Oga Kopacz, Adam Łodygows, Krzysztof Tymper, chał łotowa, Wojcech awłows Konsutacje nauowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI oznań / ECHANIKA BUDOWLI. UKŁADY RZESTRZENNE O przestrzennośc ne śwadczy tyo geometra ae równeż sposób obcążena. Ułady przestrzenne wyazują trójwymarowy stan przemeszczeń. Na rys. poazane są dodatne zwroty sł. Naeży zwrócć szczegóną uwagę na płaszczyznę przecęca pręta (dodatna ub ujemna, tóra determnuje zwroty dodatnch sł. Tyz Ny Tyx Rys.
Na rys. poazane są dodatne zwroty momentów (sręcający Rys. Da przecętego pręta w dowonym mejscu muszą być spełnone równana równowag x x x x x x (. + + + + + ds GA T T ds GA T T ds EA N N ds GI ds EJ ds EJ S S S s S S S κ κ δ (. Gdze GI s - parametr charateryzujący sztywność na sręcane,
Sztywność na sręcena W zaeżnośc od ształtowna rodzaju materału z jaego został on wyonany, oreśa sę sztywność na zgnane. E G (. ( +ν G - moduł Krchhoffa Da prostoąta: I S h b (.4 Gdze: - współczynn zaeżny od stosunu wysoośc do szeroośc prostoąta h/b,,, B < h,46,8,6, rzy czym jao wysoość (h rozume sę dłuższy bo prostoąta Da oła: I S I (.5 Da ształtownów: I S η h b (.6 Gdze h b to wymary półe środnów tratowanych jao prostoąty Współczynn η jest zaeżny od ształtu eementu: η ątown dwuteown ceown teown,,,5 Zamnęty obszar cenoścenny: Gdze: I S 4 ϖ δ s (.7 ϖ s δ - poe powerzchn zawarte w obrębe n środowej - obwód n środowej - grubość (stała ub średna S
4. ETODA RZESZCZEŃ Starając sę zrozumeć stotę metody przemeszczeń, najwygodnej jest ją przedstawć za pomocą anaog do metody sł, tórą już poznaśmy przy użycu tórej jesteśmy wstane poczyć przemeszczena rozład sł uładów statyczne newyznaczanych. etoda przemeszczeń etoda sł newadomym weoścam są newadome są nadczbowe sły przemeszczena węzłów Ułożone równana anonczne metody przemeszczeń są równanam równowag (w ramach prostych- równana równowag węzłów W metodze przemeszczeń o czbe newadomych decyduje czba nezaeżnych obrotów przesuwów Ułożone równana anonczne metody sł są równanam przemeszczeń O czbe newadomych metody sł decyduje stopeń statycznej newyznaczanośc oreśony przez czbę podpór tarcz Rozpatrzmy ramę płasą (rys. sładającą sę z prętów połączonych węzłam, tóre tratować będzemy jao tarcze dosonae sztywne. Rys. Rama obcążona jest dowonym słam suponym ub obcążenem cągłym. od wpływem obcążeń uład odształc sę; w prętach powstane stan naprężena, tórego sładowym uogónonym są, T, N. od wpływem przemeszczena pręty podegają deformacj a węzły doznają przemeszczeń. Stan przemeszczena węzła charateryzują trzy weośc: ąt obrotu węzła ϕ oraz sładowe przemeszczena węzła: ponowa (v pozoma (u.
5 Ważne: w sformułowanu metody przemeszczeń ne będzemy uwzgędnać sracana wydłużana sę prętów pod wpływem dzałana obcążena. osługwać sę będzemy pojęcam: Węzeł swobodny- ta, tóry pod wpływem obcążena uładu może doznać przemeszczena (u ub v. Węzeł srępowany- (np. podporowe węzły są utwerdzone- ąt obrotu przesunęce równe. rzyjmjmy sładowe stanu przemeszczena węzła za weośc newadome. Gdybyśmy zna przemeszczena węzłów, mogbyśmy wyznaczyć weośc statyczne w prętach. ożna bowem tratować ażdy pręt oddzene jao poddany dzałanu obcążena zewnętrznego oraz dzałanu znanych przesunęć obrotów jego przerojów przywęzłowych. Zadane to, przy użycu metody sł, da sę obczyć da ażdego pręta. Rozpatrując uład ramowy (rys. załóżmy, że wszyste sładowe stanu przemeszczena węzłów swobodnych są równe zeru. Otrzymamy wówczas uład prętów na obu ońcach utwerdzonych. Obcążene jednego pręta wywołuje wtedy stan naprężena tyo w tym pręce. Sładowe stanu przemeszczena przerojów przywęzłowych są równe zeru. Weośc statyczne w dowonym pręce możemy wyznaczyć przy użycu metody sł, tratując ażdy z prętów jao oddzeny uład trzyrotne statyczne newyznaczany. rzyład: WĘZEŁ Złożena: I I Rys. 4 (.8
6 Wymuszamy obroty podpory węzła zgodne z rys. 5 F F ps ( ps( F F Gdze: s ( - ψ ϕ Rys. 5 F - Zgodne z metodą sł, gdy występuje wymuszony obrót (osadane można zapsać uład równań anoncznych: δ δ X X + δ + δ X X + + (.9 Zgodne z metodą sł rozwązujemy uład równań. Wyresy jednostowe do obczena przemeszczeń δ (rys.6
7 Rys. 6 Obczena przemeszczeń w mejscach sł jedynowych: δ δ δ ds ds ds 6 (. Obczena od osadana: ( + R ϕ V + V ϕ + ψ V ϕ + V ϕ + ψ (. odstawając wyznaczone weośc do uładu równań po rozwązanu go otrzymamy: X X ( ϕ + ϕ ψ ( ϕ + ϕ ψ (.
