METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.iż. Kaarzya Zakrzewska, pro.agh Me.Numer. wykład 3
Pla Aproksymacja Ierpolacja wielomiaowa Przykłady Me.Numer. wykład 3
Aproksymacja Meody umerycze zajmują się rozwiązywaiem zadań maemayczych za pomocą działań arymeyczych. Zachodzi zaem porzeba przybliżaia wielkości ie arymeyczych wielkościami arymeyczymi i badaia błędów wywołaych akimi przybliżeiami. Wybór przybliżeia zależy od ego, kórym z możliwych kryeriów posłużymy się w oceie skueczości daego przybliżeia. Jaki jes dopuszczaly błąd wyiku? Jak szybko moża orzymać rozwiązaie jaka jes szybkość zbieżości daej meody, p. procesu ieracyjego? Me.Numer. wykład 3 3
Co o jes ierpolacja? Dae są puky,y,,y,.,y. Zaleźć iezaą warość y dla dowolego. Me.Numer. wykład 3 4
Różica pomiędzy aproksymacją i ierpolacją ierpolacja aproksymacja Me.Numer. wykład 3 5
Aproksymacja Chcemy przybliżyć ukcję kombiacją ajczęściej liiową ukcji ależących do pewej szczególej klasy. Klasy ukcji: { },,... dla N pierwszych wyrazów szeregu Taylora { } p,,... ogóliej: p jes wielomiaem sopia {si,cos },,... wielomiay rygoomerycze Największe zaczeie posiada aproksymacja wielomiaowa Me.Numer. wykład 3 6
Aproksymacja liiowa ukcji klasy ukcji: Aproksymacja ag + ag +... + amgm { g },,... współczyiki sałe: a i i,,..., m Przybliżeia liiowe sosuje się poieważ badaie aproksymacji kombiacjami ieliiowymi ukcji przybliżających jes bardzo rude jak aaliza większości zagadień ieliiowych. Czasami sosuje się przybliżeia wymiere: ag b g + ag + b g +... + a +... + b Me.Numer. wykład 3 7 m k g g m k
Aproksymacja Kryeria wyboru sałych współczyików a i i,,..., m Trzy ypy przybliżeń o dużym zaczeiu przybliżeie ierpolacyje współczyiki są ak dobrae, aby w pukach i i,,..., p ukcja przybliżająca wraz z jej pierwszymi r i pochodymi r i jes liczbą całkowią ieujemą była zgoda z i jej pochodymi z dokładością do błędów zaokrągleń Me.Numer. wykład 3 8
Aproksymacja Kryeria wyboru sałych współczyików a i i,,..., m przybliżeie średiokwadraowe szukamy miimum wyrażeia będącego całką z kwadrau różicy pomiędzy i jej przybliżeiem w przedziale <, > lub sumą ważoą kwadraów błędów rozciągięą a zbiór dyskrey puków z przedziału <, > przybliżeie jedosaje zalezieie ajmiejszego maksimum różicy między i jej przybliżeiem w przedziale <, > Me.Numer. wykład 3 9
Meoda ajmiejszych kwadraów Regresja liiowa y 6 S i [ y a b ] mi + i i 4 a+b a3.3, b-.8 y i i 4 6 8 4 6 i Me.Numer. wykład 3
Me.Numer. wykład 3 Waruek miimum ukcji dwu zmieych: b S a S Orzymujemy układ rówań liiowych dla iewiadomych a i b + + i i i i i i y b a y b a Rozwiązując e układ rówań uzyskuje się wyrażeia a a i b W y y b W y y a i i i i i i i i i
