Konstrukcje metalowe Wykład XIII Kratownice

Transkrypt

1 Konstrukcje metalowe Wykład XIII Kratownice

2 Spis treści Definicja #t / 3 Geometria #t / 7 Rodzaje konstrukcji #t / 15 Obliczenia #t / 29 Przykład #t / 57 Weryfikacja wyników #t / 79 Ciężar własny #t / 90 Zagadnienia egzaminacyjne #t / 92

3 Definicja Kratownica (idealna, w teorii): Wszystkie pręty o osiach prostych; Wszystkie połączenia przegubowe; Tylko siły skupione w węzłach; Wzory Schwedlera-Żurawskiego dla pręta prostego: d M(x) / dx = Q(x) d Q(x) / dx = q(x) Rys: Autor Siły tylko w węzłach brak obciążenia typu q(x) (czyli q(x) = 0): Q(x) = const = C M(x) = C x + A Przeguby: Zatem występują tylko siły osiowe M(0) = 0 A = 0 ; M(L) = 0 C = 0 M(x) = 0 ; Q(x) = 0

4 Kratownica realna: Pręty nieproste (imperfekcje); Węzły nieidealne (sztywne? podatne?); Ciężar własny działa po długości prętów; Rys: Autor Jest to raczej zbliżone do ramy

5 Wytężenie (obliczenia jak dla kratownicy) Wytężenie (obliczenia jak dla ramy) Czas obliczeń (obliczenia jak dla kratownicy) << Czas obliczeń (obliczenia jak dla ramy) Z tego powodu nieidealne kratownice liczymy jak idealne.

6 Pas Słupki + krzyżulce = skratowanie Pas Rys: waldenstructures.com Częstym błędem jest projektowanie osobno przekroju słupków i krzyżulców. Gdyby to nazwać pasiasty pies i ultrafioletowy kot, efekt dla obliczeń byłby taki sam, czyli żaden. O przekroju decyduje siła w elemencie i jego długość wyboczeniowa, a nie fantazyjna nazwa.

7 Geometria i przekroje Można zastosować wiele różnych kształtów kratownic. Rys: steelconstruction.info Rys: tridenttruss.com Rys: e-plytawarstwowa.pl

8 Rys: domgaz.com.pl Rys: konar.eu Rys: i435.rysbucket.com Rys: community.fansshare.net

9 Specyficznym rodzajem są kratownice o równoległych pasach. W ich przypadku siły w pasach mają bardzo podobne wartości. N Ed, top / N Ed, bottom 0,90 1,10 Rys: waldenstructures.com Rys: gillmet.com.pl

10 Geometria początkowa pasy skratowanie Rys: Autor h = L (1/10 ~ 1/15) H = L (1/5 ~ 1/10) a 5 o 30 o b 60 o or b 90 o max (h 1 ; h 2 ) 3,40 m max (L 1 ; L 2 ) 18,00 m max (L 3 ; L 4 ) 12,00 m

11 Przekroje pasów i skratowania PN B EN 1993 Elementy Dopuszczalne wszystkie rodzaje przekrojów Węzły Brak dodatkowych wymagań Dodatkowe wymagania tylko niektóre rodzaje przekrojów są dopuszczalne

12 Pasy Współczesne kratownice (EN) Stary typ kratownic (PN-B) Skratowanie Rys: Autor

13 Rys: architectureau.com Zawsze w przypadku zastosowania rur musimy hermetycznie zamknąć ich końce. Zapobiega to powstawaniu korozji wewnątrz rur. Korozja wewnętrzna może niepostrzeżenie doprowadzić do zniszczenia konstrukcji bez widocznych znaków ostrzegawczych. C D D D Rys: Błędy wykonawcze podczas realizacji konstrukcji stalowych, Litwin M, Górecki M, Budownictwo i Architektura 4 (2009) 63-72

14 Zalecana ilość róznych przekrojów w konstrukcjach kratowych 2-5: Pasy Dwuteowniki; takie same dla obu pasów lub różne RHS; takie same dla obu pasów lub różne Skratowanie 1-3 różne RHS 1-3 różne CHS 1-3 różne RHS 1-3 różne CHS CHS; takie same dla obu pasów lub różne 1-3 różne CHS

