VII. Drgania układów nieliniowych

VII. Drgania układów nieliniowych 1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna siła zwrotna 1.1 Różniczkowe równanie ruchu Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do sprężyny o współczynniku sprężystości k, gdy siła zwrotna F s zależy nieliniowo od przemieszczenia x, a zależność ta dana jest równaniem: Powyższe równanie możemy zapisać w postaci: F s = kx cx 3. (1) F s = (1 + α x 2 )kx, (2) gdzie parametr α powiązany jest z współczynnikami k i c z równania (1) zależnością α = c/k. Nowo wprowadzona stała α może być dodatnia (α > 0) lub ujemna (α < 0) (patrz rysunek). Będziemy rozpatrywać przypadek, gdy nieliniowość układu drgającego jest bardzo mała, czyli, gdy spełniona jest relacja αx 2 1. (3) Różniczkowe równanie ruchu masy m (II zasada dynamiki Newtona) ma postać a po podstawieniu siły (2) otrzymujemy równanie które możemy zapisać w postaci gdzie wprowadziliśmy ω 2 0 = k/m. 1.2 Własności drgań swobodnych Drgania swobodne opisane równaniem (6) mają następujące własności: mẍ = F s, (4) mẍ = (1 + α x 2 )kx, (5) ẍ + (1 + αx 2 )ω 2 0x = 0, (6) (a). Ponieważ nie występuje tłumienie, ruch jest ruchem periodycznym (ale nie harmonicznym) z okresem T s, czyli zachodzi x(t) = x(t + T s ), (7) (b). Ponieważ moduł siły F s jest symetryczny względem x = 0, to ruch po lewej stronie x = 0 ( a więc dla x < 0) jest lustrzanym odbiciem ruchu po prawej stronie x = 0 (a więc dla x > 0), czyli zachodzi relacja x(t + T s ) = x(t). (8) 2 1

1.3 Równanie ruchu x(t) i jego własności Jak wiadomo każde drganie periodyczne o okresie T s może być przedstawione jako superpozycja drgań harmonicznych o częstościach nω s (ω s = 2π/T s ), czyli w postaci szeregu Fouriera: x(t) = A 0 + A 1 cos(ω s t + δ 1 ) + A 2 cos(2ω s t + δ 2 ) + A 3 cos(3ω s t + δ 3 ) +. (9) Przyjmijemy następujący warunek początkowy omawianego ruchu: ẋ(0) = 0 (10) oznaczający, że prędkość w chwili początkowej t = 0 jest równa zero. Zobaczmy,jak ten warunek wpływa na postać ogólnego rozwiązania (9). Obliczając ẋ(t) z równania (9), mamy: ẋ(t) = ω s A 1 sin(ω s t + δ 1 ) 2ω s A 2 sin(2ω s t + δ 2 ) 3ω s A 3 sin(3ω s t + δ 3 ). (11) Stosując do powyższego równania warunek (10), otrzymujemy wyrażenie ẋ(0) = ω s A 1 sin δ 1 2ω s A 2 sin δ 2 3ω s A 3 sin δ 3 = 0, (12) które jest spełnione tylko wówczas, gdy Szereg Fouriera (9) dany jest więc teraz równaniem δ 1 = δ 2 = δ 3 = = 0. (13) x(t) = A 0 + A 1 cos ω s t + A 2 cos 2ω s t + A 3 cos 3ω s t +, (14) które musi spełniać również warunek (8). Warunek ten spełniają tylko harmoniki nieparzyste równania (14), nie spełniają natomiast harmoniki parzyste oraz niezależny od czasu człon A 0 (tzw. harmonika zerowa). Pokażemy to na przykładzie pierwszej i drugiej harmoniki. Dla pierwszej harmoniki mamy: natomiast dla drugiej harmoniki cos ω s (t + T s 2 ) = cos(ω st + 1 2 ω st s ) = cos(ω s t + π) = cos ω s t, (15) cos 2ω s (t + T s 2 ) = cos(2ω st + ω s T s ) = cos(2ω s t + 2π) = cos 2ω s t, (16) gdzie skorzystaliśmy z zależności ω s = 2π/T s. Równanie (15) świadczy o tym, że człon A 1 cosω s t w równaniu (14) spełnia relację (8); podobie spełniają ją wszystkie pozostałe człony z harmonikami nieparzystymi (można dla nich otrzymać związki analogiczne do (15)). Natomiast równanie (16) wskazuje, że relacja (8) nie jest spełniona przez człon z drugą harmoniką w równaniu (14); relację (8) również nie spełniają pozostałe człony z harmonikami parzystymi w równaniu (14) oraz człon z A 0 (harmonika zerowa), dla których łatwo można otrzymać relacje analogiczne do (16). 2

