Konstrukcje metalowe Wykład XVI Słupy

Transkrypt

1 Konstrukcje metalowe Wykład XVI Słupy

2 Spis treści Informacje ogólne #t / 3 Nośność #t / 8 Niestateczność #t / 21 Przechyły #t / 68 Podsumowanie #t / 69 Przykład #t / 72 Zagadnienia egzaminacyjne #t / 97

3 Informacje ogólne Belki i kolumny - takie same przekroje, podobne obliczenia.. Różnice: Belki - najważniejszy jest moment zginający Słupy - najważniejsza jest siłą osiowa

4 #15 / 3 Siły przekrojowe występujące w różnych typach elementów N Ed M Ed V Ed Pręt kratowy Pręt stężenia + (+) (+) Belka (+) + + Słup + + +

5 Zniszczenie pojedynczej belki Rys: Autor Lokalne uszkodzenie konstrukcji Zniszczenie pojedynczego słupa Całkowite zawalenie Wniosek: słupy są ważniejsze dla całości; obliczenia muszą być dokładniejsze, zanalizować należy więcej zjawisk niż w przypadku belek.

6 Analizowane zjawiska Belka Słup Ściskanie osiowe Czasem Zawsze Wyboczenie giętne Czasem Zawsze Zginanie Zawsze Bardzo często Ścinanie Zawsze Bardzo często Interakcja zginanie-ścinanie Bardzo często Bardzo często Zwichrzenie Bardzo często Bardzo często Interakcja zginanie-ściskanie Czasem Bardzo często Interakcja wyboczenie-zwichrzenie Czasem Bardzo często Imperfekcje * Nie Bardzo często Efekty II rzędu * Nie ** Bardzo często * Analizowane pomocniczo przy utracie stateczności. ** W pierwszej kolejności rozpatrujemy dla słupów; pomniejsze efekty pojawią się też dla belek.

7 Nośność przekroju: Siła osiowa #t / 9 10 Ścinanie #t / Zginanie #t / 9 10 Zginanie dwukierunkowe #t / Zginanie ze ścinaniem #t / Zginanie z siłą osiową #t / SGN: Wyboczenie Stateczność: #t / Zwichrzenie #t / Interakcja wyboczenia i zwichrzenia #t / SGU: Przechył #t / 68

8 Nośność W przypadku nośności i interacji sił przekrojowych używane są te same wzory dla słupów i belek: I, II, III klasa przekroju #15 / IV klasa przekroju II stopień studiów

9 #4 / 76 Obliczanie nośności Stal - różne wzory dla różnych klas przekroju Obciążenie I klasa II klasa III klasa IV klasa N Ed / N c,rd (1-3) 1,0 N Ed / N c,rd (4) 1,0 M Ed (1) / M Rd (1-2) 1,0 M Ed / M Rd (1-2) 1,0 M Ed / M Rd (3) 1,0 M Ed / M Rd (4) 1,0 Interakcja interakcja Interakcja interakcja M Ed N Ed M Ed N Ed M Ed N Ed M Ed N Ed N Ed / N t,rd 1,0 V Ed / V Rd 1,0 (lub, dla IV klasy, inaczej, gdy istnieje interakcja między M Ed i V Ed ) Rys: Autor

10 #4 / 80 N c,rd (1-3) = A f y / g M0 N c,rd (4) = A eff f y / g M0 M Rd (1-2) = W pl f y / g M0 M Rd (3) = W el f y / g M0 M Rd (4) = W eff f y / g M0 N t,rd = A f y / g M0 V Rd = A v f y / (g M0 3)

11 Oprócz nośności na zginanie (i sprawy zwichrzenia), przeanalizować należy też nośność na ścinanie i na siłę osiową, ściskającą lub rozciągającą. Do tego dochodzi kwestia interakcji sił przekrojowych. Siły przekrojowe Interakcje #15 / 51 M Ed, y V Ed, z M Ed, z V Ed, y N Ed, t N Ed, c T Ed

12 #15 / 59 Interakcja zginania z siłą osiową, zginanie dwukierunkowe, interakcja dwukierunkowego zginania z silą osiową wykład # 16

13 Obliczenia w przypadku interakcji zginania i siły osiowej; dwukierunkowego zginania; dwukierunkowego zginania i siły osiowej Są wykonywane w bardzo podobny sposób; występują jedynie drobne różnice. W pierwszym kroku analizowany jest wpływ siły osiowej na nośności M Rd, y i M Rd, z ; W kolejnym sprawdza się interakcję między M Ed, y i M Ed, z. Obliczenia prowadzone są na poziomie przekroju.

