Opis matematyczny ukªadów liniowych

Rozdziaª 1 Opis matematyczny ukªadów liniowych Autorzy: Alicja Golnik 1.1 Formy opisu ukªadów dynamicznych 1.1.1 Liniowe równanie ró»niczkowe Podstawow metod przedstawienia procesu dynamicznego jest zbiór równa«ró»niczkowych zwyczajnych, zwanych równaniami ruchu b d¹ równaniami dynamiki. Ze wzgl du na nieliniowo± ukªadów rzeczywistych, opis liniowy jest zazwyczaj opisem przybli»onym, opisuj cym obiekt w otoczeniu wybranego punktu pracy, który najcz ±ciej odpowiada charakterystycznym warunkom pracy. Ogólna posta równania ró»niczkowego ukªadu liniowego ma posta (1.1 ): d n y a n n + a d n 1 y n 1 n 1 + + a d m u y = b m m + b d m 1 u m 1 m 1 + + b u (1.1) Punkt pracy odpowiada pocz tkowi ukªadu wspóªrz dnych, natomiast u i y s odchyªkami sygnaªów od tego punktu. Oznacza to,»e sygnaª u jest warto±ci zmiany sygnaªu steruj cego, a y sygnaªu wyj±ciowego z obiektu. Wspóªczynniki a i i b i s staªymi wspóªczynnikami równania ró»niczkowego. W praktyce, równanie to opisuje, jak zmieniaª si b dzie sygnaª wyj±ciowy w odpowiedzi na zmiany sygnaªu wej±ciowego. Niech obiektem b dzie domowy grzejnik (wymiennik cieplny typu woda-powietrze). Regulacja temperatury odbywa si poprzez nastawy zaworu dopªywu wody. W wyniku wprowadzenia na wej±cie wymuszenia w postaci przestawiania pokr tªa regulacji uzyskujemy pewn zmian jego temperatury w funkcji czasu. To jaki b dzie charakter zmian temperatury w zale»no±ci od zmian ustawienia zaworu opisuje wªa- ±nie równanie ró»niczkowe obiektu. Ukªadem liniowym nazywamy ukªad, w którym speªniona jest zasada superpozycji: y (u 1 + u 2 ) = y (u 1 ) + y (u 2 ) (1.2) 1

Równanie 1.2 oznacza,»e reakcja ukªadu na zmian jego sygnaªów wej±ciowych jest sum reakcji ukªadu na zmiany poszczególnych wej±. Ukªad w którym nie jest zachowana zasada superpozycji nazywany jest ukªadem nieliniowym. 1.1.2 Charakterystyka statyczna Opisuje jaka b dzie ko«cowa warto± odchyªki sygnaªu wyj±ciowego obiektu przy danej odchyªce sygnaªu steruj cego w stanie ustalonym (po ustabilizowaniu si odpowiedzi, czyli dla czasu d» cego do niesko«czono±ci). y = lim t y (t) (1.3) Poniewa» w stanie ustalonym wszystkie pochodne sygnaªu wej±ciowego i sygnaªu wyj±ciowego s równe zero, to równanie ró»niczkowe sprowadza si do postaci: y = b a u (1.4) Czyli sygnaª wyj±ciowy zale»y liniowo od sygnaªu wej±ciowego. Parametrem proporcjonalno±ci jest wi c wspóªczynnik b a. Liniowo± ±wiadczy o tym,»e odpowied¹ ukªadu b dzie proporcjonalna do zmiany sterowania a wspóªczynnik proporcjonalno±ci zale»no±ci jest staªy. Wracaj c do naszego przykªadu: W przypadku grzejnika, charakterystyka statyczna mówi o zale»no±ci temperatury ko«cowej, jaka si ustali w wyniku danej zmiany ustawienia zaworu. Charakterystyka statyczna mówi wi c nam o tym, jaki wzrost (ewentualnie spadek) warto±ci sygnaªu wyj±ciowego zaobserwujemy w stanie ustalonym przy okre±lonej zmianie sygnaªu wej±ciowego. Wspóªczynnik proporcjonalno±ci deniuje jaki jest stosunek zmiany temperatury do warto±ci sterowania. Przykªadowo przekr cenie pokr tªa regulacji zawodu o jedn pozycj, po ustabilizowaniu, mo»e spowodowa wzrost temperatury o 1 stopie«lub o 5 stopni w zale»no±ci od rodzaju grzejnika. 1.1.3 Charakterystyka dynamiczna Charakterystyka dynamiczna okre±la odpowied¹ ukªadu na zadane wymuszenie (zmian sygnaªu steruj cego). Znajomo± odpowiedzi ukªadu na typowe wymuszenie pozwala nam na okre±lenie jego wªa±ciwo±ci dynamicznych. Ilustruje ksztaªtowanie si przebieg wielko±ci wyj±ciowej w odpowiedzi na zadany sygnaª wej±ciowy. Okre±la tempo i charakter odpowiedzi. Przykªadowo, czy i jak szybko temperatura grzejnika si ustabilizuje, w jaki sposób i w jakim tempie b dzie narasta, po wprowadzeniu zmiany sterowania. Typowymi charakterystykami stosowanymi w automatyce s : 2