Me.Numer. wykład 3 Z praw saysyki moża wyprowadzić wyrażeia a odchyleia sadardowe ua i ub obu paramerów prosej a,b: i i W a u b u W S a u i gdzie: wyzaczik główy W wyraża się wzorem
Aproksymacja wielomiaowa Zasosowaie w obliczeiach wielomiaów jako ukcji przybliżających wiąże się z akem, że maszya cyrowa wykouje w prakyce działaia arymeycze. Wspólą właściwością poęg zmieej i wielomiaów rygoomeryczych a akże ukcji wykładiczych jes o, że w przybliżeiach korzysających z każdej z ych klas przesuięcie układu współrzędych zmieia współczyiki, ale ie zmieia posaci przybliżeia. Jeżeli P jes wielomiaem lub ukcją wymierą o P+α jes rówież ej posaci, a jeśli T jes liiowym lub wymierym przybliżeiem zbudowaym z siusów lub cosiusów, o akie jes rówież T+α. Me.Numer. wykład 3 3
Aproksymacja wielomiaowa Przybliżeia ukcjami { },,... mają aką zaleę, że przy zmiaie skali zmieej zmieiają się ylko współczyiki, a ie zmieia się kszał przybliżeia. Przykład: wielomia Pk jes rówież wielomiaem zmieej. Tej własości ie mają przybliżeia rygoomerycze, gdyż dla iecałkowiego k a ogół sik ie jes elemeem klasy {si },,... Me.Numer. wykład 3 4
Aproksymacja wielomiaowa Najczęściej wybiera się wielomiay gdyż moża ławo: obliczać ich warości różiczkować całkować Me.Numer. wykład 3 5
Aproksymacja wielomiaowa Z przybliżeń wielomiaowych wywodzą się meody: ierpolacji eksrapolacji różiczkowaia umeryczego kwadraur rozwiązywaia umeryczego rówań różiczkowych zwyczajych Powiązaia pomiędzy ymi meodami są ławo dosrzegale, gdyż meody ierpolacyje są podsawą wzorów różiczkowaia umeryczego, kwadraur i rozwiązywaia umeryczego rówań różiczkowych. Me.Numer. wykład 3 6
INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Założeie: W przedziale [a,b] daych jes + różych puków,,,, kóre azywamy węzłami ierpolacji, oraz warości pewej ukcji y w ych pukach: i y i dla i,,...,. ierpolacja Me.Numer. wykład 3 7
INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Zadaie ierpolacji: Wyzaczeie przybliżoych warości ukcji w pukach ie będących węzłami oraz oszacowaie błędu ych przybliżoych warości.. W ym celu ależy zaleźć ukcję F, zwaą ukcją ierpolującą, kóra będzie przybliżać ukcję w przedziale [a,b].. Fukcja F w węzłach ierpolacji przyjmuje akie same warości co ukcja y. 3. W zagadieiu ierpolacji wielomiaowej ukcja F jes wielomiaem sopia co ajwyżej. Twierdzeie Isieje dokładie jede wielomia ierpolacyjy sopia co ajwyżej, kóry w pukach,,, przyjmuje warości y, y,, y. Me.Numer. wykład 3 8
Ierpolacja - meoda bezpośredia Przez + puków,y,,y,.,y przechodzi dokładie jede wielomia sopia y a + a +...... + a. gdzie a, a,. a są sałymi współczyikami R Ułożyć + rówań aby zaleźć + sałych Podsawić warość do wielomiau, aby zaleźć y Me.Numer. wykład 3 9
