MATEMATIČKA ANALIZA 2

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVOD ZA PRIMIJENJENU MATEMATIKU MATEMATIČKA ANALIZA 2 Zadaci za vježbu Zagreb, 23.

Sadržaj Funkcije više varijabli 3 2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 4 3 Dvostruki integrali 8 4 Trostruki integrali 5 Vektorska analiza 4 6 Krivuljni i plošni integrali 5 7 Diferencijalne jednadžbe 7 8 Rješenja 2 8. Funkcije više varijabli.............................. 2 8.2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli................... 22 8.3 Dvostruki integrali............................... 24 8.4 Trostruki integrali................................ 25 8.5 Vektorska analiza................................ 26 8.6 Krivuljni i plošni integrali........................... 27 8.7 Diferencijalne jednadžbe............................ 27 9 Kontrolne zadaće iz 22. godine 29 Rješenja kontrolnih zadaća iz 22. godine 32 Pismeni ispiti iz 22. godine 34 2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine 44 A Tablica derivacija 5 B Tablica neodredenih integrala 5 2

Funkcije više varijabli 3 Funkcije više varijabli. Odrediti i skicirati područje definicije (domenu) slijedećih funkcija: a) f(x, y) = x 2 + y 2 b) f(x, y) = x 2 y 2 4 x 2 y 2 c) f(x, y) = ( x 2 y 2 )(4 x 2 y 2 ) d) f(x, y) = y 2 x 2 e) f(x, y) = x y + y 2 f) f(x, y) = x 2 y + 4xy + y 3 g) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 4x + 5) h) f(x, y) = ln (x ln(y x)) i) f(x, y) = arth ( ) y x 2. Skicirati slijedeće plohe u prostoru: a) y = 2 4 x 2 z 2 b) z = 2 y c) x = 2y y 2 d) z = 2 x 2 + 4y 2 e) y = 4 x 2 + z 2 + f) x 2 + y 2 z 2 = 2y g) z = x 2 + y 2 + 4y + 5 h) z = y 2 x 2 2y + 2x i) z = e x2 y 2 3. Naći jednadžbu plohe koja nastaje vrtnjom krivulje a) z = y 4 + oko osi z ; b) z = cos 2 (2y) oko osi z ; c) x = y 6 + oko osi x ; d) z = ln y, y 2 oko pravca y = 2. 4. Naći jednadžbu rotacijske stožaste plohe prema slici: a) b)

4 2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 5. Naći jednadžbu stožaste plohe prema slici: 2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli. Zadane su funkcije f(x) = ( x) x, g(x) = (ln x) x2, h(x) = x x 3. Koristeći pravilo za deriviranje složene funkcije izračunati prve i druge derivacije tih funkcija. 2. Zadana je funkcija f(x, y) = (x 3 + y 3 ) xy. Koristeći pravilo za deriviranje složene funkcije izračunati parcijalne derivacije prvog i drugog reda funkcije f. 3. Zadane su funkcije: a) z = e x2 +xy+y 2 ; b) z = x+y 3x 2 y 2. Naći dz. 4. Zadana je funkcija z = arctg ( ) x y i točka T (2, ). Naći (dz)t i (d 2 z) T. 5. Zadana je funkcija u = 2x 3 3x 2 y + 2xy 2 y 3 + z 2 i točka T (,, 2). Naći (du) T i (d 2 u) T. 6. Naći du ako je u = f(x, y, z), gdje je y = g(x), z = ϕ(x, y). 7. Pokazati da funkcija z = yϕ(x 2 y 2 ) zadovoljava jednadžbu z x x + z y y = z y. 2 8. Pokazati da funkcija z = xf ( ( ) y x) + g y x zadovoljava jednadžbu x 2 2 z x 2 + 2xy 2 z x y + y2 2 z y 2 =.

