Konstrukcje metalowe Wykład XVII Belki (część II)

Transkrypt

1 Konstrukcje metalowe Wykład XVII Belki (część II)

2 Spis treści Dwuteowniki spawane #t / 3 Przykład (VI klasa przekroju) #t / 10 Przykład (spoiny) #t / 36 Dodatkowe zjawiska #t / 44 Dwuteowniki z falistym środnikiem #t / 66

3 #16 / 13 Dwuteowniki spawane: Z płaskim środnikiem IKS HKS Z falistym środnikiem

4 Dwuteowniki gorącowalcowane - zazwyczaj I lub II klasa przekroju Dwuteowniki spawane - zazwyczaj III lub IV klasa przekorju W IV klasie przekroju przeanalizować należy wiele zjawisk, nie występujących w innych klasach.

5 Projektowanie dwuteownika spawanego: h L / 20 L / 25 t w [mm] 7 [mm] + 3 h [m] b 0,2 h 0,3 h t f 1,5 t w 2,0 t w Przykład: L = 16 m h [mm] 700 [mm] = 0,7 [m] t w ,7 = 9 [mm] b [mm] 160 [mm] t f [mm] 18 [mm]

6 Dla smukłych środników (IV klasa) zachodzi ryzyko lokalnej utraty stateczności w części ściskanej przekroju.

7 Metoda obliczeń polega na przyjęciu przekroju efektywnego, bez tych fragmentów, które mogą podlegać niestateczności. Charakterystyki geometryczne X mnożymy przez współczynnik redukcyjny ρ. R = (X ρ) f Redukcję geometrii prowadzimy następująco: dla stalowych elementów spawanych redukujemy szerokość gałęzi przekroju, d eff = d 0 ρ dla stalowych elementów zimnogiętych i aluminiowych spawanych redukujemy grubość gałęzi przekroju, t eff = t 0 ρ Lab #2 / 7

8 Część ściskana Redukcja przekroju do przekroju efektywnego (bez częśći błękitnej na skutek efektu szerokiego pasa, bez części czerwonej podlegającej niestateczności lokalnej, oraz bez części zielonej w obszarze wpływów termicznych przy spawaniu aluminium ): Część rozciągana A 0 A eff Stal Aluminium W y0 W y eff

9 Kroki redukcji dla przekrojów stalowych spawanych: Redukcja szerokiej półki (dokonywane w jednym kroku obliczeń, obie półki w identyczny sposób, przekrój jest nadal symetryczny, zachodzi konieczność przeliczenia na nowo jego charakterystyk geometrycznych) Redukcja półki ściskanej (dokonywane w jednym kroku obliczeń, zazwyczaj każda półka winny sposób, przez co przekrój jest niesymetryczny, zachodzi konieczność policzenia nowego środka ciężkości i przeliczenia na nowo charakterystyk geometrycznych) reduction of compressed part of web (kilka kroków iteracyjnych, przekrój jest niesymetryczny, zachodzi konieczność policzenia nowego środka ciężkości i przeliczenia na nowo charakterystyk geometrycznych)

10 Przykład h [mm] t w [mm] b [mm] t f [mm] Stal S275 f y = 275 MPa A 0 = 76,000 cm 2 W 0 = 1 997,926 cm 3 N Ed = 0,1 A 0 f y = 209,000 kn M Ed, max = 0,3 W 0 f y = 164,829 knm a - grubośćspoin = 5 mm

11 Krok I Pólka - zbyt szeroka czy nie? L e = długość belki = 10 m; b = szerokość półki = 240 mm b 0 = b / 2 = 120 mm b 0 < L e / 50 = 200 mm EN p.3.1 Pólka nie jst zbyt szeroka nie wystapi efekt szerokiego pasa po I kroku geometria nie ulega zmianie b eff 1 = b 0

12 W przeciwnym wypadku (gdyby jednak była zbyt szeroka): b eff1 = b 0 [ max (β ; β κ )] β współóczynnik redukcyjny; różna wartośćdla różnych części belki: przęsło przęsło podpora podpora Dla belki jednoprzęsłowej: L e = L EN , fig 3.1

13 EN , tab 3.1

14 L e = 10 m Brak żeber podłużnych A sl = 0 α 0 = 1 b 0 = 120 mm κ = / = 0,012 κ < 0,02 β = 1,0 b eff1 = b 0 [ max(β ; β κ )] = b 0 [ max(1,0 ; 1,0 0,012 )] = b 0 Ogólnie: po pierwszym kroku musimy dokonać redukcji A eff 1 i W y eff 1 ; przekrój jest nadal symetryczny.

