Konstrukcje metalowe Wykład III Geometria przekroju

Transkrypt

1 Konstrukcje metalowe Wykład III Geometria przekroju

2 Spis treści Podstawowe charakterystyki geometryczne #t / 3 Zaawansowane charakterystyki geometryczne #t / 27 Przykład obliczeniowy #t / 58 Zagadnienia egzaminacyjne #t / 88

3 Podstawowe charakterystyki geometryczne z 0 Pole powierzchni [m 2 ]: A = dz dy y 0 Rys: Autor

4 Moment statyczny [m 3 ]: S y = z dz dy S z = y dz dy z 1 z 0 Dy CoG Dz y 0 y 1 S y = S z = 0 gdy osie przechodzą przez środek ciężkości: Dy = S z / A Dz = S y / A Rys: Autor

5 Moment bezwładności [m 4 ]: J y = z 2 dz dy J z = y 2 dz dy Moment dewiacji [m 4 ]: D yz = y z dz dy z 1 z D yz = 0 dla osi głównych centralnych: y 1 J y = {(J y1 + J z1 ) + [(J y1 - J z1 ) D y1z1 2 ]} / 2 J z = {(J y1 + J z1 ) - [(J y1 - J z1 ) D y1z1 2 ]} / 2 a tg a = D y1z1 / (J y1 - J y ) y Rys: Autor

6 Promień bezwładności [m]: i y = (J y / A) i z = (J z / A) z Wskaźnik wytrzymałości przekroju [m 3 ]: W y, top = J y / z max, top W y, bottom = J y / z max, bottom y max, left ymax, right W z, left = J y / y max, left W z, right = J y / y max, right Rys: Autor z max, top z max, bottom y Dla przekroju bisymetrycznego: W y, top = W y, bottom = W y W z, left = W z, right = W z

7 Charakterystyki geometryczne przekrój prostokątny: A = b h J y = b h 3 / 12 W y = J y / z max = J y / (0,5h) = b h 2 / 6 i y = (J y / A) = h / (2 3) Rys: Autor

8 Wskaźnik wytrzymałości przekroju W y, top = J y / z max, top W y, bottom = J y / z max, bottom Dlaczego jest taki ważny?

9 Naprężenia w zakresie sprężystym: z s (0) = 0 s (z top ) = s top s (0) = 0 naprężenia zmieniają się wzdłuż osi z: s (y, z) = s (z); z = 0 s = 0; s (z max ) = s (z top ) = s top jest to funkcja liniowas (z): s(z) = s top (z / z top ) s (z bottom ) = s bottom < s top z y Rys: Autor

10 Wypadkowa siła osiowa: s(z) = s top (z / z top ) N = [s(z)] dz dy = [s top (z / z top )] dz dy = (s top / z top ) z dz dy = = #t / 4: S y = z dz dy ; śc: S y = 0 = (s top / z top ) 0 = 0

11 Wypadkowy moment zginający: s(z) = s top (z / z top ) M y = - {z [s(z)]} dz dy = {z [s top (z / z top )]} dz dy = = (s top / z top ) (z 2 ) dz dy = = #t / 5: J y = z 2 dz dy = (s top / z top ) J y = = #t / 6: W y, top = J y / z top = s top W y, top M y = s max W y, max M y, max = f y W y, max

12 Jaka jest najlepsza geometria przekroju, gdy mamy do czynienia z następującymi ograniczeniami A jak najmniejsze (mała masa własna) W y jak największe (duża nośność przekroju na zginanie) h ograniczone Na przykład: Rys: Autor A = 2 a 2 h 3a

13 b = 2a h = a J y = b h 3 / 12 = 0,167 a 4 W y = b h 2 / 6 = 0,333 a 3 i y = (J y / A) = 0,289 a M y, max = 0,333 a 3 f y Rys: Autor

14 b = a h = 2a J y = b h 3 / 12 = 0,667 a 4 W y = b h 2 / 6 = 0,667 a 3 i y = (J y / A) = 0,577 a M y, max = 0,667 a 3 f y Rys: Autor

15 b = 2 a / 3 h = 3 a J y = b h 3 / 12 = 1,500 a 4 W y = b h 2 / 6 = 1,000 a 3 i y = (J y / A) = 0,866 a M y, max = 1,000 a 3 f y Rys: Autor

16 J y = 2 [ b h 3 / 12 ] + 2 [ A 1 d 2 ] Sztywność własna Twierdzenie Steinera b = a h = a d = a x = 1,5 a A 1 = a 2 J y = 2 [ b h 3 / 12 ] + 2 [A 1 d 2 ] = = 0,167 a 4 + 2,000 a 4 = 2,167 a 4 W y = J y / z = 1,444 a 3 i y = (J y / A) = 1,041 a M y, max = 1,444 a 3 f y Rys: Autor