14 #3 / 64 Na poziomie przekroju: F charakterystyka geometryczna R = F f y E / R 1,0 Rys: Autor Elementy i węzły, gdy zagadnienie stateczności nie jest istotne; śruby, nity, sworznie

15 Rys: Autor Nośność przekroju = obliczenia na poziomie przekroju; przeprowadzone trzykrotnie: dla punktu 1, 2 i 3.

16 I lub II klasa przekroju: ( M y, Ed / M N, y, Rd ) a + ( M z, Ed / M N, z, Rd ) b 1,0 EN (6.41) V Ed > 0,5 V Rd interakcja M Ed i V Ed I przeliczenie M Rd interakcja M Ed i N Ed II przeliczenie M Rd

17 Przekrój prostokątny: a = b = 1,0 M N, y, Rd = M y, pl, Rd [ 1 - (N Ed / N pl, Rd ) 2 ] M N, z, Rd = M z, pl, Rd [ 1 - (N Ed / N pl, Rd ) 2 ] EN (6.41)

18 Dwuteownik bisymetryczny: a = 2 b = max (5n ; 1,0) n = N Ed / N pl, Rd a = min [ 0,5 ; (A - 2 b t f ) / A] N Ed min ( 0,25 N pl, Rd ; N Ed > min (0,25 N pl, Rd ; 0,5 h w t w f y / g M0 ) 0,5 h w t w f y / g M0 ) M N, y, Rd M pl, y, Rd min [ M pl, y, Rd ; M pl, y, Rd (1 - n) / (1-0,5 a) ] N Ed h w t w f y / g M0 N Ed > h w t w f y / g M0 M N, z, Rd M pl, z, Rd M pl, z, Rd M pl, z, Rd {1 - [(n-a) / (1-a)] 2 } n a n > a EN (6.33) - (6.41)

19 Rury okrągłe i prostokątne gorącowalcowane i zimnogięte oraz spawane przekroje skrzynkowe: M N, y, Rd = min [ M pl, y, Rd ; M pl, y, Rd (1 - n) / (1-0,5 a) ] M N, z, Rd = min [ M pl, z, Rd ; M pl, z, Rd (1 - n) / (1-0,5 a f ) ] Spawane Prostokątne Okragłe a w min [0,5 ; (A - 2 b t f ) / A ] min [0,5 ; (A - 2 b t) / A ] 0,5 a f min [0,5 ; (A - 2 h t w ) / A ] min [0,5 ; (A - 2 h t) / A ] a = b min [ 6 ; 1,66 / (1-1,13 n 2 ) ] 2 EN (6.33) - (6.41)

20 III klasa przekroju: N Ed / (A f y / g M0 ) + M y, Ed / (W y, min f y / g M0 ) + M z, Ed / (W z, min f y / g M0 ) 1,0 EN (6.42) IV klasa przekroju: N Ed / (A eff f y / g M0 ) + (M y, Ed + N Ed e Ny ) / (W eff, y, min f y / g M0 ) + + (M z, Ed + N Ed e Nz ) / (W eff, z, min f y / g M0 ) 1,0 EN (6.44)

21 Niestateczność Przypadki proste ( #5) Interakcje N Ed,c : M Ed : N Ed,c + M Ed : wyboczenie c y wyboczenie c z skrętne c T skrętno-giętne c zt zwichrzenie c LT wyboczenie c y + zwichrzenie c LT wyboczenie c z + zwichrzenie c LT skrętne c T + zwichrzenie c LT skrętno-giętnel c zt + zwichrzenie c LT Obliczenia prowadzone są na poziomie elementu

22 #3 / 65 Na poziomie elementu: F charakterystyka geometryczna χ współczynnik stateczności (zależy od długości elementu i sposobu podparcia) R = χ F f y E / R 1,0 Węzły i elementy w warunkach utraty stateczności Rys: Autor

23 #5 / 10 Wyboczenie giętne Wzory zgodnie z Wytrzymałością materiałów: M(x) = N w(x) d[w(x)] 2 / dx 2 = -M(x) / EJ M(x) = -w (x) E J -w (x) E J = N w(x) w (x) = - k 2 w(x) k = (N / EJ) Rys: Autor

24 Zwichrzenie Wyboczenie giętno-skrętne i zwichrzenie - wygląd odkształceń elementu #5 / 51 Rys: Autor Wyboczenie giętno-skrętne Niemal taki sam kształt odkształceń elementu, aczkolwiek zupełnie inne powody Zwichrzenie

25 Zachodzi wielka różnica między obliczeniami niestateczności w przypadkach prostych i interakcjami. W przypadkach prostych niestateczność jest zawsze bardziej niebezpieczna od przekroczenia nośności: R instability = R c c 1,0 R instability R Z tego powodu nie ma potrzeby sprawdzania zarówno nośności jak i niestateczności: E / R 1,0 E / R instability 1,0 Drugi przypadek jest zawsze bliższy 1,0. Dla przypadków prostych sprawdzamy tylko E / R instability 1,0.

26 W przypadku interakcji, zwichrzenie i wyboczenie nakładając się na siebie, mogą się wzajemnie wzmacniać lub osłabiać. Nie da się z góry przewidzieć, który przypadek będzie bardziej niekorzystny: złożona postać utraty stateczności E / R instability 1,0 czy przekroczenie nośności E / R 1,0 W przypadku interakcji muszą być wykonane zarówno obliczenia nośności jak i stateczności. I, II, III klasa przekroju ta sama geometria przekroju dla ustalenia nośności i niestateczności IV klasa przekroju przekrój efektywny dla nośności, całkowity dla niestateczności

27 Rys: Autor Nośność przekroju = obliczenia na poziomie przekroju; przeprowadzone trzykrotnie: dla punktu 1, 2 i 3. Stateczność: jedno sprawdzenie dla maksymalnych wartości Ed, M y, Ed, M z, Ed nawet jeśli leżą w różnych przekrojach.