Odpowied¹ impulsowa przebieg wielko±ci wyj±ciowej uzyskany na skutek zmiany wielko±ci wej±ciowej w postaci impulsu Diraca. Odpowied¹ skokowa - przebieg wielko±ci wyj±ciowej uzyskany na skutek zmiany wielko±ci wej±ciowej w postaci skoku o warto± staª. Odpowied¹ na sygnaª liniowo narastaj cy - przebieg wielko±ci wyj±ciowej uzyskany na skutek liniowego narastania sygnaªu wej±ciowego. Odpowied¹ ukªadu mo»na wyznaczy bezpo±rednio z równa«ró»niczkowych, zakªadaj c warunki pocz tkowe i rozwi zuj c równanie. 1.1.4 Transmitancja operatorowa Transmitancj operatorow ukªadu nazywamy stosunek transformaty Laplace'a sygnaªu wyj±ciowego do transformaty Laplace'a sygnaªu wej±ciowego przy zerowych warunkach pocz tkowych i oznaczamy symbolem G (s). Maj c dane równanie ró»niczkowe ukªadu w postaci ogólnej (1.1 ), mo»emy je przeksztaªci przy pomocy transformaty Laplace'a d n y L a n n + a d n 1 } y n 1 n 1 + + a y = L b m d m u m + b m 1 d m 1 } u m 1 + + b u (1.5) do postaci: y (s) ( a n s n + a n 1 s n 1 + + a ) = u (s) ( bm s m + b m 1 s m 1 + + b ) (1.6) Z równania 1.6 wynika,»e stosunek transformaty sygnaªu wyj±ciowego do transformaty sygnaªu wej±ciowego b dzie miaª posta : G (s) = y (s) u (s) = b ms m + b m 1 s m 1 + + b a n s n + a n 1 s n 1 + + a, n m (1.7) W wi kszo±ci przypadków transmitancj operatorow mo»emy zapisa w postaci: G (s) = M (s) N (s) (1.8) gdzie M (s) i N (s) s wielomianami licznika i mianownika. Równaniem charakterystycznym ukªadu nazywamy zale»no± : N (s) = (1.9) Na podstawie transmitancji mo»na, wykonuj c dziaªania odwrotne ni» przy jej wyznaczaniu, uzyska równanie ró»niczkowe obiektu. Transmitancja operatorowa i równanie ró»niczkowe s wi c równorz dn form opisu wªa±ciwo±ci dynamicznych ukªadu. Z transmitancji operatorowej mo»na bezpo±rednio wyznaczy zarówno charakterystyk statyczn jak i dynamiczn obiektu. 3

Wyznaczenie charakterystyki statycznej Charakterystyk statyczn wyznaczamy korzystaj c z twierdzenia o warto±ci ko«cowej (1.1 ): y = lim t y (t) = lim s s y (s) = lim s s G (s) u (s) (1.1) Gdzie u (s) jest oczywi±cie transformat Laplace'a sygnaªu wej±ciowego u (t). Poniewa» dla u (t) = u = const. transformata Laplace'a sygnaªu wej±ciowego ma posta : to: u (s) = 1 s u (1.11) y = lim s s G (s) 1 s u = lim s G (s) u = u lim s G (s) (1.12) zgodnie z zale»no±ci 1.4 mo»emy zauwa»y, ze: y u = b a (1.13) Wyznaczenie charakterystyki dynamicznej (odpowiedzi ukªadu) wyznaczamy korzystaj c z odwrotnego przeksztaªcenia Laplace'a. Odpowied¹ ukªadu G (s) = y (s) u (s) y (s) = G (s) u (s) y (t) = L 1 [G (s) u (s)] (1.14) 1.1.5 Opis przy pomocy wspóªrz dnych stanu Ukªad dynamiczny mo»na przedstawi w postaci liniowego modelu z czasem ci gªym w przestrzeni stanu w nast puj cy sposób: ẋ (t) = Ax (t) + Bu (t) y (t) = Cx (t) + Du (t) (1.15) Gdzie: x - wektor stanu ukªadu u - wektor sygnaªów wej±ciowych ukªadu y - wektor sygnaªów wyj±ciowych ukªadu Macierze A, B, C, D s macierzami rzeczywistymi odpowiednich wymiarów. Ka»de liniowe zwyczajne równanie n-tego stopnia mo»na przedstawi w postaci modelu w przestrzeni stanu. Istota modelu ukªadu w przestrzeni stanu polega na tym»e [?]: 4

