Rozdziaª 1. Przeksztaªcenie Laplace'a. 1.1 Poj cia podstawowe. Autorzy: Marcin Stachura

Transkrypt

1 Rozdziaª Przekztaªcenie Laplace'a Autorzy: Marcin Stachura. Poj cia podtawowe In»ynierowie i zycy poªuguj i najch tniej takimi poj ciami matematycznymi, które umo»liwiaj pogl dowe przedtawienie zagadnienia. Takie wªa±nie przedtawienie uzykujemy w przypadku toowania tak zwanej caªki Laplace'a. F () = e t f (t) dt (.) W zatoowaniach praktycznych bada i na ogóª procey od pewnego ko«czonego punktu czaowego, który przyjmujemy za punkt zerowy, przez cza dowolnie dªugi, teoretycznie do t = +. Tym poobem mo»na ograniczy przedziaª czau w zale»no±ci (. ) do jednotronnie nieko«czonego przyjmuj c t <. Zazwyczaj przyjmuje i równie»,»e f (t) = dla wzytkich t < (tzw. zerowe warunki pocz tkowe). Ka»dej funkcja czau okre±lonej przy t >, dla której caªka e x t f (t) dt (.2) jet zbie»na, przy wytarczaj co du»ym x, przyporz dkowana jet funkcja F () = e t f (t) dt (.3) gdzie jet zmienn zepolon. To przyporz dkowanie mo»na uzna za przekztaªcenie zwane przekztaªceniem Laplace'a, w wyniku którego funkcja f (t) przechodzi w funkcj F (). To przyporz dkowanie lub przekztaªcenie przedtawi mo»na jako odwzorowanie. Tak jak wykonuje i fotograczny

2 obraz oryginaªu, przekztaªcenie Laplace'a odwzorowuje oryginaª, czyli funkcj f (t) w obraz, czyli funkcj F (). Zbiór wzytkich funkcji f (t) nazywa i przetrzeni oryginaªu, za± zbiór wzytkich funkcji F () przetrzeni obrazu. Zazwyczaj, wz dzie, gdzie jet to mo»liwe oryginaª oznacza i maª liter a obraz du», na przykªad f (t) i F (), y (t) i Y (). Spotykane w literaturze technicznej zatoowanie tej amej litery na oznaczenie oryginaªu i obrazu i odró»nianie ich od iebie tylko oznaczaniem argumentu t lub jet nie do przyj cia cz to wynika przecie» konieczno± zamiany zmiennych co prowadzi wtedy do niejano±ci. W poj ciu przekztaªcenia lub odwzorowania mo»na zaoberwowa du»e podobie«two do poj cia funkcji, gdzie równie» wyt puje przyporz dkowanie obie dwóch zmiennych, na przykªad x i y. Tak jak okre±la i,»e y jet funkcj x poprzez zatoowanie odpowiedniego oznaczenia na przykªad y = φ (x) tak dla wyra»enia zwi zku wynikaj cego z przekztaªcenia Laplace'a u»ywa i pecjalnego oznaczenia L i pize i : F () = L {f (t)} (.4) Zwi zek ten odczytuje i nat puj co: F () jet tranformat Laplace'a funkcji f (t). Mo»na wi c powiedzie,»e: Denicja. Jednotronn (w enie czau) tranformat Laplace'a funkcjir t f (t) R nazywamy nat puj c funkcj C F () C: F () = L {f (t)} = e t f (t) dt (.5) Funkcje potykane w praktyce in»ynierkiej zazwyczaj rozwi zaniami pewnych równa«ró»niczkowych, ró»nicowych lub caªkowych, i wobec tego nale»y na nich przeprowadza operacje ró»niczkowania, budowania ró»nic i caªkowania. Itotne znaczenie przekztaªcenia Laplace'a le»y w charakterze jego odwzorowania, mianowicie w tym,»e funkcje z przetrzeni oryginaªu i przeprowadzane na nich operacje zat pione przez ich odwzorowania o potaci du»o bardziej przejrzytej i janej. St d odwzorowania równa«w przetrze«obrazu maj protz pota i ªatwiejze do rozwi zania ni» równania wyj±ciowe w przetrzeni oryginaªu. 2

