MODELOWANIE SPRĘŻYSTYCH PROSTOKĄTNYCH PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH Z RDZENIEM FALISTYM ZGINANIE I WYBOCZENIE

Transkrypt

1 MOELOWAIE IŻYIERSKIE ISS X, s 5-5, Gliwie MOELOWAIE SPRĘŻYSTYCH PROSTOKĄTYCH PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH Z RZEIEM FALISTYM ZGIAIE I WYBOCZEIE KRZYSZTOF MAGUCKI,), MARCI KRUŚ ), PAWEŁ KULIGOWSKI ), LESZEK WITTEBECK ) ) Insttut Mehaniki Stosowanej, Politehnika Poznańska, ) Insttut Pojazdów Sznowh TABOR, Poznań ) krzsztomagnuki@ putpoznanpl, ) oblizenia@taborompl Streszzenie Przedmiotem pra jest prostokątna płta trójwarstwowa z rdzeniem alistm poddana zginaniu i śiskaniu Opisano właśiwośi geometrzne przekrojów płt oraz jej sztwnośi Wznazono analitznie i numerznie - MES ugięia i obiążenia krtzne Wniki oblizeń z dwóh metod porównano WPROWAZEIE Konstrukje trójwarstwowe harakterzuje warstwa środkowa - rdzeń, którego masa jest znaznie mniejsza od mas okładzin Model teoretzn struktur trójwarstwowh został sormułowan w połowie XX wieku Vinson [] omówił elastzne zahowanie struktur trójwarstwowh Hohe i Beker [9] opisali rdzenie o budowie komórkowej, wróżnili klaszn model ulow Szzególną grupę stanowią rdzenie wkonane z blah alistej Carlsson i in [6] wznazli sztwnośi na roziąganie, śinanie, zginanie oraz skręanie konstrukji trójwarstwowh z poałdowanm rdzeniem oraz porównali je z wnikami badań ekspermentalnh Aboura i in [] przedstawili oenę elastznh własnośi tektur alistej na podstawie porównania rezultatów oblizeń analitznh, numerznh MES oraz badań stanowiskowh Briassoulis [] wprowadził zależnośi na sztwność blah alistej Gilhrist i in [8], wkorzstują metodę elementów skońzonh MES, analizowali zginanie i skręanie poałdowanh płt atomiast Cheng i in [7], stosują MES, określili sztwnośi zastępze płt trójwarstwowh o różnej budowie rdzenia Buanni i in [5] omówili metodę homogenizaji płt trójwarstwowh z rdzeniem alistm Abbes i Guo [] opisali analitzną homogenizaję dla skręania tektur alistej Talbi i in [8] przedstawili możliwość wkorzstania MES w homogenizaji na przkładzie tektur alistej Rubino i in [5] omówili porównanie dnamiznego zahowania ałkowiie utwierdzonej płt jednorodnej oraz trójwarstwowej z rdzeniem alistm lub w kształie Y Seong i in [6] zaprezentowali rezultat zginania płt trójwarstwowej z rdzeniem poałdowanm w dwóh kierunkah Magnuki i Wittenbek [], [] wznazli sztwnośi lindrznego zbiornika o budowie dwuwarstwowej, w którm warstwa wewnętrzna jest poałdowana Przedstawili również rezultat analiz stateznośi takiej konstrukji Magnuki i in [] opisali zahowanie belek trójwarstwowh z poałdowanm rdzeniem oraz porównali wniki oblizeń analitznh i numerznh z rezultatami badań ekspermentalnh Ji i in []

2 6 K MAGUCKI, M KRUŚ, P KULIGOWSKI, L WITTEBECK omówili przkład zastosowania płt trójwarstwowh z poałdowanm rdzeniem wkonanh z włókna szklanego wzmonionego polimerem do budow mostu drogowego Przedmiotem pra jest klejona płta trójwarstwowa z rdzeniem wkonanm z ienkiej blah alistej Okładzin płaskie o grubośiah t połązone są za pomoą kleju z blahą alistą o grubośi t, podziałe poałdowania a oraz wsokośi t (rs) Grubość ałkowita płt h t t Warstw wkonane są ze stopów aluminium Płta podparta jest przegubowo na ztereh brzegah Rozpatrzono dwa przpadki obiążeń Płtę poddano zginaniu iśnieniem p równomiernie rozłożonm na powierzhni okładzin (rs) oraz śiskaniu w płaszzźnie środkowej obiążeniem równomiernie rozłożonm w obu mm mm (rs), aż do utrat kierunkah o stałh intenswnośiah oraz stateznośi Rs Przekrój płt trójwarstwowej Rs Shemat płt trójwarstwowej obiążonej iśnieniem p Rs Shemat płt trójwarstwowej obiążonej w płaszzźnie środkowej