Przykład Tabela Prędkość v jako ukcja czasu s vm/s 7.4 5 36.78 57.35.5 6.97 3 9.67 predkosc vm/s 8 6 4 dae 5 5 5 3 czas s Zaleźć prędkość w chwili 6 s sosując meodę bezpośredią dla dwóch puków Me.Numer. wykład 3
Ierpolacja liiowa v v a a v + a + a 5 36. 78 5 a + a 57. 35 Rozwiązaie układu rówań a.93 a 3.94 y, y, y A zaem v.93+ 3.94, 5 6.93+ 3.94 6 393.7 m/s v Me.Numer. wykład 3
Nie moża obecie wyświelić ego obrazu. Ierpolacja kwadraowa a + a a v + y, y v v v a + a + a 7. 4 5 a + a 5 + a 5 36. 78 a + a + a 57. 35 Rozwiązaie układu rówań, y a.5 a 7. 733 a. 3766 v.5 + 7.733 +.3766, v 6.5 + 7.733 6 +.3766 6 39.9 m/s, y Me.Numer. wykład 3
Ierpolacja kwadraowa v.5 + 7.733 +.3766, 6 39.9m s v / Błąd względy 8 a 39.9 393.7 39.9.384% Vm/s 6 4 5 5 5 3 s Me.Numer. wykład 3 3
Ierpolacja sześciea 3 a + a + a a v + 3 y, y 3, y 3, y, y 3 7.4 a 3 + a + a a3 5 36.78 a 3 + a 5 + a 5 a3 5 57.35 a 3 + a + a a3.5 6.97 a + a.5 + a.5 a. 3 v + v + v + v + 3 5 Me.Numer. wykład 3 4
Ierpolacja sześciea Zadaie domowe Rozwiązać układ rówań: a + a + a + a3 7.4 a + 5a + 5a + 3375a3 36.78 a + a + 4a + 8a3 57.35 a +.5a + 56.5a + 39.65a3 6.97 Podać i arysować v Me.Numer. wykład 3 5
Ierpolacja sześciea -rozwiązaie a 4.54 a.66 a. 34 a.54347. 5 3 v 4.54 +.66 +.34 +.54347 3, 6 39.6 m s v / Błąd względy a 39.6 39.9 39.6.3369 % Me.Numer. wykład 3 6
Porówaie Rząd wielomiau 3 v 6m/s 393.7 39.9 39.6 błąd względy ----------.384 %.3369 % Me.Numer. wykład 3 7
Obliczeia przemieszczeia v od s do 6s 3 4.54 +.66 +.34 +.54347,. 5 6 s 6 s v 6 d 3 4.54 +.66 +.34.54347 + 4.54 +.66 +.34 65 m 3 3 d 4 +.54347 4 6 Me.Numer. wykład 3 8
ν 3 4.54 +.66 +.34 +.54347,. 5 a v d d d d 3 4.54 +.66 +.34 +.54347.66 +.648 +.634 a Obliczeia przyspieszeia,.5 6.66 +.648 6 +.634 6 9.665 m/s Me.Numer. wykład 3 9
Wzór ierpolacyjy Newoa Ierpolacja liiowa: dae są puky,,, y, y szukamy b + b b b Me.Numer. wykład 3 3
Przykład Tabela Prędkość v jako ukcja czasu s vm/s 7.4 5 36.78 57.35.5 6.97 3 9.67 predkosc vm/s 8 6 4 dae 5 5 5 3 czas s Zaleźć prędkość w chwili 6 s sosując meodę Newoa Me.Numer. wykład 3 3
Wiadomo, że: 5, v, v 36.78 57.35 Ierpolacja liiowa v b + b A zaem: v b + b 36.78 + 3.94 v 36.78 Me.Numer. wykład 3 3 b Zajdujemy: b 5, v v 5 3.94 Jako zadaie domowe, proszę sprawdzić czy wyik uzyskay jes zgody z wyikiem ierpolacji bezpośrediej
Ierpolacja liiowa v b + b Szukaa prędkość w chwili 6 s wyosi: v vm/s b + b 5 5 48 46 44 4 4 36.78 + 3.946 393.69 m / s dae 5 38 36 5 6 7 8 9 czas s Me.Numer. wykład 3 33
Me.Numer. wykład 3 34 Ierpolacja kwadraowa b b b + + b b b Dae są puky,, y,, y,, y szukamy