1. przyszªe zachowanie si ukªadu zale»y od aktualnego stanu ukªadu i przyszªych sterowa«, nie zale»y od stanów przeszªych, 2. jest jednolite podej±cie do ukªadów jedno- i wielowymiarowych, oraz 3. dziaªania na macierzach s ªatwe do przeprowadzenia na komputerze. Przykªad wyznaczania równa«stanu na podstawie równania ró»niczkowego [ [?], [?]]: [?][?] Maj c dane równanie ró»niczkowe postaci: chcemy je zapisa w postaci równa«ró»niczkowych: y n + a n 1 y (n 1) + + a y = b u (1.16) ẋ 1 ẋ 2 ẋ n x 1 x 2 = A x n y (t) = C x 1 x 2 x n + Bu (t) (t) + Du (t) (1.17) czyli d»ymy do wyznaczenia równa«postaci: ẋ 1 = f 1 (x 1, x 2,, x n ; u; t) ẋ n = f n (x 1, x 2,, x n ; u; t) y (t) = g 1 (x 1, x 2,, x n ; u; t) (1.18) Wprowadzamy oznaczenia: x 1 = y x 2 = ẋ 1 = ẏ x 3 = ẋ 2 = ẍ 1 = ÿ x n = ẋ n 1 = y (n 1) (1.19) z których wynika,»e: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 3 ẋ n 1 = x n ẋ n = ẍ n 1 = y (n) (1.2) 5

Na podstawie równania 1.16 widzimy,»e: podstawiaj c zale»no± 1.21 do 1.2 otrzymujemy: y (n) = a n 1 y (n 1) a y + b u (1.21) ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 3 ẋ n 1 = x n ẋ n = a n 1 y (n 1) a y + b u y = x 1 (1.22) czyli ostatecznie, wykorzystuj c oznaczenia 1.19 otrzymujemy równania stanu postaci: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 3 ẋ n 1 = x n ẋ n = a n 1 x n a n 2 x n 1 a x 1 + b u y = x 1 (1.23) Równania 1.23 mo»na zapisa w postaci macierzowej. Otrzymujemy wówczas: ẋ 1 ẋ 2 ẋ n = 1 1 1 a a 1 a 2 a n 1 y (t) = [ 1 ] x 1 x 2 x n + [ ] u (t) x 1 x 2 x n 1 x n + b u (t) (1.24) ostatecznie otrzymujemy wi c opis w przestrzeni stanu postaci: ẋ (t) = Ax (t) + Bu (t) y (t) = Cx (t) + Du (t) (1.25) o macierzach wspóªczynników: A = 1 1 1 a a 1 a 2 a n 1 C = [ 1 ], D = [ ], B = b (1.26) 6