3 MOELOWAIE SPRĘŻYSTYCH PROSTOKĄTYCH PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH 7 Szerokość i długość płt są a i b Poałdowanie blah rdzenia jest wzdłuż osi Brzegi płt są zamknięte przegrodami płaskimi o grubośiah okładzin SZTYWOŚCI PŁYTY Płta, z uwagi na budowę rdzenia poałdowanie, jest ortotropowa Modelowanie płt lub powłok o ortotropii konstrukjnej opisali Brzoska [], Kołakowski [], Kotelko i in[], Singer [7] oraz Ventsel i Krauthammer [9] Wróżniono, zgodne z układem współrzędnh,, dwa kierunki główne Odpowiednie sztwnośi płt na jednostkę długośi dla th kierunków na podstawie rs, i zapisano: sztwność na roziąganie-śiskanie w kierunku poprzeznm do poałdowania rdzenia (kierunek osi ) Et B k gdzie t k, S S, t t t,, () a t, d os S, S sin os d, S S,, a sztwność na roziąganie-śiskanie w kierunku zgodnm z poałdowaniem rdzenia (kierunek osi ) B gdzie os Et S d S sztwność na zginanie w kierunku osi 6 S gdzie i sztwność na zginanie w kierunku osi, () Et i, i,,, () Et i, i,,, () S 6 gdzie i sztwność na skręanie H gdzie i Et i, i,,, (5) 6 i i s i, s i

4 8 K MAGUCKI, M KRUŚ, P KULIGOWSKI, L WITTEBECK UGIĘCIE PŁYTY Rozwiązanie analitzne Równanie równowagi trójwarstwowej płt prostokątnej z rdzeniem alistm, ortotropowm, obiążonej iśnieniem p (rs) jest postai [9] gdzie:, H, - sztwnośi płt, p(, ) Ugięie płaszzzn środkowej płt opisano gdzie mm w w w H p,, (6) - obiążenie powierzhniowe-iśnienie w, w sin sin, (7) a b w jest parametrem ugięia Funkja (7) spełnia warunki podparia przegubowego na ztereh brzegah: brzegi i a; ugięie w wa oraz moment zginają M M a ; ugięie wa, brzegi i b M M b w oraz moment zginają Podstawiają unkję (7) do równania (6) i przenoszą p na lewą stronę równania, otrzmano a a b b, w H sin sin p a b (8) Równanie (8) rozwiązano w przbliżon sposób stosują metodę Bubnowa-Galerkina Warunek ortogonalnośi przjmuje postać a b a b, sin sin dd Po wkonaniu ałkowania i uwzględnieniu (), () i (5) uzskano gdzie Et 6 ab p 6 b a a b w (9), () Oblizenia wkonano dla płt trójwarstwowej o następująh danh materiałowh i geometrznh: E 69MPa,, a b 5mm, a mm, h 5mm, t mm, t mm, t h t oraz iśnienia p MPa

5 MOELOWAIE SPRĘŻYSTYCH PROSTOKĄTYCH PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH 9 Rozwiązanie numerzne MES Ogóln widok modelu numerznego w metodzie elementów skońzonh MES płt trójwarstwowej pokazano na rs Ze względu na smetrię geometrii i obiążeń rozpatrzono ćwiartkę konstrukji płt iezbędne oblizenia przeprowadzono w sstemie ABAQUS Okładzin płaskie i blahę alistą modelowano elementami powłokowmi ( shell ) Warstw klejowe pomiędz okładzinami a rdzeniem zamodelowano za pomoą odpowiedniego, dostępnego w sstemie oblizeniowm, elementu łąząego ( tie onstraint ) Przkładow kształt ugięia płt dla obiążenia iśnieniem p MPa równomiernie rozłożonm na powierzhni płt przedstawiono na rs5 Porównanie wartośi ugięia środka płt w kierunku pionowm uzskane analitznie i numerznie MES przedstawiono w tabeli Rs Widok ogóln modelu numerznego MES płt trójwarstwowej Rs5 Rozkład przemieszzeń pionowh płt trójwarstwowej pod działaniem iśnienia równomiernie rozłożonego Tabela Porównanie wników analitznh i numerznh MES Środek płt ( ) w Anal [ mm] 789 ( ) w FEM [ mm] 78