15 II krok Pólka ściskana M Ed max = 0,3 W y0 f y N Ed = 0,1 A 0 f y ściskanie rozciąganie

16 Naprężenia w półce - po redukcji pozostaje zakreskowana część Ściskanie w półce; przy środniku na swobodnym końcu Ściskanie i rozciąganie; przy środniku rozciąganie Ściskanie w półce; przy środniku na swobodnym końcu Ściskanie i rozciąganie; przy środniku ściskanie EN , tab 4.2

17 Półka σ = const σ 1 = σ 2 ψ = σ 2 / σ 1 = 1,0 ψ = 1,0 table k σ = 0,43 Stal S275 f y = 275 MPa ε = (235 / f y ) ε = (235 / 275) = 0,924

18 ρ współczynnik redukcyjny dla elementów ściskanych Ścianka przęsłowa środnik Ścianka wspornikowa półka EN p.4.4

19 b szerokość półki; a grubośćspoiny; t w grubośćśrodnika; t f grubość półki; c = (b - 2 a 2 - t w ) / 2 = ( ) / 2 = 111 mm λ p = (c / t f ) / (28,4 ε k σ ) = (111 / 10) / (28,4 0,924 0,43) = 0,645 EN (4.3) 0,645 < 0,748 ρ = 1,0 b eff 2 = ρ b eff 1 = b eff 1 Bez redukcji półki ściskanej po II kroku geometria taka sama jak na początku Ogólnie: po drugim kroku mamy przekrój niesymetryczny; musimy ustalić położenie środka cięzkości i policzyć A eff 2, W y, góra, eff 2 i W y, dół, eff 2.

20 III krok Ściskana część środnika h wysokośćprzekroju, t f grubość półki b w = h 2 t f = = 700 mm M Ed max = 0,3 W y0 f y σ max = M Ed max / W y1 = 0,3 f y (W y0 = W y1 ) N Ed = 0,1 A 0 f y σ = N Ed / A 1 = 0,1 f y (A 0 = A 1 )

21

22 h = 720 mm t f = 10 mm b w = = 700 mm σ góra = 0,400 f y σ dół = 0,200 f y (σ top + σ bottom ) / h = σ bottom / x x = 0,2 f y 720 / (0,2 f y + 0,4 f y ) = 240 [mm] σ 1 / (x t f ) = σ bottom / x σ 1 = 0,2 f y (240 10) / 240 = 0,392 f y σ 2 / (h - x t f ) = _top / (h x) σ 2 = 0,4 f y ( ) / ( ) = -0,192 f y Ψ = σ 2 / σ 1 = -0,490 y = h - x = 480 mm h w 0, c = y - t f = 470 mm

23 Naprężenia w środniku - po redukcji pozostaje zakreskowana część Ściskanie osiowe Ściskanie mimośrodowe - cały środnik w strefie ściskanej Ściskanie mimośrodowe - środnik częściowo rozciągany EN , tab 4.1

24 Środnik ψ = -0,490 tabela 7,81-6,29 ψ + 9,78 ψ 2 = 13,240 Stal S275 f y = 275 MPa ε= (235 / f y ) ε = (235 / 275) = 0,924 Ściskana część środnika: h w 0, c = 470 mm

25 ρ współczynnik redukcyjny dla elementów ściskanych Ścianka przęsłowa środnik Ścianka wspornikowa półka EN , 4.4

26 b w = h w 0 = 700 mm h w 0, c = 470 mm λ p = (b / t) / (28,4 ε k σ ) = (700 / 4) / (28,4 0,924 13,240) = 1,832 > 0,673 ρ = [λ p 0,055 (3 + ψ)] / λ p2 = [1,832-0,055(3-0,490)] / 1,832 2 = 0,505 h w eff 3 = ρ h w 0, c = 237 mm Redukcja