3 .2 Podtawowe wªano±ci Poni»ej, w poób yntetyczny, przedtawione zotan najwa»niejze twierdzenia dotycz ce wªano±ci przekztaªcenia Laplace'a. Wi cej informacji mo»na znale» [tu]. Twierdzenie. Liniowo± L {af (t) + bg (t)} = al {f (t)} + b {g (t)} (.6) Twierdzenie.2 Tranformata pochodnej L {f' (t)} = L {f } f ( +) (.7) gdzie f( + ) oznacza granic prawotronn funkcji w f(t) punkcie t=. Dla drugiej pochodnej mamy: L {f'' (t)} = 2 L {f } f ( +) f' ( +) (.8) Natomiat zale»no± ogóln mo»na przedtawi jako: L { f (n) (t) } = n L {f } n f ( +) n 2 f' ( +) f (n ) ( +) (.9) Twierdzenie.3 Pochodna tranformaty F (n) () = ( ) nl {t n f (t)} (.) Twierdzenie.4 Tranformata caªki L t f(τ)dτ = F () (.) 3

4 Twierdzenie.5 Przeuni cie w dziedzinie tranformaty L {f (t τ)} = e τ F () (.2) Twierdzenie.6 Splot (twierdzenie Borela o plocie) L f (u) g (t u) du = L {f g } = L {f } L {g } (.3) W poni»zej tablicy przedtawione zotaªy tranformaty Laplace'a najcz ±ciej potykanych funkcji. Tablica. Tranformaty Laplace'a najcz ±ciej potykanych funkcji Lp. Oryginaª f (t) Tranformata F () δ (t) 2 (t) 3 at n a n! n+ 4 e at a a 5 in (at) 2 +a 2 6 co (at) 2 +a 2 γ+ln() ln(a) 7 ln (at) 8 b 2 a 2 e at in b 2 a 2 t 2 +2a+b ( ) 2 co b 2 a 2 9 ( ) a in b 2 a b 2 a 2 t e at 2 +2a+b 2 2 ( ) b [ (co b 2 a 2 t + 2 ( ) + a in b 2 a b 2 a 2 t )e at ( ] 2 +2a+b 2 ) ( 2 a e at ) ( a) 2 T +t T e t T (T+) 2 3 T (T t) e t 3 T ( ) (T+) 2 4 t T e t T 2 (T+) 5 e at e bt b a (+a)(+b) 6 ae at be bt b a (+a)(+b) 7 T e T t 2 T2 e T t T T 2 (T 2 T ) (T +)(T 2 +) 8 9 4

5 .3 Odwrotne przekztaªcenie Laplace'a Rozwi zywanie równa«funkcyjnych (ró»niczkowych, ró»nicowych, caªkowych) metod przekztaªcenia Laplace'a przeprowadza i zawze w ten poób,»e z danym równaniem przechodzi i do przetrzeni obrazu a nat pnie rozwi zuje otrzymane równanie. Otatnim I zwykle najtrudniejzym krokiem jet obliczenie oryginaªu dla funkcji otrzymanej w przetrzeni obrazu. Denicja.2 Odwrotne przekztaªcenie Laplace'a przyporz dkowuje funkcji F () zmiennej zepolonej funkcj f (t) zmiennej rzeczywitej t. Przyporz dkowanie to przyj to zapiywa za pomoc ymbolu L f (t) = L [F ()] (.4) Cz tokro obraz (tranformata) ma pota ilorazu wielomianów, który mo»na prowadzi do potaci: F () = L () M () = a l l + a l l + + a + a m + b m m + + b + b (.5) W celu znalezienia oryginaªu tego rodzaju tranformaty nale»y rozªo»y j na um uªamków protych I wyznaczy pozczególne oryginaªy. Je»eli wielomian M () mianownika tranformaty F () nie poiada wielokrotnych miejc zerowych, to rozkªad na uªamki prote przeprowadza i zgodnie z nat puj c zale»no±ci : F () = L () M () = L () ( ) ( 2 )... ( m ) = A ( ) + A 2 ( 2 ) + + A m ( m ) (.6) Gdzie,..., m - miejca zerowe wielomianu M (), A,..., A m - taªe wpóªczynniki. Wpóªczynniki A,..., A m mo»na wyznaczy z nat puj cej zale»no±ci: A k = L () ( k) M () (.7) Zale»no± (.7 ) obowi zuje równie» w przypadku, w którym jedno z miejc zerowych wielomianu M () jet zerem. Je»eli natomiat wielomian mianownika M ()poiada oprócz pojedynczych miejc zerowych równie» wielokrotne miejce zerowe, to rozkªad na uªamki prote przeprowadza i wedªug nat puj cej zale»no±ci: F () = A ( ) + A 2 A n ( n ) + B ( n) + B 2 ( n) ( 2 ) + Bp + A ( n) p n+ + + ( n+ ) Am ( m) (.8) 5