28 Długość wyboczeniowa jest podstawowym zagadnieniem przy analizie utraty stateczności. Przykładowo, dla kratownicy zależy ona od rozmieszczenia węzłów i stężeń. Rys: Autor Ustaleni długości wyboczeniowej dla słupów jest znacznie bardziej skomplikowane.

29 Rozważyć trzeba trzy podstawowe formy utraty stateczności przez słup: zwichrzenie, wyboczenie giętne prostopadle do płaszczyzny rami i wyboczenie giętne w płaszczyźnie ramy. Jeżeli słup nie jest wykonany z dwuteownika gorącowalcowanego, dodatkowo należy wziąć pod uwagę wyboczenie skrętne i skrętno-giętne. Rys: Autor Zwichrzenie Wyboczenie giętne w płaszczyźnie ramy Wyboczenie giętne w kierunku prostopadłym do płaszczyzny ramy Jest możliwe, że dla każdej z tych postaci istnieje inna długość wyboczeniowa.

30 Pospolity błąd: wyboczenie słupa ramy jest traktowane jak wyboczenie pojedynczego, izolowanego pręta. Rys: wikipedia W ramie mamy podparcie sprężyste na obrót i przemieszczenie poziome. Podpory sztywne są możliwe tylko dla rygla o nieskończonej sztywności. Rys: Autor m = 2,0 m = 0,7 m = 1,0 Z powodu podparcia sprężystego bardzo często m y >> 2,0

31 Utrata stateczności globalnej Musimy policzyć współczynnik długości wyboczeniowej m dla każdego typu niestateczności. Ogólnie, dla zwichrzenia i wyboczenia z płaszczyzny ramy można przyjmować: m LT = m T = m z-t = m z = 1,00 z powodu stężeń pionowych Istnieją trzy sposoby policzenia współczynnika m y dla wyboczenia słupa w płaszczyźnie ramy, w zależności od zjawisk branych pod uwagę: Analizowane zjawiska efekty II rzędu imperfekcje przechyłowe i wygięciowe efekty II rzędu imperfekcje przechyłowe teoria I rzędu bez imperfekcji Obliczenia Procedura A" Procedura "B" Procedura C" EN (3)

32 Procedura "A" Procedura "B" Procedura "C" Obciążenia zwykłe od efektów II rzędu od imperfekcji przechyłowych od imprerfekcji wygięciowych zwykłe od efektów II rzędu od imperfekcji przechyłowych Obliczenia Nośność Nośność zwykłe Nośność m y = 1,0 Wartość m y Stateczność Stateczność Uwagi Duży nakład pracy przy zestawianiu obciążeń, bez obliczeń m y i stateczności Średni nakład pracy przy zestawianiu obciążeń, średni przy liczeniu m y i stateczności Mały nakład pracy przy zestawianiu obciążeń, duży przy liczeniu m y i stateczności Wybór metody - indywidualna decyzja projektanta. Dla ram wrażliwych na efekty II rzędu zalecana jest procedura A.

33 Obliczenie m y w metodzie C" jest skomplikowane. Najpierw trzeba przeanalizować postać utraty stateczności. Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie konstrukcje można w związku z tym podzielić na dwie kategorie: ramy przesuwne ramy nieprzesuwne Ramy przesuwne można utożsamić z ramami niestężonymi; nieprzesuwne ze stężonymi.

34 Rama stężona rama niestężona, Pierwsza postać utraty stateczności Rama stężona: przemieszczenia poziome są zaniedbywalnie małe. Małe przemieszczenia poziome L cr < L 0 (L cr L 0 ) m = L cr / L 0 Duże przemieszczenia poziome L cr < L 0 (L cr 0,5 L 0 ) L cr < L 0 L cr >> L 0 Rama stężona = nieprzesuwna Rys: Autor Rama niestężona = przesuwna m y, column 1,0 m y, column 1,0

35 Dla rozróżnienia ram przesuwnych i nieprzesuwnych ( zaniedbywalnie małe ) uzywa się analizy II rzędu. Analiza ta jest używana dla policzenia m y, column w każdej procedurze. Procedura A B C Znaczenie analizy II rzędu Ustalenie dodatkowych obciążeń wynikających z teorii II rzędu Dwa oddzielne algorytmy obliczenia m y, column dla ram przesuwnych i nieprzesuwnych

36 #3 / 74 Analiza I i II rzędu Dla wiotkich konstrukcji pojawiają się dodatkowe momenty zginające, związane z deformacjami konstrukcji Rys: Autor Jako efekt zastępczy wprowadza się współczynnik zwiększający obciążenia poziome: V Ed* = V Ed α *

37 Stężenie ścian w płaszczyźnie ramy #14 / 22 d f / d b-f 5 Rama niestężona d f / d b-f > 5 Rama stężona - analiza II rzędu nie jest konieczna Rys: Autor Analiza II rzędu wykład #16 Kiedy musimy odwołać się do analizy II rzędu (PN B 03200)