27 Część ściskana Część rozciągana Redukcja przekroju

28 Przeliczenie geometrii A eff 3 = (37,2 + 9,5) 0,4 = 66,68 cm 2 S y = ,5 + 9,5 0,4 30,25 37,2 0,4 16, ,5 = -129,08 cm 3 y = S y / A eff 3 = -1,94 cm J eff 3 = , ,5 3 0,4 / ,5 0,4 32, , ,2 3 0,4 / ,2 0,4 14,46 2 = , 022 cm 4 W y, góra, eff 3 = J eff 3 / x góra = , 022 / 37,94 = 1 830,944 cm 3 W y, dół, eff 3 = J eff 3 / x dół = , 022 / 34,06 = 2 039,519 cm 3

29 Krok IV Ściskana część przekroju σ(n Ed ) = N Ed / A eff 3 = 209 [kn] / 66,68 [cm 2 ] = 31,344 [MPa] (ściskanie) σ top (M Ed ) = M Ed / W y, top, eff 3 = 164,829 [knm] / 1 830,944 [cm 3 ] = 90,024 [MPa] (ścisnaknie) σ bottom (M Ed ) = M Ed / W y, bottom, eff 3 = 164,829 [knm] / 2 039,519 [cm 3 ] = 80,818 [MPa] (rozciąganie)

30

31 Środnik σ 1 = 118,993 MPa σ 2 = -47,101 MPa ψ = σ 2 / σ 1 = -0,396 ψ = -0,396 table 7,81-6,29 ψ + 9,78 ψ 2 = 11,835 Stal S275 f y = 275 MPa ε= (235 / f y ) ε = (235 / 275) = 0,924

32 b w = h w 0 = 700 mm h w 0, c = 502 mm λ p = (b / t) / (28,4 ε k σ ) = (700 / 4) / (28,4 0,924 11,835) = 1,938 > 0,673 ρ = [λ p 0,055 (3 + ψ)] / λ p2 = [1,938-0,055(3-0,396)] / 1,938 2 = 0,478 h w eff 4 = ρ h w 0, c = 240 mm h w eff 3 Redukcja

33 Część ściskana Część rozciągana Redukcja przekroju

34 Przeliczenie A eff 4 = (34,2 + 9,6) 0,4 = 65,52 cm 2 S y = ,5 + 9,6 0,4 30,2 34,2 0,4 17, ,5 = -128,90 cm 3 y = S y / A eff 3 = -1,97 cm J eff 4 = , ,6 3 0,4 / ,6 0,4 32, , ,2 3 0,4 / ,2 0,4 15,93 2 = ,249 cm 4 W y, góra, eff 4 = J eff 4 / x góra = ,249 / 37,97 = 1 829,978 cm 3 W y, dół, eff 4 = J eff 4 / x dół = ,249 / 34,03 = 2 041,853 cm 3

35 A [cm 2 ] W y, top [cm 2 ] W y, bottom [cm 2 ] 0 Start 76, , ,926 eff 1 Efekt szerokiego pasa 76, , ,926 eff 2 Półka ściskana 76, , ,926 eff 3 Srodnik ściskany - 1. redukcja 66, , ,519 eff 4 Środnik ściskany - 2. redukcja 65, , , Róznica między III i IV krokiem 1,740 % 0,053 % 0,114 % Wszystkie różnice < 2,0%, stop.

36 Przykład: spoiny między półką a środnikiem: wykład #9, przykład 6a, 6b, 6c

37 Lec #9 / 46 Spoiny między półką a środnikiem w dwuteowniku spawanym W tym przypadku naprężenia w spoinach jest takie samo jak naprężenie w dwuteowniku. Odnosimy się do geometrii belki, nie spoin. Przykład 6 Spoiny pachwinowe S235 a = 6 mm A I = = mm 2 A V I = = mm 2 J y I = / (1 168 / / 2) 2 = = mm 4 S y = (1 168 / / 2) = mm 3 z 1 = / 2 = 584 mm W yi1 = J y I / z 1 = mm 3 M Ed = 1 254,2 knm V Ed = 1 325,9 kn