Ierpolacja kwadraowa Wiadomo, że:, v 5, v 7.4 36.78, v 57.35 b v 7.48 b v Zajdujemy: v 7.4 36.78 7.4 5 b v.3766 v v v 3.94 7.48 Me.Numer. wykład 3 35
Ierpolacja kwadraowa A zaem: v b + b + b 7.4 + 7.48 +.3766 5, dla 6s: v 6 b + b 6 + b 6 6 7.4 + 7.486 +.37666 6 39.9 m / s 5 Jako zadaie domowe, proszę sprawdzić czy wyik uzyskay jes zgody z wyikiem ierpolacji bezpośrediej Me.Numer. wykład 3 36
Ierpolacja kwadraowa 55 5 45 dae vm/s 4 35 3 5 9 3 4 5 6 7 8 9 czas s Błąd względy w odiesieiu do poprzediej ierpolacji 39.9 393.69 a 39.9.385 % Me.Numer. wykład 3 37
Me.Numer. wykład 3 38 Ogóla ormuła b b b + + gdzie A zaem ],, [ ], [ ] [ + + ] [ b ], [ b ], [ ], [ ],, [ b iloraz różicowy pierwszego rzędu iloraz różicowy drugiego rzędu
Ogóla ormuła Mając + puków y,, y,...,, y,, y, b + b +... + b... gdzie b [ ] b [, ] b [,, ] b b M [,,..., ] [,,..., ] Me.Numer. wykład 3 39
Ierpolacja sześciea Wielomia 3-ciego sopia, mając dae,,,,,, i,, y y y 3 y3 ma posać 3 [ ] + + [ [ 3,, ],, + [ ],, ] b b, ] b [,, ] [ b 3, ],,, ] [,, ] 3 3 [, 3 ] [ 3 [ 3 Me.Numer. wykład 3 4
Ierpolacja sześciea Zadaie domowe Zaleźć rówaie a prędkość i obliczyć v6s a podsawie ierpolacji sześcieej Newoa : v b + b + b + b3 Dae, v 5, v 7.4 36.78, v 57.35 3.5, v 3 6.97 Zaleźć współczyiki b i Zaleźć drogę przebyą w czasie od s do 6 s. Zaleźć przyspieszeie w chwili 6 s. Me.Numer. wykład 3 4
Rozwiązaie 7. 4 b b 7.48 b 5, 36. 78. 3766 3 b 3.94, 57. 35. 44453 5.4347 3 3.5, 6. 97 34.48 b 7.4; b 7.48; b.3766; b 3 5.4347* -3 Me.Numer. wykład 3 4
Porówaie Rząd wielomiau 3 v6 393.69 39.9 39.6 m/s Błąd względy przybliżeia ----------.385 %.3347 % Me.Numer. wykład 3 43
Me.Numer. wykład 3 44 Ierpolacja z rówo-odległymi węzłami ih i + Dae są warości ukcji i y i dla i,, w pukach rozmieszczoych w jedakowych odsępach:...!...!! Δ + + + Δ + Δ + o o o I h y h y h y y N Pierwszy wielomia ierpolacyjy Newoa ma posać: gdzie k jes różica progresywa k-ego rzędu
Ierpolacja z rówo-odległymi węzłami Różice progresywe: Δ yi i + h i yi+ Δ yi Δ Δyi Δyi+ Δyi y i Jeśli wprowadzimy: orzymamy Te wielomia ierpolacyjy Newoa jes korzysy w pobliżu począku ablicy. Me.Numer. wykład 3 45
Me.Numer. wykład 3 46 Ierpolacja z rówo-odległymi węzłami Drugi wielomia ierpolacyjy Newoa:...!...!! h y h y h y y N II Δ + + + Δ + Δ + Różice wsecze: i i i i i y y h y i i i i y y y y Moża udowodić, że:
Ierpolacja z rówo-odległymi węzłami Jeśli wprowadzimy: Drugi wielomia ierpolacyjy Newoa przybiera posać: Wzór e jes korzysy w pobliżu końca ablicy i zawiera różice wsecze: y i i i h yi yi Me.Numer. wykład 3 47
