Konstrukcje metalowe Wykład VI Stateczność

Konstrukcje metalowe Wykład VI Stateczność

Spis treści Wprowadzenie #t / 3 Wyboczenie giętne #t / 15 Przykład 1 #t / 45 Zwichrzenie #t / 56 Przykład 2 #t / 83 Niestateczność lokalna #t / 88 Zapobieganie #t / 90 Zagadnienia egzaminacyjne #t / 91

Wprowadzenie Popularna zabawa z długą giętką linijką: niestateczność = wyboczenie

Wzory różne poziomy zdefiniowania zagadnienia T σ = σ 11 τ 12 τ 13 τ 21 σ 22 τ 23 Na poziomie punktu: #4 / 66 τ 31 τ 32 σ 33 σ HMH = [σ 112 + σ 222 + σ 332 -σ 11 σ 22 -σ 11 σ 33 -σ 22 σ 33 + 3(τ 122 + τ 232 + τ 132 )] σ HMH / f y 1,0 σ HMH = [σ 2 + 3(τ 12 + τ 22 )] Nośność spoin Nośność powłok, obliczenia zmęczeniowe, nośność belek podsuwnicowych (II stopień)

Na poziomie przekroju: #4 / 67 F charakterystyka geometryczna R = F f y E / R 1,0 Elementy i węzły, gdy zagadnienie stateczności nie jest istotne; śruby, nity, sworznie

Na poziomie elementu: #4 / 68 F charakterystyka geometryczna χ współczynnik stateczności (zależy od długości elementu i sposobu podparcia) R = χ F f y E / R 1,0 Węzły i elementy w warunkach utraty stateczności

Obliczanie nośności #5 / 76 Stal - różne wzory dla różnych klas przekroju Obciążenie I klasa II klasa III klasa IV klasa N Ed / N c,rd (1-3) 1,0 N Ed / N c,rd (4) 1,0 M Ed (1) / M Rd (1-2) 1,0 M Ed / M Rd (1-2) 1,0 M Ed / M Rd (3) 1,0 M Ed / M Rd (4) 1,0 Interakcja interakcja Interakcja interakcja M Ed N Ed M Ed N Ed M Ed N Ed M Ed N Ed N Ed / N t,rd 1,0 V Ed / V Rd 1,0 (lub, dla IV klasy, inaczej, gdy istnieje interakcja między M Ed i V Ed )

#5 / 80 N c,rd (1-3) = A f y / γ M0 N c,rd (4) = A eff f y / γ M0 M Rd (1-2) = W pl f y / γ M0 M Rd (3) = W el f y / γ M0 M Rd (4) = W eff f y / γ M0 N t,rd = A f y / γ M0 V Rd = A v f y / (γ M0 3)

Typy niestateczności Wyboczenie Zwichrzenie Wyboczenie lokalne Giętne Giętno-skrętne Skrętne N Ed, c M Ed σ c Poziom elementu Poziom punktu Czasami w grę wchodzi także sprawdzenie stabilności (rodzaju stateczności) konstrukcji jako całości, traktowanej jak ciało sztywne. Rozpatruje się to w przypadku analizy współpracy konstrukcji z podłożem gruntowym.

Wyboczenie w budownictwie Wyboczenie szyn na skutek wydłużenia termicznego Rys: tti.tamu.edu Wyboczenie stalowych kratownic Rys: ascelibrary.org

Wyboczenie skrętno-giętne stężeń Rys: failuremechanisms.wordpress.com Wyboczenie skrętne pręta ściskanego Rys: therearedesignersplates.myblog.arts.ac.uk

Zwichrzenie belki Rys: civildigital.com Zwichrzenie dźwigarów mostowych na skutek błędów podczas montażu Rys: thechronicleherald.ca

Lokalna utrata stateczności półek słupa stalowego Rys: eqclearinghouse.org Utrata stateczności powłoki stalowej (silos; II stopień studiów) Rys: publish.ucc.ie

Niestateczność globalna ciała sztywnego Rys: thebig5hub.com Wyboczenie słupa żelbetowego Rys: scedc.caltech.edu

Wyboczenie giętne Wzory zgodnie z Wytrzymałością materiałów: M(x) = N w(x) d[w(x)] 2 / dx 2 = -M(x) / EJ M(x) = -w (x) E J -w (x) E J = N w(x) w (x) = - k 2 w(x) k = (N / EJ)

w (x) = - k 2 w(x) w(x) = W 1 sin (k x) + W 2 cos (k x) w(0) = 0 W 2 = 0 w(l) = 0 W 1 = 0 or sin (k l) = 0

sin (k l) = 0 k l = n π k = (N / EJ) l (N / EJ) = n π N / EJ = (n π / l) 2 N cr = (n π / l) 2 EJ W 1 =?