38 Rama niestężona: a cr (H Ed h) / (V Ed d H,Ed ) a cr = F cr / F Ed a cr > a cr 3 a cr < 3 Nie potrzeba uwzględniać EN (3), EN (5)B Analiza uproszczona Analiza zaawansowana Oczywiście, a cr może tez być policzone przez programy komputerowe Q Ed* = Q Ed α * α * = 1 / (1-1 / a cr ) Q Ed, H Ed, V Ed tylko dla konkretnego rozpatrywanego piętra EN (5.1), (5.2), (5.4) Rys: Autor

39 a cr α * 20 1, , , , , , , ,000 1 a cr wzrasta gdy: siła krytyczna jest wielokrotnie większa od obciążenia lub przemieszczenia poziome i siły poziome mają małą wartość. Uproszczone obliczenia - statyka liniowa z uwzględnieniem współczynnika zwiększającego α * dla wszystkich obciążeń poziomych. Analiza zaawansowana - statyka nieliniowa (program komputerowy) bez współczynnika zwiększającego α *. Oczywiście, a cr może byćwyliczone przez program do obliczeń statycznych a cr = F cr / F Ed F cr = a cr F Ed Bazując na wartości F cr, można analizować stateczność słupów.

40 Analiza imperfekcji (przechyłowych i wygięciowych) jest ważna dla metod "A" i "B". Popularnym błędem jest utożsamianie imperfekcji przechyłowych i efektów II rzędu. W obu przypadkach uwzględnia się przechylenie ramy, ale są to dwa zupełnie różne znawiska. Imperfekcja przechyłowa: deformacja zastępcza (równoważna zastępczemu obciążeniu) dla wielu różnego typu imperfekcji geometrycznych ( #6). Imperfekcje zawsze istnieją w rzeczywistych konstrukcjach. Analiza II rzędu: analiza podatności konstrukcji na duże przemieszczenia poziome pod wpływem poziomych obciążeń. Deformacje takie powodują powstanie dodatkowych sił przekrojowych (od sił pionowych na mimośrodach). Analiza taka jest prowadzona tylko dla konstrukcji podatnych (maszty, wieże, niektóre ramy).

41 Imperfekcja przechyłowa F = F 0 a h a m #6 / 83 F 0 = 1 / 200 a h = max{ 2 / 3 ; min[ (2 / h) ; 1,0]} h wysokość kondygnacji [m] a m = [ 0,5 (1 + 1 / m)] m ilość kolumn (elementów) biorąc pod uwagę tylko te z nich, które przenoszą siłę osiową N Ed nie mniejszą niż 50% średniej z wszystkich rozpatrywanych. N Ed siła osiowa w słupie lub elemencie stężanym (pasie kratownicy itp). V(F) l = M = N Ed l F V(F) = N Ed F Rys: Autor

42 Imperfekcja wygięciowa #6 / 84 e 0 zależy od krzywej wyboczeniowej ( #5 / 23, #5 / 39) Krzywa wyboczeniowa Analiza sprężysta Analiza plastyczna a 0 l / 350 l / 300 a l / 300 l / 250 b l / 250 l / 200 c l / 200 l / 150 d l / 150 l / 100 N Ed siła osiowa w słupie lub elemencie stężanym (pasie kratownicy itp). Rys: Autor N Ed e 0 = M = q(e 0 ) l 2 / 8 q(e 0 ) = 8 N Ed e 0 / l 2

43 Imperfekcja: Może być pominięta gdy: Przechyłowa H ed 0,15 V Ed EN (5.7) Wygięciowa (L / i) (1 / l 1 ) 0,5 (A f y / N Ed ) l 1 = 93,9 e EN (5.8) Jeśli imperfekcje mogą być pominięte, lepiej użyć procedury C" EN N.A. 9 ramy parterowe mogą być potraktowane jak ramy stężone bez imperfekcji. Oczywiście, bezpieczniej jest projektować je jak ramy niestężone z imperfekcjami.

44 Procedura A" Rys: Autor Normalne obciążenia przemnożone przez parametr efektów II rzędu α * ; Różne kombinacje dla imperfekcji przechyłowych (8 dla powyższej ramy); Różne kombinacje dla imperfekcji wygięciowych (8 dla powyższej ramy);

45 Procedura "B" Rys: Autor * * Normalne obciążenia przemnożone przez parametr efektów II rzędu α * ; Różne kombinacje dla imperfekcji przechyłowych (8 dla powyższej ramy); Równoczesne zastosowanie przeciwnych imperfekcji nie jest zalecane.

46 Procedura C" Rys: Autor Zwykłe obciążenia.

47 Rodzaj elementu Wartość m dla różnego typu słupów Słup Rys: Autor Belka Obliczenia m = 1,0 Procedura "A" bez analizy stateczności Procedura "B": m = 1,0 Procedura "C": m =? m = 1,0

48 Poniżej przedstawiono 4 sposoby policzenia m w procedurze C : Tablice; dla ram parterowych (traktowanych jako przesuwne) #t / Metoda europejska; ramy wielokondygnacyjne (przesuwne / nieprzesuwne) #t / Metoda amerykańska; ramy wielokondygnacyjne (przesuwne / nieprzesuwne) #t / Obliczenia komputerowe (przesuwne / nieprzesuwne) #t / 62-63

49 Ramy parterowe "Tablice do projektowania konstrukcji metalowych", W. Bogucki, M. Żyburtowicz, Arkady, Warszawa 1984 (n = m)