15 Płatwie kratowe Rodzaje konstrukcji Klasyczne kratownice Kratownice wielopasowe Ruszty kratowe Ramy-kraty Rys: Autor Przekrycia strukturalne Słupy skratowane Płatwie kratowe Klasyczne kratownice Kratownice wielopasowe Ruszty kratowe Ramy-kraty Przekrycia strukturalne Span [m] Rozpiętość [m]

16 Płatwie kratowe Rys: structural-steelbuilding.com Rys: CoBouw Polska Sp. z o. o.

17 Płatwie kratowe #7 / 37 Zwykłe kratownice siły przyłożone są w węzłach. Rys: construdare.com Płatwie kratowe obciążenie ciągłe przyłożone z pokrycia dachowego do pasa górnego. W pasie górnym zginanie z siłą osiową, pas dolny i wykratowanie to klasyczne pręty kratowe (tylko siła osiowa). Rys: Autor

18 Wiatr W Ciężar własny D Śnieg A Użytkowe I (D + S + I) cos a + W (D + S + I) sin a Belka dwuteowe; zginanie dwukierunkowe. a Rys: Autor #7 / 38 Płatew kratowa - siła osiowa W sin a ma bardzo małą wartość i można ją pominąć. Wszystkie obciążenia działają w płaszczyźnie kratownicy. Potrzebne są dodatkowe kliny dla ustawienia płatwi w płaszczyźnie pionowej. Wiatr W a Ciężar własny D Śnieg A Użytkowe I D + S + I + W cos a W sin a Rys: Autor

19 Klasyczne kratownice Rys: steelconstruction.info Rys: domgaz.com.pl Kratownice o dwu pasach (dolny-górny) użyte jako pojedyncze dźwigary. Rys: waldenstructures.com

20 Kratownice wielopasowe Rys: multimetalgb.ca Rys: steelconstruction.info

21 3 lub 4 kratownice połączone se sobą w jednolitą konstrukcję o przekroju trójkątnym lub kwadratowym, Często stosowane jako konstrukcje tymczasowe (zadaszenia estrad) lub maszty. Rys: conference-truss-hire.co.uk Rys: rktruss.com Rys: stretchtents.com.au Rys: eioba.pl

22 Ruszty kratowe Rys: qdjinfei.en.made-in-china.com Rys: cdn8.muratorplus.smcloud.net

23 Konstrukcja złożona z kratownic o identycznej wysokości przekroju, usytuowanych prostopadle do siebie. Rys: Autor

24 Ramy-kraty Klasyczne ramy portalowe (rygiel + 2 słupy), wykonane z kratownic a nie dwuteowników. Rys: bbsc303.arch.school.nz Rys: wikipedia

25 Przekrycia strukturalne Rys: urwishengineers.com Rys: miripiri.co.in

26 2 lub 3 warstwy prętów, połączone skratowaniem Rys: civiltech.ir Rys: shreeengineering.in/

27 Rys: urwishengineers.com Przekrycia mogą mieć kształt płaski, cylindryczny lub sferyczny. Więcej informacji podane będzie na II o studiów. Rys: wikipedia Rys: cnxzlf.com

28 Słupy skratowane Rys: zksgrzelak.eu Konstrukcje bardzo podobne do kratownic, ale ich praca i model obliczeniowy są całkowicie odmienne. Dla słupów skratowanych, słupów z przewiązkami i prętów wielogałęziowych używamy specyficznego algorytmu obliczeniowego #t / 43

29 Obliczenia N Ed / N b,rd 1,0 N b,rd = χ A f y / γ M0 Rys: Autor N Ed / N t,rd 1,0 N t,rd = A f y / γ M1 Rys: Autor χ - wykład #5: Wyboczenie giętne Wyboczenie skrętne Wyboczenie skrętno-giętne

30 Długość wyboczeniowa dla pasów może być różna w płaszczyźnie kratownicy i w płaszczyźnie połaci. W płaszczyźnie kratownicy jest to odległość między węzłami. W płaszczyźnie połaci jest to rozstaw stężeń: Rys: Autor

31 Długość wyboczeniowa pasów kratownicy zależy od kierunku wyboczenia i położenia pasa. Dla skratowania: długość wyboczeniowa = odległość między węzłami. Długość wyboczeniowa dla pasów: Rys: Autor Pas górny ściskany; wyboczenie w płaszczyźnie kratownicy: długość wyboczeniowa = odległość między węzłami.