Eksperyment - takie same przekroje prętów, ale różna długość P 0 = 0

P 1 0

Wyboczenie P 2 = P 1 + P

P 3 = P 2 + P

Wyboczenie P 4 = P 3 + P

P 5 = P 4 + P

Zmiażdżenie Zmiażdżenie Zmiażdżenie P 6 = P 5 + P

Ogólnie: Pręty długie: N max = N cr = θ / l 2 Pręty krótkie: N max = A f y

N max = min(n cr ; A f y ) N max = χ A f y χ 1,0 χ = χ (l)

Teoretycznie mamy dla warunki; na zmiażdżenie i wyboczenie. Dla realnie istniejących konstrukcji, z powodu istnienia imperfekcji, mamy dodatkowe warunki.

EN 1993-1-1 fig. 6.4 - pięć krzywych wyboczeniowych (różne imperfekcje)

Uogólnienie: Wzory wyprowadzono dla założeń jak poniżej: EJ = const (co jeśli nie?) N = const (co jeśli nie?) Dwa przeguby (co jeśli nie?)

Przypadek EJ = const jest najczęściej spotykany w konstrukcjach stalowych. Jeśli kąt zbieżności α 10 o, można pominąć fakt zmiany przekroju i do obliczeń przyjąć EJ = min (EJ 1 ; EJ 2 ). Jeśli kąt α > 10 o, konieczne stają się dodatkowe obliczenia, omówione na wykładzie #17 α

Zmiany siły osiowej N Ed po długości elementu są pomijalnie małe. Dla obliczeń przyjmuje się N Ed = max (N Ed1 ; N Ed2 ).

Jeśli, zamiast dwu przegubów, element podparty jest inaczej, ma on inną postać utraty stateczności: Rys: wikipedia

Pojęcie długości wyboczeniowej wprowadzono dla wygodnego porównania różnych postaci wyboczenia. Długość wyboczeniowa l cr teoretyczna długość jednej fali sinusoidy, jaką można wskazać na kształcie wyboczonego elementu. Współczynnik długości wyboczeniowej µ = l cr / l 0

Z różnymi sposobami podparcia związane są różne współczynniki długości wyboczeniowej i różne długości wyboczeniowe: µ 1,0 2,0 0,7 0,5 1,0 2,0 l cr 1,0 l 0 2,0 l 0 0,7 l 0 0,5 l 0 1,0 l 0 2,0 l 0 Rys: wikipedia

Konkluzja: dla wyboczenia istotny jest tylko jeden współczynnik związany z uogólnieniem modelu; współczynnikiem tym jest współczynnik długości wyboczeniowej N cr = π 2 EJ / (µ l 0 ) 2

Deformacja środkowej części elementu w przypadku różnych postaci utraty stateczności: Wyboczenie Giętne Skrętne Giętno-skrętne J y J z J w J t J z J w J t Wyboczenie względem osi y przesunięcie równoległe do osi z Wyboczenie względem osi z przesunięcie równoległe do osi y

Wzory (zgodnie z Wytrzymałością materiałów): Wyboczenie giętne względem osi y N cr, y = π 2 EJ y / (µ y l 0y ) 2 Wyboczenie giętne względem osi z N cr, z = π 2 EJ z / (µ z l 0z ) 2 Wyboczenie skrętne N cr, T = [π 2 EJ w / (µ T l 0T ) 2 + GJ t ] / i 2 s Wyboczenie giętno-skrętne N cr, z-t = {N cr, z + N cr, T - [(N cr, z + N cr, T ) 2-4 N cr, z N cr, T ξ] } / (2 ξ) ξ = 1 - (µ z s2 / i s2 ) µ = min[ (µ z / µ T ) ; (µ T / µ z )] i 0 = (i y2 + i z2 ) i s = (i 02 + z s2 ) z s - odległość między środkiem ciężkości i środkiem skręcania (z s 0) J y, J z momenty bezwładności i y, i z promienie bezwładności E, G moduły Younga i Kirchhoffa J t - moment bezwładności przy skręcaniu J w - wycinkowy moment bezwładności