Me.Numer. wykład 3 48 Iaczej: Wzór ierpolacyjy Lagrage a gdzie: ω j jeswarością pochodej wielomiau ω pukcie j będącym zerem ego wielomiau j j j j j j j j W j ' ω ω ω ω... ω Ogólie:............ j j j j j j j j j j j W + +
Przykład Tabela Prędkość v jako ukcja czasu s vm/s 7.4 5 36.78 57.35.5 6.97 3 9.67 predkosc vm/s 8 6 4 dae 5 5 5 3 czas s Zaleźć prędkość w chwili 6 s sosując meodę ierpolacji wielomiaem Lagrage a dla dwóch puków Me.Numer. wykład 3 49
Me.Numer. wykład 3 5 Ierpolacja liiowa wielomiaem Lagrage a 36.78, 5 v 57.35, v Wiadomo, że: Zajdujemy: A zaem: Jako zadaie domowe, proszę sprawdzić czy wyik uzyskay jes zgody z wyikiem ierpolacji bezpośrediej v L v L v L v i i i + L j j j j L j j j j 57.35 5 5 36.78 5 + + v v v
6 6 5 v6 36.78 + 57.35 5 5.8 36.78 +. 57.35 Ierpolacja liiowa wielomiaem Lagrage a 393.7 5 m / s vm/s 5 48 46 44 4 4 dae 38 36 5 6 7 8 9 czas s Me.Numer. wykład 3 5
Me.Numer. wykład 3 5 Ierpolacja kwadraowa Dae są puky,, y,, y, y szukamy i j j j i j i L v L v L v L v L v i i i + +
Me.Numer. wykład 3 53 Ierpolacja kwadraowa Wiadomo, że: 36.78, 5 v 57.35, v 7.4, v Zajdujemy: L j j j j L j j j j L j j j j A zaem: v v v v + +
Ierpolacja kwadraowa dla 6s: v6 6 + 65 5 6 65 5 7.4 + 57.35 6 5 6 5.87.4 +.9636.78 +.57.35 36.78 39.9 m / s Jako zadaie domowe, proszę sprawdzić czy wyik uzyskay jes zgody z wyikiem ierpolacji bezpośrediej i meodą Newoa. Me.Numer. wykład 3 54
Ierpolacja kwadraowa 55 5 45 dae vm/s 4 35 3 5 9 3 4 5 6 7 8 9 czas s Błąd względy w odiesieiu do poprzediej ierpolacji a 39.9 393.7 39.9.385% Me.Numer. wykład 3 55
Ierpolacja sześciea Zadaie domowe Zaleźć rówaie a prędkość i obliczyć v6s a podsawie ierpolacji sześcieej Lagrage a Dae, v 5, v 7.4 36.78, v 57.35 3.5, v 3 6.97 Zaleźć drogę przebyą w czasie od s do 6 s. Zaleźć przyspieszeie w chwili 6 s. Porówać wyiki z uzyskaymi a podsawie ierpolacji meodą bezpośrediej i Newoa. Me.Numer. wykład 3 56
Porówaie Rząd wielomiau 3 v6 393.69 39.9 39.6 m/s Błąd względy przybliżeia ----------.385 %.3347 % Me.Numer. wykład 3 57
Wzór ierpolacyjy Lagrage a - przykład Niech dae będą puky:,,3,6.zaleźć wielomia ierpolacyjy Lagrage a, kóry będzie przybliżać ukcję π si 6 Rozwiązaie: Warości ukcji w węzłach ierpolacji są asępujące: y, y, y 3, y 6. 3 Moża pokazać, że wielomia ierpolacyjy Lagrage a przyjmuje posać: 3 7 W 3 + 9 9 5 Me.Numer. wykład 3 58
Wzór ierpolacyjy Lagrage a - przykład 5 ukcja -5 y - -5 - -5 siπ/6 wielomia ierpolacyjy W 3 3 7 W 3 + 9 9 5-5 - -5 5 5 Wielomia ierpolacyjy przybliża ukcję ylko pomiędzy skrajymi węzłami, z. w przedziale [,6]. Im miejsze odległości między węzłami, ym lepsze przybliżeie uzyskujemy Me.Numer. wykład 3 59