50

51

52

53

54

55

56

57 Metoda europejska, ramy wielopiętrowe Stara Polska Norma PN-B 3200 i niektóre Załącznik Krajowe do EN Sztywność węzła Rys: Autor Belki przy węźle górnym słupa Słup Belki przy węźle dolnym słupa k = max [0,3 ; K C / (K C + K 0 ) ] K C = J C / h K 0 = S (h J B / L ) uwzględnia się współpracę z belkami; nie uwzględnia się współpracy z wyższymi i niższymi kondygnacjami słupa;

58 Rys: Autor Wpływ belek (rozpatrywany słup, podparcie belki na drugim końcu): h Rama nieprzesuwna Rama przesuwna 1,5 0,5 2,0 1,0 0 K 0 = 0,1 K C K 0 = K C

59 Rys: PN-B 3200 fig. Z1-3

60 Rama nieprzesuwna Metoda amerykańska, rama wielopiętrowa Rys: M. Łubiński, W. Żółtowski "Konstrukcje metalowe", Arkady, Warszawa 2000 Siffeness of the node G = [S (J C / h)] / [S (h J B / L)] Rys: Autor Rama przesuwna uwzględnia się współpracę z belkami; uwzględnia się współpracę z wyższymi i niższymi kondygnacjami słupa;

61 Rys: Autor Wpływ belek (rozpatrywany słup, podparcie belki na drugim końcu): h Rama nieprzesuwna Rama przesuwna 1,500 0,500 2,000 0,667 0 G = 10,000 G = 1,000

62 Obliczenia komputerowe Różne programy komputerowe podają różne wyniki analizy. Zazwyczaj jest to jedna z czterech mozliwości: N cr ; m; L cr ; a cr Zgodnie z algorytmem, przedstawionym # 5 / 38, smukłość słupa jest przedstawiona jako l k = (L cr, k / i k ) (1 / l 1 ) ; l 1 = 93,9 e ; k = y, z i / lub l k = (A (eff) f y / N cr, k ) gdzie N cr oznacza N cr, k = p 2 E J k / L 2 cr, k

63 W najczęstszym przypadku, gdy A eff = A: l = (A f y / N cr ) = [A f y / (p 2 E J k / L cr, k2 )] = [A f y L 2 cr, k / (p 2 E J k )] = = (L cr, k / p) [(A / J k ) (f y / E)] = (L cr, k / p) [(1 / i k2 ) (f y / E)] = = (L cr, k / i k ) [(1/ p) (f y / E)] = (L cr, k / i k ) (1 / l 1 ) Oba wzory są identyczne. Wniosek: dla procedury przedstawionej w Eurokodzie, potrzebne jest L cr lub N cr. Wartości te mogą być policzone na podstawie m lub a cr : L cr = H column m N cr = N Ed a cr gdzie N Ed jest siłą przekrojową w słupie. Oczywiście: N cr = p 2 E J / L cr 2

64 Interakcja różnych form niestateczności Opierając się na współczynniku długości wyboczeniowej (krytycznej)m y, wyliczamy współczynnik wyboczeniowy c y ( Lec #5). Po wyliczeniu wartości c y, interakcja wyboczenia i zwichrzenia jest analizowana w metodzie B i C przez: Metodę niemiecką (zalecana) #t / 65 lub Metodę francuską #t / 65 lub Metodę polską (szybka, mało dokładna) #t / 66-67

65 Metody niemiecka i francuska: N Ed / ( c y N Rk / g M1 ) + k yy (M y, Ed + DM y, Ed ) / ( c LT M y, Rk / g M1 ) + + k yz ( M z, Ed + DM z, Ed ) / (M z, Rk / g M1 ) 1,0 N Ed / ( c z N Rk / g M1 ) + k zy (M y, Ed + DM y, Ed ) / ( c LT M y, Rk / g M1 ) + + k zz ( M z, Ed + DM z, Ed ) / (M z, Rk / g M1 ) 1,0 EN (6.61), (6.62) Metoda francuska Metoda niemiecka k yy, k yz, k zy, k zz EN App. A, table A1, A2 EN App. B, table B1, B2, B3

66 Metoda polska Dwuteowniki, rury prostokątne: EN NA.20 N Ed / ( c y N Rk ) + C my (M y, Ed + DM y, Ed ) / ( c LT M y, Rk ) + + ( M z, Ed + DM z, Ed ) / (M z, Rk ) 1,0 - D 0, y N Ed / ( c z N Rk / g M1 ) + C mz (M y, Ed + DM y, Ed ) / ( c LT M y, Rk ) + + ( M z, Ed + DM z, Ed ) / (M z, Rk ) 1,0 - D 0, z D 0, y D 0, z I i II klasa przekroju III i IV klasa przekroju 0,1 + 0,2 [ (W pl, y / W el, y ) - 1) ] 0,1 + 0,2 [ (W pl, z / W el, z ) - 1) ] 0,1 C my, C mz - EN App. B, tab. B3