32 Długość wyboczeniowa dla pasów: Rys: Autor Pas górny ściskany; wyboczenie z płaszczyzny kratownicy: długość wyboczeniowa = rozstaw stężeń połaciowych.

33 Długość wyboczeniowa dla pasów: Rys: Autor Pas dolny ściskany; wyboczenie w płaszczyźnie kratownicy: długość wyboczeniowa = odległość między węzłami.

34 Długość wyboczeniowa dla pasów: Rys: Autor Pas dolny ściskany; wyboczenie z płaszczyzny kratownicy: długość wyboczeniowa = rozstaw stężeń pionowych.

35 Stężenia są bardzo ważnymi elementami konstrukcji; zwłaszcza kratownic. Używamy dla nich specyficznego modelu obliczeniowego. Więcej informacji o stężeniach będzie pokazane na wykładzie #15. Rys: Autor

36 Wynikiem obliczeń jest współczynnik wyboczeniowy c. Liczony jest w różny sposób dla różnych przekrojów. #5 / 37 Giętne Wyboczenie Giętne, skrętne, giętno-skrętne (dwuteowniki gorąco walcowane) (dwuteowniki spawane) c = c y = c z (tylko gdy l cr, y = l cr, z ) c = min( c y ; c z ) c = min( c y ; c z ; c T ; c z, T ) Rys: Autor

37 Rys: Autor Ta sama sztywność w obu kierunkach (J y = J z ): Wyboczenie giętne (y); Wyboczenie giętne (z) jeśli l cr, y l cr, z (naprzykład rozstaw stężeń różny niż odległość między węzłami).

38 Rys: Autor Gorąco walcowane Różna sztywność w obu kierunkach (J y J z ): Wyboczenie giętne (y); Wyboczenie giętne (z); Dodatkowo jest możliwe że l cr, y l cr, z

39 Spawane Rys: Autor Różna sztywność w obu kierunkach (J y J z ): Wyboczenie giętne (y) (oś u dla L ); Wyboczenie giętne (z) (oś v dla L ); Wyboczenie skrętne; Wyboczenie skrętno-giętne; Dodatkowo jest możliwe że l cr, y l cr, z l cr, T

40 Współczynnik długości wyboczeniowej: Element Kierunek Przekrój I H rura wielogałęziowy inny Pas Skratowanie W płaszczyźnie kratownicy 0,9 0,9 1,0 1,0 Prostopadle 1,0 0,9 1,0 1,0 W płaszczyźnie kratownicy 0,9 0,9; 1,0; 0,75 1,0; A 1,0; A Prostopadle 1,0 1,0; 0,75 1,0; A 1,0; A Połączenie na śruby Pasy równoległe oraz d skratowania / d pasa < 0,6 L: _ l eff, i = 0,5 + 0,7 l i _ l eff, n = 0,35 + 0,7 l n i = y, z n = u, v EN BB.1.1 Przekroje niezalecane ze względu na wymogi dotyczące węzłów

41 Rys: EN fig 1.1 Położenie osi głównych różnych przekrojów. Należy pamiętać, że dla kątowników osie główne są obrócone..

42 Specyficznym rodzajem prętów są pręty wielogałęziowe. Rys: Autor Rys: EN fig 6.13 Rys: img.drewno.pl Specjalny algorytm obliczeń; Nośność zależy od odległości między przewiązkami (a) i ilością płaszczyzn (1 lub 2) w których one leżą.