6 Wpóªczynniki A,..., A m wyznacza i z zale»no±ci (.7 ), natomiat wpóªczynniki B,..., B p z nat puj cych zale»no±ci: B p = L () ( n) p M () B p = d d d 2 B p 2 = 2 d 2 d i B p i = i! d i [ L () ( n ) p ] M () [ L () ( n ) p ] M () [ L () ( n ) p ] M () (.9) (.2) (.2) (.22).4 Przykªady zada«przykªad. Znale¹ tranformat Laplace'a funkcji kokowej f (t) = k (t) Wkazówka: Rozwi zanie F () = f (t) e t dt (.23) f (t) = kdlat orazf (t) = dlat < (.24) Wi c : F () = ke t dt = k e t + = k p (.25) Zadanie zotaªo rozwi zane w poób formalny. Oczywi±cie mo»na korzyta z tablicy., gdzie w poz. nr 2. znajdziemy odpowiedni tranformat podanej funkcji. 6

7 Przykªad.2 Okre±li tranformat Laplace'a ci gu impulów z ry... Ryunek. Przykªadowy ci g impulów Wkazówka: Zadanie rozwi za mo»na przy wykorzytaniu twierdzenia o przeuni ciu (twierdzenie.5 ) Rozwi zanie: Mo»na zauwa»y»e: ry..2. Ryunek.2 Podan funkcj mo»na przedtawi jako um dwóch funkcji. Analizuj c ryunek.2 mo»na zauwa»y,»e: F () = A + ( F () = F () + F 2 () (.26) A ) e τ = A ( ) e τ (.27) 7

8 [ F () = A e T (T e +τ)]. (.28) [ F v () = A e Tv e (vt+τ)] wi c: Poniewa»: zatem F () = v= F v () = A v= [ e τ ] [ + e τ + e 2τ + + +e vτ ] (.29) a v = dla < a < R () (.3) a Przykªad.3 F () = A ( e τ ) ( e T ) Wyznaczy tranformat Laplace'a funkcji f (t) = e αt (.3) Oczywi±cie rozwi zanie tego zadania podane jet w tabeli., poz. 2, jednak poni»ej pokazane zotanie jak rozwi za to zadanie w poób formalny. L { e αt } = e t e αt dt = e +αt dt = + α e( +α)t (.32) Powy»za caªka jet okre±lona dla zmiennych peªniaj cych warunek R ( + α) >, poniewa» wtedy: A wi c: lim t e (+α)t = (.33) L { e } αt = ( ) = + α + α (.34) 8