2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 5 9. Dokazati da jednadžba zamjenom v = ue t prelazi u 2 v x + 2 v 2 t = 2 v 2 t 2 u t 2 u 2 x = u. 2. Dokazati da izraz w = x 2 2 u x + 2xy 2 u 2 x y + 2 u y2 y 2 zamjenom x = r cos ϕ, y = r sin ϕ prelazi u w = r 2 2 u r 2.. Transformirati na nove nezavisne varijable u i v jednadžbu ako je u = x, v = x 2 + y 2. y z x x z y =, 2. Transformirati na nove nezavisne varijable u i v jednadžbu ako je u = xy, v = x y. x 2 2 z x 2 y2 2 z y 2 =, 3. Funkcija z = z(x, y) zadana je implicitno jednadžbom Naći d 2 z u točki T (,, 2). x 3 + 2y 3 + z 3 3xyz 3y + 7 =. 4. Funkcije u = u(x, y) i v = v(x, y) zadane su implicitno jednadžbama xe u+v + 2uv =, ye u v u + v = 2x. Znajući da je u(, 2) = v(, 2) =, naći (du) (,2) i (dv) (,2). 5. Funkcija z = z(x, y) zadana je parametarski jednadžbama x = u + v, y = ln u + 2v, z = uv.

6 2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli Naći dz i d 2 z u točki za koju je u = i v = 2. 6. Naći jednadžbu tangencijalne ravnine i normale na plohu: a) z = (x 2 + y 2 ) 2 u točki T (2,, z T ); b) x 2 + 3y 2 + 4z 2 = 2 u točki T ( 2, 2, ); c) u točki T (u =, v = ). x = ue v y = 2u + v z = uv 7. Pod kojim kutom se sijeku plohe x 2 +y 2 = i x 2 +y 2 +z 2 = 2x u točki M ( 2, 3 2, )? 8. U kojim točkama elipsoida ( x a ) 2 + ( y b ) 2 + ( z c ) 2 = normala na elipsoid tvori jednake kutove s koordinatnim osima? 9. Naći jednadžbe tangencijalnih ravnina na plohu x 2 + xy + y 2 + z 2 = koje sadrže točke (,, 2) i (,, 2). 2. Tangencijalna ravnina na plohu x 2 y 2 z 2 + 2x = odsijeca na pozitivnoj osi ordinata odsječak duljine 2, a na negativnoj osi aplikata odsječak duljine 3. Kolika je duljina odsječka te tangencijalne ravnine na osi apscisa? 2. Naći sve točke na plohi z = xy ln(x 2 + xy + y 2 ) u kojima je normala na tu plohu paralelna osi z. 22. Dokazati da tangencijalne ravnine plohe x + y + z = a odsijecaju na koordinatnim osima odsječke čiji je zbroj duljina konstantan. Koliko on iznosi? 23. Dokazati da normala u proizvoljnoj točki rotacijske plohe z = f( x 2 + y 2 ) siječe os rotacije. 24. Prikazati f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 6x 2y 4 kao polinom po potencijama binoma (x + 2) i (y ). 25. Naći treći Taylorov polinom u razvoju funkcije f(x, y) = e x sin y u okolini točke T (, ). 26. Naći drugi Taylorov polinom u razvoju funkcije a) f(x, y) = y x u okolini točke T (, );