Tak więc rozwiązanie równania różniczkowego (6) jest dane tylko przez sumę nieparzystych harmonik. Przy bardzo małej nieliniowości określonej równaniem (3) możemy ograniczyć się tylko do dwóch pierwszych członów, zaniedbując pozostałe czyli x(t) = A 1 cosω s t + A 3 cos 3ω s t +. (17) Powyższe równanie możemy zapisać w następującej wygodnej postaci: x = A(cosω s t + ε cos 3ω s t + ), (18) gdzie A A 1 jest amplitudą drgań swobodnych o częstości podstawowej ω s, 3ω s jest częstością trzeciej harmonicznej, a parametr anharmoniczności ε = A 3 /A 1 (wskazuje on na udział trzeciej harmonicznej w drganiach omawianego ukadu nieliniowego). Równanie (18) musi spełniać różniczkowe równanie ruchu (6), które teraz zapiszemy w postaci. ẍ + ω0x 2 + αω0x 2 3 = 0. (19) Korzystając z faktu, że (18) jest rozwiązaniem równania (19), znajdziemy teraz postać, jaką powinny mieć częstość kołowa ω s i parametr ε, aby tak było. W tym celu obliczmy ẍ i x 3, a potem wspólnie z x podstawmy do równaia (19): ẋ = ω s A sin ω s t 3ω s εa sin 3ω s t, (20) ẍ = ω 2 sa cos ω s t 9ω 2 saε cos 3ω s t = ω 2 sa(cosω s t + 9ε cos 3ω s t), (21) x 3 = A 3 (cos 3 ω s t + 3ε cos 2 ω s t cos 3ω s t + 3ε 2 cos ω s t cos 2 3ω s t + ε 3 cos 3 3ω s t), (22) przy czym dwa ostatnie człony w równaniu (22) możemy teraz pominąć, ze względu na to, że bardzo mały parametr ε występuje w nich w drugiej i trzeciej potędze. W dalszej części obliczeń pomijane będą wyrazy bardzo małe, zawierające: ε 2, α 2, εα oraz ich wyższe potęgi. Podstawiając ẍ, x 3 oraz x do równania (19) mamy: ωsa 2 (cos ω s t + 9ε cos 3ω s t) + ω0a 2 (cos ω s t + ε cos 3ω s t +...) + + αω0a 2 3 ( 1 4 cos 3ω st + 3 4 cos ω st +...) = 0, (23) przy czym w ostatnim nawiasie powyższego równania wykorzystaliśmy następującą relację cos 3 ω s t = 1 4 cos 3ω st + 3 4 cos ω st. (24) Grupując człony z tymi samymi harmonikami, możemy równanie (23) zapisać w postaci: ( ωsa 2 + ω0a 2 + 3 4 αω2 0A 3 ) cos ω s t + ( 9εωsA 2 + εω0a 2 + 1 4 αω2 0A 3 ) cos 3ω s t = 0. (25) 3

Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnego t tylko wówczas, gdy współczynniki przy poszczególnych harmonikach są równe zero (jest to równanie typu a cos ω s t + b cos 3ω s t = 0, które jest spełnione dla dowolnej chwili t tylko wówczas, gdy a = b = 0). Przyrównując więc współczynnik stojący w równaniu (25) przy cos ω s t, mamy: ωsa 2 + ω0a 2 + 3 4 αω2 0A 3 = 0, (26) a stąd ω 2 s = ω 2 0(1 + 3 4 αa2 ), (27) czyli ω s = ω 0 1 + 3 4 αa2. (28) Ponieważ rozwinięcie funkcji 1 + x w szereg ma dla małych warości x ( x 1) postać 1 + x 1 + 1 2 x +..., więc dla bardzo małej nieliniowości ( αa2 1) mamy ω s ω 0 (1 + 3 8 αa2 ). (29) Tak więc pojawienie się członu nieliniowego w sile zwrotnej (2) może zwiększać lub zmniejszać częstość podstawowa drgań ω s : ω s > ω 0 dla α > 0, ω s < ω 0 dla α < 0, a różnica częstości ω s ω 0 zależy od amplitudy A drgań z częstością podstawową ω s i jest proporcjonalna do jej kwadraty: ω s ω 0 3 8 ω 0αA 2. (30) Przyrównując teraz do zera czynnik przy cos 3ω s t w równaniu (25), mamy 9εω 2 sa + εω 2 0A + 1 4 αω2 0A 3 = 0. (31) Podstawiając teraz w miejsce ω 2 s wyrażenie (27), otrzymujemy a po dokonaniu uproszczeń i prostych przekształceń mamy: 8εω 2 0A 27 4 εαa3 ω 2 0 + 1 4 αω2 0A 3 = 0, (32) ε(1 + 27 32 αa2 ) = 1 32 αa2. (33) 4

W powyższym równaniu możemy zaniedbać bardzo mały drugi człon w nawiasie (patrz warunek bardzo małej nieliniowości (3)) i wyznaczyć ε: ε 1 32 αa2. (34) Z powyższego równania wynika, że dla bardzo małej nieliniowości αa 2 1 również parametr anharmoniczności ε jest bardzo mały ( ε 1. Z równań (18) i (34) wynika, że anharmoniczność ruchu zwiększa się wraz z amplitudą drgań, a parametr ε, charakteryzujący anharmoniczność drgań, jest proporcjonalny do kwadratu amplitudy. Otrzymane powyżej wzory (28) i (34) na ω s i ε są tylko wyrażeniami przybliżonymi. Jeżeli chcielibyśmy uzyskać bardziej dokładne wyrażenia, musielibyśmy uwzględnić człony zaniedbane podczas dotychczasowych obliczeń (proporcjanalne do αε, α 2, itd). Przyjrzyjmy się jeszcze średniemu położeniu ciała drgającego anharmonicznie przy działaniu symetrycznej siły zwrotnej. W czasie ruchu jego położenie opisane równaniem (18) przyjmuje zarówno dodatnie jak i ujemne wartości współrzędnej x wyznaczanej względem położenia równowagi trwałej. Oznaczając symbolem < x(t) > średnie w czasie położenie drgającego ciała, mamy: < x(t) >= A(< cos ω s t > +ε < cos 3ω s t >) = 0, (35) ponieważ średnia wartość funkcji cosinus liczona dla okresu lub jego wielokrotności jest równa zero: < cos ω s t >=< cos 3ω s t >= 0 (36) 1.4. Przykład: Wahadło matematyczne jako układ nieliniowy Równanie ruchu obrotowego wahadła matematycznego (wyprowadzone już wcześniej): możemy zapisać w postaci θ + g sin θ = 0, (37) L θ + ω 2 0 sin θ = 0, (38) gdzie ω 2 0 = g L. (39) Rozwijając funkcję sin θ w szereg: sin θ = θ 1 3! θ3 + (40) 5

i podstawiając (40) do (38) oraz korzystając z wyrażenia 3! = 6 otrzymujemy θ + (1 1 6 θ2 ) ω 2 0 θ = 0, (41) co możemy zapisać w postaci θ + (1 + α θ 2 ) ω 2 0 θ = 0, (42) gdzie α = 1 6. Równanie (42) jest równaniem drgań anharmonicznych, analogicznym do poznanego już równania drgań anharmonicznych podczas działania symetrycznej siły zwrotnej: ẍ + (1 + α x 2 ) ω 2 0 x = 0. (43) A więc wahadło matematyczne jest nieliniowym układem fizycznym, którego drgania, opisane różniczkowym równaniem (42), mają własności drgań zachodzących przy działaniu symetrycznej siły zwrotnej. Korzystając więc z wcześniej uzyskanych wyników mamy: (a) równanie ruchu θ(t) θ(t) = A(cos ω s t + ε cos 3ω s t) (44) gdzie A θ m jest amplitudą wychylenia; (b) częstość kołowa drgań ω s ω s ω 0 (1 + 3 8 αa2 ) = ω 0 (1 1 16 A2 ) (45) (c) parametr nieliniowości ε Dla amplitudy drgań A = 10 o 0, 1744 rad mamy αa 2 0, 005 oraz ε 1 32 αa2 = 1 192 A2 (46) ω ω 0 = ω s ω 0 ω 0 = 3 8 αa2 = 1 16 A2 0, 002, (47) ε = 1 192 A2 10 4. (48) 6