Wyznaczanie równa«stanu na podstawie transmitancji [??]?? Równania stanu mo»emy wyznaczy z transmitancji operatorowej w nast puj cy sposób: Maj c równanie ró»niczkowe: d n y n + a d n 1 y n 1 n 1 + + a d m u y = b m m + b d m 1 u m 1 m 1 + + b u (1.27) mo»emy zapisa transmitancj operatorow w postaci: G (s) = y (s) u (s) = b ms m + b m 1 s m 1 + + b 1 s + b s n + a n 1 s n 1 + + a 1 s + a (1.28) nast pnie mno»ymy j przez wyra»enie s n s n i otrzymujemy: a po przeksztaªceniu: wprowadzamy: G (s) = y (s) u (s) = b ms m n + b m 1 s m 1 n + + b 1 s 1 n + b s n 1 + a n 1 s 1 + + a 1 s 1 n + a s n (1.29) y (s) = b ms m n + b m 1 s m 1 n + + b 1 s 1 n + b s n 1 + a n 1 s 1 + + a 1 s 1 n + a s n u (s) (1.3) E (s) = i po podstawieniu otrzymujemy: u (s) 1 + a n 1 s 1 + + a 1 s 1 n + a s n (1.31) y (s) = [ b m s m n + b m 1 s m 1 n + + b 1 s 1 n + b s n] E (s) (1.32) mo»emy równie» zauwa»y,»e mo»emy przeksztaªci równanie 1.31 do postaci: po pomno»eniu: u (s) = [ 1 + a n 1 s 1 + + a 1 s 1 n + a s n] E (s) (1.33) i ostatecznie: u (s) = E (s) + [ a n 1 s 1 + + a 1 s 1 n + a s n] E (s) (1.34) E (s) = u (s) [ a n 1 s 1 + + a 1 s 1 n + a s n] E (s) (1.35) 7

Wprowadzamy oznaczenia: x 1 = Es n x 2 = x 1 s = Es n+1 x 3 = x 2 s = Es n+2 x n 1 = x n 2 s = Es 2 x n = x n 1 s = Es 1 (1.36) z których wynika,»e: x 1 s = x 2 x 2 s = x 3 x n 1 s = x n x n s = x n 1 s 2 = E (1.37) podstawiaj c zale»no± 1.35 do 1.37 otrzymujemy: x 1 s = x 2 x 2 s = x 3 x n 1 s = x n x n s = a n 1 Es 1 a n 2 Es 2 a Es n + u (1.38) czyli ostatecznie, wykorzystuj c oznaczenia 1.36 i zale»no± 1.32 otrzymujemy równania stanu postaci: x 1 s = x 2 x 2 s = x 3 x n 1 s = x n x n s = a n 1 x n a n 2 x n 1 a x 1 + u y = b m x m+1 + b m 1 x m + + b 1 x 2 + b x 1 (1.39) Po przeksztaªceniu odwrotnym Laplace`a otrzymujemy równania stanów i wyj±cia postaci: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 3 ẋ n 1 = x n ẋ n = a n 1 x n a n 2 x n 1 a x 1 + u y = b m x m+1 + b m 1 x m + + b 1 x 2 + b x 1 (1.4) Równania 1.4 mo»na zapisa w postaci przestrzeni stanu postaci: macierzowej. Otrzymujemy wówczas opis w ẋ (t) = Ax (t) + Bu (t) y (t) = Cx (t) + Du (t) (1.41) 8

o macierzach wspóªczynników: A = 1 1 1 a a 1 a 2 a n 1, B = C = [ b b 1 b m ], D = [ ] 1 (1.42) Opis w przestrzeni stanu mo»emy równie» uzyska korzystaj c z metody gracznej. Przy pomocy schematu blokowego,s n E (s)mo»emy przedstawi w nast puj cy sposób: Rysunek 1.1 Schemat blokowy obiektu, cz.i Zgodnie z równaniem 1.34 mo»emy uzupeªni schemat nast puj co: Rysunek 1.2 Schemat blokowy obiektu, cz.ii Korzystaj c z równania 1.32 mo»emy uzupeªni schemat i wprowadzi oznaczenia stanów: 9

Rysunek 1.3 Schemat blokowy obiektu, cz.iii Na podstawie schematu blokowego 1.3 mo»emy napisa,»e: x 1 = x 2 x 2 = x 3 x n = a x 1 a 1 x 2 a n 1 x n + u (1.43) y = b x 1 + b 1 x 2 + + b m x m+1 (1.44) Warto zauwa»y,»e macierze A, B, C, D maj wi c posta : A = 1 1 1 a a 1 a 2 a n 1, B = C = [ b b m ], D = [ ] 1 (1.45) 1.2 Przykªady zada«przykªad 1.1 Dane jest równanie ró»niczkowe ukªadu: T 2 1 Wyznaczy transmitancj operatorow d 2 y 2 + T dy 2 + y = ku (1.46) 1