8 Otrzymane w ten sposób zaeżnośc są WZORAI TRANSFORACYJNYI metody przemeszczeń, gdze jest przęsłowym momentem przywęzłowym (rys.7. Rys. 7 Wzory transformacyjne: oreśają zaeżnośc mędzy przęsłowym przywęzłowym słam wewnętrznym a wymuszonym przemeszczenam podpór węzłowych. Korzystając z zaeżnośc (.7 można łatwo wyprowadzć wzór na sły poprzeczne: T 6 T ( ϕ + ϕ ψ (. W podobny sposób można wyprowadzć zaeżnośc da prętów: z przegubem z jednej strony ub z podporą śzgową. WZORY TRANSFORACYJNE DLA RĘTÓW RÓZNIE ODARTYCH. Da be obustronne utwerdzonej: rys.7, (.9 4 6 T T Rys. 7 ( ϕ + ϕ ψ ( ϕ + ϕ ψ ( ϕ + ϕ ψ (.4
9. Da be z przegubem na jednym ońcu: rys.8, (. T T Rys. 8 ( ϕ ψ ( ϕ ψ (.5. Da be z podporą śzgową na jednym ońcu: rys.9, (. Rys. 9 T T ( ϕ ϕ ( ϕ ϕ (.6
odczas obczeń metodą przemeszczeń wyorzystuje sę równeż wyresy momentów da obcążeń zewnętrznych. Oto a charaterystycznych przypadów:. Obcążene cągłe da pręta utwerdzonego: q Rys. q q q max (.7 4. Obcążene cągłe da pręta przegubowego: q 8 Rys. 9 q 8 max (.8
. Obcążene supone da pręta utwerdzonego: Rys. 8 8 max (.9 8 4. Obcążene supone da pręta przegubowego: Rys. 6 5 max (.
5. Obcążene supone da pręta przegubowego: Rys. 4 4 (. 8 (.
RZYKŁAD Zadaną beę (rys.4 rozwązać metodą przemeszczeń 6N q4n/m 4 6 Rys. Zgodne z założenam naeży zaboować możwe przesuwy. W tym przypadu będze to ąt obrotu na pośrednej podporze: 6N q4n/m 4 6 Rys. 4 Zapsujemy równane z jednym przesuwem: { r ϕ + R (. Korzystając ze wzorów transformacyjnych rysujemy wyres momentów na poszczegónych prętach (sładnach be: 6N q4n/m A B C 4 6 Rys. 4 Część be AB to pręt obustronne utwerdzony. Część BC to pręt utwerdzony w pt. B z podporą w pt. C. Wyorzystując wzory transformacyjne (.9. można zapsać:
Da pręta AB: Da pręta BC: ϕ A ϕ B AB BA ϕ B ϕ BC CB C u bra przesuwu ( ϕ + ϕ ψ A 4 ( ϕ + ϕ ψ B B A ( ϕ ψ o obczenu momentów rysuję wyres: B BC 6 AB AB u bra przesuwu 4 (.4 (.5 Rys. 5 Z równowag węzła można wyznaczyć r : Rys. 6 Zgodne z zaeżnoścam (..5 można narysować wyresy momentów od sł zewnętrznych:
5-8Nm -8Nm -8Nm Rys. 7 Z równowag węzła można wyznaczyć R p : Rp-[Nm] 8 Rys. 8 8 Obczone wartośc podstawa sę do uładu równań: r + R { ϕ,5 ϕ (.6 ϕ Korzystając ze wzoru superpozycyjnego ub ponowne podstawając do wzorów transformacyjnych (z obczonym ątem obrotu obczyć można ońcowy wyres momentów: n AB + ϕ + ϕ +... 4 8 + 44 8 BC 8 + 44 [ Nm] [ Nm] [ Nm] (.7
6 Znając wszyste wartośc można wyreść wyres momentów n : 44 Nm 4 Nm Rys. 8