38 Lec #9 / 47 Rozważone zostanie trzy przypadki: a) Spoiny pachwinowe ciągłe b) Spoiny pachwinowe przerywane c) Spoiny pachwinowe ciągłe i dodatkowe obciążenie poprzeczne

39 Lec #9 / 48 Przykład 6a σ 1 = M Ed / W yi1 = 120,482 MPa τ 1 = V Ed S y / (2 a J y I ) = 68,861 MPa τ = σ 1 + τ 1 = 189,343 MPa τ = 0 MPa σ = 0 MPa f u / (β w γ M2 ) = 360,000 MPa 0,9f u / γ M2 = 259,200 MPa Warunek 1: [(σ ) 2 + 3(τ 2 + τ 2 )] = 267,771 MPa < 360,000 MPa Warunek 2: σ = 0,000 MPa < 259,200 MPa

40 Lec #9 / 49 Przykład 6b L w = 148 mm L 1 = 52 mm

41 Lec #9 / 50 τ = (σ 1 + τ 1 ) (L w + L 1 ) / L w = 255,869 MPa τ = 0 MPa σ = 0 MPa f u / (β w γ M2 ) = 360,000 MPa 0,9f u / γ M2 = 259,200 MPa Warunek 1: [(σ ) 2 + 3(τ 2 + τ 2 )] = 443,178 MPa > 360,000 MPa Warunek 2: σ = 0,000 MPa < 259,200 MPa

42 Lec #9 / 51 Przykład 6c Lokalne obciążenie poprzeczne od suwnicy lub belki poprzecznej S235 P = 136,4 kn l 0 = 212 mm σ z = P / (l 0 2 a) = 53,616 MPa

43 Lec #9 / 52 τ = σ 1 + τ 1 = 189,343 MPa τ = σ = σ z / 2 = 37,912 MPa f u / (β w γ M2 ) = 360,000 MPa 0,9f u / γ M2 = 259,200 MPa Warunek 1: [(σ ) 2 + 3(τ 2 + τ 2 )] = 336,603 MPa < 360,000 MPa Warunek 2: σ = 37,912 MPa < 259,200 MPa

44 Dodatkowe zjawiska, istotne dla IV klasy przekroju: Stateczność środnika przy ścinaniu V Ed (#t / 45 52); Siła poprzeczna F s (to nie to samo co siła ścinająca) (#t / 53 57); Interakcje między M Ed, V Ed, N Ed, F s (#t / 58 64); Stateczność półki ściskanej (#t / 65);

45 Stateczność środnika przy ścinaniu siłą V Ed - analogicznie do stateczności przy ściskaniu: gdy nie ma wyboczenia N c,rd (1-3) = A f y / γ M0 Gdy jest wyboczenie N c,rd (1-3) = χ A f y / γ M0 Różnica między wzorami: współczynnik wyboczeniowy χ 1,0 Oba wzory można porzedstawić jako: N c,rd (1-3) = χ A f y / γ M0 (gdy brak wyboczenia, χ =1,0)

46 Siła ścinająca - statecznośćśrodnika, lokalna utrata stateczności; dodanie żeber poprzecznych wzmacnia środnik Wymóg EN (2): Środnik bez żeber h w / t w 72 ε / η Środnik użebrowany h w / t w 31 ε (k τ ) / η f y 460 MPa η = 1,2 f y > 460 MPa η = 1,0 k τ #t / 48 Wymóg spełniony wyboczenie nie zachodzi χ w = 1,0 W przeciwnym wypadku χ w < 1,0

47 Geometria:

48 α = a / h w k τ k zts + 4,00 + 5,34 / α 2 k zts + 5,35 + 4,00 / α 2 α < 1,0 α 1,0 k zts = max { [2,1 3 (J st / h w )] / t w ; [9 h w 2 4 (J st / (h w t 3 w ))] / a2 } J st moment bezwładności żeber podłużnych (0 gdy brak takowych) EN A.3 (1)