17 b = 2a h = 0,5a d = 1,25 a x = 1,5 a A 1 = a 2 J y = 2 [ b h 3 / 12 ] + 2 [A 1 d 2 ] = = 0,042 a 4 + 3,125 a 4 = 3,167 a 4 W y = J y / z = 2,111 a 3 i y = (J y / A) = 1,258 a M y, max = 2,111 a 3 f y Rys: Autor

18 Rys: Autor A 2a 2 2a 2 2a 2 2a 2 2a 2 J y 0,167 a 4 0,667 a 4 1,500 a 4 2,167 a 4 3,167 a 4 W y 0,333 a 3 0,667 a 3 1,000 a 3 1,444 a 3 2,111 a 3 i y 0,289 a 0,577 a 0,866 a 1,041 a 1,258 a M y 0,333 a 3 f y 0,667 a 3 f y 1,000 a 3 f y 1,444 a 3 f y 2,111 a 3 f y J y 1,000 4,000 9,000 13,000 19,000 W y 1,000 2,000 3,000 4,333 6,333 i y 1,000 2,000 3,000 3,602 4,221 M y, max 1,000 2,000 3,000 4,333 6,333

19 W obliczeniach celowo został popełniony błąd. Jaki to błąd?

20 Twierdzenie Steinera może być zastosowane jedynie wtedy, gdy istnieje sztywne połączenie między wszystkimi częściami przekroju, zapobiegające zmianie ich wzajemnej odległości.

21 Brak połączenia jedynie sztywność własna J y = 2 [ b h 3 / 12 ] b = a h = a d = a x = 1,5 a J y = 0,167 a 4 W y = J y / z = 0,111 a 3 i y = (J y / A) = 0,289 a M y, max = 0,111 a 3 f y Rys: Autor

22 Bak połączenia jedynie sztywność własna J y = 2 [ b h 3 / 12 ] b = 2a h = 0,5a d = 1,25 a x = 1,5 a J y = 0,042 a 4 W y = J y / z = 0,028 a 3 i y = (J y / A) = 0,145 a M y, max = 0,028 a 3 f y Rys: Autor

23 Rys: Autor Twierdzenie Steinera Prawda A 2a 2 2a 2 2a 2 2a 2 2a 2 2a 2 2a 2 J y 0,167 a 4 0,667 a 4 1,500 a 4 2,167 a 4 3,167 a 4 0,167 a 4 0,042 a 4 W y 0,333 a 3 0,667 a 3 1,000 a 3 1,444 a 3 2,111 a 3 0,111 a 3 0,028 a 3 i y 0,289 a 0,577 a 0,866 a 1,041 a 1,258 a 0,289 a 0,145 a M y 0,333 a 3 f y 0,667 a 3 f y 1,000 a 3 f y 1,444 a 3 f y 2,111 a 3 f y 0,111 a 3 f y 0,028 a 3 f y J y 1,000 4,000 9,000 13,000 19,000 1,000 0,250 W y 1,000 2,000 3,000 4,333 6,333 0,333 0,083 i y 1,000 2,000 3,000 3,602 4,221 1,000 0,500 M y, max 1,000 2,000 3,000 4,333 6,333 0,333 0,083

24 Najlepszy kształt przekroju w przypadku elementu zginanego: Rys: discountsteel.com I Rys: Autor Rys: conference-truss-hire.co.uk Dwuteownik Kratownica

25 Rys: Autor Sztywność własna= 0,167 a 4 SzW = 0,167 a 4 SzW = 0,042 a 4 Twierdzenie Steinera= 0,0 a 4 TS = 2,000 a 4 TS = 3,125 a 4 Całość = 100,0% + 0,0% Całość = 7,7% + 92,3% Całość = 1,3% + 98,7% Dla przekroju prostokątnego równoległego do osi i oddalonego od niej, sztywność własna może być pominięta.

26 IPE A 600 [mm] h b t f t w r ,5 9,8 24 J y = cm 4 Trzy prostokąty; dla poziomych SzW + TS: J y = (59,7 2 1,75) 3 0,98 / [ (1, / 12) + 1,75 22 (59,7 / 2 1,75 / 2) 2 ] = = cm 4 (95,47%) Trzy prostokąty; dla poziomych tylko TS: Rys: Autor J y = (59,7 2 1,75) 3 0,98 / [1,75 22 (59,7 / 2 1,75 / 2) 2 ] = cm 4 (95,44%)

27 Zaawansowane charakterystyki geometryczne Oprócz zakresu sprężystego obliczenia można prowadzić w zakresie sprężystoplastycznym i plastycznym Zakres sprężysty: liniowy rozkład naprężeń Zakres spręzystoplastyczny Stałe Zakres plastyczny s top f y Liniowo zmienne s top = f y s top = f y s bottom f y Stałe s bottom = f y Rys: Autor s bottom = f y Stały rozkład naprężeń w części ściskanej i rozciąganej