Oszacowaie błędu wzoru ierpolacyjego Z jaką dokładością wielomia ierpolacyjy W przybliża ukcję w pozosałych pukach leżących wewąrz przedziału <a, b>? Zakładamy, że ukcja w rozparywaym przedziale <a, b> ma pochode do rzędu + włączie. W sup < a, b> + +! i i zależy od wyboru węzłów ierpolacji Me.Numer. wykład 3 6
Ierpolacja za pomocą ukcji sklejaych-splie Moywacja Wady ierpolacji wielomiaowej: Pogorszeie wyików ierpolacji przy zwiększaiu liczby węzłów. Przykład: Zjawisko Rugego przykład źle uwarukowaego zadaia: Ierpolacja wielomiaami wysokich sopi przy sałych odległościach węzłów prowadzi do poważych odchyleń od ierpolowaej ukcji zwłaszcza a końcach przedziału. Ierpolacja a środkowych częściach przedziału jes aomias bardzo dobra i użyecza Przykład: + 5 Me.Numer. wykład 3 6
Ierpolacja wielomiaowa szczególych ukcji Me.Numer. wykład 3 6
Zjawisko Rugego Me.Numer. wykład 3 63
Ierpolacja za pomocą liiowych ukcji sklejaych Mając dae puky:, y,, y,..., y,, y prowadzimy liie prose pomiędzy pukami. Me.Numer. wykład 3 64
Me.Numer. wykład 3 65 + + +... achyleie prosej pomiędzy węzłami Ierpolacja za pomocą liiowych ukcji sklejaych
Ierpolacja kwadraowa za pomocą ukcji sklejaych Mając dae puky:, y,, y,..., y,, y zapisujemy róże ukcje kwadraowe pomiędzy każdą parą puków. Me.Numer. wykład 3 66
Ierpolacja kwadraowa za pomocą ukcji sklejaych a + b + c a + b + c... a + b + c Zaleźć współczyiki a b, c i, i,,..., i i Mamy 3 iewiadomych czyli porzebujemy 3 rówań Me.Numer. wykład 3 67
Ierpolacja kwadraowa za pomocą ukcji sklejaych Każda parabola przechodzi przez dwa sąsiedie puky, czyli mamy rówań a + b + c a + b + c. i ai i + bi i i ai i + bi i ci + c +. a + b a + b c + c + Me.Numer. wykład 3 68 i
dla. Ierpolacja kwadraowa za pomocą ukcji sklejaych Dodakowe waruki orzymujemy żądając ciągłości pierwszych pochodych w - wewęrzych pukach węzłowych: + b c a + ' a b + a zaem a a + b + b a + b a + b + c a + b + b a Me.Numer. wykład 3 69
Ierpolacja kwadraowa za pomocą ukcji sklejaych Prowadzi o do - rówań posaci: a + b a b a + b a3 b3. a b a b i i. a b a + + i i+ i i+ b Całkowia liczba rówań wyosi +-3- Porzebe jedo rówaie może przyjąć posać p. a Pierwsza ukcja sklejaa jes liiowa. Me.Numer. wykład 3 7
Przykład Tabela Prędkość v jako ukcja czasu s vm/s 7.4 5 36.78 57.35.5 6.97 3 9.67 predkosc vm/s 8 6 4 dae 5 5 5 3 czas s Zaleźć prędkość w chwili 6 s sosując meodę ierpolacji za pomocą kwadraowych ukcji sklejaych Me.Numer. wykład 3 7
Rozwiązaie c v a + b +, b c, a + + 5 b c 3 3 3, a + + 5 b c 4 4 4, a + +. 5 b c 5 5 a + +.5 3 5, Me.Numer. wykład 3 7
Każda ukcja sklejaa przechodzi przez dwa sąsiedie puky c v a + b +, a + b + c a + b + c 7.4 predkosc vm/s 8 6 4 dae 5 5 5 3 czas s Me.Numer. wykład 3 73
