WYKŁAD 15 ELEMENTY TEORII PRZEPŁYWÓW TURBULENTNYCH

WYKŁAD 15 ELEMENTY TEORII PRZEPŁYWÓW TURBULENTNYCH

Genealna zasada: kiedy liczba Reynoldsa dla pewnego pzepływu laminanego ośnie, pzepływ stae się coaz badzie skomplikowany. Powyże pewne watości liczby Reynoldsa następue pzeście do stanu tubulentnego. Poces pześcia inicowany est pzez zabuzenia zewnętzne, zwykle małe i pzypadkowe. Kluczowe pytanie (o stabilność pzepływu): pzymuąc, że umiemy adekwatnie zwymiaować zabuzenie, ak wielkie zabuzenie może być skonsumowane pzez pzepływ bez konsekwenci w postaci pemanentne zmiany ego fomy? Podeście ogólne do poblem stabilności ( 1) υ - pole pędkości pzepływu niezabuzonego (efeencynego); ( 2) υ - pole pędkości pzepływu pzy zabuzonych waunkach początkowych. Globalna miaa (enegetyczna) óżnicy pomiędzy tymi pzepływami υ 2 υ ( 1) ( 2) 2 ( t) 1 ( 1 Wielkość E(0) est znana - wynika z wa. początkowych ) ( 2 υ ( t 0) and υ ) ( t 0) Mówimy, że pzepływ est asymptotycznie stabilny, eśli lim E( t) 0 dv t

Obszay stabilności schemat ogólny Jeżeli Re > Re L to istniee zabuzenie, któe bez względu na początkową wielkość zawsze powadzi do twałe zmiany fomy pzepływu. Jest to sytuaca absolutne niestabilności pzepływu. Dla pewnych pzepływów Re L = (np. pzepływ Hagena-Poiseuille a)!!! Poawienie się pześcia w takie sytuaci mechanizm(y) typy by-pass.

υ υ i pp p, gdzie, Niech V ( V P) to pzepływ bazowy, a ( υ, p ) to pole zabuzeń. Wstawiamy te fomuły do ównania ciągłości i ównania uchu (N-S). Składniki związane z samym pzepływem bazowym ulegaą edukci (pzepływ ten spełnia ównania ciągłości i uchu). Dale, pomiamy w ównaniu uchu składniki zawieaące iloczyny zabuzeń i/lub ich pochodnych (czyli lineayzuemy to ównanie). Oto efekt Równanie ciągłości dla pola zabuzeń Zlineayzowane ówn. Naviea-Stokesa Zabuzenie pędkości na bzegu znika! i 0 xi i V 1 p V t x x x i i i i i 0 Otzymaliśmy liniowy układ ównań opisuących ewoluce pola małych zabuzeń w czasie i pzestzeni. Postać głównego ównania układu zależy od pola pędkości pzepływu bazowego V.

W teoii stateczności względem małych zabuzeń szukamy: Fomy zabuzeń początkowych chaakteyzuących się nawiększym wzmocnieniem z zadanym czasie. Powtazaąc taką analizę dla óżnych czasów otzymuemy tzw. obwiednię maksymalnego wzmocnienia. Możemy też poszukiwać zabuzeń chaakteyzuących się nawiększym tempem wzmocnienia. Wyznaczanie nasilnie wzmacnianych zabuzeń początkowych est zadaniem typy optymalizacynego. Okazue się, że w wielu pzepływach zabuzenia mogą być pześciowo badzo wzmacniane mimo, że liczba Reynoldsa est mniesza niż kytyczna watość Re L. Fomy tzw. modów nomalnych, t. zabuzeń chaakteyzuących się hamoniczno/eksponencalną zmiennością w czasie. Jeśli zbió modów nomalnych est pzeliczalny (nie zawsze tak est) to dowolne pole zabuzeń można pzedstawić ako ich sumę k ( ) (, ) ( ) x x ( x) t A q e, p( t, x ) A e k i t i t

Ponieważ ównania są liniowe, mody nomalne ewoluuą niezależnie. Po podstawieniu do ównań poedynczego modu otzymamy q x ( ) k k xk xk x Niezeowe ozwiązania otzymanego poblemu bzegowego istnieą tylko dla pewnych watości liczby. Zwana est ona częstością własną modu i z eguły liczbą zespoloną e e e Wówczas 0 q V 1 i q V q q q 0 i i t i t t oscylaca hamoniczna wzmocnienie amplitudy

Waunkiem wystaczaącym niestabilności pzepływu est, aby wielkość była uemna! Szczegółowe teoie niestabilności hydodynamiczne ozwinięto dla óżnych klas pzepływów (pzepływu ównoległe i pawie-ównoległe, pzepływy w śladach wiowych, wastwach mieszania, pzepływach wiuących itp. itd.).

