MOELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 45,. 4, rok 0 ISSN 896-77X MOELOWANIE WYBOCZENIA LOKALNEGO OKŁAZINY KOŁOWE PŁYTY SANWICZOWE Paweł asion a, Kryso Magnuki b Insyu Mehaniki Sosowanej, Poliehnika Ponańska e-mail: a pawel.jasion@pu.ponan.pl, b kryso.magnuki@ pu.ponan.pl Sresenie Predmioem badań jes kołowa płya sandwiowa poddana diałaniu obiążenia poprenego rołożonego równomiernie na okręgu. W pray apreenowano model maemayny wyboenia lokalnego okładiny. Sormułowano energię odksałenia sprężysego płyy uwględnieniem lokalnego wyboenia okładiny. Z asady sajonarnośi ałkowiej energii poenjalnej wynaono unkję premiereń ora obiążenie kryyne. Opraowano model numeryny MES płyy i wynaono obiążenie kryyne ora posać wyboenia-marsenia okładiny. Wyniki rowiąań analiynego i MES porównano. MOELING OF LOCAL BUCKLING OF THE FACE OF THE CIRCULAR SANWICH PLATE Summary The subje o he invesigaion is a irular sandwih plae under ransverse load disribued equally on he irle. The mahemaial model o he loal bukling o he ae has been developed. The energy o elasi deormaion has been ormulaed wih loal bukling o he ae aken ino aoun. On he basis o he heorem o saionary oal poenial energy he displaemens union and he riial load have been deermined. Addiionally he FE model o he plae has been elaboraed or whih he riial load and bukling shape has been obained. The resuls o he analyial and numerial analyses have been ompared.. WSTĘP Ogólne i lokalne wyboenie konsrukji rójwarswowyh jes predmioem badań od 60.la XX wieku. Zjawisko lokalnego wyboenia w posai marsenia okładin na podłożu sprężysym, kórym jes rdeń, opisał Allen []. Teorię doyąą belek, pły i powłok na podłożu sprężysym predsawili w monograii Vlasov i Leon ev [9]. Wyrymałość i saeność pły i powłok osała opisana w pray biorowej pod redakją Woźniaka [] ora pre Vensela i Krauhammera [0]. Ogólne wyboenie pregubowo podparej płyy kołowej lub uwierdonej na bregu ora na podłożu sprężysym było predmioem badań Klina i Hanoka [4], kóry wynayli obiążenie kryyne używają unkji Bessela. Kühhorn i Shoop [6] opisali lokalne ora ogólne wyboenie powłok rójwarswowyh sosują nieliniową hipoeę premieseń. Naomias opis analiyny i wyniki badań numerynyh ora doświadalnyh marsenia okładin konsrukji rójwarswowyh predsawili Siinger i Rammersorer [8]. Rdeń konsrukji rójwarswowyh ęso wykonany jes maeriału ioropowego o małej odpornośi na śiskanie lub śinanie. ednym akih maeriałów jes pianka mealowa, kórej różne właśiwośi ależne od jej gęsośi opisali m. in. Koa i inni [5], Ramamury i Paul [7] ora Rakow i Waas [6]. Obiążenia kryyne kołowyh pły rójwarswowyh ora ahowanie akryyne w akresie sprężyso-plasynym wyna- 7
MOELOWANIE WYBOCZENIA LOKALNEGO OKŁAZINY yli i opisali Radwańska i Wasysyn [5]. Zagadnienie osiowosymerynego wyboenia kołowej płyy rójwarswowej śiskanej promieniowo w płasyźnie środkowej badali Lu-wu i Chang-jun [9]. Ugięia płyy kołowej jako sególny prypadek powłoki na podłożu sprężysym Winklera opisał Luo i Teng [8]. Problem osiowosymeryny saenośi dynaminej kołowej płyy rójwarswowej poddanej promieniowemu obiążeniu pulsayjnemu predsawili Wang i Chen []. Naomias Luo i inni [7] badali analiynie ora numerynie ioropowe, osiowosymeryne, kołowe płyy rójwarswowe. Wyboenie kołowej płyy rójwarswowej uwględnieniem meody kolokaji opisali Chaosheng i inni []. Wyniki badań doświadalnyh i numerynyh MES pły rójwarswowyh rdeniem wykonanym pianki mealowej