67 Metoda polska Rury okrągłe N Ed / ( c y N Rk ) + { k yy [(M y, Ed + DM y, Ed ) / (M y, Rk )] C mz [( M z, Ed + DM z, Ed ) / (M z, Rk )] 2 } 1,0 N Ed / ( c z N Rk ) + { k zz [(M z, Ed + DM z, Ed ) / (M z, Rk )] C my [( M y, Ed + DM y, Ed ) / (M y, Rk )] 2 } 1,0 EN NA.20

68 Przechyły EN NA.23

69 Podsumowanie Kilka głównych części algorytmu: Decyzja o metodzie obliczeń: A, B, C, C 1 (C 1 oznacza C dla ram parterowych traktowanych jako nieprzesuwne bez przechyłu i bez efektów II rzędu); Decyzja o sposobie policzenia m y : T (tablice), EU (europejcka), Am (amerykańska), Ko (komputer); Obliczenie af (efekty II rzędu + imperfekcje) dla metody A lub B; Sprawdzenie R (resistance = nośność); Sprawdzenie interakcji niestateczności metodą N (niemiecką), F (francuską) lub P (polską); Sprawdzenie P (przechyły). Istnieją dwa odrębne algorytmy: dla ram parterowych i wielopiętrowych.

70 Ramy parterowe A af A R Doświadczenie B m =1 af B n = 1 C T: m =? N P Ko: m =? R F m 1 Eurokod C 1 T: m 1,0 P Rys: Autor

71 Ramy wielokondygnacyjne Rys: Autor n > 1 A af A R B m =1 af B N P C Eu m =? R F m 1 Am P Ko

72 Przykład 6,0 2,0 2,0 8,0 Długa hala; pokazane słupy w części środkowej, ze stężeniami pionowymi. X Z 9,0 30,0 f 159 / 10 f 101 / 8 2,0 Y x z y f 159 / 10 HEB 600 Rys: Autor X, Y, Z osie globalne, x, y, z osie słupa; w tym przypadku X = x, Y = y, X = z

73 Rys: Autor X Z m y =? h = 8,0 + 2,0 = 10,0 h = 8,0 + 2,0 / 2 = 9,0 Obliczenia: Płaszczyzna X-Z: rama niestężona; przedstawiono metodę C; Płaszczyzna X-Y: rama stężona (stężenia pionowe w ścianach bocznych); nie ma potrzeby obliczania m; m z = m LT = 1,00 X Y Rys: Autor

74 Metoda tablicowa Płaszczyzna X-Z, m y =? Rys: Autor P = 1,4 P 1 n = 1,4 (Przybliżona proporcja sił osiowych w słupach z uwagi na okap z lewej strony, P > P 1 ) J y (HEB 600) = cm 4 h = 900 cm b = cm F = A (HEB 600) = 270 cm 2 Rys: "Tablice do projektowania konstrukcji metalowych", W. Bogucki, M. Żyburtowicz, Arkady, Warszawa 1984 A chord (f159 / 10) = 46,8 cm 2 h 1, truss = 200 cm Kratownica ( #12 / 88): J 0 = 0,7 (h 1, truss2 / 2) A chord = cm 4

75 Metoda tablicowa Płaszczyzna X-Z, m y =? Rys: Autor n = 1, c = 0, s = 0, m y = { [0,5 (1 + 1,4)]} { [4 + 1,4 (0, , ) + 0,02 (0, , ) 2 ]} = = 1,10 2,29 = 2,51

76 Dla porównania pokazana metoda europejska Płaszczyzna X-Z rama niestężona: Rys: Autor J C = J y (HEB 600) = cm 4 J 0 = 0,7 (h 1, truss2 / 2) A chord = cm 4 K C = J C / h = 190,0 cm 3 h = 1,0 K 0, top = J B / b = J 0 / b = 218,4 cm 3 K C / (K C + K 0 ) = 0,465 k top = max(0,3 ; 0,465) = 0,465 K 0, bottom = 0,1 K C = 19,0 cm 3 K C / (K C + K 0 ) = 0,909 k bottom = max(0,3 ; 0,909) = 0,909 m y (k top, k bottom, non-braced) 2,08 Rys: PN-B 3200 fig. Z1-3

77 Rys: Autor Płaszczyzna X-Y - rama stężona (powinno wyjść 1,0): J C = J z (HEB 600) = cm 4 K C = J C / h = 15,03 cm 3 h = 1,0 Non-sway frame K 0, top = 0 cm 3 K C / (K C + K 0 ) = 1,0 k top = max(0,3 ; 1,0) = 1,000 K 0, bottom = 0,1 K C = 1,503 cm 3 K C / (K C + K 0 ) = 0,909 k bottom = max(0,3 ; 0,909) = 0,909 m z (k top, k bottom, braced) 0,96 Rys: PN-B 3200 fig. Z1-3

78 Dla porównania metoda amerykańska Płaszczyzna X-Z rama niestężona Górny koniec: rygiel dachowy tylko z jednej strony słupa; brak wyższej kondygnacji słupa; h = 0,667 Rys: Autor G top = [S (J C / h)] / [S (h J B / b)] = [ ] / [0, ,4 + 0,667 0] = 1,304 Dolny koniec: brak rygli; brak niższej kondygnacji słupa; podparcie przegubowe; G bottom = 10,000