2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 7 b) f(x, y, z) = z arctg ( ) x y u okolini točke T (,, ); c) z = z(x, y) zadane implicitno jednadžbom xz + y + z 3 = 2 u okolini točke T (,, ); d) z = z(x, y) zadane implicitno jednadžbom x 2 yz z = 2 u okolini točke T (, 2, ); e) z = z(x, y) zadane parametarskim jednadžbama u okolini točke T (u =, v = ). x = u + v y = e u + v z = u 2 v 27. Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije: a) f(x, y) = 4xy + + x y b) f(x, y) = 2x 3 + y 2 + 6x 2 y 2y c) f(x, y) = 3 ln ( ) x 6 + 2 ln y + ln(2 x y) d) f(x, y) = e x y (x 2 2y 2 ) e) f(x, y, z) = x + 2 + z2 + y2 2 y 2x z 28. Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije a) f(x, y) = x + 2y uz uvjet x 2 + y 2 = 5; b) f(x, y) = 3x xy uz uvjet x 2 + (y 3) 2 = ; c) f(x, y) = x 3 + 3y 3 uz uvjet x 2 y 2 = 2; d) f(x, y, z) = x 2y + 2z uz uvjet x 2 + y 2 + z 2 = ; e) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 uz uvjet x2 + y2 + z2 =, a > b > c > ; a 2 b 2 c 2 f) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + xz uz uvjet x + 2y + 3z = ; g) f(x, y, z) = xyz uz uvjete x + y + z = 5 i xy + yz + zx = 8. 29. Od svih pravokutnih paralelepipeda zadanog volumena V naći onaj kojemu je oplošje najmanje. 3. Naći trokut zadanog opsega koji pri rotaciji oko jedne svoje stranice tvori tijelo najvećeg volumena. 3. Zadan je tetraedar OABC s vrhovima O(,, ), A(a,, ), B(, b, ) i C(,, c). U taj tetraedar upisan je kvadar maksimalnog volumena (jedan vrh je u točki O(,, )). Koliko iznosi taj volumen? 32. Zadane su točke A(,, ) i B(,, 2). Naći sve točke C u ravnini XOY za koje je ACB maksimalan. 33. U lik omeden parabolom y = 4 x 2 i osi x upisati lik kao na slici tako da mu površina bude maksimalna. Koliko iznosi ta površina?

8 3 Dvostruki integrali 34. U tijelo omedeno plohama z = x 2 + 4y 2 i z = upisan je kvadar čije su plohe paralelne koordinatnim ravninama i čiji je volumen maksimalan. Koliko iznosi taj volumen? 35. U tijelo omedeno plohama y = x 2, z = y i z = upisan je kvadar čije su plohe paralelne koordinatnim ravninama i čiji je volumen maksimalan. Koliko iznosi taj volumen? 36. U elipsoid x 2 + y2 + z2 = upisan je tetraedar s vrhovima A(,, ), B(, 2, ), 4 9 C(,, 3), dok četvrti vrh D treba odabrati tako da volumen tetraedra bude maksimalan. Koliko iznosi taj volumen? 37. Naći točku na plohi z = xy najbližu ishodištu. 38. Odrediti poluosi elipse 5x 2 + 8xy + 5y 2 = 9. 3 Dvostruki integrali. Izračunati slijedeće dvostruke integrale, pri čemu je područje integracije (P ) zadano slikom: a) (x 4 + x 2 y 2 + y 4 ) dy; b) x 3 ye xy dy. (P ) (P )

3 Dvostruki integrali 9 2. Promijeniti poredak integracije u integralu a) 9 x 2 3 x 2 f(x, y) dy; b) 2 dy y ln y f(x, y). 3. Promjenom poretka integracije izračunati integral a) b) 2 x x 5 x x 2 e y2 dy; x 2 y 2 dy. 4. Neka je (P ) četverokut s vrhovima A(2, ), B(, ), C( 2, ) i D(, ). Postaviti granice integracije u integralu (P ) f(x, y) dy, te izračunati integral za a) f(x, y) = e x+y ; b) f(x, y) = x + y 2 ; c) f(x, y) = (x + ) 2 ; d) f(x, y) = y. 5. Neka je (P ) lik omeden krivuljama y = x 2 i y =. a) Izračunati površinu lika (P ). b) Izračunati (P ) (x + )y2 dy. 6. Izračunati površinu lika omedenog krivuljama y = x2 i y = 8. Nacrtati sliku! 4 x 2 +4 7. Izračunati (P ) e x y dy, pri čemu je P = {(x, y) R 2 : y > x }. 8. Izračunati volumen tijela omedenog plohama x 2 + y 2 = i x 2 + z 2 =. Nacrtati sliku! 9. Izračunati volumen tijela odredenog nejednadžbama y x 2, z, z 4 2y i z. Nacrtati sliku!. Izračunati (P ) ln(x2 + y 2 ) dy, pri čemu je (P ) kružni vijenac e 2 x 2 + y 2 e 4.