pod wpływem uderenia predsawili Radord i inni [4]. Saeność kołowyh pły rójwarswowyh miękkim rdeniem badała Pawlus [, ]. Wynayła warośi obiążenia kryynego układu równań różnikowyh i porównała orymanymi meodą elemenów skońonyh. Naomias w pray [] roku predsawiła wyniki badań saenośi dynaminej.. WYBOCZENIE LOKALNE PRZY OBCIĄŻENIU POPRZECZNYM Kołowo-symeryna płya rójwarswowa podpara jes pregubowo na bregu wra okładinami (obwodowa prepona i poddana diałaniu obiążenia poprenego. Obiążenie, o sałej inensywnośi q, rołożone jes równomiernie na okręgu o promieniu R (rys.. Całkowie obiążenie poprene F πqr. Okładina górna jes śiskana, narażona jes wię na wyboenie marsenie... ROZWIĄZANIE ANALITYCZNE Okładina górna płyy jes śiskana w kierunkah promieniowym i obwodowym. Inensywność ego śiskania jes sała w środkowej ęśi płyy (0 r < R, o apisano E C ζ C ν 4 + x ( ( u N r σ r d F πα. ( gdie dζ /, x /. Sełe C, C i α, ależne od wymiarów płyy ora własnośi mehaninyh posególnyh jej warsw, osały predsawione w pray Magnukiego i Sya [0]. Wyboenie okładiny śiskanej jes analogine do wyboenia płyy na podłożu sprężysym, kóre opisali, uwględnieniem klasynego modelu, Vlasov i Leon ev [9] ora Kline i Hanok [4], a współeśnie, na podsawie badań numerynyh MES, predsawili asion i inni []. Premiesenia (rys. dla dowolnego punku leżąego na normalnej do powierhni środkowej płyy rójwarswowej górną okładiną wybooną apisano u ( r, 0, w( r w w( w( r,, ( gdie: u(r, premiesenie promieniowe, w(r, premiesenie poprene ugięie, wa paramersrałka ugięia. Założono, że w sanie kryynym premiesenie promieniowe (u(r, 0 nie wysępuje, naomias ginanie okładiny sprężone jes premieseniem poprenym w(r, w rdeniu. a Rys.. Shema kołowo-symerynej płyy obiążonej poprenie na okręgu Poniżej predsawiono rowiąanie analiyne i numeryne MES agadnienia uray saenośi lokalnej górnej okładiny płyy. la prykładowej płyy porównano warośi naprężeń kryynyh uyskanyh obiema meodami. Rys.. Shema premiesenia w rdeniu i ugięia okładiny (a, wykres unkji w( (b Założono, że marsenie-ugięie okładiny śiskanej ( wysępuje w prediale 0 r R i pryjmuje posać w m i ( ρ + α ρ, ( i i 7
Paweł asion, Kryso Magnuki gdie: R r ρ promień bewymiarowy, α i paramery swobodne. Warość ego ugięia anika dla R r, aem dla ρ ugięie w( 0, sąd m + α i i α. (4 Warunki bregowe dla nienanej unkji w( (rys. b pryjęo nasępująe: w ( ora ( 0 w, (5 o onaa, że deormaja rdenia, wynikająa poałdowania górnej okładiny anika do era w miarę bliżania się do dolnej okładiny. W konsekwenji dolna okładina płyy nie deormuje się. Odksałenia rdenia du u ε r 0, ϕ 0 dr r γ γ 0, rϕ ϕ ε, w r w ε, γ r. (6 Energia odksałenia sprężysego rdenia U ( ( + rdrd d ε π R 0 0 σ ε τ r γ r ϕ. (7 Uwględniają liniowe wiąki iyne prawo Hooke a ora (, po wykonaniu ałkowania, apisano U w ( d d + ν, (8 ( ν dw( ε πg wa R 0 0 d, w gdie ( ρ ρ ρ 0 ( ρ dw 0. Energia odksałenia sprężysego okładiny π d w dw d w dw U R 0 0, (9 ( ε + ( ν dϕ gdie E ( ν Po wykonaniu ałkowania [ ] ( E Uε π ( ν wa, (0 ( ν R gdie d w dw + 0, d w dw. 0 Praa obiążenia W π ( dw ( N w r a dϕ πn r wa. 0 0 Z asady sajonarnośi ałkowiej energii poenjalnej ( ( ( δ ( Uε + Uε W 0 ( orymano równanie różnikowe równowagi d k w d ( k w ν ( 0, gdie, ( R ( ν 0 kórego ałka, po uwględnieniu warunków bregowyh (5, jes posai w ( gdie paramer bewymia- R ( ν 0 rowy. C sinh sinh C ( C ν, (4 Ponado asady sajonarnośi ( wynaono obiążenie kryyne okładiny śiskanej 7