28 Ogólnie: M y = s(y, z) z dz dy A and N = s(y, z) dz dy A Przyjmijmy taki sam układ sił przekrojowych, jak poprzednio: N = 0 oraz M y 0 Rys: Autor

29 N = s(y, z) dz dy = A = f y dz dy + -f y dz dy = A1 A2 s(y, z) = f y = f y dz dy - f y dz dy = A1 A2 A 1 = #t / 3: A = dz dy = A 2 = A 1 f y - A 2 f y s(y, z) = -f y N = 0 A 1 = A 2 Rys: Autor

30 A 1 z Przy czystym zginaniu, w przypadku pełnego uplastycznienia przekroju, konieczne staje się znalezienie linii, dzielącej pole przekroju na dwie połowy (A 1 = A 2 = A / 2) Dla przekroju symetrycznego (oś sprężysta y = oś symetrii) nowa oś pokrywa się ze starą. Dla przekroju niesymetrycznego nowa oś y' nie jest starą osią y. A 2 y' y Rys: Autor

31 Zakres sprężysty: S 1el (y el ) = -S 2el (y el ); A 1el A 2el ; S 1el Zakres plastyczny: A 1pl = A 2pl ; S 1pl (y pl ) -S 2pl (y pl ) l ; A 1pl y el y pl S 2el y pl A 2pl y el Rys: Autor

32 A 1 = A 2 = A / 2 M y = {z [s(z)]} dz dy = s(y, z) = f y = (z f y ) dz dy + (-z f y ) dz dy = A1 A2 A 1 = f y ( z dz dy - z dz dy ) = A1 A2 A 2 = #t / 4: S y = z dz dy = s(y, z) = -f y = f y [ S(A 1 ) y' + S(A 2 ) y' ] Rys: Autor

33 M y = f y [ S(A 1 ) y' + S(A 2 ) y' ] Można to zapisać jako: M y = f y W pl, y' z W pl, y' (plastyczny wskaźnik wytrzymałości) jest specyficzną charakterystyką geometryczną przekroju, ważną dla pracy w zakresie plastycznym. Dla przekroju symerycznego (y = y'): W pl, y' = 2 (moment statyczny połowy przekroju względem osi y = y') A 1 A 2 y' y Ogólnie (i, j = y, z): W el, i = J i / j max Rys: Autor W pl, i' > W el, i

34 Oprócz sprężystego i plastycznego wskaźnika wytrzymałości konieczne jest niekiedy rozpatrywanie wskaźnika efektywnego. Pojawia się on w sytuacji przekrojów bardzo smukłych (cienki i wysoki środnik), dla których może dojść do utraty stateczności lokalnej ścianek ściskanych. Rys: Autor Rys: ijird.com

35 Część, która podlega niestateczności lokalnej, jest pomijana. Przekrój efektywny to fikcyjny przekrój, z którego usunięto fragmenty półek / środnika, podlegające niestateczności. W przypadku rozpatrywania przekroju efektywnego konieczne jest znalezienie efektywnego pola przekroju, efektywnego środka ciężkości, efektywnego momentu bezwładności i efektywnego wskaźnika wytrzymałości. W eff W el < W pl A eff A Rys: Autor

36 Ścinanie Zgodnie z Mechaniką Teoretyczną: t = V S y(z) / J y t(z) Można to zapisać jako: Rys: Autor t = V / A V t = max gdy A V = min; A V = min dla t = min oraz S y = max. A V = J y t(z = 0) / S y(z = 0) A V kolejna specyficzna charakterystyka geometryczna ( czynne pole przekroju"), ważna dla ścinania.

37 Rys: Autor Ogólnie: t f << h J y h 3 t w / [t f b (h / 2) 2 ] = = h 2 (h t w / 12 + t f b / 2) S y (połowa przekroju) t w (h / 2) (h / 4) + t f b (h / 2) = = h (h t w / 8 + t f b / 2)

38 A V = J y t w / S y = = t w [h 2 (h t w / 12 + t f b / 2)] / [h (h t w / 8 + t f b / 2)] = = t w h [(h t w / 12 + t f b / 2) / (h t w / 8 + t f b / 2)] = = h t w t f b = A' = t w h [(A'/ 12 + A' / 2) / (A' / 8 + A' / 2)] = = t w h {(A' / 2) [(1 / 6) +1]} / {(A' / 2) [(1 / 4) + 1]} = = t w h [(1 / 6) +1] / [(1 / 4) + 1] = t w h (1,167 / 1,250) t w h A V t w h

39 Uogólnienie: A V może być przybliżone jako pole części przekroju równoległej do kierunku działania siły. V z A V, z = t w h A V, y = 2 t f b Rys: Autor V y

40 Skręcanie jest najbardziej skomplikowanym rodzajem obciążenia. Należy je rozpatrywać na kilka różne sposoby: przekroje okrągłe (pręty okrągłe); przekroje zamknięte okrągłe (rury okrągłe); przekroje zamknięte nieokrągłe (rury kwadratowe i prostokątne); część przekrojów otwartych ( L T ); pozostałe przekroje otwarte. Zróżnicowanie polega na odmiennych deformacjach prętów skręcanych, odmiennych rozkładach naprężeń lub odmiennych wzorach na charakterystyki geometryczne.