Rozwi zanie: Stosujemy przeksztaªcenie Laplace'a: L T 2 1 d 2 } y 2 + T dy 2 + y = L k u} (1.47) Na podstawie twierdzenia o liniowo±ci (???), mo»emy napisa : a nast pnie: L T 2 1 T 2 1 L d 2 } } y dy 2 + L T 2 + L y} = L k u} (1.48) d 2 } } y dy 2 + T 2 L + y = kl u} (1.49) Z twierdzenia o transformacie pochodnych, przy zerowych warunkach pocz tkowych: L f(t) n } = s n L f (t)} i L f (t)} = f (s), czyli L f(t) n } = s n L f (t)} = s n f (s), otrzymujemy: Po przeksztaªceniu otrzymujemy: T 2 1 s 2 y (s) + T 2 s y (s) + y (s) = k u (s) (1.5) Ostatecznie szukana transmitancja ma posta : y (s) (T 2 1 s 2 + T 2 s + 1 ) = u (s) (k) (1.51) Przykªad 1.2 G (s) = y (s) u (s) = Dana jest transmitancja operatorowa ukªadu: k (T 2 1 s 2 + T 2 s + 1) G (s) = y (s) u (s) = s 2 + 1 s 3 + 1s 2 + 2s + 1 (1.52) (1.53) Poda równanie ró»niczkowe. Rozwi zanie: Na pocz tku przeksztaªcamy transmitancj operatorow do postaci: y (s) ( s 3 + 1s 2 + 2s + 1 ) = u (s) (s 2 + 1 ) (1.54) s 3 y (s) + 1s 2 y (s) + 2s y (s) + y (s) = s 2 u (s) + u (s) (1.55) 11

Tym razem potrzebujemy wyznaczy oryginaª funkcji na podstawie transformaty. Dlatego te» korzystamy z odwrotnej transformaty Laplace'a: L 1 s 3 y (s) + 1s 2 y (s) + 2s y (s) + y (s) } = L 1 s 2 u (s) + u (s) } (1.56) Ostatecznie otrzymujemy równanie ró»niczkowe postaci: Przykªad 1.3 Ukªad opisany jest równaniem ró»niczkowym: d 3 y 3 + y 1d2 2 + 2dy + y = d2 u 2 + u (1.57) d 2 y 2 + 4dy + y = 2du + 3u (1.58) Wyznaczy transmitancj i charakterystyki statyczne ukªadu. Rozwi zanie: Korzystaj c z przeksztaªcenia Laplace'a wyznaczamy transmitancj operatorow : ( s 2 + 4s + 1 ) y (s) = (2s + 3) u (s) (1.59) G (s) = y (s) u (s) = 2s + 3 s 2 + 4s + 1 (1.6) Na podstawie twierdzenia o warto±ci ko«cowej wyznaczamy charakterystyk statyczn ukªadu z zale»no±ci: czyli w naszym przypadku otrzymujemy: Przykªad 1.4 Dane s równania ró»niczkowe ukªadu: y = u lim s G (s) (1.61) y = u lim s 2s + 3 s 2 + 4s + 1 = 3u (1.62) 2 d 2 y 2 + 8 dy u = u 1 4 du 2 + 5y = 9 du + 3u u 3 Wyznaczy transmitancj i charakterystyki statyczne ukªadu. Rozwi zanie: (1.63) 12

Wprowadzamy sygnaª zast pczy z: czyli: z = 3 ( 3 du ) + u u 3 (1.64) 2 d 2 y 2 + 8 dy + 5y = 3 ( 3 du + u) u 3 u = u 1 4 du 2 W wyniku przeksztaªcenia Laplace'a otrzymujemy: 2 d 2 y 2 + 8 dy + 5y = z u = u 1 4 du 2 (1.65) (2s 2 + 8s + 5) y (s) = z (s) u (s) = u 1 (s) 4su 2 (s) (1.66) gdzie: z (s) = 3 (3s + 1) u (s) u 3 (s) i ostatecznie otrzymujemy równania: y(s) z(s) = 1 2s 2 +8s+5 u (s) = u 1 (s) 4su 2 (s) (1.67) z (s) = 3 (3s + 1) u (s) u 3 (s) (1.68) Ostatecznie, na podstawie równania 1.67 i 1.68 mo»emy napisa : I ostatecznie: y (s) = z (s) 2s 2 + 8s + 5 = 3 (3s + 1) [u 1 (s) 4su 2 (s)] u 3 (s) 2s 2 + 8s + 5 y (s) = 3 (3s + 1) u 1 (s) 12 (3s + 1) s u 2 (s) u 3 (s) 2s 2 + 8s + 5 (1.69) (1.7) Korzystaj c z zasady superpozycji (1.2 ) mo»emy napisa,»e: y (s) = 3 (3s + 1) 2s 2 + 8s + 5 u 12 (3s + 1) s 1 (s) 2s 2 + 8s + 5 u 1 2 (s) 2s 2 + 8s + 5 u 3 (s) (1.71) i wyznaczy charakterystyki statyczne dla kolejnych wej± ukªadu: y (1) = 3 5 u 1 (1.72) y (2) = (1.73) y (3) = 1 5 u 3 (1.74) 13