6 5 K MAGUCKI, M KRUŚ, P KULIGOWSKI, L WITTEBECK WYBOCZEIE PŁYTY Rozwiązanie analitzne Równanie równowagi trójwarstwowej płt prostokątnej z rdzeniem alistm, ortotropowm, obiążonej w płaszzźnie środkowej (rs) jest postai [9] w w w w w H, () gdzie:, H, - sztwnośi płt, i - intenswnośi obiążeń Ugięie - wbozenie płaszzzn środkowej płt w stanie krtznm gdzie mm m n w, w sin sin, () a b w jest parametrem ugięia, m, n - lizb naturalne Funkja () spełnia warunki podparia przegubowego na ztereh brzegah: brzegi i a; ugięie w wa oraz moment zginają M M a ; ugięie wa, brzegi i b M M b w oraz moment zginają Podstawiają unkję () do równania () otrzmano, po prosth przekształeniah, następująe obiążenia krtzne dla następująh trzeh przpadków obiążeń: płta śiskana wzdłuż osi (, ) X H b X X, min b b gdzie parametr X m a Po uwzględnieniu (), () i (5) zapisano gdzie ( ), H, () Et, () ( ) b płta śiskana wzdłuż osi (, ), min H Y a Y Y a a gdzie parametr Y n b Po uwzględnieniu (), () i (5) zapisano, H, (5) Et (6) ( ) a

7 MOELOWAIE SPRĘŻYSTYCH PROSTOKĄTYCH PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH 5 płta śiskana jednoześnie w obu kierunkah (, ) m min m, n a k H, mb na mb na na mb, gdzie k (7) ane materiałowe i wmiar gabartowe przjęto identzne jak punkie Przeanalizowano szereg przpadków różniąh się konigurają grubośi okładzin t (8;; )mm oraz blah alistej rdzenia t (;; ) mm Rozwiązanie numerzne MES Analizę utrat stateznośi przeprowadzono również za pomoą metod elementów skońzonh MES Model oblizeniow zbudowano w identzn sposób jak dla analiz zginania opisan w punkie Parametr geometrzne i materiałowe oraz obiążenia dla poszzególnh przpadków oblizeniowh przjęto analogiznie jak dla rozwiązania analitznego Przkładową postać wbozenia przedstawiono na rs6 Rs6 Postać wbozenia śiskanej płt trójwarstwowej w kierunku osi Porównanie wników rozwiązań analitznh i numerznh MES przedstawiono w postai tabel i oraz wkresów na rs7 i 8 Tabela Obiążenia krtzne dla różnh grubośi t okładzin oraz t mm, a mm t mm 8 mm mm Anal, MES,

8 Intenswność X, [/mm] Intenswność X, [/mm] 5 K MAGUCKI, M KRUŚ, P KULIGOWSKI, L WITTEBECK Zależność intenswnośi obiążenia krtznego od grubośi okładzin płaskih (grubość blah alistej t =, mm) 66 umerznie MES Analitznie ,8,, Grubość okładzin płaskiej t [mm] Rs7 Porównanie wników rozwiązań analitznh i numerznh MES w zależnośi od grubośi okładzin płaskih t Tabela Obiążenia krtzne dla różnh wartośi podziałki a poałdowania blah rdzenia oraz t mm, t mm mm mm mm Anal a 6, MES, Intenswność obiążenia krtznego w zależnośi od podziałki poałdowania umerznie MES Analitznie 55, 5, 55, 5, 55, 5, 6 Podziałka poałdow ania a [mm] Rs8 Porównanie wników rozwiązań analitznh i numerznh MES w zależnośi od podziałki poałdowania blah rdzenia a 5 ZAKOŃCZEIE Przedmiotem pra jest płta trójwarstwowa z rdzeniem wkonanm z blah alistej Wznazono sztwnośi na roziąganie-śiskanie, zginanie oraz skręanie Rozpatrzono dwa przpadki obiążenia Pierwszm z nih jest zginanie płt pod wpłwem iśnienia p równomiernie rozłożonego na powierzhni okładzin płaskiej Z porównania wników