41 Przypadek ogólny: Dx T Ed Rys: Autor Dx Dx Efektem momentu skręcającego jest nie tylko rotacja przekroju, ale i jego deplanacja początkowo płaskie i równoległe przekroje stają nie nie-płaskie i nierównoległe. Nie wszystkie kształty przekroju podlegają deplanacji, a dla części tych które podlegają deplanacja ma pomijalnie małe wartości.

42 Przekrój Deplanacja Moment skręcający Uwagi Okrągły (pręt, rura) L T T Ed Brak T Ed = T t, Ed - Bardzo mała Swobodna T Ed = T t, Ed - Skrępowana podporami T Ed T t, Ed - Pozostałe Istotna Swobodna T Ed = T t, Ed - Skrępowana podporami T Ed = T t, Ed + T w, Ed Dodatkowo pod uwagę należy wziąć B Ed T t, Ed moment skręcania St Venanta (swobodna deplanacja przekroju); T w, Ed moment skręcania skrępowanego (skrępowana deplanacja przekroju); B Ed - bimoment

43 Deplanacja dwuteownika: obie półki podlegają deplanacji w przeciwnych kierunkach. M 1 s h M 2 Rys: Autor s W przypadku skręcania skrępowanego pojawia się specyficzny rozkład naprężeń w pólkach. Naprężenia te mogą być przedstawione jako efekt bimomentu: B = h M M = M 1 = M 2 Bimoment jest także brany pod uwagę w przypadku analizy przekrojów cienkościennych.

44 Sposób deformacji pręta powoduje, że konieczne jest rozpatrywanie dwu odrębnych grup charakterystyk geometrycznych. Pierwsza grupa dotyczy skręcenia przekroju i nośnością z uwagi na moment skręcający. Druga związana jest z deplanacją przekroju i nośnością z uwagi na bimoment. h 3 h 2 t 2 t 3 Rys: Autor W analogii do zginania, wprowadzić można moment bezwładności przy skręcaniu i wskaźnik wytrzymałości przekroju przy skręcaniu: t 1 W T * = J T / t max t max = max ( t 1 ; t 2 ; t 3... ) h 1

45 Dla dwuteowników wartości zestawione są w tablicach do projektowania. Rys: europrofil.lu

46 Można też zastosować inne wzory przybliżone: J T a (h 1 t h 2 t h 3 t ) / 3 h 3 Przekrój a t 3 Dwuteownik 1,20 gorącowalcowany h 2 t 2 Rys: Autor Dwuteownik spawany ż żebrami pionowymi 1,50 Kątownik 1,00 t 1 Ceownik 1,12 Teownik 1,40 h 1

47 Dla przekrojów zamkniętych moment bezwładności przy skręcaniu i wskaźnik wytrzymałości przy skręcaniu jest liczony odmiennie: J T = 4 A 0 2 / (ds / t) t W T * = 2 t A 0 ds A 0 Rys: Autor Także dla przekrojów okrągłych: J T = p r 4 / 2 W T * = p r 3 / 2

48 Charakterystyki geometryczne, związane z deplanacją przekroju są najbardziej skomplikowane od strony obliczeniowej. W analogii do zginania, można wprowadzić pojęcia wycinkowego momentu bezwładności J w, współrzędnej wycinkowej w i wycinkowego wskaźnika wytrzymałości przekroju W w : Przy zginaniu, zgodnie ze wzorami z #t / 6: W w = J w / w W y = J y / z W z = J z / y J y i J z maja jedną wartość dla całego przekroju. Dla każdego punktu przekroju o współrzędnych (y, z) można wyliczyć wartości W y i W z aczkolwiek najczęściej potrzebujemy W y i W z dla punktów najbardziej odległych od środka ciężkości (W y i W z są najmniejsze). Analogicznie jest w przypadku J w ma jedną wartość dla całego przekroju, zaś w i W w są różne w różnych punktach. Tu również z najczęściej potrzebujemy W w dla punktów położonych ekstremalnie (najmniejszego W w ).