2. Drgania anharmoniczne spowodowane asymetryczna siła zwrotna 2.1 Różniczkowe równanie ruchu Przykładem asymetrycznej siły zwrotnej jest siła, która zależy od przemieszczenia x zarówno w pierwszej jak i w drugiej potędze: F s = kx bx 2. (49) Możemy zapisać ją w postaci F s = (1 + β x)kx, (50) gdzie β = b/k jest stałą dla danego układu drgającego. Wartość siły zwrotnej F s jest inna dla tej samej warości x przy rozciąganiu i ściskaniu sprężyny (patrz rysunek dla β > 0). Omawiać będziemy drgania układu o bardzo małej nieliniowości, a więc drgania dla których β x 1. (51) Różniczkowe równanie ruchu mẍ = F s (52) ma po podstawieniu siły (50) postać ẍ + (1 + β x)ω 2 0 x = 0, (53) gdzie ω0 2 = k/m. 2.2 Równanie ruchu x(t) i jego własności Podobnie jak w przypadku działania symetrycznej siły zwrotnej, ruch będzie ruchem periodycznym (ale nie ruchem harmonicznym) o okresie T s i może być przedstawiony w postaci szeregu Fouriera. Ponieważ w przypadku asymetrycznej siły zwrotnej nie zachodzi warunek (8), to rozwiązanie równania (53) będzie zawierać w ogólności wszystkie harmoniki (łącznie z zerową) i będzie miało postać (9). Ograniczając się do bardzo małej nieliniowości (51) oraz przyjmując warunek początkowy dla prędkości ẋ(0) = 0 (stałe δ n w szeregu Fouriera są wówczas równe zero, co pokazaliśmy w części VII.1.3 ), szereg Fouriera będący rozwiązaniem równania (53) ma postać x = A 0 + A 1 cos ω s t + A 2 cos 2ω s t +, (54) co możemy zapisać w postaci x = A 0 + A(cosω s t + η cos 2ω s t + ), (55) 7

gdzie ω s = 2π/T s jest częstością podstawową drgań, 2ω s częstością drugiej harmonicznej, A A 1, natomiast parametr η = A 2 /A 1 określa wielkość anharmoniczności drgań. Dla bardzo małej nieliniowości, a więc, gdy spełniony jest warunek (51) możemy postępować podobnie jak w części 1.3, gdzie zajmowaliśmy się symetryczną siłą zwrotną. Korzystając, podobnie jak poprzednio z tego, że równanie (55) jest rozwiązaniem równania różniczkowego (53), które zapiszemy teraz w postaci ẍ + ω0x 2 + βω0 2 x 2 = 0, (56) będziemy mogli wyznaczyć wielkości ω s, η i A 0 występujące w równaniu (55). W tym celu obliczymy najpierw ẍ, x 2 : ẋ = ω s A sin ω s t 2ω s Aη sin 2ω s t +..., (57) ẍ = ω 2 sa cos ω s t 4ω 2 saη cos 2ω s t +... = ω 2 sa(cos ω s t + 4η cos 2ω s t +...) (58) x 2 = A 2 0 + 2A 0 A(cosω s t + η cos 2ω s t) + A 2 (cos 2 ω s t + 2η cosω s t cos 2ω s t +...). (59) Podstawiając teraz wyrażenia (55), (58) i (59) do (56) otrzymujemy: ω 2 sa(cos ω s t + 4η cos 2ω s t) + ω 2 0[A 0 + A(cos ω s t + η cos 2ω s t)] + + βω 2 0[A 2 0 + 2A 0 A cos ω s t + 1 2 A2 (1 + cos 2ω s t)] = 0, (60) gdzie pominięte zostały człony bardzo małe zawierające iloczyny lub potęgi parametrów η i β, a w ostatnim nawiasie wykorzystana została relacja cos 2 ω s t = 1(1 + cos 2ω 2 st). Można dokonać pogrupowania wyrazów zawierających odpowiednio drugą, pierwszą i zerową harmonikę: ( 4ηωsA 2 + ηω0a 2 + 1 2 βω2 0A 2 ) cos 2ω s t + ( ωsa 2 + ω0a 2 + 2A 0 Aβω0) 2 cos ω s t + + (ω0a 2 0 + βω0a 2 2 0 + 1 2 A2 βω0) 2 = 0. (61) Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnego t tylko wówczas, gdy czynniki przy wszystkich harmonikach, łącznie z zerową, są równe zero. Z warunku zerowania się tych czynników, ograniczonych nawiasami w równaniu (61) możemy wyznaczyć interesujące nas wielkości η, ω s oraz A 0. Przyrównując do zera czynnik przy harmonice zerowej ω0a 2 0 + βω0a 2 2 0 + 1 2 A2 βω0 2 = 0 (62) mamy A 0 (1 + βa 0 ) = 1 2 β A2. (63) 8