43 Imperfekcjęw formie krzywizny wstępnej należy wprost wziąć pod uwagę w przypadku elementów wielogałęziowych. Elementy takie liczymy zawsze jako zginane, nawet jeśli obciążone są tylko siłą osiową. M Ed II = e imperf N Ed Więcej informacji podane jest na wykładach #13 i #19 #6 / 76 Słupy skratowane, Słupy z przewiązkami, Pręty wielogałęziowe.

44 Słupy skratowane, z przewiązkami i pręty wielogałęziowe specyfika obliczeń Oczywiście, możemy wszystko wprowadzić do komputera, ale należy pamiętać, że każdy pręt wielogałęziowy ma wiele części składowych. Rys: Autor n = 29 n = 41

45 Przy złożonych konstrukcjach ilość tych elementów składowych idzie w setki tysięcy (czas wprowadzania danych, czas obliczeń...). Rys: s9.flog.pl

46 Z tego powodu stosujemy specjalny algorytm obliczeń: element wielogałęziowy traktujemy jak lity pręt, ale musimy policzyć w specjalny sposób efektywną geometrię przekroju. Rys: EN fig 6.7 Rys: EN fig 6.13 Słupy skratowane wykład #19; Słupy z przewiązkami wykład #19; Klasyczne pręty wielogałęziowe wykład #t

47 Cztery możliwości rozmieszczenia przewiązek w prętach wielogałęziowych: Mała odległość a 70 i min a 15 i min Duża odległość a > 70 i min a > 15 i min i min = i v (dla pojedynczego L ) Rys: Autor EN tab. 6.9

48 Mała odległość: obliczenia jak dla pręta litego, tzn.: J u1, J u1, J W, J T jak dla istniejącego przekroju (suma dwu kątowników); Wyboczenie giętne (u1); Wyboczenie giętne (v1); Wyboczenie skrętne; Wyboczenie skrętno-giętne; Dodatkowo jest możliwe że l cr, u1 l cr, v1 l cr, T Rys: Autor

49 Bez przwiązek: obliczenia jak dwa dwu oddzielnych L Rys: Autor Siła osiowa = 0,5 N Ed Wyboczenie giętne (u); Wyboczenie giętne (v); Wyboczenie skrętne; Wyboczenie skrętno-giętne; Dodatkowo jest możliwe że l cr, u l cr, v l cr, T

50 Rys: Autor Przewiązki w dużej odległości:

51 Wyboczenie względem osi y: Bez imperfekcji; Całkowita siła osiowa N Ed ; Długość wyboczeniowa wynika z długości elementu; Moment bezwładności przekroju = 2 moment bezwładności pasa; Rys: Autor

52 Wyboczenie względem osi z: Bez imperfekcji; Całkowita siła osiowa N Ed ; Długość wyboczeniowa wynika z długości elementu; Moment bezwładności przekroju = efektywny moment bezwładności przekroju Rys: Autor

53 Wyboczenie względem osi y 1 : Uwzględniamy imperfekcje wygięciowe; Siła osiowa N ch, Ed w pasie; Moment zginający M ch, Ed w pasie, pochodzący od imperfekcji; Siła ścinająca V ch, Ed w pasie, pochodząca od imperfekcji; Długość wyboczeniowa = odległość między przewiązkami; Moment bezwładności = moment bezwładności jednej gałęzi pasa; Rys: Autor

54 N ch, Ed = N Ed / M II Ed z s A ch / (2 J eff ) M II Ed = N Ed e 0 / [1 - (N Ed / N cr ) - (N Ed / S V )] e 0 = L / 500 N cr = p 2 E J eff, / (m L) 2 Ilość modułów, na które pręt jest dzielony przez przewiązki 3 Równa długość modułów Zalecana nieparzysta liczba modułów EN

55 EN (6.73), (6.74) S V = min { 24 X / [1 + 4 J ch, v z s / (n J b a )] ; 2 p X } J eff = 2 z s2 A ch + 2 m eff J ch n ilość płaszczyzn przewiązek X = E J ch,v / a 2 z s odległość środka ciężkości całego przekroju i środka ciężkości pasa X ch charakterystyka geometryczna jednego pasa J b moment bezwładności przewiązki l ~ l = m L / i 0 i 0 = [J / ( 2 A ch ) ] m eff l / 75 1,0 J = 2 z s2 A ch + 2 J ch EN tab. 6.8