49 Obliczenia wskaźników wytrzymałości przy zginaniu dwukrotnie związane są z procedurą polegającą na wstępnym przyjęciu pewnego punktu lub kierunku, policzeniu na tej podstawie pewnych charakterystyk geometrycznych, a następnie zweryfikowaniu wstępnego założenia przy pomocy tych charakterystyk. 1. Środek ciężkości: przyjmujemy dowolny punkt i dowolną orientację osi wyliczamy momenty statyczne względem tych osi rzeczywiste położenie środka ciężkości jest odległe od wstępnie przyjętego o proporcje między odpowiednim momentem statycznym a polem powierzchni. 2. Osie główne centralne: w środku ciężkości przyjmujemy dowolnie zorientowane osie wyliczamy względem tych osi momenty bezwładności i momenty dewiacji znajdujemy położenie osi głównych centralnych i wartości odpowiadających im momentów bezwładności z warunku zerowania się momentów dewiacji. Pętla wstępne przyjęcie i weryfikacja na podstawie wyników występuje również dwukrotnie przy obliczaniu charakterystyk geometrycznych związanych z deplanacją.

50 1.a. Sprowadzamy przekrój do linii środkowych gałęzi przekroju. 1.b. Przyjmujemy tzw. Biegun w środku ciężkości i Punkt Zerowy w innym, charakterystycznym miejscu; najlepiej na przecięciu którejś osi i linii przekroju. B 0 Rys.: Autor

51 1.c. Wykonujemy wykres wstępny współrzędnej wycinkowej w 0 według zasady: w punkcie 0 ma wartość 0; krążymy po linii środkowej wokół bieguna zgodnie z ruchem wskazówek zegara, przechodząc do najbliższego punktu węzłowego; w węźle wartość w 0 jest równa (odległość gałęzi od B) (odległość węzła od 0); przechodzimy do następnego węzła zgodnie z ruchem wskazówek zegara; w kolejnym węźle wartość w 0 jest równa wartości w węźle poprzednim + iloczyn dla nowego węzła; jeśli poruszamy się przeciwnie do zegara, nowemu iloczynowi przypisujemy wartość ujemną; pomiędzy węzłami wartości w 0 zmieniają się liniowo. B 0 Rys.: Autor

52 1.d. Liczymy wycinkowe momenty odśrodkowe J ωy = [ω 0 (s) y(s) t(s) ] ds J ωz = [ω 0 (s) z(s) t(s) ] ds s współrzędna położenia na linii środkowej; y, z odległości od środka ciężkości; t grubości kolejnych gałęzi przekroju. 1.e. Odległość punktu R, zwanego w literaturze środkiem zginania / ścinania / skręcania, od środka ciężkości, opisują wzory: y = -J ωy / J z z = -J ωz / J y 1.f. Przyjmujemy nowy biegun w punkcie R i punkt zerowy w poprzednim miejscu 0 i powtarzamy po raz drugi procedurę wyznaczenia wykresu wstępnego współrzędnej wycinkowej w 1

53 2.a. Wyliczamy wycinkowy moment statyczny S ω = [ω 1 (s) δ(s) ] ds s(q) = S ω / A s(q) to odległość wzdłuż linii środkowej między punktem 0 a głównym punktem zerowym Q. Jeśli s(q) > 0, wędrujemy zgodnie z zegarem wokół R, jeśli s(q) < 0 przeciwnie do zegara. 2.b. dla bieguna w punkcie R i punktu zerowego w Q po raz trzeci powtarzamy procedurę wyznaczenia wykresu współrzędnej wycinkowej w. Tym razem jest to ostateczny wykres. 3. Obliczamy wycinkowy moment bezwładności: J ω = [ω(s) 2 δ(s) ] ds

54 Charakterystyki geometryczne związane ze skręcaniem i deplanacją są ważne nie tylko w przypadku skręcania, ale i w przypadku przekrojów cienkościennych (czasami taką metodą liczone są przekroje aluminiowe lub stalowe zimnogięte), oraz dla spraw związanych z utratą stateczności elementu przy ściskaniu czy zginaniu ( wykład #6). Dla przekrojów podstawowych (dwuteowniki, ceowniki), wycinkowy moment bezwładności i współrzędna wycinkowa są podane w tablicach do projektowania. Rys.: Tablice do projektowania konstrukcji metalowych, W. Bogucki, M. Żyburtowicz, Arkady Wa-wa 1996

55 W razie potrzeby można użyć wzorów przybliżonych:

56

57 J. Żmuda, Podstawy projektowania konstrukcji metalowych, TiT Opole 1992

58 Przykład obliczeniowy 2x L 150x150x15 C 300 HEB 220 C 220 2x L 100x100x10 Bez skręcania, deplanacji i charakterystyk efektywnych. Rys.: Autor

59 z 12,5 z y ,4 + 58,6 1 : 12,5 6, ,5 y 12,5 HEB C 220 Rys.: Autor

60 z 100 z y 1 : 12, y L 150x150x z 6 C y 28,2 + 71,8 28,2 + 71,8 100 L 100x100x10 Rys.: Autor

61 A [cm 2 ] J y [cm 4 ] J z [cm 4 ] HEB , e + f [cm] C , ,14 + 5,86 C , ,70 + 7,30 L 100x100x10 19, ,82 + 7,18 L 150x150x15 46, , ,50 Oba ceowniki są ułożone horyzontalnie. Oznacza to, ze ich lokalna oś y odpowiada globalnej osi z, zaś lokalna oś z odpowiada globalnej soi y. Należy o tym pamiętać przy obliczaniu momentu bezwładności przekroju.