MOELOWANIE WYBOCZENIA LOKALNEGO OKŁAZINY ( N r, CR min αi C G anh ( C + R [ ( ν ], (5 lub naprężenia kryyne [ ] ( G Prykładowe oblienia preprowadono dla kołowosymerynej płyy rójwarswowej o promieniu σ r, CR min + ( ν αi C anh( C R R 4, mm, grubośiah okładin mm i rdenia 8, 8, 8, 48 mm (grubość. (6 ałkowia N R ( r, CR min [ ( ν ] 4, 99 αi. (7 Wyrażenie o jes godne e nanym, klasynym obiążeniem kryynym dla kołowyh pły jednowarswowyh... BAANIA NUMERYCZNE MES Model numeryny MES badanej płyy opraowano w sysemie ABAQUS (rys. a. Okładiny modelowano elemenami powłokowymi S4R5 erema węłami i pięioma sopniami swobody w każdym węźle. Rdeń modelowano ośmiowęłowymi elemenami bryłowymi C8R rema sopniami swobody w każdym węźle. Okładiny płyy amodelowano jako powierhnie środkowe odsunięe od rdenia o połowę grubośi. Pomiędy posególnymi warswami płyy wprowadono warunki wiąania ypu ae o ae łąąe odpowiednie węły okładin i rdenia. Model MES, uwagi na kołową symerię, uwględnia ćwiarkę konsrukji i odpowiednie warunki symerii. R W odróżnieniu od modelu analiynego w modelu MES nie łąono krawędi płyy sywną preponą. ięki emu możliwe jes swobodne śiskanie górnej okładiny. Ze wględu na małą sywność rdenia płyę podparo na dolnej krawędi, a nie jak w prypadku modelu analiynego w płasyźnie symerii płyy. Warość obiążenia kryynego naprężenia wynaa h 0 mm, sałyh maeriałowyh E 65600 MPa, się numerynie w minimaliaji ego wyrażenia po ν 0,, E 5 MPa, ν 0,. W elu uniknięia paramerah αi. W sególnym prypadku, gdy G 0, lokalnego spięrenia naprężeń obiążenie o warośi p wówas okładina jes ienką płyą kołową, aem rołożono na pierśieniu o serokośi a i promieniu wewnęrnym R a/. Warość modułu Younga dla rdenia E pryjęo na akim poiomie, aby uyskane naprężenia kryyne w okładinah mieśiły się w akresie odpowiadająym deormaji sprężysej. Badanie MES powoliło wynayć warośi obiążeń, a w konsekwenji naprężeń kryynyh, ora posaie wyboenia (rys. b. Posać wyboenia w każdym roważanym prypadku miała ksał al promieniowyh pojawiająyh się w środkowej ęśi płyy. Warośi naprężeń kryynyh orymanyh meodą numeryną porównano ymi orymanymi ależnośi (6 (par abela. W rowiąaniu analiynym płya obiążona jes siłą popreną F rołożoną równomiernie na okręgu o promieniu R 08,5 mm (rys.. Tabela. Naprężenia kryyne okładin moduł rdenia E 5 MPa [ mm] ( Anal CR [ MPa] ( MES [ MPa] 8 8 8 48 σ 09,5 95,8 90,0 87,8 σ CR 0,9 90, 9,9 94,9. POSUMOWANIE Rys.. Model MES i posać wyboenia kołowej płyy sandwiowej W pray apreenowano maemayny model wyboenia górnej warswy płyy sandwiowej obiążonej siłą popreną rołożoną równomiernie na okręgu. Obiążenie akie powoduje śiskanie górnej warswy a w reulaie jej marsenie (par: rys. b. Robieżnośi międy rowiąaniem analiynym ora numerynym (MES mogą wynikać ałożonej w modelu analiynym posai wyboenia dolna okładina nie odksał- 74
Paweł asion, Kryso Magnuki a się ora e sposobu podparia modelu numerynego podparie na dolnej okładinie. ako prykład prakynej realiaji roważanego agadnienia predsawiono, na rys. 4, reula badań płyy sandwiowej o paramerah geomerynyh jak w prykładie roważanym w podrodiale.. Rdeń płyy sanowiła pianka aluminiowa o module Younga E 700 MPa. Grania plasynośi okładin. Re ( MPa. Widać, że dla akiej warośi modułu Younga rdenia pojawiają się jedynie rwałe poałdowania górnej okładiny płyy na ewnęrnej jej ęśi. Ponado widone jes lokalne wyboenie na krawędi płyy. Warość naprężenia kryynego (6 ależy prede wsyskim od sywnośi