56 V Ed = p M Ed II / (n L) h 0 = 2 z s Dla pasa: V ch, Ed = V Ed / 2 M ch, Ed = a V Ed / 4 Dla przewiązki: V b, Ed = V Ed a / (2 h 0 ) M b, Ed = a V Ed / 2 Rys: EN fig 6.11

57 S 235 Przykład L 60x40x5 A ch = A (L 60x40x5) = 4,79 cm 2 J u1 (L 60x40x5) = 19,75 cm 4 ; i u1 = 2,03 cm J v1 (L 60x40x5) = 3,50 cm 4 ; i v1 = 0,85 cm J y1 (L 60x40x5) = 17,2 cm 4 ; i y = 1,89 cm J z1 (L 60x40x5) = 6,11 cm 4 ; i z = 1,13 cm J u (2L 60x40x5) = 93,29 cm 4 ; i u = 3,14 cm J v (2L 60x40x5) = 24,44 cm 4 ; i v = 1,60 cm Rys: Autor L = 4,000 m d = 8 mm a = 400 mm N Ed = 20,000 kn L 60x40x5 I klasa przekroju

58 Bez przewiązek: pojedynczy L (zgodnie z przykładem w wykładzie #5 / 40): N Ed, 1 = N Ed / 2 = 10,000 kn N Rd = A f y = 112,565 kn m u = m v = m T = 1,00 L 0u = L 0v = L 0T = 4,000 m N cr, u = p 2 EJ u / (m u L 0u ) 2 = 25,584 kn N cr, v = p 2 EJ v / (m v L 0v ) 2 = 4,534 kn J W, J T przybliżenie na podstawie to #5 / 36 J W = 0,727 cm 6 J T = 0,375 cm 4

59 z s = 2,73 cm i 0 = (i u2 + i v2 ) = 2,20 cm i s = (i 02 + z s2 ) = 3,50 cm N cr, T = [p 2 EJ w / (m T l 0T ) 2 + GJ T ] / i s2 = 248,036 kn m = min[ (m v / m T ) ; (m T / m v )] = 1,000 x = 1 - (m z s2 / i s2 ) = 0,392 N cr, zt = {N cr, v + N cr, T - [(N cr, v + N cr, T ) 2-4 N cr, v N cr, T x] } / (2 x) = 4,484 kn

60 A f y = N Rd = 112,565 kn l u = (A f y / N cr, u ) = 2,098 l v = (A f y / N cr, u ) = 4,983 l T = (A f y / N cr, T ) = 0,674 l vt = (A f y / N cr, vt ) = 5,010 L 60x40x5 tab. 6.1, 6.2, a u = a v = a T = a vt = 0,49

61 F u = [1 + a u (l u - 0,2) + l u2 ] / 2 = 3,165 F v = [1 + a v (l v - 0,2) + l v2 ] / 2 = 14,085 F T = [1 + a T (l T - 0,2) + l T2 ] / 2 = 0,843 F vt = [1 + a vt (l vt - 0,2) + l vt2 ] / 2 = 14,229 c u = min{1/[f u + (F u2 - l u2 )] ; 1,0} = 0,181 c v = min{1/[f v + (F v2 - l v2 )] ; 1,0} = 0,037 c T = min{1/[f T + (F T2 - l T2 )] ; 1,0} = 0,741 c vt = min{1/[f vt + (F vt2 - l vt2 )] ; 1,0} = 0,036 c = min(c u ; c z ; c T ; c vt ) = 0,036

62 A f y = 112,565 kn c A f y = 4,052 kn N Ed, 1 / A f y = 0,089 OK. N Ed, 1 / c A f y = 2,212 > 1,000 Źle, wyboczenie, zniszczenie!