Charakterystyki geometryczne podane są w tablicach przekrojów: Rys: europrofil.lu

W razie potrzeby można użyć wzorów przybliżonych:

J. Żmuda, Podstawy projektowania konstrukcji metalowych, TiT Opole 1992

Wynikiem obliczeń jest współczynnik wyboczeniowy χ. Liczony jest w różny sposób dla różnych przekrojów. Giętne Wyboczenie Giętne, skrętne, giętno-skrętne (dwuteowniki gorąco walcowane) (dwuteowniki spawane) χ = χ y = χ z (tylko gdy l cr, y = l cr, z ) χ = min( χ y ; χ z ) χ = min( χ y ; χ z ; χ T ; χ z, T )

Algorytm EN 1993-1-1 6.3.1 Wyboczenie giętne (I, II, III klasa przekroju) Pozostałe przypadki wyboczenia λ = (l cr / i) (1 / λ 1 ) λ 1 = 93,9 ε Φ = [1 + α (λ -0,2) + λ 2 ] / 2 λ = (A (eff) f y / N cr ) α EN 1993-1-1, tab. 6.1, 6.2 χ = min{1/[φ + (Φ 2 - λ 2 )] ; 1,0} λ 0,2 χ = 1,0

Rys: EN 1993-1-1, 6.2 Rys: EN 1993-1-1, 6.1

Przykład 1 C 300p S235 f y = 235 MPa L = 3,00 m E = 210 GPa G = 81 GPa A = 52,5 cm 2 J y = 7640 cm 4 J z = 473 cm 4 J w = 66 500 cm 6 J T = 33,9 cm 4 a = 3,12 cm e = 2,89 cm i y = 12,1 cm i z = 3,01 cm y s = a + e = 6,01 cm tutaj: z s = y s = 6,01 cm N Ed = 700 kn

Podpory i postaci utraty stateczności: l 0 y ; l 0 T µ z l 0z l 0 y = 6,00 m l 0 z = 3,00 m l 0 T = 6,00 m µ y = 1,00 µ z = 0,95 µ T = 1,00 2 l 0z

N cr, y = π 2 EJ y / (µ y l 0y ) 2 = π 2 210 GPa 7640 cm 4 / (1,0 6,00 m) 2 = 4 398,554 kn N cr, z = π 2 EJ z / (µ z l 0z ) 2 = π 2 210 GPa 473 cm 4 / (0,95 3,00 m) 2 = 1 206,953 kn i 0 = (i y2 + i z2 ) = 12,47 cm i s = (i 02 + z s2 ) = 13,84 cm N cr, T = [π 2 EJ w / (µ T l 0T ) 2 + GJ t ] / i s2 = = [π 2 210 GPa 66 500 cm 6 / (1,0 6,00 m) 2 + 81 GPa 33,9 cm 4 ] / (13,84 cm) 2 = 1 633,427 kn µ = min[ (µ z / µ T ) ; (µ T / µ z )] = 0,975 ξ = 1 - (µ z s2 / i s2 ) = 0,816 N cr, zt = {N cr, z + N cr, T - [(N cr, z + N cr, T ) 2-4 N cr, z N cr, T ξ] } / (2 ξ) = = {1 206,953 kn + 1 633,427 kn + - [(1 206,953 kn + 1 633,427 kn ) 2-4 1 206,953 kn 1 633,427 kn 0,816] } / (2 0,816) = = 957,437 kn

A f y = 1 233,750 kn λ y = (A f y / N cr, y ) = 0,530 λ z = (A f y / N cr, z ) = 1,011 λ T = (A f y / N cr, T ) = 0,869 λ zt = (A f y / N cr, zt ) = 1,135 C 300p tab. 6.1, 6.2, EN 1993-1-1 α y = α z = α T = α zt = 0,49