Przykªad 1.5 Wyznaczy odpowied¹ y (t) na wymuszenie skokowe u (t) = 1 (t) u st dla ukªadu o transmitancji: Rozwi zanie: G (s) = k (T 1 s + 1) (T 2 s + 5) (1.75) y (s) = k u (s) (1.76) (T 1 s + 1) (T 2 s + 5) Z tablic transformat wiemy,»e transformata funkcji u (t) = 1 (t) u st ma posta u (s) = 1 s u st. Po podstawieniu otrzymujemy: y (s) = k (T 1 s + 1) (T 2 s + 5) 1 s u st = wprowadzamy zmienn T 3 = T 2 5 i otrzymujemy: Na podstawie tablicy transformat wiemy»e: k (T 1 s + 1) 5 ( T 2 5 s + 1 ) 1 s u st (1.77) y (s) = 1 5 k 1 s (T 1 s + 1) (T 3 s + 1) u st (1.78) [ ] L 1 1 s (T 1 s + 1) (T 2 s + 1) I mo»emy ju» wyznaczy odpowied¹ ukªadu postaci: Przykªad 1.6 = 1 + T 1e t/t 1 T 2 e t/t 2 T 2 T 1 (1.79) y (t) = 1 ( 5 k 1 + T 1e t/t 1 T 3 e t/t ) 3 u st (1.8) T 3 T 1 Wyznaczy odpowied¹ y (t) na wymuszenie impulsowe u (t) = δ (t) dla ukªadu o transmitancji: Rozwi zanie: G (s) = k (T 1 s + 1) (T 2 s + 1) Ts (1.81) s 2 + T 2 [ k y (s) = (T 1 s + 1) (T 2 s + 1) Ts ] s 2 + T 2 u (s) (1.82) 14

Z tablic transformat wiemy,»e dla wymuszenia impulsowego: u (s) = 1. Po podstawieniu do wzoru 1.82 i wykonaniu prostych przeksztaªce«, otrzymujemy: y (s) = k 1 s ( ) ( ) T (1.83) T 1 T 2 s + 1 T 1 s + 1 s 2 + T 2 T 2 Na podstawie twierdzenia o liniowo±ci mo»emy zastosowa przeksztaªcenie Laplace'a osobno dla ka»dego skªadnika sumy. Otrzymujemy wówczas (na podstawie tablicy transformat): A po uproszczeniu: Przykªad 1.7 y (t) = y (t) = k e T 1 T 2 k T 1 T 2 t T 1 e t T 2 1 T 1 1 T costt (1.84) T 2 ( ) e t T 1 e t T 2 T costt (1.85) Wyznaczy odpowied¹ ukªadu y (t) na wymuszenie skokowe u (t) = δ (t) dla ukªadu o transmitancji: G (s) = s 2 (s + 3) (s 1) (s 2) (1.86) Wskazówka: przedstawi y (s) w postaci A + B + C. s+3 s 1 s 2 Rozwi zanie: Analogicznie do przykªadu 1.5, wiedz c»e u (s) = u st mo»emy napisa : y (s) = s 2 (s + 3) (s 1) (s 2) u st (1.87) A W celu przedstawieniay (s)w postaci + B + C musimy wyznaczy warto±ci wspóªczynników A, B i C. W tym celu stosujemy rozkªad na uªamki proste s+3 s 1 s 2 (???): s 2 = A (s 1) (s 2) + B (s + 3) (s 2) + C (s + 3) (s 1) (1.88) s 2 = A ( s 2 2s s + 2 ) + B ( s 2 2s + 3s 6 ) + C ( s 2 s + 3s 3 ) (1.89) s 2 = A ( s 2 3s + 2 ) + B ( s 2 + s 6 ) + C ( s 2 + 2s 3 ) (1.9) s 2 = (A + B + C) s 2 + ( 3A + B + 2C) s + (2A 6B 3C) (1.91) 15