63 Przewiązki w jednej płaszczyźnie; Zgodnie z #t / 47, granica między małą a dużą odległością wynosi 15 i min = 15 i v = 128 mm; Przyjęta odległość między przewiązkami a = 400 mm a > 15 i min duża odległość Mamy parzystą ilość modułów, ale wymóg nieparzystej ilości nie jest obligatoryjny (EN), a wynika jedynie z doświadczenia inżynierskiego. A ch = (L 60x40x5) = 4,79 cm 2 J ch, u = J u1 (L 60x40x5) = 19,75 cm 4 J ch, v = J v1 (L 60x40x5) = 3,50 cm 4 J u = J u (2L 60x40x5) = 93,29 cm 4 J v = J v (2L 60x40x5) = 24,44 cm 4

64 e 0 = L / 500 = 8 mm z s = 2,73 cm m = 1 i 0 = [J v / ( 2 A ch ) ] = 1,60 cm l = m L / i 0 = 250 #t / 55 m eff = 0 J eff = 2 z s2 A ch + 2 m eff J ch, v = 71,40 cm 4 X = E J ch,v / a 2 = 45,938 kn J batten = / 12 = 83,33 cm 4

65 S V = min {24 X / [1 + 4 J ch, v z s / (n J b a )] ; 2 p X } = 288,637 kn N cr = p 2 E J eff / (m L) 2 = 92,491 kn M II Ed = N Ed e 0 / [1 - (N Ed / N cr ) - (N Ed / S V )] = 0,224 knm N ch, Ed = N Ed / M II Ed z s A ch / J eff = 18,203 kn V ch, Ed = p M II Ed / n L = 0,088 kn M ch, v, Ed = V ch, Ed a / 4 = 0,022 knm

66 Rys: Autor Oś v przechodzi przez pręt oś materialna, obliczamy analogicznie do y Oś u nie przechodzi przez pręt oś niematerialna, obliczamy analogicznie do z v - v wyboczenie giętne jak wyboczenie giętne y - y #t / 51 u - u wyboczenie giętne jak wyboczenie giętne z - z #t / 52

67 Wyboczenie giętne v v tylko siła osiowa; moment bezwładności J v N Ed = 20 kn N Rd = A f y = 2 A ch f y = 225,130 kn L cr,u = L = 4,000 m i v = (J v / A) = 1,60 cm l u1 = (L cr,v / i v ) (1 / l 1 ) = 2,662 Buckling curve c a = 0,49 F v = 4,646 c v = 0,118 N Ed / (c v N Rd ) = 0,753 < 1,000 OK

68 Wyboczenie giętne u u tylko siła osiowa; moment bezwładności = J eff N Ed = 20 kn N Rd = A f y = 2 A ch f y = 225,130 kn L cr,u = L = 4,000 m i u = (J eff / A) = 2,73 cm l = 1,560 Buckling curve c a = 0,49 F = 2,050 c = 0,296 N Ed / (c N Rd ) = 0,431 < 1,000 OK

69 Wyboczenie giętne v 1 - v 1 interakcja siły osiowej i momentu zginającego interakcja wyboczenia i zwichrzenia N ch, Ed = 18,203 kn M ch, v, Ed = 0,022 knm V ch, Ed = 0,088 kn L cr, v1 = a = 0,800 m L cr, LT = a = 0,800 m m z1 = m LT = 1,0 i v1 = (J v1 / A ch ) = 0,85 cm N ch, Rd = A ch f y = 112,565 kn M ch, Rd, v1 = 0,415 kn V ch, Rd A ch f y / 3 = 64,989 kn

70 N cr, v = p 2 EJ v / (m v a) 2 = 36,079 kn N cr, T = [p 2 EJ w / (m T a) 2 + GJ T ] / i s2 = 249,881 kn m = min[ (m v / m T ) ; (m T / m v )] = 1,000 x = 1 - (m z s2 / i s2 ) = 0,392 N cr, vt = {N cr, v + N cr, T - [(N cr, v + N cr, T ) 2-4 N cr, v N cr, T x] } / (2 x) = 25,889 kn l vt = (A f y / N cr, vt ) = 2,085 a vt = 0,49 F vt = 3,135 c vt = 0,183 M cr = i s (N cr, z N cr, T ) = 2,815 knm l LT = (W y f y / M cr ) = 0,384 F LT = [1 + a LT (l LT -0,2) + l LT2 ] / 2 = 0,605 c LT = 0,932

71 Interakcja wyboczenia i zwichrzenia wykład #18 Zgrubne przybliżenie: N Ed / (c N Rd ) + M Ed / (c LT M Rd ) 0,8 N ch, Ed / (c N Rd ) + M ch, Ed / (c LT M Rd ) = 0, ,057 = 0,941 > 0,800 Źle, wyboczenie, zniszczenie!