Φ y = [1 + α y (λ y - 0,2) + λ y2 ] / 2 = 0,721 Φ z = [1 + α z (λ z - 0,2) + λ z2 ] / 2 = 1,210 Φ T = [1 + α T (λ T - 0,2) + λ T2 ] / 2 = 1,041 Φ zt = [1 + α zt (λ zt - 0,2) + λ zt2 ] / 2 = 1,373 χ y = min{1/[φ y + (Φ y2 - λ y2 )] ; 1,0} = 0,827 χ z = min{1/[φ z + (Φ z2 - λ z2 )] ; 1,0} = 0,533 χ T = min{1/[φ T + (Φ T2 - λ T2 )] ; 1,0} = 0,620 χ zt = min{1/[φ zt + (Φ zt2 - λ zt2 )] ; 1,0} = 0,466 χ = min(χ y ; χ z ; χ T ; χ zt ) = 0,466

A f y = 1 233,750 kn χ A f y = 574,928 kn N Ed = 700 kn N Ed / A f y = 0,567 OK. N Ed / χ A f y = 1,218 Źle, wyboczenie, zniszczenie elementu!

Propozycja: dodatkowa podpora w kierunku osi y zmiana długości wyboczeniowej przy wyboczeniu względem słabszej osi z L 0z = 2,00 m N cr, y = 4 398,554 kn N cr, z = 2 715,644 kn N cr, T = 1 633,427 kn N cr, zt = 1 374,327 kn λ y = (A f y / N cr, y ) = 0,530 λ z = (A f y / N cr, z ) = 0,674 λ T = (A f y / N cr, T ) = 0,869 λ zt = (A f y / N cr, zt ) = 0,898 χ = min(χ y ; χ z ; χ T ; χ T ) = 0,601

A f y = 1 233,750 kn χ A f y = 741,484 kn N Ed = 700 kn N Ed / A f y = 0,567 OK. N Ed / χ A f y = 0,944 OK.

Dla elementów wielogałęziowych obowiązują odrębne reguły analizy utraty stateczności; omówione są w wykładach #13 (pręty) i #19 (słupy) Słupy skratowane, Słupy z przewiązkami, Pręty wielogałęziowe

Postaci utraty stateczności elementów wielogałęziowych

W przypadku ram stalowych są możliwe dwa przypadku: niewrażliwe na efekty II rzędu ('o węzłach nieprzesuwnych") i wrażliwe ("o węzłach przesuwnych"). Obliczanie utraty stateczności słupów w tego typu konstrukcjach omówione jest w wykładzie #18 µ 1,0 µ 1,0 Najczęściej: 1,5 µ 3,5 Rys: myews13.com

Zwichrzenie Wyboczenie giętno-skrętne i zwichrzenie - wygląd odkształceń elementu Wyboczenie giętno-skrętne Niemal taki sam kształt odkształceń elementu, aczkolwiek zupełnie inne powody Zwichrzenie

Eksperyment: co się dzieje z elementem przy zginaniu względem silnej i słabej osi?

Zmiażdżenie Zmiażdżenie Zmiażdżenie Wyboczenie Wyboczenie Dla pręta ściskanego były tylko dwie możliwości. Dla belki zginanej sytuacja jest bardziej skomplikowana.

q 0 = 0

q 1 0

q 2 = q 1 + q

Pojawiają się dwie możliwości zniszczenia: 1. Naprężenia w utwierdzeniu = f y utwierdzenie zmienia się w przegub złamanie belki w utwierdzeniu; 2. wyboczenie; q 3 = q 2 + q

Ten sam eksperyment w przypadku zginania względem osi słabej. q 0 = 0

W tej sytuacji mamy jednak tylko jedną możliwość zniszczenia złamanie w utwierdzeniu wspornika. q i 0

Dlaczego przy zginaniu względem osi słabej jest tylko jedna możliwość, a przy zginaniu względem osi silnej dwie?

Dla każdego punktu konstrukcji możemy policzyć macierz naprężeń i odkształceń. Ich iloczyn to energia wewnętrzna w danym punkcie. Całkowita energia wewnętrzna ciała to suma po wszystkich punktach konstrukcji: W teorii, pod danym obciążeniem mamy nieskończenie wiele możliwych deformacji. Realną postacią deformacji jest tylko ta, dla której energia wewnętrzna osiąga minimum. (Mechanika teoretyczna, Wytrzymałość materiałów, Mechanika budowli, Teoria sprężystości) Dla małych wartości obciążenia q, równoległego do osi słabej z, minimum energii jest osiągane poprzez deformację względem osi silnej y. Nazywane jest to ugięciem.

