącego, wprowadzając jego parametryzację x= a cosϕ, y= a sinϕ, ϕ<2π. Zadanie 4.3 Metodą Lagrange a wyznaczyć ekstrema funkcji f(x, y, z) = x + z 2 z warunkiem wiążącym x+y 2 z 2 =. Określić charakter tych ekstremów. Zadanie 4.4 Udowodnić nierówność x n +y n ( ) x+y n, n, x,y. 2 2 W tym celu wyznaczyć minimum funkcji z warunkiem wiążącymx+y=s. f(x,y)= xn +y n 2 Zadanie 4.5 Wśród trójkątów o obwodzie l znaleźć ten o maksymalnym polu. W tym celu skorzystać ze wzoru Herona na pole trójkąta o bokacha,bic, P= s(s a)(s b)(s c), gdzie s =(a+b+c)/2. Tym trójkątem jest oczywiście trójkąt równoboczny. Zastosować metodę czynników Lagrange a. J. Z. Kamiński & J. Krupski 46 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 4.6 Na sferzex 2 +y 2 +z 2 = wyznaczyć punkty najbliższy i najdalszy punktowi(,3,4). Zastosować metodę czynników Lagrange a. Zadanie 4.7 Powierzchnia zadana jest równaniemx 3 +yz 2xyz 2 =. Wykazać, że równanie płaszczyzny stycznej do niej w punkcie(,,) ma postaćx y 3z= 3, a jej odległość od początku układu współrzędnych wynosi3/. Wykazać, że punkt( 3/,3/,9/) jest punktem płaszczyzny stycznej najbliższym początkowi układu współrzędnych. W tym celu, posługując się metodą czynników Lagrange a, wyznaczyć minimum funkcjif(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 z warunkiem wiążącym zadanym przez równanie płaszczyzny stycznej. Zadanie 4.8 Wykazać, że x+y+z (xyz) /3 3 W tym celu wyznaczyć maksimum funkcjif(x,y,z)=xyz z warunkiem wiążącymx+y+z=s. Zadanie 4.9 Udowodnić nierówność Höldera x y +x 2 y 2 (x p +x p 2) /p (y q +y q 2) /q, x i,y i >, p,q>, Jest ona uogólnieniem nierówności Schwartza dlap=q=2. W tym celu, przy zadanychy i rozważyć funkcję dwóch zmiennych f(x,x 2 )=(x p +x p 2) /p (y q +y q 2) /q p + q =. z warunkiem wiążącymx y +x 2 y 2 =s i wykazać, że osiąga ona minimum dla czyli, że zachodzi y x p 2 =y 2 x p ( f(x,x 2 ) f x,x ( y ) ) 2 p y co sprowadza się do szukanej nierówności. Uogólnić tę nierówność na przypadeknpar liczb dodatnich, postępując analogicznie jak powyżej. n x i y i ( n x p i i= i= ) ( n p y q i i= ) q J. Z. Kamiński & J. Krupski 47 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 4. Wyznaczyć ekstrema funkcjif(x,y)=x 2 +(y ) 2 z warunkiem wiążącymx 2 y 2 =. Podać interpretację geometryczną tego zagadnienia zauważając, że warunek wiążący jest dany równaniem hiperboli a funkcję f(x, y) można interpretować jako kwadrat odległości dwóch punktów. Zadanie 4. Rozkład kanoniczny: Znaleźć ekstremum funkcji f(n,n 2 )=ln N! N!N 2! z więzamin +N 2 =N ie N +E 2 N 2 =E, gdzien,e,e 2 ie są zadane. Problem rozwiązać w sytuacji, gdy dodatnie liczbyn in 2 są znacznie większe od jedności, zatem można skorzystać z przybliżonego wzoru (wzór Stirlinga) lnn!