9 MOELOWAIE SPRĘŻYSTYCH PROSTOKĄTYCH PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH 5 oblizeń analitznh i numerznh MES, zestawionh w tabeli wnika, że różnia międz nimi nie przekraza % la drugiego przpadku obiążenia śiskania płt w płaszzźnie środkowej w dwóh prostopadłh kierunkah obiążeniami równomiernie rozłożonmi omówiono problem globalnej stateznośi sprężstej Z przeprowadzonh analiz wnika, że dla kwadratowh płt ortotropowh (a=b) wartość obiążenia krtznego nie jest zależna od kierunku śiskania, o wnika z wrażeń () i (6) Właśiwość tę potwierdzają badania numerzne MES Uzskane wniki dla różnh grubośi okładzin płaskih (tabela ) nie wkazują różni większh niż 5 %, a dla różnh podziałek poałdowania blah rdzenia (tabela ) nie przekrazają % Obiążenia krtzne dla płt prostokątnej (a b), śiskanej jednoześnie w dwóh kierunkah lub odrębnie w każdm z nih, będą różne a podstawie przeprowadzonh analiz można stwierdzić, że zaproponowane modele, analitzn oraz numerzn MES, płt trójwarstwowej z rdzeniem alistm wkazują wstarzająą zgodność uzskanh rezultatów LITERATURA Abbes B, Guo YQ: Analti homogenization or torsion o orthotropi sandwih plates: Appliation to orrugated ardboard Composite Strutures, Vol9, p Aboura Z, Talbi, Allaoui S, Benzeggagh ML: Elasti behaviour o orrugated ardboard: eperiments and modelling Composite Strutures, Vol6, p5-6 Briassoulis : Equivalent orthotropi properties o orrugated sheets Computers and Strutures 986, Vol(), p9-8 Brzoska Z: Statka i statezność konstrukji prętowh i ienkośiennh Warszawa: PW, Buanni, Cartraud P, Quesnel T: Homogenization o orrugated ore sandwih panels Composite Strutures, Vol59, p 99 6 Carlsson LA, ordstrand T, Westerlind B: On the elasti stinesses o orrugated ore sandwih Journal o Sandwih Strutures and Materials, Vol, p Cheng QH, Lee HP, Lu C: A numerial analsis approah or evaluation elasti onstants o sandwih strutures with various ores Composite Strutures 6, Vol7, p Gilhrist AC, Suhling JC, Urbanik TJ: onlinear inite element modelling o orrugated board Mehanis o Cellulosi Materials 999, Vol AM /M 85, p -6 9 Hohe J, Beker W: Eetive stress-strain relations or two-dimensional ellular sandwih ore: Homogenization, materials models, and properties Applied Mehanis Reviews, Vol55(), p 6-87 Ji HS, Song W, Ma ZJ: esign, test and ield appliation o a GFRP orrugated-ore sandwih bridge Engineering Strutures, Vol, p 8-8 Kołakowski Z: Podstaw wtrzmałośi i stateznośi płtowh konstrukji kompoztowh Łódź: Wd Politehniki Łódzkiej, 8 Kotelko M, Kowal-Mihalska K, Kubiak T, Kołakowski Z, Gradzki R: Estimation o load-arring apait o multi-laered plated strutures Thin-Walled Strutures 8, Vol6, p - Magnuki K, Wittenbek L: Stabilit o elasti orthotropi irular lindrial vessel In: Proeedings o the ASME Pressure Vessels and Piping ivision Conerene, Bellevue, Washington, USA, (PVP-5), p -7

10 5 K MAGUCKI, M KRUŚ, P KULIGOWSKI, L WITTEBECK Magnuki K, Krus M, Kuligowski P, Wittenbek L: Strength o sandwih beams with orrugated ore under pure bending In: The World Congress on Advanes in Strutural Engineering and Mehanis (ASEM +), Volume o Abstrats, Seoul, Korea,, C p - 5 Rubino, V, eshpande, VS, Flek A: The dnami response o lamped retangular Y-rame and orrugated ore sandwih plates European Journal o Mehanis A/Solids 9, Vol8, p - 6 Seong, Y, Jung, CG, Yang, Y, Moon, KJ, Ahn, G: Quasi-isotropi bending responses o metalli sandwih plates with bi-diretionall orrugated ores Materials and esign, Vol, p Singer J: Stiened lindrial shells In Bukling o thin metal shells JG Teng, JM Rotter (Eds) London, ew York: Spon Press, Taolor & Franis Group,, p86-8 Talbi, Batti A, Aad R, Guo YQ: An analtial homogenization model or inite element modelling o orrugated ardboard Composite Strutures 9, Vol88, p Ventsel E, Krauthammer T: Thin plates and shells: theor, analsis, and appliations ew York, Basel: Marel ekker In, Vinson, JR: Sandwih strutures Applied Mehanis Reviews, ASME, Vol5(), p - Wittenbek L, Magnuki K: Elasti bukling o orthotropi lindrial vessel In: The th Intl Conerene on Pressure Vessel Tehnolog, ICPVT- Phoeni Island, Jeju, Korea, Abstrat Book 9, pp 6, (C p98-) PROBLEMS OF BEIG A BUCKLIG MOELLIG OF RECTAGULAR SAWICH PLATES WITH CORRUGATE CORE Summar The subjet o the paper is a sandwih retangular plate with orrugated ore Geometri properties and rigidities o the plate are desribed Analtial and numerial - FEM alulations are presented Results o both methods or bending and global bukling ompared Praa inansowana przez Ministerstwo auki i Szkolnitwa Wższego Grant nr 7 6