Przyrost deformacji związany jest z przyrostem energii wewnętrznej. Całkowita wartość energii zależy od kierunku obciążenia i kierunku deformacji: Przyrost energii wewnętrznej: Kierunek deformacji: do osi silnej do osi słabej Kierunek obciążenia: do osi silnej (zginanie względem słabej osi) do osi słabej mała duża (zginanie względem osi silnej) średnia średnia

Podczas zginania względem osi silnej, dla obu kierunków deformacji mamy zbliżone wartości przyrostu energii: + równolegle do osi silnej + równolegle do osi słabej Jeśli dla każdego kroku przyrostu q, przyrost energii dla deformacji równoległej do q będzie mniejszy niż dla przyrostu innych deformacji, dojdzie ostatecznie do zniszczenia elementu przez złamanie.

W przypadku obciążenia równoległego do osi silnej (zginanie względem słabej), energia wewnętrza związana z odkształceniem równoległym do obciążenia jest zawsze mniejsza, niż energia odkształcenia prostopadłego do obciążenia. Ten drugi przypadek (zwichrzenie przy zginaniu względem osi słabej) nigdy nie zajdzie.

Konkluzje: + zwichrzenie jest analizowane tylko w przypadku zginania względem osi silnej ( potencjalna niestabilność względem osi słabej); + nie ma możliwości zwichrzenia przy zginaniu względem osi słabej; + z tych samych powodów wyboczenie giętno-skrętne jest wyłącznie interakcją między wyboczeniem giętnym względem osi słabej i wyboczeniem skrętnym; + nie dojdzie do interakcji wyboczenia skrętnego i giętnego względem osi silnej; + nie dojdzie do zwichrzenia, gdy J y = J z rury okrągłe i kwadratowe nie są podatne na zwichrzenie.

Podobnie jak w przypadku wyboczenia, także i zwichrzenie analizowane było dla przyjętych wstępnie założeń: M = const, przekrój bisymetryczny, EJ = const, belka jednoprzęsłowa swobodnie podparta N cr, z = π 2 EJ z / (µ z l 0z ) 2 N cr, T = [π 2 EJ w / (µ T l 0T ) 2 + GJ t ] / i s 2 M cr = i s (N cr, z N cr, T )

Uogólnienie: M = const (co jeśli nie?) przekrój bisymetryczny (co jeśli nie?) EJ = const (co jeśli nie?) belka jednoprzęsłowa swobodnie podparta (co jeśli nie?)

M const inny kształt wykresu momentów k c : χ LT, mod = χ LT / f f = min { 1-0,5(1-k c )[1-2(λ LT - 0,8) 2 ]; 1,0} Rys: EN 1993-1-1 tab 6.6

Przekrój o jednej osi symetrii lub niesymetryczny: Najczęściej spotykanym przypadkiem jest przekrój bisymetryczny. Jeśli jest inny, należy użyć innych wzorów dla M cr Można np. użyć starej polskiej normy PN B 03200, załącznik 3

Tabela Z1-1 rozszerzona wersja tej tabeli przedstawiona jest na slajdach #t / 34-36. Podane są w niej też wartości r x i y s.

Symbols: N y N cr, z ; N z N cr, T

Przypadek EJ = const jest najczęściej spotykany w konstrukcjach stalowych. Jeśli kąt zbieżności α 10 o, można pominąć fakt zmiany przekroju i do obliczeń przyjąć EJ = min (EJ 1 ; EJ 2 ). Jeśli kąt α > 10 o, konieczne stają się dodatkowe obliczenia, omówione na wykładzie #17 α

Jeśli, zamiast dwu przegubów, element podparty jest inaczej, ma on inną postać utraty stateczności (analogicznie jak dla wyboczenia). Także i tutaj wprowadzamy pojęcie długości wyboczeniowej i współczynnika długości wyboczeniowej. Należy pamiętać, że analizujemy także zmianę kąta skręcenia elementu i rodzaj podpory dla skręcania. Rys: wikipedia µ 1,0 2,0 0,7 0,5 l cr 1,0 l 0 2,0 l 0 0,7 l 0 0,5 l 0