72 Interakcja V i M wykład #16 Słupy skratowane i słupy z przewiązkami wykład #19

73 Przewiązki w dwu płaszczyznach Zgodnie z #t / 47, granica między małą a dużą odległością wynosi 70 i min = 70 i v = 597 mm; Przyjęta odległość między przewiązkami a = 400 mm a < 70 i min mała odległość J b, u = J u1 (2L 60x40x5) = 93,29 cm 4 J b, v = J v1 (2L 60x40x5) = 24,44 cm 4 J w = 12,44 cm 6 (obliczone zgodnie z zaleceniami wytrzymałości materiałów, teoria pręta cienkościennego) J T 2 J T (L 60x40x5) = 0,750 cm 4

74 N Rd = 2 A f y = 225,130 kn m u = m v = m T = 1,00 L 0u = L 0v = L 0T = 4,000 m N cr, u = p 2 EJ u1 / (m u L 0u ) 2 = 120,847 kn N cr, v = p 2 EJ v1 / (m v L 0v ) 2 = 31,659 kn z s = 2,73 cm i 0 = (i u2 + i v2 ) = 2,20 cm i s = (i 02 + z s2 ) = 3,50 cm N cr, T = [p 2 EJ w / (m T l 0T ) 2 + GJ T ] / i s2 = 495,740 kn m = min[ (m v / m T ) ; (m T / m v )] = 1,000 x = 1 - (m z s2 / i s2 ) = 0,392 N cr, zt = {N cr, v + N cr, T - [(N cr, v + N cr, T ) 2-4 N cr, v N cr, T x] } / (2 x) = 30,448 kn

75 l u = (A f y / N cr, u ) = 1,365 l v = (A f y / N cr, u ) = 2,667 l T = (A f y / N cr, T ) = 0,673 l vt = (A f y / N cr, vt ) = 3,071 L 60x40x5 tab. 6.1, 6.2, a u = a v = a T = a vt = 0,49

76 F u = [1 + a u (l u - 0,2) + l u2 ] / 2 = 1,717 F v = [1 + a v (l v - 0,2) + l v2 ] / 2 = 4,661 F T = [1 + a T (l T - 0,2) + l T2 ] / 2 = 0,843 F vt = [1 + a vt (l vt - 0,2) + l vt2 ] / 2 = 4,776 c u = min{1/[f u + (F u2 - l u2 )] ; 1,0} = 0,362 c v = min{1/[f v + (F v2 - l v2 )] ; 1,0} = 0,118 c T = min{1/[f T + (F T2 - l T2 )] ; 1,0} = 0,741 c vt = min{1/[f vt + (F vt2 - l vt2 )] ; 1,0} = 0,114 c = min(c u ; c z ; c T ; c vt ) = 0,114

77 A f y = 225,130 kn c A f y = 25,844 kn N Ed / A f y = 0,089 OK. N Ed / c A f y = 0,774 < 1,000 OK.

78 Podsumowanie: Bez przewiązek: wytężenie 2,212 > 1,000 Duża odległość przewiązek (przewiązki w jednej płaszczyźnie): wytężenie 0,941 > 0,800 1,176 > 1,000 Mała odległość przewiązek (przewiązki w dwu płaszczyznach): wytężenie 0,774 < 1,000 Wniosek: Przewiązki w jednej płaszczyźnie są oczywiście lepsza niż ich brak, ale najlepiej dać przewiązki w dwu płaszczyznach.