Dalsze rówaia s vm/s 7.4 5 36.78 57.35.5 6.97 3 9.67 Jes rówań, 5 poszukiwaych współczyików a + b + c a 5 + b 5 + c a a a a a a 3 5 + b3 5 + c3 3 + b3 + c3 4 + b4 + c4 4.5 + b4.5 + c4 5.5 + b5.5 + c5 5 3 + b5 3 + c5 7.4 36.78 36.78 57.35 57.35 6.97 6.97 9.67 Me.Numer. wykład 3 74
Żądaie ciągłości pochodych d d v a + b +, c a + b + c, 5 a + b + c a + b + c d d a + b a + b + b a a + b a + b a b Me.Numer. wykład 3 75
dla s Żądaie ciągłości pochodych - cd a + b a b dla 5s dla s a 5 + b a35 b3 a + b3 a4 b4 3 dla.5s a.5 + b4 a5.5 b5 4 4 dodakowe rówaia osaie rówaie a Me.Numer. wykład 3 76
Me.Numer. wykład 3 77 9.67 6.97 6.97 57.35 57.35 36.78 36.78 7.4 7.4 45 45 4 4 3 3 3 9.5 56.5.5 56.5 4 4 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 c b a c b a c b a c b a c b a Osaeczy układ 5 rówań a 5 iewiadomych
bc a i Warości współczyików i a i b i c i.74.8888 4.98 88.88 3 -.356 35.66-4.6 4.648-33.956 554.55 5.889 8.86-5.3 Proszę sprawdzić czy podae warości są prawidłowe Me.Numer. wykład 3 78
Osaecze rozwiązaie v.74,.8888 + 4.98 + 88.88,.356 + 35.66 4.6, 5 5.648 33.956 + 554.55,. 5.889 + 8.86 5.3,.5 3 Me.Numer. wykład 3 79
a Prędkość w chwili 6s v.74,.8888 + 4.98 + 88.88, 5.356 + 35.66 4.6, 5.648 33.956 + 554.55,. 5.889 + 8.86 5.3,.5 3 v Prędkość w określoym pukcie 6.356 6 + 35.66 6 394.4 m/s 4.6 Jako zadaie domowe, proszę porówać obliczoą warość prędkości z warością orzymaą za pomocą ierpolacji wielomiaowej Me.Numer. wykład 3 8
b Przyspieszeie w 6 s Przyspieszeie w określoym pukcie v.74,.8888 + 4.98 + 88.88, 5.356 + 35.66 4.6, 5.648 33.956 + 554.55,. 5.889 + 8.86 5.3,.5 3 a d d 6 v 6 Me.Numer. wykład 3 8
Przyspieszeie w określoym pukcie, Fukcja kwadraowa sklejaa prawdziwa w pukcie 6s jes daa jako.356 + 35.66 4.6, v 5 a d.356 + 35.66 d.7 + 35.66, 4.6 a 6.76 + 35.66 3.3m/s Jako zadaie domowe, proszę porówać obliczoą warość przyspieszeia z warością orzymaą za pomocą ierpolacji wielomiaowej Me.Numer. wykład 3 8
c Zaleźć drogę przebyą przez rakieę od s do 6s. v.74,.8888 + 4.98 + 88.88, 5.356 + 35.66 4.6, 5.648 33.956 + 554.55,. 5.889 + 8.86 5.3,.5 3 S Droga z proilu prędkości 6 S 6 v d Me.Numer. wykład 3 83
Droga z proilu prędkości.8888 + 4.98 + 88.88, v 5 S.356 + 35.66 4.6, 5 6 S v d v d + 6 v d 5 + 6 5.8888.356 5 + 4.98 + 35.66 6 5 + 88.88 d 4.6 d 595.9 m Jako zadaie domowe, proszę porówać obliczoą warość przebyej odległości z warością orzymaą za pomocą ierpolacji wielomiaowej Me.Numer. wykład 3 84
Błąd wzoru ierpolacyjego W sup < a, b> + +! i i Przyjmujemy ozaczeia: M + sup + < a, b> Kres góry modułu +-szej pochodej ukcji a przedziale <a,b> ω... Me.Numer. Wykład 4 85