9 Przykªad.4 Wyznaczy tranformat Laplace'a funkcji podanej na ryunku.3 Ryunek.3 Przykªadowa funkcja Rozwi zanie Oczywi±cie ªatwo zauwa»y,»e: Gdzie: f (t) = at dla < t < t at 2a (t t ) dla t < t < 2t (.35) dla t > 2t wi c: a = t (.36) f (t) = at (t) 2a (t t ) (t t ) + a (t 2t ) (t 2t ) (.37) Poniewa» L {t} = 2, na podtawie twierdzenia.5 mo»na napia : Przykªad.5 L {f (t)} = a 2 2a 2 e t + a 2 e t = a 2 ( e t ) 2 (.38) Okre±li oryginaª nat puj cego obrazu funkcji (tranformat odwrotn ): F () = ( + ) 2 2 ( + ) 2 ( + 3) 3 (.39) Wkazówka: Wyra»enie (.39 ) nale»y rozbi na uªamki prote a nat pnie wyznaczy oryginaªy funkcji (w poób formalny lub korzytaj c z tablicy.. 9

10 Rozwi zanie: Rozkªad na uªamki prote: F () = [ ( + ) 2 2 A ( + ) 2 + B ( + ) + C ( + 3) 3 + D ( + 3) 3 + E ] ( + 3) (.4) Rozwi zanie i porównanie wpóªczynników daje nat puj ce taªe: A = 8, B = 3 6, C = 4, D = 4, E = 3 6 Wykorzytuj c tablic. uzykujemy wynik: Przykªad.6 f (t) = (3.75.5t) e t ( t + 2.5t 2) e 3t (.4) Okre±li oryginaª nat puj cego obrazu funkcji (tranformaty Laplace'a) F () = 2 ( + a) (.42) Wkazówka: Dla wprawy mo»na tu zatoowa twierdzenie (.6 )o plocie L f (u) g (t u) du = L {f g } = L {f } L {g } (.43) Rozwi zanie: Zaªó»my,»e tranformata F () jet plotem dwóch tranformat F () oraz F 2 (). F () = 2 f (t) = t (.44) Oryginaª funkcji wynoi wi c b dzie: Co otatecznie wynoi: f (t) = t u= F 2 () = + a f 2 (t) = e at (.45) (t u) e au du = t te au du t ue au du (.46) f (t) = t a + a 2 ( e at ) (.47)

11 Przykªad.7 Wyznaczy oryginaª nat puj cej funkcji: F () = 2 ( ) ( 2) ( + 3) (.48) Wkazówka: Wyra»enie (.48 ) nale»y rozbi na uªamki prote. Rozkªadamy zadan tranformat na uªamki prote: F () = 2 ( ) ( 2) ( + 3) = A ( ) + A 2 ( 2) + A 3 ( + 3) (.49) Miejcami zerowymi mianownika : =, 2 = 2, 3 = 3. Wpóªczynniki A, A 2, A 3 mo»na wyznaczy z zale»no±ci (.7 ) : A =, A 4 2 = 4, A 5 3 = 9. Zatem: 2 F () = 4 4 ( ) ( 2) + 2 ( + 3) (.5) Tranformaty odwrotne, mo»na teraz odczyta wprot z tablicy., poz. 4, wi c zukana funkcja wygl da b dzie nat puj co: f (t) = 4 et e2t e 3t (.5)

12 .5 Zadania do amodzielnego rozwi zania Przykªad.8 Obliczy w poób formalny tranformaty nat puj cych funkcji czau:. f (t) = kt 2. f (t) = e at 3. f (t) = in (ωt) 4. f (t) = co (ωt) 5. f (t) = δ (t) 6. f (t) = e αt co (ωt) 7. f (t) = te αt 8. f (t) = t 2 9. f (t) = αt 3 e βt. f (t) = tin (t τ) Przykªad.9 Obliczy oryginaªy nat puj cych tranformat:. F () = a 2 +a 2 a 2 a 2 2. F () = 3 a ( a) 2 3. F () = 2 (+) Dla podanych przykªadów atoowa twierdzenie o plocie (twierdzenie.6 ) Przykªad. Wyznaczy oryginaªy nat puj cych tranformat:. F () = (+)( )(+3)( 2) 2. F () = 2 + (+)( 2) 3. F () = (+3) 3 4. F () = 2 (+) 2 (+3) 3 5. F () = 3 6. F () = (+) 2 (+2) 4 2