79 Weryfikacja wyników F ch-up F i Rys: Autor F pas górny F skratowanie F wm FF ch-down pas dolny Sx = 0 ; F skratowanie / F pas dolny 0 F pas dolny F pas górny

80 q Rys: Autor Można oszacować wartości sił w pasach, używając analogii belkowej q = S F i / L M max = q L 2 / 8 or q L 2 / (8 cos 2 a) F pas dolny F pas górny M max / H

81 Rys: Autor Rys: Autor Rozkład sił osiowych w pasach przypomina kształt wykresu momentów zginających w belce; Analogicznie rozkład sił osiowych w skratowaniu przypomina kształt wykresu sił ścinających w belce. Rys: Autor

82 Oszacowanie jest nieprawdziwe dla sytuacji, w której mamy symetryczne podpory (obie nieprzesuwne), bo wtedy pojawia się dodatkowa reakcja, burząca analogię. Rys: Autor

83 Pojawiają się ogromne rozbieżności między konstrukcją o podporach symetrycznych i niesymetrycznych Pas górny niesymetryczne Pas dolny niesymetryczne Pas górny symetryczne Pas dolny symetryczne Rys: Autor

84 N górny : N c, Ed, sym 1,5 N c, Ed, niesym Rys: Autor N dolny : N t, Ed, sym 0,5 N t, Ed, niesym

85 Rys: Autor Dla podpór symetrycznych generują się duże reakcje poziome na podporach. Sprawiają one, że konstrukcja i tak pracuje jak konstrukcja o jednym z węzłów przegubowo przesuwnym (duże deformacje słupów podpierających, lokalne zniszczenie muru lub betonu wokół kotwi). Lepiej zatem do obliczeń przyjąć schemat podpór przegubowej i przegubowo-przesuwnej. W przeciwnym wypadku ryzykujemy zniszczeniem konstrukcji, bo wyliczone przez nas siły w pasach będą miały niewiele wspólnego z realnymi siłami w pasach.

86 Różnice w sposobie skratowania kratownicy Rys: Autor

87 Deformacje: wydłużenie (rozciąganie) i skrócenie (ściskanie): Rys: Autor Przekazanie sił z pasów na podporę i pręty zerowe: Rys: Autor

88 Sztywność dwuteownika: J I = J półka górna + J środnik + J półka dolna Dla przekroju symetrycznego: J półka górna = J półka dolna 2 (h 1, I / 2) 2 A półka Rys: Autor J I (h 1, I2 / 2) A półka + J środnik Sztywność kratownicy (Konstrukcje metalowe, M. Łubiński, A Filipiak, W. Żółtowski, Arkady 2000): J kratownica 0,7 [A pas górny A pas dolny / (A pas górny + A pas dolny )] (h 1, kratownica / 2) 2 Dla przekroju symetrycznego: A pas górny = A pas dolny = A pas J kratownica 0,7 [A pas2 / (2 A pas )] (h 1, kratownica / 2) 2 = 0,7 (h 1, kratownica2 / 2) A pas

89 Sztywność kratownicy: Sztywność dwuteownika: J I 0,7 (h 1, kratownica2 / 2) A pas J I (h 1, I2 / 2) A półka + J środnik W zależności od rodzaju dwuteownika, J środnik = 7% - 25% of J pas Dla J kratownica = J I, potrzebne jest A pas >> A półka oraz h 1, kratownica >> h 1, I h 1, I = L / 20 - L / 25 ; h 1, kratownica = L / 10 - L / 15 h 1, kratownica > h 1, I A pas - CHS, RHS, dwuteownik ; A półka - blacha A pas >> A półka

90 Ciężar własny kratownicy I propozycja (PN B 02001): g T = [ 2 / a + 0,12 (g + q)] L / 100 g T, g (pokrycie dachu + płatwie), q (śnieg + wiatr) [kn/m 2 ], wartości charakterystyczne a (rozstaw kratownic), L [m]

91 II propozycja: F ch-down F ch-up M max / H A ch-down A ch-up = A = M max / (H f y ) g ch-down g ch-up g web members = A d steel L g T = 3 d steel L M max / (H f y )

92 Zagadnienia egzaminacyjne Rodzaje konstrukcji kratowych Algorytm obliczeń prętów wielogałęziowych

93 Dziękuję za uwagę Tomasz Michałowski, PhD