Błąd wzoru ierpolacyjego Przykład: M + W ω +! Oceić, z jaką dokładością moża obliczyć warość l,5 przy użyciu wzoru ierpolacyjego Lagrage a, jeżeli dae są warości: l, l, l, l 3 l, l,5 W M 4 3,,5 a, b 3, 4 sup <,3> 4 6 4 6 6,5,5,5,5,344 4 4! 4 9 Me.Numer. Wykład 4 86
Opymaly dobór węzłów ierpolacji M + W ω +! Wielkość błędu zależy od wyboru węzłów ierpolacji poprzez ω. Na M + ie mamy wpływu. Jak wybrać węzły ierpolacji i, aby: sup ω < a, b> miało jak ajmiejszą warość Zagadieie zosało sormułowae przez rosyjskiego maemayka P.L. Czebyszewa jako zagadieie zajdowaia wielomiau algebraiczego ajlepiej przybliżającego zero a zadaym przedziale. Me.Numer. Wykład 4 87
Wielomiay Czebyszewa T cos arc cos Wielomiay Czebyszewa pierwszego rodzaju: Moża pokazać, że wielomia T jes ideyczy z pewym wielomiaem algebraiczym zawężoym do przedziału <-,>. T T cos arc cos T cosarc cos 3 T cos3arc cos 4 3 3 wzór rekurecyjy T T T Me.Numer. Wykład 4 88
Me.Numer. Wykład 4 89 Wielomiay Czebyszewa pierwszego rodzaju są rozwiązaiem rówaia różiczkowego: + T d dt d T d Wielomiay Czebyszewa Deiiuje się je poprzez wzór Rodriguesa: [ ]!! d d T w Wielomiay Czebyszewa pierwszego rodzaju są orogoale w przedziale <-,> z wagą:
Opymaly dobór węzłów ierpolacji Każdy wielomia Czebyszewa sopia ma różych pierwiasków w pukach: m zawarych między - i + m + cos π, m,,,..., Współczyik przy ajwyższej poędze w T jes rówy -. Szukamy wielomiau, kóry przy ajwyższej poędze ma współczyik rówy jedości T T... + + gdzie m m,,,, są pierwiaskami wielomiau T + Me.Numer. Wykład 4 9
Opymaly dobór węzłów ierpolacji Wyrażeie: sup < a, b> ω w przedziale <-,> ma ajmiejszą warość dla wielomiau: wówczas: ω T... + sup <,> ω Jeżeli w przedziale <-,> za węzły ierpolacji przyjmiemy zera wielomiau Czebyszewa, o M + W +! Me.Numer. Wykład 4 9
Opymaly dobór węzłów ierpolacji W dowolym przedziale <a,b> oszacowaie błędu wyosi: przy wyborze węzłów M +! + + b a W + m + m b acos b a, m,,,..., π + + + Nowe węzły m ie są rozmieszczoe w rówych odsępach lecz są zagęszczoe przy końcach przedziału. b a z + b + a Prose rasormacje liiowe sprowadzają z przedziału <a,b> do z ależącego do z b a <-,> Me.Numer. Wykład 4 9 [ ] b a
Podsumowaie ierpolacji Przeczyać i przeaalizować rozdział..8 Uwagi końcowe, Z.Forua, B.Macukow, J.Wąsowski, Meody umerycze Wioski:. Przy obliczaiu warości wielomiau ierpolacyjego w jedym lub kilku pukach problem wyboru posaci wzoru ierpolacyjego ie jes isoy.. Rodzaj wybraego wzoru i rozmieszczeie węzłów ma wpływ jedyie a błąd obliczeń. 3. O czasochłoości obliczeń decyduje liczba możeń i dzieleń. dla wielomiau Lagrage a saowi o +4+ dla wielomiau Newoa / +3/ Me.Numer. Wykład 4 93