49 Siła ścinająca - nosność: EN (5.1), (5.2) V Ed / V b,rb 1,0 V b,rb = min [ χ w f yw h w t w / (γ M1 3) + V bf,rd ; η f yw h w t w / (γ M1 3)] M Ed < ρ W f f yf / γ M0 ρ W f f yf / γ M0 V bf,rd b f t 2 f f yb [1 - (M Ed / M f,rd ) 2 ] / (c γ M1 ) 0 b f = min (30 ε t f ; b f, eff ) c = a [ 0,25 + 1,6 b f t f2 f yf / (t w h w2 f yw )] EN (5.8) η #t / 46 ρ #t / 50 χ w #t / 52

50 Wpływ siły osiowej ρ = 1 - N Ed / [ (A f, top + A f, bottom ) f yf / γ M0 ]

51 _ λ w = h w / (86,4 t w ε) _ λ w = h wi / (37,4 t w ε k τ ) k τ #t / 48 EN (5.5), (5.6)

52 _ χ w = λ w Żebro sztywne Żebro podatne < 0,83 / η η 0,83 / η 1,08 1,08 _ 1,37 / (0,7 + λ w ) _ 0,83 / λ w _ 0,83 / λ w η #t / 46 EN tab. 5.1

53 Siła poprzeczna - lokalne oddziaływanie od obciążenia skupionego; Siła poprzeczna F s (obciążenie) da w efekcie silę ścinającą V Ed (siła przekrojowa). Należy sprawdzić nosność na ścinanie i na obciążenie siłą poprzeczną. Zjawisko to wystepuje tylko dla klasy IV. EN rys. 6.1 F s / F Rd 1,0

54 F Rd = f yw L eff t w / γ M1 EN (6.1) L eff =l y χ F χ F = min (1,0 ; 0,5 / λ F ) _ λ F = ( l y t w f yw / F cr ) _ EN (6.2) - (6.5) F cr = 0,9 k f E t w3 / h w k f #t / 55 l y #t / 56

55 EN rys. 6.1 Wpływ żeber podłużnych: k f = ( h w / a ) 2 + (5,44 b i / a - 0,21) γ s γ s = min [ 10,9 J st,i / (h w3 t w ) ; 13 a / h w (0,3 - h wi / a)] EN (6.6), (6.7)

56 EN rys. 6.2 EN rys. 6.1 l y min {a ; s s + 2 t f [ 1 + ( m 1 + m 2 ) ] } min {l c + t f [m 1 / 2 + (l c / t f ) 2 + m 2 ] ; l c + t f [m 1 + m 2 ] } l c = min [s s + c ; k F E t w2 / (2 f yw h w ) ] m 1, m 2 #t / 57 EN (6.10) - (6.13)

57 λ F 0,5 λ F > 0,5 m 1 (f yf b f / f yw t w ) m 2 0 0,02 (h w / t f ) 2 EN (6.8), (6.9) _ λ F #t / 54

58 Interakcje M Ed, V Ed, N Ed, F s ; Przykład interakcji dla dwuteownika gorącowalcowanego: między siłą ścinającą i momentm zginającym V Ed / V c,rd 0,5 Brak interakcji 0,5 < V Ed / V c,rd 1,0 Redukcja nosności na zginanie ρ = [ 2 ( V Ed / V c,rd ) - 1] 2 M y, V, Rd, = min {M Rd ; [W pl - (ρ h w2 t w / 4)] f y / γ M0 } EN (6.29), (6.30)

59 Interakcje w dwuteownikach spawanych: Zginanie z siłą osiową; Zginanie ze ścinaniem; Zginanie z siłą osiową i ścinaniem; Zginanie z siłą osiową, ścinaniem i siłą poprzeczną

60 Symbole: η 1 = N Ed / (f y A eff / γ M0 ) + (M y, Ed + N Ed e y,n ) / (f y W y, eff / γ M0 ) + + (M z, Ed + N Ed e z,n ) / (f y W z, eff / γ M0 ) 1,0 EN (4.15) η 2 = F s / (f yw L eff t w / γ M0 ) 1,0 EN (6.14) L eff #t / 54 η 3 = V Ed / V b, Rd 1,0 EN (5.10) V b, Rd #t / 49

61 _ Symbole: η 1 = max (M f,rd / M pl,rd ; M Ed / M pl,rd ) EN (7.1) _ η 3 = V Ed / V bw,rb EN (7.1) V b,rb = χ w f yw h w t w / (γ M1 3)