79 Dla porównania metoda amerykańska Płaszczyzna X-Y rama stężona (powinno wyjść 1,0): Rys: Autor Górny koniec: brak dźwigarów; brak wyższej kondygnacji słupa; stężenie można potraktować koniec jako przegubowo podparty G top = 10,000 dolny koniec: brak dźwigarów; brak niższej kondygnacji słupa; stężenie można potraktować koniec jako przegubowo podparty G bottom = 10,000

80 Rama stęzona Dla porównania metoda amerykańska Rys: Autor Rys: M. Łubiński, W. Żółtowski "Konstrukje metalowe", Arkady, Warszawa 2000 m z 0,96 m y 1,97 Rama niestęzona

81 m y = 3,342 L cr = 6,684 m Obliczenia komputerowe I możliwość Rys: Autor Połączenie słup - dolny pas kratownicy (punkt 6); słup powinien być analizowany jako dwa osobne pręty. Będą dwie osobne wartości dla N Ed, m y, i L cr. Obie części słupa powinny być policzone oddzielnie. W przykładzie obliczeniowym zajęto się tylko dolną częścią słupa: h = 8,0 m, m y = 2,533, L cr = 20,264 m. Jest to drobna niekonsekwencja: w poprzednich metodach (tablicowa, europejska, amerykańska) do obliczenia m y przyjęto średnią długość 9,0 m. Ostatecznie jednak długość wyboczeniową przyjęto dla dolnej części słupa, bazując na 8,0 m. m y = 2,533 L cr = 20,264 m Rys: Autor

82 Obliczenia komputerowe II możliwość Rys: Autor Policzenie parametru a cr przez program komputerowy. Na jego podstawie policzono siłę krytyczną: N cr = N Ed a cr Co oznacza: N cr = 343,95 a cr kn Jeśli a cr nie jest policzone przez program komputerowy, można go oszacować wzorem przybliżonym ( #t / 38): a cr (H Ed h) / (V Ed d H,Ed ) Rys: Autor

83 Obliczenia komputerowe II możliwość Wyniki obliczeń statycznych H Ed całkowita siła pozioma = 99,00 kn V Ed całkowita siła pionowa = 502,51 kn h wysokość kondygnacji = 8,0 m d H,Ed przechył poziomy słupa = 0,046 m Rys: Autor a cr (H Ed h) / (V Ed d H,Ed ) = 34,26 (a cr > 10,0 konstrukcja wrazliwa na efekty II rzędu) N cr = 343,95 a cr = ,68 kn N cr = p 2 E J y / L cr2 = p 2 E J y / (h m y ) 2 m y = (p / h) [E J y / (N cr )] = 2,17

84 Rys: Autor Przypuszczania Metoda tablicowa Metoda europejska (niezalecana) Metoda amerykańska (niezalecana) Obliczenia komputerowe m y Oszacowanie a cr w programie komputerowym m y 2,51 2,08 1,96 2,53 2,17 m z 1,00 0,96 0,96 Pod uwagę wzięto maksymalne wartości współczynników

85 Rys: Autor x z Punkt N Ed [kn] M y, Ed [knm] V z, Ed [kn] M z, Ed [knm] V y, Ed [kn] 3 327,31 662,28 68,38 0,00 5,00 M y, Ed 3 y 2 335,63 359,92 82,78 20,00 5, ,95 0,00 97,18 0,00 5,00 2 N Ed M z, Ed, V y, Ed od obciążenia technologicznego. M z, Ed V z, Ed V y, Ed 1 f y = 235 MPa h = 8,0 m m y = 2,53 ; m z = 1,00 HEB 600: A = 270 cm 2 A v, y = A f = 180,0 cm 2 A v, z = 110,8 cm 2 W pl, y = cm 4 W pl, z = cm 4 i y = 25,17 cm ; i z = 7,08 cm Rys: Autor

86 Nośności, I klasa przekroju: Rys: Autor N Rd = 6 345,000 kn M Rd, y = 1 509,875 knm M Rd, z = 326,885 kn V Rd, z = 1 503,305 kn V Rd, y = 2 442,192 kn Dwuteownik bisymetryczny( #t / 19) n = N Ed / N pl, Rd = 0,052 0,054 0,053 a = 2 b = max (5n ; 1,0) = 1,0 a = min [ 0,5 ; (A - 2 b t f ) / A] = 0,333 min (0,25 N pl, Rd ; 0,5 h w t w f y / g M0 ) = = min (1 586,25 kn ; 1 092,75 kn) = 1 092,75 kn = N min > N Ed bez interakcji N Ed M Ed, y h w t w f y / g M0 = 2 185, 51 kn > N Ed bez interakcji N Ed M Ed, z

87 Nośności przekroju Rys: Autor Punkt N Ed /N Rd V Ed, y /V Rd, y (czy jest interakcja V Ed, y M Ed., z?) 2 0,052 < 1,0 0,002 (<0,5 brak) 6 0,053 < 1,0 0,002 (<0,5 brak) 1 0,054 < 1,0 0,002 (<0,5 brak) V Ed, z /V Rd, z (czy jest interakcja V Ed, z M Ed., y?) 0,045 (<0,5 brak) 0,055 (<0,5 brak) 0,065 (<0,5 brak)