Otrzymujemy nast puj cy ukªad równa«: A + B + C = 1 3A + B + 2C = 2A 6B 3C = (1.92) dodaj c stronami otrzymujemy: 4B = 1 B = 1 4 (1.93) oraz ukªad równa«: A + C = 5 4 3A + 2C = 1 4 (1.94) mno»ymy stronami pierwsze równanie zale»no±ci 1.94 przez -2 i otrzymujemy: 5A = 9 4 A = 9 2 (1.95) i ostatni parametr: C = 5 4 9 2 = 16 2 = 4 5 Teraz, zale»no±?? mo»emy przedstawi w postaci: (1.96) y (s) = ( 9 2 1 s + 3 1 4 1 s 1 + 4 5 ) 1 u st (1.97) s 2 Korzystaj c z tablicy transformat, mo»emy wyznaczy równanie charakterystyki dynamicznej: Przykªad 1.8 y (s) = ( 9 2 e 3t 1 4 et + 4 5 e2t ) u st (1.98) Dane jest równanie ró»niczkowe ukªadu. Poda równania stanu i wyj± tego ukªadu. Rozwi zanie: Zale»no± 1.99 przeksztaªcamy do postaci: 2 d3 y 3 + y 4d2 2 + 1dy + 2y = 6u (1.99) d 3 y 3 + y 2d2 2 + 5dy + y = 3u (1.1) 16

i wprowadzamy oznaczenia: po przeksztaªceniu równa«1.11 otrzymujemy: x 1 = y x 2 = ẋ 1 = dy (1.11) x 3 = ẋ 2 = d2 y 2 podstawiaj c zale»no± 1.1, otrzymujemy: y = x 1 ẋ 1 = x 2 = dy ẋ 2 = x 3 = d2 y 2 ẋ 3 = d3 y 3 y = x 1 ẋ 1 = x 2 = dy ẋ 2 = x 3 = d2 y 2 ẋ 3 = 2 d2 y 2 5 dy y + 3u i wykorzystuj c wprowadzone oznaczenia mo»emy napisa równania stanu: y = x 1 ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 3 ẋ 3 = 2x 3 5x 2 x 1 + 3u (1.12) (1.13) (1.14) Otrzymali±my wi c opis ukªadu w przestrzeni stanu postaci: ẋ (t) = Ax (t) + Bu (t) y (t) = Cx (t) + Du (t) (1.15) gdzie macierze A, B, C, D: Przykªad 1.9 1 A = 1, B = 1 5 2 3 (1.16) C = [ 1 ], D = [ ] Dana jest transmitancja ukªadu. Poda równania stanu i wyj± tego ukªadu. Rozwi zanie: G (s) = 2s + 3 s 2 + 5s + 1 (1.17) Metoda algebraiczna: 17

W pierwszym kroku mno»ymy transmitancj przez wyra»enie s n s n i otrzymujemy: stosujemy podstawienie: y (s) = 2s 1 + 3s 2 u (s) (1.18) 1 + 5s 1 + s 2 E (s) = i otrzymujemy nast puj ce równania: u (s) 1 + 5s 1 + s 2 (1.19) y (s) = E (s) ( 2s 1 + 3s 2) (1.11) Równanie 1.111 przeksztaªcamy do postaci: u (s) = E (s) ( 1 + 5s 1 + s 2) (1.111) E (s) = u (s) E (s) ( 5s 1 + s 2) (1.112) i wprowadzamy nast puj ce oznaczenia: x1 = E (s) s 2 x 2 = x 1 s = E (s) s 1 (1.113) z których wynika,»e: x1 s = x 2 x 2 s = E (s) (1.114) i zgodnie z zale»no±ciami 1.11 i 1.112 otrzymujemy nast puj ce równania: x1 s = x 2 x 2 s = 5s 1 E (s) s 2 E (s) + u (s) (1.115) y (s) = 2s 1 E (s) + 3s 2 E (s) (1.116) które po podstawieniu oznacze«1.113 mo»emy przedstawi w postaci: x1 s = x 2 x 2 s = 5x 2 x 1 + u (1.117) y = 2x 2 + 3x 1 (1.118) 18