62 A = S A i = 2 A (L 150x150x15) + A (C 300) + A (HEB 220) + A (C 220) A (L 100x100x10) = = 2 46,0 + 58,8 + 91,0 + 37, ,2 = = 317,6 cm 2 Środek ciężkości 2 (L 150x150x15) z 1 = 220 / = 165 Środek ciężkości C 300 z 2 = 220 / = 93 Środek ciężkości HEB z 3 = 0 Rys.: Autor z 4 = 220 / ,4 = 131,4 Środek ciężkości C 220 Środek ciężkości 2 (L 100x100x10) z 5 = 220 / ,2 = 138,2

63 S y = S S i, y = 2 A (L 150x150x15) z A (C 300) z 2 + A (HEB 220) z A (C 220) z A (L 100x100x10) z 5 = = 2 46,0 16,5 + 58,8 9, ,0 0-37,4 13, ,2 13,82 = = 1042,716 cm 3 z 1-1 = ,8 = 132,2 z 3-1 = S y / A = 1042,716 / 317,6 = 3,28 cm Środek ciężkości przekroju Środek ciężkości HEB z 3-1 = 32,8 z 2-1 = 93-32,8 = 60,2 z 4-1 = 131,4 + 32,8 = 164,2 z 5-1 = 138,2 + 32,8 = 171 Rys.: Autor

64 J y = [2 J y (L 150x150x15) + 2 A (L 150x150x15) z 2 1-1] + + [J z (C 300) + A (C 300) z 2 2-1] + [J y (HEB 220) + A (HEB 220) z 2 3-1] + + [J z (C 220) + A (C 220) z 2 4-1] + [2 J y (L 100x100x10) + 2 A (L 100x100x10) z 2 5-1] = = [ ,0 13,22 2 ] + [ ,8 6,02 2 ] + [ ,0 3,28 2 ] + + [ ,4 16,42 2 ] + [ ,2 17,1 2 ] = = ,840 cm 4

65 y 1-1 = 45 y 5-1 = 220 / ,2 = 138,2 J z = [2 J z (L 150x150x15) + 2 A (L 150x150x15) y 2 1-1] + + [J y (C 300)] + [J z (HEB 220)] + + [J y (C 220)] + [2 J y (L 100x100x10) A (L 100x100x10) y 2 5-1] = = [ ,0 4,5 2 ] + [8 030] + [2 840] + + [2 690] + [ ,2 13,82 2 ] = = ,108 cm 4 Rys.: Autor

66 z top = 237 i y = ( J y / A) = 12,776 cm i z = ( J z / A) = 8,927 cm W y, el, top = J y / z top = 2 185,364 cm 3 W y, el, bottom = J y / z bottom = 2 134,960 cm 3 W z, el = J z / y max = 1 205,291 cm 3 z bottom = 243 y max = 210 Rys.: Autor

67 Czynne pole przekroju przy ścinaniu. Kształt przekroju przybliżono zestawem prostokątów. V z V y A V, z A V, y Rys.: Autor

68 A V, z = 2x (ramię L 150x150x15) + 2x (półka C 300) + (środnik HEB 220) + + 2x (półka C 220) + 2x (ramię L 100x100x10) = = 2 (15 1,5) + 2 (10 1,6) ,9 + 2x (8 1,25) + 2 (10 1) = 136,8 V z V y Rys.: Autor A V, z A V, y A V, y = 2x (ramię L 150x150x15) + (środnik C 300) + 2x (półka HEB 220) + + (środnik C 220) + 2x (ramię L 100x100x10) = = 2x (15 1,5) + 30x1 + 2 (22 1,25) ,9 + 2 (10 1) = 169,8

69 Analiza plastyczna: podział przekroju na dwa identyczne pola powierzchni. Przekrój nadal przybliżony jest zestawem prostokątów. Oś pionowa z (= oś symetrii) dzieli przekrój na dwie identyczne połówki. Oś pozioma możliwe położenia: ) Linia przechodzi przez ramiona L 150x150x15; 2) Linia przechodzi przez środnik C 300; 3) Linia przechodzi przez półkę HEB 220; 4) Linia przechodzi przez środnik HEB 220 i półki C 300; 5) Linia przechodzi przez środnik HEB 220 poza półkami C300; Rys.: Autor

70 Możliwość 1 Linia przechodzi przez ramiona L 150x150x15 W najniższym możliwym położeniu (po dolnych licach ramion; otrzymamy wtedy maksymalne pole części górnej): Góra: 2x L 150x150x15; Dół: C HEB x L 100x100x10 + C 220 Powierzchnia górna = 2x 46,0 = 92,0; Powierzchnia dolna = 58,8 + 91,9 + 2x 19,2 + 37,4 = 225,6; Nawet przy ekstremalnym położeniu, maksymalizującym część górną, część górna ma zbyt małe pole. Możliwość 1 wykluczona.