Algorytm EN 1993-1-1 6.3.2 λ LT = (W y f y / M cr ) EJ = const Φ LT = [1 + α LT (λ LT -0,2) + λ LT2 ] / 2 Dwuteowniki gorącawalcowane i spawane α LT tab. 6.3, 6.4, 1993-1-1 Φ LT = = [1 + α LT (λ LT -0,4) + 0,75 λ LT2 ] / 2 α LT tab. 6.4, 6.5, EN 1993-1-1 χ LT = min{ 1/[Φ LT + (Φ LT2 - λ LT2 )] ; 1,0} χ LT = min{ 1/[Φ LT + (Φ LT2 - λ LT2 )] ; 1/ λ 2 LT ; 1,0} λ LT 0,4 χ LT = 1,0

Przykład 2 IPE 300 S235 f y = 235 MPa L = 6,00 m E = 210 GPa G = 81 GPa J y = 8 356 cm 4 J z = 603,8 cm 4 W y = 557,1 cm 3 W pl, y = 628,4 cm 3 J w = 125 900 cm 6 J T = 20,12 cm 4 i y = 12,46 cm i z = 3,35 cm y s = 0,0 cm M Ed = 120 knm

µ y l 0 y l 0 y = 12,00 m l 0 z = 6,00 m l 0 T = 6,00 m µ z l 0 z = µ T l 0 T µ y = 0,50 µ z = 0,70 µ T = 0,70 l 0 y = 2 l 0 z = 2 l 0 T

N cr, z = 675,654 kn i 0 = i s = 12,90 cm N cr, T = 1 813,849 kn M cr = 142,808 knm W y f y = 130,919 knm λ LT = 0,957 Zgodnie ze wzorem dla dwuteowników: α LT tab. 6.3, 6.4, EN 1993-1-1 0,34 Φ LT = 0,938 Ale dla Φ LT < λ LT, nie jesteśmy w stanie policzyć (Φ LT2 - λ LT2 )] Zgodnie ze wzorem dla belek bisymetrycznych: α LT tab. 6.3, 6.4, EN 1993-1-1 0,21 Φ LT = 1,037 χ LT = 0,737

Kształt momentów zginających i dodatkowa podpora pośrednia obie części belki powinny być analizowane osobno należy wziąć pod uwagę nieliniowy kształt momentów zginających. Przybliżenie: EN 1993-1-1 tab 6.6 ( #t / 68) Ψ = -0,5 k c = 0,669 f = 0,839 χ LT, mod = 0,879

W pl, y f y = 147,674 knm χ LT, mod W pl, y f y = 129,805 knm M Ed = 120 kn M Ed / W pl, y f y = 0,813 OK. M Ed / χ LT, mod W pl, y f y = 0,924 OK.

Niestateczność lokalna Niestateczność lokalna jest analizowana w różny sposób, w zależności od sytuacji: Dwuteowniki spawane: przekrój efektywny wyboczenie środnika przy ścinaniu wyboczenie środnika pod siłą skupioną wyboczenie półki Węzły Żebra Profile zimnogięte (dystorsja)

Niestateczności lokalne: wyboczenie środnika, wyboczenie półki, dystorsja. Rys: fgg.uni-lj.si Rys: tatasteelconstruction.com Rys: helpstud2.norod.ru

Zapobieganie Przed niestatecznością globalną zabezpieczamy się przez stosowanie stężeń. Rożne rodzaje stężeń mają wpływ na różny rodzaj niestateczności. Więcej informacji na temat stężeń jest przedstawiona w wykładzie #15. Przed niestatecznościami lokalnymi zabezpieczamy się przez stosowanie żeber. Więcej informacji o żebrach przedstawione jest w wykładzie #14.

Zagadnienia egzaminacyjne Różnica między nośnością a statecznością Rodzaje niestateczności Podobieństwa i różnice dla wyboczenia i zwichrzenia

Dziękuję za uwagę 2019 dr inż. Tomasz Michałowski tmichal@usk.pk.edu.pl