W ostatnim kroku stosujemy odwrotne przeksztaªcenie Laplace'a i otrzymujemy nast puj cy opis w przestrzeni stanu: Macierze wspóªrz dnych zapisu postaci: x1 = x 2 x 2 = x 1 5x 2 + u (1.119) y = 3x 1 + 2x 2 ẋ (t) = Ax (t) + Bu (t) y (t) = Cx (t) + Du (t) (1.12) maj wi c posta : [ ] [ ] 1 A =, B = 1 5 1 C = [ 3 2 ], D = [ ] (1.121) Metoda graczna: Post pujemy analogicznie jak w metodzie algebraicznej do uzyskania równa«: y (s) = E (s) ( 2s 1 + 3s 2) (1.122) Na ich podstawie budujemy schemat blokowy: E (s) = u (s) E (s) ( 5s 1 + s 2) (1.123) Rysunek 1.4 Schemat blokowy - krok 1 na podstawie równania 1.123 otrzymujemy: 19

Rysunek 1.5 Schemat blokowy - krok 2 i uzupeªniamy schemat na podstawie równania 1.122 otrzymuj c: Rysunek 1.6 Schemat blokowy - krok 3 Oznaczenia stanów zostaªy przyj te takie same jak w metodzie analitycznej, czyli: x1 = E (s) s 2 x 2 = x 1 s = E (s) s 1 (1.124) Na podstawie schematu 1.6, pami taj c,»e: L 1 s n f (s)} = dn f n, mo»emy napisa rów- 2

nania stanu i wyj± : Macierze wspóªrz dnych stanu maj wi c posta : x1 = x 2 x 2 = x 1 5x 2 + u (1.125) y = 3x 1 + 2x 2 [ ] [ ] 1 A =, B = 1 5 1 C = [ 3 2 ], D = [ ] (1.126) 1.3 Zadania do samodzielnego rozwi zania Przykªad 1.1 Dany jest ukªad opisany równaniem ró»niczkowym. Wyznaczy transmitancj operatorow. 1. 4 d2 y 2 + 2 dy + y = 8 du + 4u 2. d 5 y 5 + 8 d3 y 3 + 3 dy + y = 15 d2 u + 2 du + 3u Przykªad 1.11 Dana jest transmitancja operatorowa obiektu. Wyznaczy równanie ró»niczkowe. 1. G (s) = Ts Ts+1 2. G (s) = 2s2 +3s+1 5s 3 +8s 2 +2s+3 3. G (s) = s 2 (s+1)(2s+1)(s+4) 4. G (s) = s (2s+1)(s 1) 2 5. G (s) = 1 2(s+5) 6s 2 +3s+3 6. G (s) = 1 2s+1 + 3 (3s+1) 2 Przykªad 1.12 Dane jest równanie ró»niczkowe ukªadu. Wyznaczy charakterystyk statyczn. 1. d 4 y 4 + d2 y 2 2. T dy = u + 5y = 3 du + 2u 21

3. y = usinα 4. 5 d 2 y 2 + 2 dy + y = 3u + u 2 u = d2 u 1 2 + u 3 5. 5 d2 y 2 + 2y = 3 du 1 + u 1 + 6 d2 u 2 2 + 9 du 2 + u 2 6. A dy + y = B du 1 x = C du 2 + x + D u 3 Przykªad 1.13 Dana jest transmitancja ukªadu. Wyznaczy charakterystyk dynamiczn dla wymuszenia u(t). 1. G (s) = 1, u (t) = 1 (t) s(s+1) 2. G (s) = 1, u (t) = δ (t) s(s+1) s 3. G (s) = 2, u (t) = 3 1 (t) (s+1)(2s+1)(s+4) s 4. G (s) = 2, u (t) = 2t (s+1)(2s+1)(s+4) s 5. G (s) = 2, u (t) = 2 1 (t) (s 1) 2 (s+1) 6. G (s) = s 2 (s 1) 2 (s+1), u (t) = t 7. G (s) = s (5s+1) 2, gdzie wymuszenie u(t): Rysunek 1.7 1. G (s) = 1, gdzie wymuszenie u(t): (6s+1) 22

Rysunek 1.8 Przykªad 1.14 Poda równania stanu i wyj± dla ukªadów: 1. 2. d 2 y 2 d 3 y 3 + 3 dy + 5y = u + 2 d2 y 2 + 8 dy + 3y = 2 d2 u + du + 5u 2 3. G (s) = 4s2 +5s+2 6s 3 +2s 2 +5s+1 4. G (s) = 13 (s+2)(s 4) 5. G (s) = 2s+5 (s+1)(s+2)(s+3) 23