71 Możliwość 2 Linia przechodzi przez środnik C 300 W najniższym możliwym położeniu (po dolnym licu środnika; otrzymamy wtedy maksymalne pole części górnej): Góra: 2x L 150x150x15 + środnik C 300 Dół: półki C HEB x L 100x100x10 + C 220 Powierzchnia górna = 2x 46,0 + 1,0 30,0 = 122,0; Powierzchnia dolna = 28,8 + 91,9 + 2x 19,2 + 37,4 = 196,6; Nawet przy ekstremalnym położeniu, maksymalizującym część górną, część górna ma zbyt małe pole. Możliwość 2 wykluczona.

72 Możliwość 5 Linia przechodzi przez środnik HEB 220 poza półkami C300; Góra: 2x L 150x150x15 + C górna półka HEB górna część środnika HEB 220; Dół: 2x L 100x100x10 + C dolna półka HEB dolna część środnika HEB 220 Założenie: powierzchnia górna = powierzchnia dolna Powierzchnia (pólka górna HEB 220) = powierzchnia (półka dolna HEB 220); półki możemy pominąć. Powierzchnia górna = 2x 46,0 + 58,8 + góra środnika = 150,8 + góra środnika; Powierzchnia dolna= 2x 19,2 + 37,5 + dół środnika = 75,9 + dół środnika; Cały środnik (góra + dół) 17. za mało, by doprowadzić do wyrównania obu części. Możliwość 5 wykluczona.

73 Do szczegółowej analizy pozostały możliwości 3 i 4: a b a b Rys.: Autor 4) Linia przechodzi przez środnik HEB 220 i półki C 300; (22,5 mm a 100,0 mm, a + b = 100,0 mm) 3) Linia przechodzi przez półkę HEB 220; (10,0 mm a < 22,5 mm, a + b = 100 mm)

74 a b a b Rys.: Autor A 1 = = A / 2 = A 2 2x (L 150x150x15) środnik C 300 część półek C 300 cała górna półka HEB 220 część środnika HEB 220 A 2 = = A / 2 = A 1 brak półki HEB 220 część środnika HEB 220 część półek C 300 półka dolna HEB 220 C 220 2x (L 100x100x10) 4 3 2x (L 150x150x15) web C 300 część półek C 300 część górnej półki HEB 220 brak środnika 220 część górnej półki HEB 220 cały środnik HEB 220 część półek C 300 półka dolna HEB 220 C 220 2x (L 100x100x10)

75 4 3 2 (46,0) 2 (46,0) (a - 1) 1,6 (a - 1) 1,6 22 1,25 (a - 1) 22 (a - 1-1,25) 0,9 0 0 [1,25 - (a - 1)] 22 [22-1,25 - (a - 1)] 0,9 0,9 (22-2 1,25) (10 - a) 1,6 (10 - a) 1,6 22 1, ,25 37,4 37,4 2 (19,2) 2 (19,2)

76 (a - 1) 1,6 (a - 1) 1,6 27,5 (a - 1) 22 (a - 2,25) 0,9 0 0 (2,25 - a) 22 (21,75 - a) 0,9 17,55 (10 - a) 1,6 (10 - a) 1,6 27,5 27,5 37,4 37,4 38,4 38,4

77 , ,6a - 1,6 1,6a - 1,6 0,9a - 2,025 22a ,575-0,9a 49,5-22a 16-1,6a 16-1,6a 103,3 120, ,5a + 145,875 23,6a + 98, ,875-2,5a 186,450-23,6a

78 4 3 2,5a + 145,875 = 23,6a + 98,400 = = 138,875-2,5a = 186,450-23,6a 4 3 5,0a = -7,000 47,2a = 88, a = -1,4 a = 1,9 Wnioski: Możliwość 4: położenie osi opisane jest przez zależność 22,5 mm a 100,0 mm, rezultat a = -14 mm, sprzeczność, możliwość wykluczona. Możliwość 3: położenie osi opisane jest przez zależność 10,0 mm a < 22,5 mm, rezultat a = 19, mm, OK., możliwość przyjęta.