=nlnn N. Zadanie 4.2 Prawo odbicia: A O θ θ Rysunek : Ilustracja do zadania 4.2 Zadanie 4.3 Prawo załamania: A O asfalt pustynia Rysunek 2: Ilustracja do zadania 4.3 θ θ B L B L Kolarz jedzie ze stałą prędkościąvzpunktuado punktub w ogromnym upale. Musi zatem w międzyczasie znaleźć się w jakimkolwiek punkcie znajdującym się na odcinku OL, gdzie gęsto rozmieszczone są stoiska z napojami. W którym miejscu musi to zrobić, aby jak najszybciej dotrzeć do celu? W jakiej relacji są kąty padaniaθiodbiciaθ? Kolarz jedzie z punktuado punktub, zmieniając na odcinku OL nawierzchnię asfaltową na pustynną. Po nawierzchni asfaltowej może jechać z prędkością nie większą niżv, a po piaszczystej z prędkością nie większą niżv 2,v >v 2. W którym punkcie musi przejechać przez odcinek OL, aby jak najszybciej dotrzeć do celu. W jakiej relacji są kąty padaniaθizałamaniaθ? J. Z. Kamiński & J. Krupski 48 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

5 Tydzień XV: Całki wielokrotne Zadanie 5. Prostopadłościan, którego dolną podstawą jest prostokąt D położony w płaszczyźnie OXY i ograniczony prostymix=,y=2,x= iy= 2, został ścięty od góry powierzchnią z=6 x 2 y 2. Obliczyć objętość powstałej bryły. Zadanie 5.2 Znaleźć objętość bryły ograniczonej paraboloidą2az=x 2 +y 2 i sferąx 2 +y 2 +z 2 =3a 2. Bierzemy pod uwagę tę część bryły, która leży wewnątrz paraboloidy. Zadanie 5.3 Obliczyć całkę dydz (x+y+z+) 3 po obszarze zawartym pomiędzy płaszczyznami współrzędnych i płaszczyznąx+y+z=. Zadanie 5.4 Obliczyć całkę potrójną x 2 +y 2 dydz po obszarze ograniczonym powierzchniamix 2 +y 2 =z 2 iz=. Zadanie 5.5 Wykazać, że D (2x+y+)dy= 36 3 gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach A(, ), B(5, 3) i C(5, 5). Obliczyć tę całkę wykonując obie całki iteracyjne. Zadanie 5.6 Wykazać, że D dy +2x+y =9ln3 4 3 (7 8 2) gdziedjest obszarem pod wykresem funkcjiy=x 2 ograniczonym prostymiy=,x= i x=3. Zadanie 5.7 Udowodnić tzw. formułę Dirichleta a x dyf(x,y)= a dy a y f(x,y) J. Z. Kamiński & J. Krupski 49 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 5.8 Wyznaczyć obszardwcałce D dyf(x,y)= 2 2x x 2 2 x dyf(x,y) a następnie zamienić kolejność całkowania. Zadanie 5.9 Wyznaczyć obszardwcałce D dyf(x,y)= 2a 2ax 2ax x 2dyf(x,y) a następnie zamienić kolejność całkowania. Zadanie 5. Wyznaczyć obszardwcałce D dyf(x,y)= a następnie zamienić kolejność całkowania. Zadanie 5. W całce przejść do współrzędnych biegunowych, jeśli.d={(x,y) R 2 :x 2 +y 2 a 2 } 2.D={(x,y) R 2 :x 2 +y 2 ax} 3.D={(x,y) R 2 :(x a) 2 +y 2 b 2 } D e lnx dyf(x,y) 4.D={(x,y) R 2 : x, y x} dyf(x,y) Zadanie 5.2 Wykazać, że x 2 +y 2 a 2 dy x 2 +y 2 = 2 3 πa3 J. Z. Kamiński & J. Krupski 5 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22

Zadanie 5.3 Wykazać, że π 2 x 2 +y 2 (2π) 2 dysin x 2 +y 2 = 6π 2 Zadanie 5.4 W całce I= dokonać zamiany zmiennych x 2 +y 2 f(ax+by+c)dy; a 2 +b 2, x= au a2 +b 2 bv a2 +b 2, y= bu a2 +b 2+ av a2 +b 2 i wykazać, że I=2 u2 f( a 2 +b 2 u+c)du. Zadanie 5.5 Obliczyć całkę D xy dy gdzie obszardograniczony jest dwoma hiperbolamixy=ixy=4, oraz dwiema prostymi y=x iy=4x dlax,y>. W tym celu dokonać zamiany zmiennychxy=u iy=vx. Zadanie 5.6 Wykazać, że (x 2 +y 2 )dy= π, 2 x 4 +y 4 przechodząc do współrzędnych biegunowych. J. Z. Kamiński & J. Krupski 5 Rachunek różniczkowy i całkowy 2/22