rdenia modułu sprężysośi E. Wyboenie-marsenie okładin badanej płyy w akresie sprężysym może wysąpić jedynie dla małyh warośi: E 5 MPa. la wyżsyh warośi E naprężenia w okładinie prewyżsają granię plasynośi więksośi maeriałów konsrukyjnyh. Rys. 4. Poałdowanie górnej okładiny sandwiowej płyy kołowej Lieraura. Allen H.G.: Analysis and design o sruural sandwih panels. London: Pergamon Press, 969.. Chao-sheng H., Shou-kai Z., Feng L.: Cubi spline soluions o axisymmerial nonlinear bending and bukling o irular sandwih plaes. Applied Mahemais and Mehanis 005, 6(, p. 8.. asion P., Magnuka-Blandi E., Sy W., Magnuki K.: Global and loal bukling o a sandwih irular plae wih meal oam ore. In: The 6 h Inl Conerene on Thin-Walled Sruures, Timisoara, Romania, 006,p. 699 706. 4. Kline L.V., Hanok.O.: Bukling o irular plae on elasi oundaion. ournal o Engineering or Indusry 965, 8, p. 4. 5. Koa E., Leonowi M., Wojiehowski S., Simanik F.: Compressive srengh o aluminium oams. Maerials Leers 00, 58, p. 5. 6. Kühhorn A., Shoop H.: A nonlinear heory or sandwih shells inluding he wrinkling phenomenon. Arhive o Applied Mehanis 99, 6, p. 4 47. 7. Luo.Z., Liu T.G., Zhang T.: Three-dimensional linear analysis or omposie axially symmerial irular plaes. Inernaional ournal o Solids and Sruures 004, 4, p. 689 706. 8. Luo Y.F., Teng.G.: Sabiliy analysis o shells o revoluion on nonlinear elasi oundaions. Compuers and Sruures 998, 69, p. 499 5. 9. Lu-wu H., Chang-jun C.: The bukled saes o annular sandwih plaes. Applied Mahemais and Mehanis 99, (7, p. 6 68. 0. Magnuki K., Sy W. (red.: Wyrymałość i saeność belek i pły rójwarswowyh rdeniem pianki aluminiowej. Ponań: Wyd. Pol. Pon., 0.. Pawlus.: Soluion o he sai sabiliy problem o hree-layered annular plaes wih a so ore. ournal o Theoreial and Applied Mehanis 006, 44(, p. 99-.. Pawlus.: Approah o evaluaion o riial sai loads o annular hree-layered plaes wih various ore hikness. ournal o Theoreial and Applied Mehanis 008, 46(, p. 85 07. 75
MOELOWANIE WYBOCZENIA LOKALNEGO OKŁAZINY. Pawlus.: Soluion o he problem o axisymmeri and asymmeri dynami insabiliy o hree-layered annular plaes. Thin-Walled Sruures 0, 49, p. 660 668. 4. Radord.., MShane G.., eshpande V.S., Flek N.A.: The response o lamed sandwih plaes wih mealli oam ores o simulaed blas loading. Inernaional ournal o Solids and Sruures 006, 4, p. 4 59. 5. Radwańska M., Wasysyn Z.: Bukling and pos-riial deleions o an elasi-plasi sandwih annular plae. Bullein de L Aadémie Polonaise des Sienes 975, XXIII (4, p. 65 7. 6. Rakow.F., Waas A.M.: Sie ees in meal oam ores or sandwih sruures, AIAA ournal 004, 4(7, p. 7. 7. Ramamury U., Paul A.: Variabiliy in mehanial properies o a meal oam. Aa Maerialia 004, 5, p. 869 876. 8. Siinger M.A., Rammersorer F.G.: Fae layer wrinkling in sandwih shells Theoreial and experimenal invesigaions. Thin-Walled Sruures 997, 9(-4, p. 7. 9. Vlasov V.Z., Leon ev N.N.: Beams, plaes and shells on elasi oundaion, Mosow: Gosud. Id. Fi-Ma-Li., 960 (in Russian. 0. Vensel E., Krauhammer T.: Thin plaes and shells : heory, analysis, and appliaions. New York, Basel: Marel ekker, In., 00.. Wang H.., Chen L.W.: Axisymmeri dynami sabiliy o sandwih irular plaes. Composie Sruures 00, 59, p. 99 07.. Woźniak C. (red.: Mehanika sprężysyh pły i powłok - Mehanika Tehnina. T. VIII. Warsawa: Wyd. Nauk. PWN, 00. Praa inansowana pre Miniserswo Nauki i Skolniwa Wyżsego Gran nr 0807/B/T0/00/8 76