79 W y, pl = S y (A 1 ) + S y (A 2 ) y el y pl 68 S y (A 1 ) = S y [2x (L 150x150x15)] + + S y (środnik C 300) + S y [ 2x (górne części półek C 300)] + + S y (górna część półki HEB 220) Rys.: Autor S y (A 2 ) = S y (dolna część półki HEB 220) + + S y [ 2x (dolne części półek C 300)] + + S y (środnik HEB 220) + S y (dolna półka HEB 220) + + S y (C 220) + S y [2x (L 100x100x10)]

80 Rys.: Autor z 1-1 = 64 z 2-1 = 14 S y (A 1 ) = z 1-1 [2x A(L 150x150x15)] + z 3-1 = z 4-1 = 5 z 5-1 = 2 z 6-1 = 41 z 8-1 = 205 z 7-1 = 101 y pl z 9-1 = z 2-1 A(środnik C 300) + + z 3-1 [ 2x A(górne części półek C 300)] + + z 4-1 A(górna część pólki HEB 220) z 10-1 = 239 S y (A 1 ) = 6,4 2 46,0 + 1, ,5 2 1,6 0,9 + 0,5 22 0,9 = 642,14 [cm 3 ]

81 Rys.: Autor z 1-1 = 64 z 2-1 = 14 z 3-1 = z 4-1 = 5 z 5-1 = 2 z 6-1 = 41 z 8-1 = 205 z 7-1 = 101 y pl z 9-1 = 232 z 10-1 = 239 S y (A 2 ) = z 5-1 A(dolna część półki HEB 220) + z 6-1 [ 2x A(dolne części pólek C 300)] + + z 7-1 A(środnik HEB 220) + z 8-1 A(pólka dolna HEB 220) + z 9-1 A(C 220) + + z 10-1 [2x A(L 100x100x10)] S y (A 2 ) = 0,2 0, ,1 8,1 1,6 + 10,1 19,5 0,9 + 20,5 1, ,2 37,4+ 23,9 2 19,2 = 2 640,66 [cm 3 ]

82 W z, pl = S z (A 1 ) + S z (A 2 ) = 2x S z (A 1 ) = 2x S z (A 2 ) Rys.: Autor y 3-1 = = y 6-1 = = y 7-1 = 55 z el = z pl y 1-1 = 45 y 5-1 = 2 y 2-1 = 75 y 4-1 = 142 y 8-1 = 104 S z (A 2 ) = S z (L 150x150x15) + + S z (lewa część środnika C 300) + + S z (lewa część półki górnej HEB 220) + + S z (lewa półka C 300) + + S z (lewa część środnika HEB 220) + + S z (lewa część półki dolnej HEB 220) + + S z (lewa część środnika C 220) + + S z (lewa pólka C 220) + + S z (L 100x100x10) y 9-1 = 138

83 Rys.: Autor y 3-1 = = y 6-1 = = y 7-1 = 55 z el = z pl y 1-1 = 45 y 2-1 = 75 y 4-1 = 142 y 5-1 = 2 y 8-1 = 104 y 9-1 = 138 S z (A 2 ) = y 1-1 A(L 150x150x15) + + y 2-1 A(lewa część środnika C 300) + + y 3-1 A(lewa część półki górnej HEB 220) + + y 4-1 A(lewa półka C 300) + + y 5-1 A(lewa część środnika HEB 220) + + y 6-1 A(lewa część półki dolnej HEB 220) + + y 7-1 A(lewa część środnika C 220) + + y 8-1 A(lewa półka C 220) + + y 9-1 A(L 100x100x10) = = 4, , ,5 11 1, ,2 9 1,6 + 0,2 19,5 0,5 + 5,5 11 1, ,5 11 0,9 + 10,4 1, ,8 19,2 = = 1087,59 [cm 3 ]

84 W y, pl = S y (A 1 ) + S y (A 2 ) = 642,14 [cm 3 ] ,66 [cm 3 ] = 3 282,80 [cm 3 ] W z, pl = S z (A 1 ) + S z (A 2 ) = 2x S z (A 1 ) = 2x S z (A 2 ) = 2 175,18 [cm 3 ]

85 Charakterystyka Wartość A [cm 2 ] 317,6 A V, y [cm 2 ] 169,8 A V, z [cm 2 ] 136,8 J y [cm 4 ] ,840 J z [cm 4 ] ,108 i y [cm] 12,78 i z [cm] 8,93 W y, el, top [cm 3 ] 2 185,36 W y, el, bottom [cm 3 ] 2 134,96 W z, el [cm 3 ] 1 205,29 W y, pl [cm 3 ] 3 282,80 W z, pl [cm 3 ] 2 175,18

86 Sprawdzenie wyników: A V, y + A V, z A OK min (W y, el, top ; W y, el, bottom ) < W y, pl OK W z, el < W z, pl OK

87 z el = z pl 169 y pl 68 y el 243 Rys.: Autor

88 Zagadnienia egzaminacyjne Rodzaje wskaźników wytrzymałości przy zginaniu Definicje deplanacji przekroju i bimomentu

89 Dziękuję za uwagę 2019 dr inż., Tomasz Michałowski