62 Interakcja zginania i siły osiowej η 1 1,0 Interakcja zwichrzenia i wyboczenia wykład #18

63 Interakcja zginania ze ścinaniem (i siłą osiową): _ Jeśli η 3 0,5: η 1 1,0 If 0,5 < η 3 1,0: η 1 + (1 - M f,rd / M pl,rd ) (2 η 3-1) 2 1,0 i η 1 1,0 _

64 Interakcja zginania ze ścinaniem i siłą poprzeczną (i siłą osiową): _ Jeśli η 3 0,5: η 1 1,0 i η 2 1,0 i η 2 + 0,8 η 1 1,4 Jeśli 0,5 < η 3 1,0: η 1 + (1 - M f,rd / M pl,rd ) (2 η 3-1) 2 1,0 i η 1 1,0 and η 2 1,0 and η 2 + 0,8 η 1 1,4 _

65 Zabezpieczenie przed wyboczeniem półki: h w / t w k (E / f yf ) [ (A w / A fc )] Klasa przekroju 1 2 3, 4 k 0,30 0,40 0,55 EN (8.1) W Eurokodzie brak informacji, co należy zrobić, jeśli warunek nie jest spełniony geometria dwuteownika musi spełniać warunek.

66 Dwuteowniki z falistym środnikiem Siła osiowa i zginanie dwukierunkowe nie są zalecanymi sposobani obciążenia tego typu przekrojów.

67 Nosność na zginanie EN rys. D.1 M Rd = min( b 2 t 2 f yf,r x / γ M0 ; b 1 t 1 f yf,r x / γ M0 ; b 1 t 1 χ f yf x / γ M1 ) x = h w + (t 1 + t 2 ) b 1, b 2 - przekrój efektywny f yf,r #t / 68 χ #t / 70 przekrój efektywny #t / 71 EN (D.1)

68 f yf,r = f yf f T EN (D.1) f T środnik sinusoidalny 1,0 inny środnik 1-0,4 {σ x (M z ) / [f yf / γ M0 ] } M z = M 1 (x) EN rys. D.2 M 1 (x), T 1 (x) #t / 69

69 τ xy (x) = τ yx (x) T 1 (x) = V Ed (x) F y (x) = T 1 (x) sin α M 1 (x) = T 1 (x) a 3 / 2

70 χ = χ z tylko dla półek

71 Algorytm ob;liczania przekroju efektywnego dla dwuteownika z falistym środnikiem: 1. Geometria początkowa A 0 J 0 (tylko półki) 2.Efekt szerokiego pasa - tak samo jak dla dwuteownika z płaskim środnikiem 3. Przeliczenie geometrii A 1 J 1 (tylko półki) 4. Sprawdzenie półki ściskanej - tak samo jak dla dwuteownika z płaskim środnikiem, jedynie inny wzór na k σ : 4.a. k σ = 0,43 + (b 1 / 2a) 2 ; a = a 1 + 2a 4 lub 4.b. k σ = 0,60 k σ = min (4.a. ; 4.b) 5. Przeliczenie geometrii A 2 J 2 (tylko półki)

72 Nośność na ścinanie V Rd = χ c f yw h w t w / (γ M1 3) χ c = min (χ c, l ; χ c,g ) EN (D.4) χ c, l #t / 73 χ c,g #t / 74

73 χ c, l = min [1,0 ; 1,15 / (0,9 + λ c, l )] _ λ c, l = [ f y / (τ cr, l 3)] _ τ cr, l środnik sinusoidalny [ 5,34 + a 3 s / (h w t w ) ] (t w / s) 2 { π 2 E / [12 (1-ν 2 ) ] } inny środnik 4,83 E (t w / a max ) 2 a max = max (a 1 ; a 2 )

74 χ c,g = min [1,0 ; 1,5 / [0,5 + (λ c,g ) 2 ] _ λ c,g = [ f y / (τ cr, g 3)] _ τ cr, g = 32,4 4 (D x D z3 ) / (h w2 t w ) D x = t w3 E w / [12 s (1-ν 2 ) ] D z = E J z / w w, s #t / 67

75 Dziękuję za uwagę Tomasz Michałowski, PhD