PODSTAWY TEORII PRZEPŁYWÓW TURBULENTNYCH Podstawowe cechy fizyczne pzepływów tubulentnych: Wszystkie paamety pzepływu wykazuą nieegulaną (chaotyczną, quasi-losową) zmienność w czasie i pzestzeni. Chociaż tubulenca est wg współczesnych poglądów zawiskiem całkowicie deteministycznym, nabadzie adekwatnym (i paktycznym) podeściem est zastosowanie teoii pocesów/pól stochastycznych. W aplikacach technicznych kluczowym est zazwycza wyznaczenie wielkości uśednionych. Pzepływy tubulentne chaakteyzuą się zdolnością intensywnego mieszania. Efektywne współczynniki tanspotu masy/ciepła w tych pzepływach pzekaczaą o kilka zędów wielkości współczynniki molekulane dyfuzi/pzewodnictwa dla pzepływów laminanych. Tubulenca to zawisko związane z nieliniową dynamiką (geneacą, adwekcą i dyfuzą) wiowości w pzepływie. Pawdziwa tubulenca est zawsze tówymiaowa, ponieważ tylko w 3D aktywny est mechanizm ozciągania włókien wiowych (ang. votex stetching) uważany za podstawowy mechanizm napędzaący tubulencę i geneuący chaotyczny uch dobnoskalowy. Pzepływy tubulentne cechue obecność tzw. kaskady enegii: duże stuktuy wiowe odbieaą enegię od pzepływu śedniego, mniesze wiy napędzane są kosztem enegii większych, a namniesze wiki ozpływaą się wskutek (molekulane) lepkości, t. ich enegia podlega bezpośednie dyssypaci na ciepło. Poces ten ma pewne uniwesalne cechy opisane postymi fomułami potęgowymi (odkytymi pzez Kołmogoowa).

Pocedua uśednienia Każda wielkość dynamiczna w pzepływie tubulentnym może być pzedstawiona ako suma e watości śednie (stałe lub wolno zmienne) i fluktuaci w fomie szybkich i nieegulanych (chaotycznych) oscylaci/pulsaci wokół watości śednie. Tę dugą część uznaemy za kompletnie losową. Z założenia, uśednianie zastosowane do pulsaci dae watość zeową. f f f f f 0 śednia sednia pulsaca sednia z pulsaci czas tt 1 f f d 2T tt Szeokość okna uśedniania musi być dostatecznie duża by odfiltować szybko zmienne pulsace tubulentne, ale na tyle mała, aby nie zgubić długofalowe zmienności pzepływu.

Śednia watość zależy od położenia i eśli pzepływ śedni est niestaconany ównież od czasy. Pochodne pzestzenne uśedniamy następuąco: Wniosek: pochodne pzestzenne wielkości śednie są ówne uśednionym pochodnym pzestzennym opeaca óżniczkowania pzestzennego i opeaca uśedniania Reynoldsa są pzemienne! Co z óżniczkowaniem po czasie? f 1 1 f ( ) f f ( ) d d x 2T x 2T x x tt f 1 1 1 f f ( ) d f ( t T) f ( t T) d t 2T t 2T 2T tt tt Wniosek: óżniczkowanie po czasie i uśednianie Reynoldsa to też opeace pzemienne! Pzedstawmy pola pędkości i ciśnienia ako sumy watości śednich i pulsaci tt i i tt tt i i i i i p p p tt tt