A ponieważ przy bardzo małej nieliniowości (51) zachodzi β A 0 1, (64) więc A 0 1 2 β A2. (65) Przyrównując do zera czynnik pierwszej harmonice (cos ω s t) ω 2 sa + ω 2 0A + 2A 0 Aβω 2 0 = 0 (66) mamy ω 2 s = ω 2 0(1 + 2βA 0 ). (67) Uwzględniając (64) otrzymujemy ω 2 s ω 2 0, (68) czyli ω s ω 0. (69) Porównując natomiast do zera czynnik prz drugiej harmonice (cos 2ω s t) 4ηω 2 sa + ηω 2 0A + 1 2 βω2 0A 2 = 0 (70) i biorąc po uwagę (69) otrzymujemy η 1 β A, (71) 6 Uwagi: (a). Średnie przemieszczenie < x > nie jest równe zero i wynosi < x >= A 0 1 2 β A2. (72) (b).równanie (71) pokazuje, że anharmoniczność drgań rośnie wraz z amplitudą drgań. Parametr η określający amplitudę drugiej harmonicznej zależy liniowo od amplitudy A (amplituda drugiej harmonicznej w równaniu (55) wynosi ηa), podczas gdy dla symetrycznej siły zwrotnej parametr anharmoniczności ε zależy kwadratowo od amplitudy A (patrz równania (18) i (34) ) (amplituda trzeciej harmonicznej w równaniu (18) wynosi εa). 9

3. Drgania wymuszone układów nieliniowych 3.1. Siła wymuszajaca zmieniajaca się harmonicznie Zajmować się będziemy drganiami układu o słabym tłumieniu (γ < 2ω 0 ), gdy częstość siły wymuszającej ω ω 0. Z wcześniejszej analizy drgań wymuszonych wiemy, że dla takich częstości drgania ustalone zależą głównie od własności sprężystych układu (amplituda drgań A F 0 /k), a nie zależą od drgającej masy; ponadto przesunięcie fazowe Φ = 0. Stwierdziliśmy wówczas, że dla siły wymuszającej przemieszczenie x wynosi co możemy zapisać w postaci F = F 0 cos ωt (73) x A cos ωt, (74) x a F, (75) gdzie a 1/k. Powyższy wynik uzyskaliśmy dla układu drgającego, w którym nie uwzględniliśmy jego własności nieliniowych. Natomiast dla słabo nieliniowego układu drgającego (np. układu z sprężyną wykazującą słabe własności nieliniowe) przemieszczenie x spowodowane działaniem siły wymuszającej F możemy wyrazić w postaci szeregu gdzie a, b i c są stałymi. x a F + bf 2 + c F 3 +..., (76) Pokażemy, że jeżeli siła wymuszająca zmienia się harmonicznie, czyli dana jest równaniem (73) to nieliniowość układu prowadzi do drgań anharmonicznych, które mogą być przedstawione jako superpozycja drgania o częstości podstawowej ω i drgań o częstościach będących wyższymi harmonicznymi tej częstości. Podstawiając (73) do równania (76) otrzymujemy Wprowadzając do równania (76) znane relacje x af 0 cos ωt + bf 2 0 cos 2 ωt + cf 3 0 cos 3 ωt. (77) cos 2 ωt = 1 (1 + cos 2ωt), (78) 2 cos 3 ωt = 1 4 cos 3ωt + 3 4 cosωt, (79) po wykonaniu prostych przekształceń mamy: x bf 0 2 ( 2 + af 0 + 3 ) 4 cf 0 3 cos ωt + b2 F0 2 2 cos 2ωt + cf 3 0 4 cos 3ωt. (80) Równanie (80) pokazuje, że podczas drgań wymuszanych częstością ω nieliniowość drgań dana równaniem (76) prowadzi do pojawienia się drgań harmonicznych z częstościami nω (n = 0, 1, 2, 3,...). 10