88 Nośności przekroju Rys: Autor Punkt M y, Ed / M y, Rd M z, Ed / M z, Rd ( M y, Ed / M y, Rd ) a + ( M z, Ed / M z, Rd ) b 2 0,439 0,000 0,193 <1,0 6 0,238 0,061 0,118 <1,0 1 0,000 0,000 0,000 <1,0

89 Wyboczenie ( #5) Rys: Autor y-y: L cr, y = h m y = 20,264 m, i y = 25,17 cm, HEB 600 c y = 0,761 z-z: L cr, z = h m z = 8,000 m, i z = 7,08 cm, HEB 600 c z = 0,476 L cr, LT = h m T = 8,000 m, HEB 600 c LT = 0,813 Nieliniowy wykres momentów zginających: c LT, mod = c LT / f k c = 0,91 f = min { 1-0,5(1-k c )[1-2(l LT - 0,8) 2 ]; 1,0} = 0,944 c LT, mod = 0,861

90 EN tab. B.3 Rys: Autor Wykres momentów Zakres C my and C mz and C mlt Obciążenie równomierne Obciążenie skupione -1 Y 1 max (0,6 + 0,4 Y ; 0,4) 0 a s 1-1 Y 1-1 a s < 0 0 Y 1-1 Y < 0 0 a s 1-1 Y 1-1 a s < 0 0 Y 1-1 Y < 0 W przypadku przechyłowej postaci wyboczenia można przyjmować odpowiednio C my = 0,9 lub C my = 0,9. C my, C mz and C mlt ustala się odpowiednio do rozkładu momentów między punktami podparcia (stężeniami) jak nastepuje: Współczynnik momentu: oś zginania: kierunek podparcia: C my y-y z-z C mz z-z y-y C mlt y-y y-y

91 M y, Ed Rys: Autor M z, Ed M y, Ed : Obciążenie ciągłe M h = 662,2 knm M s = 359,92 knm Y M h = 0,000 knm Y = 0 a s = M s / M h = 0,543 C my = C mlt = 0,95 + 0,05 a s = 0,977 Ale przechyłowa postać wyboczenia: C my = 0,9 Rys: Autor M z, Ed : Obciążenie skupione M h = 0,000 knm M s = 20,000 knm Y M h = 0,000 knm Y = 0 a h = M h / M s = 0,000 C mz = 0,9

92 EN tab. B.1 Współczynniki interakcji Rys: Autor n y = N Ed g M1 / (c y N Rd ) n z = N Ed g M1 / (c z N Rd ) Wsp. Przekrój I i II klasa przekroju III i IV klasa przekroju interak. k yy I, H, RHS C my min {1 + 0,6 l y n y ; C my min {1 + (l y 0,2) n y ; 1 + 0,6 n y } 1 + 0,8 n y } k yz I, H, RHS 0,6 k zz k zz k zy I, H, RHS 0,6 k yy 0,8 k yy k zz I, H C mz min {1 + (2 l z - 0,6) n z ; 1 + 1,4 n z } C mz min {1 + 0,6 l z n z ; RHS C mz min {1 + (l z - 0,2) n z ; 1 + 0,8 n z } 1 + 0,6 n z } W przypadku jednokierunkowego zginania i ściskania tych przekrojów można przyjać k zy = 0

93 EN tab. B.1 Współczynniki interakcji Rys: Autor n y = N Ed g M1 / (c y N Rd ) n z = N Ed g M1 / (c z N Rd ) C = 0,05 / (C mlt - 0,25) Wsp. interak. k yy I i II klasa przekroju Tak samo jak w Tab. B1 III i IV klasa przekroju k yz k zy l z 0,4: min {1-2 C l z n z ; 1-2 C n z } min {1 - C l z n z ; l z < 0,4: 1 - C n z } min {0,6 - l z ; 1-2 l z C n z } k zz Tak samo jak w Tab. B1

94 k ij = k ij (C my, C mz, C mlt ) Rys: Autor Tablica B.1: Współczynniki interakcji k ij dla elementów niewrażliwych na deformacje skrętne (c LT 1,0 lub przekroje rurowe) Tablica B.2: Współczynniki interakcji k ij dla elementów wrażliwych na deformacje skrętne (c LT < 1,0) W rozważanym przypadku, c LT < 1,0, co oznacza wzięcie pod uwagę tablicy B.2. k yy = 0,933 k yz = 0,626 k zy = 0,984 k zz = 1,044

95 Metoda polska: 0, , , ,125 0,591 0,875 (0,675 < 1,000) Rys: Autor 0, , , ,208 0,633 0,792 (0,799 < 1,000) Metoda niemiecka: 0, , ,038 = 0,584 1,0 0, , ,064 = 0,678 1,0

96 Rys: Autor Przechył: Dopuszczalny: h / 150 = 0,067 m Obliczony: 0,046 m d max / d acc = 0,687 < 1,000

97 Zagadnienia egzaminacyjne Różnica między imperfekcjami a efektami II rzędu Znaczenie efektów II rzędu dla wyznaczenia stateczności słupów w ramach Dwuteownik bisymetryczny dwukierunkowo zginany i ściskany algorytm obliczeń Metody analizy niestateczności słupa

98 Dziękuję za uwagę Tomasz Michałowski, PhD