Podstawimy te wyażenia do ównania Naviea-Stokesa (pzepływ nieściśliwy) t x x ( i i) 1 ( p p ) [( )( )] ( ) i stosuemy poceduę uśedniania. i i i i i Po uposzczeniach otzymuemy w efekcie ównanie Reynoldsa (ang. ównanie RANS, czyli Reynolds-Aveaged Navie-Stokes) i p t x xi x i i i Równanie RANS est podobne fomalnie do -nia N-S, ale posiada dodatkowe człony, t. x ( ) i i. Zauważmy też, że uśednione pole pędkości spełnia waunek ciągłości υ 0. Wpowadźmy symetyczną wielkość tensoową, zwaną tensoem Reynoldsa R R i i i i

W pzeciwieństwie do układu -nie N-S plus waunek ciągłości, układ ównanie Reynoldsa plus waunek ciągłości nie est domknięty. Potzebuemy związku konstytutywnego, któy okeśli zależność składowych tensoa Reynoldsa od uśednionego pola pędkości. Taki (hipotetyczny) związek można zapisać w postaci 1 1 R R 1, 2, 3,,, x1 x2 Hipotezą domknięcia nazywamy każdą konketną popozycę fomuł lub częście poceduy wyznaczania watości tensoa Reynoldsa na podstawie pola śedniego. Zauważmy, że możemy pzedstawić tenso Reynoldsa ako sumę tensoa sfeycznego i dewiatoa (T to opeato śladu tensoa) 1 R T R 1 T 3 3 R R i i i i

Mamy pzy tym ówność 1 1 2 2 3 3 T( R ) 1 1 2 2 3 3 2 2k 2 gdzie symbolem k oznaczyliśmy tzw. enegię tubulenci. Zatem T( R ) 2 2 2 Ri ki Ri ki 3 3 Dodatkowy tubulentny składnik w ównaniu RANS może być zapisany wzoem R 2 k x x 3 x x i i i T t i Równanie RANS pzymue postać T t i 2 i i p k i t x xi 3 x

W ównaniu Reynoldsa poawiły się następuące wielkości 2 p p 3 t Ciśnienie tubulentne T R 2 3 t ik ik ik Tenso napężeń tubulentnych Zauważmy, że tenso napężeń tubulentnych oaz uśedniony tenso pędkości defomaci 1 i k Di 2 x k x i maą zeowe ślady.

Wobec tego dopuszczalne est (matematycznie) postawienie hipotezy (powszechnie zaakceptowane w zastosowaniach inżynieskich): istniee pole skalane tzw. lepkości tubulentne tub takie, że W składowych T t 2 tub D T t i k ik tub xk xi Zauważmy, że µ tub to wielkość chaakteyzuąca pzepływ, a nie własność fizyczna płynu! Jeśli założyć, że lepkość tubulentna µ tub została wyażona pzez wielkości uśednione, to układ ównań opisuący uch śedni ma postać i 0 xi i i ptub ( tub) D i t x xi x

Jak okeślić lepkość tubulentną? Klasyfikaca modeli domknięcia, czyli pocedu pozwalaących wyznaczyć pole lepkości tubulentne, est opata na liczbie i odzau dodatkowych związków dołączonych do podanego wyże układu ównań. I tak, mamy: Modele 0-ównaniowe: dołączone są wyłącznie pewne związki algebaiczne. Modele te wywodzą się z tzw. teoii dogi mieszania, zapoponowane pzez Pandtla. Modele te maą badzo oganiczone zastosowanie, poblematyczna est ównież ich dokładność, dlatego paktycznie wyszły z użycia. Modele 1-ównaniowe: dołączone est ównanie tanspotu lepkości tubulentne plus pewne związki algebaiczne. Równanie tanspotu est de facto postulowane ad hoc, oczywiście na podstawie pewnych ozważań i agumentów fizykalnych. Populanym modelem stosowanym w obliczeniach aeodynamicznych est model Spalata-Allmaasa. Modele 2-ównaniowe: dołączone są dwa ównania tanspotu, na podstawie któych obliczane est (algebaicznie) pole lepkości tubulentne. Pzykładem takie modelu est słynna metoda k i e ozmaite ulepszenia. W metodzie te postulue się dwa dodatkowe ównania tanspotu: dla enegii tubulentne k i pola dyssypaci enegii tubulentne ε. Lepkość tubulentna est obliczana ze wzou, gdzie C to odpowiednio dobana stała modelu. tub C k 2 /