3.2. Rezonanse dla częstości subharmonicznych Dla układu liniowego rezonans występował tylko dla jednej częstości ω = ω 0, a krzywa rezonansowa A(ω) miała tylko jedno maksimum. Inna sytuacja będzie w przypadku układu nieliniowego. Jeżeli dla układu nieliniowego zmniejszalibyśmy częstość ω siły wymuszającej poczynając od częstości rezonansowej ω = ω 0, to częstość ω przechodziłaby przez wartości ω = ω 0 /2, ω = ω 0 /3..., dla których odpowiednie harmoniczne częstości ω są równe częstości rezonansowej (2ω = ω 0, 3ω = ω 0, itd). To jest przyczyną pojawienia się dodatkowych maksimów na krzywej rezonansowej A(ω) właśnie dla takich częstości ω, których harmoniczne są równe częstości rezonansowej ω 0. 3.3. Częstości kombinacyjne Przyjrzyjmy się teraz sytuacji, gdy na nieliniowy układ drgający działają dwie harmonicznie zmieniające się siły wymuszające F 1 cos ω 1 t i F 2 cos ω 2 t o różnych częstościach ω 1 i ω 2. Wypadkowa siła działająca na układ jest wówczas sumą tych sił: F = F 1 cos ω 1 t + F 2 cos ω 2 t. (81) Zakładając tylko liniową i kwadratową zależność w równaniu (76), mamy x af + bf 2 = a(f 1 cos ω 1 t + F 2 cos ω 2 t) + b(f 1 cos ω 1 t + F 2 cosω 2 t) 2, (82) a po wykonaniu potęgowania x af 1 cos ω 1 t + af 2 cos ω 2 t + bf1 2 cos 2 ω 1 t + bf2 2 cos 2 ω 2 t + 2bF 1 F 2 cosω 1 t cosω 2 t. (83) Pierwszy człon po prawej stronie powyższego równania przedstawia drgania harmoniczne z częstością ω 1, drugi drgania z częstością ω 2. Człon trzeci bf1 2 cos 2 ω 1 t = 1 2 bf 1 2 (1 + cos 2ω 1 t) (84) i czwarty bf2 2 cos 2 ω 2 t = 1 2 bf 2 2 (1 + cos 2ω 2 t) (85) dają zarówno wyrazy stałe w czasie, jak i drgania harmoniczne z częstościami odpowiednio 2ω 1 oraz 2ω 2. Przyjrzyjmy się członowi ostatniemu w równaniu (83). Ponieważ 2 cos ω 1 t cosω 2 t = cos(ω 1 + ω 2 )t + cos(ω 2 ω 1 )t, (86) to człon ten możemy zapisać w postaci 2F 1 F 2 cos ω 1 t cos ω 2 t = F 1 F 2 cos(ω 1 + ω 2 )t + F 1 F 2 cos(ω 2 ω 1 )t, (87) a to oznacza, że w wypadkowym drganiu (83) mamy również drgania z częstością będącą sumą (ω 1 + ω 2 ) i różnicą (ω 2 ω 1 ) częstości sił wymuszających ω 1 i ω 2. Częstości te, ω 1 + ω 2 i ω 2 ω 1, nazywamy częstościami kombinacyjnymi. 11