3 Dvostruki integrali. Izračunati (P ) x2 y 2 dy, pri čemu je (P ) kružni isječak odreden nejednadžbama x 2 + y 2, y x, y 3x, y. 2. Izračunati površinu lika odredenog nejednadžbama a) r 2 cos ϕ; b) r sin(2ϕ) i r 2 3 2 cos(2ϕ); c) (x 2 + y 2 ) 2 8x 3 i x 2 + y 2. 3. Izračunati površinu lika omedenog krivuljom ( x 2 a + y2 b ) 2 = xy, a, b, c >. c 4. Izračunati (P ) dy x2 + y, 2 pri čemu je (P ) lik odreden nejednadžbama (x 2 + y 2 ) 2 3x 3 i (x 2 + y 2 ) 2 9y 3. 5. Prijelazom na polarne koordinate izračunati a) b) c) 3 3 3 2 2+ 4 x 2 3 x 2 x 2 4 x 2 dy ; (x 2 + y 2 ) 3 2 x 2 + y 2 dy; dy. (x 2 + y 2 ) 5 2 6. Izračunati površinu lika odredenog nejednadžbama 3(x 2) 2 + (y 3) 2 3 i x 2 3 y 3 x 2. 7. Prijelazom na poopćene polarne koordinate izračunati 3 x2 4 2 dy ( x 2 + ) 3 4 y2 2.

4 Trostruki integrali 8. Izračunati (P ) (x + y)3 (x y) 2 dy, pri čemu je (P ) kvadrat omeden pravcima x + y =. x + y = 3, x y = i x y =. Naputak: Uvesti nove varijable u = x + y, v = x y. 9. Izračunati (P ) (x2 + y 2 ) dy, pri čemu je (P ) lik u prvom kvadrantu omeden krivuljama x 2 y 2 =, x 2 y 2 = 4, xy = i xy = 3. Naputak: Uvesti nove varijable u = x 2 y 2, v = xy. 2. Izračunati e (x+y)2 3y 2 dy. Naputak: Uvesti nove varijable u = x+y, v = y, te potom prijeći na polarne koordinate. 2. Izračunati e (ax+by)2 dy, a, b >. Naputak: Uvesti nove varijable u = ax + by, v = y x. 22. Izračunati masu kružne ploče polumjera R, ako je njena gustoća proporcionalna udaljenosti točke do središta, a na rubu ploče jednaka je δ. 23. Naći koordinate težišta homogenog lika omedenog a) krivuljom r = a( + cos ϕ); b) krivuljama y 2 = 4x + 4 i y 2 = 2x + 4. 24. Izračunati moment tromosti homogenog kružnog vijenca s polumjerima R, R 2 (R < R 2 ) a) s obzirom na promjer prstena; b) s obzirom na središte prstena. 4 Trostruki integrali. Izračunati e x y z dy dz, (V ) pri čemu je (V ) tetraedar s vrhovima A(,, ), B(,, 2), C(,, 2), D(,, 2). 2. Izračunati (V ) dy dz y +, pri čemu je (V ) tetraedar s vrhovima A(,, ), B(,, ), C(, 2, ), D(,, 4).

2 4 Trostruki integrali 3. Postaviti granice integracije u integralu f(x, y, z) dy dz, ako je (V ) piramida s vrhovima a) A(,, ), B(2,, ), C(, 3, ), D(,, 6); b) A(,, ), B(3,, ), C(2, 2, ), D(, 3, ), E(,, 2); c) A(,, ), B(2,, ), C(, 2, ), D(2, 2, ), E(,, ); d) A(,, ), B(,, 2), C(2,, 2), D(, 2, 2), E(2, 2, 2). (V ) 4. (V ) je tijelo odredeno nejednadžbama y x 2, z 3 y, z y. a) Izračunati z dv. b) Izračunati volumen tijela (V ). (V ) 5. Izračunati pri čemu je (V ) tijelo omedeno plohama a) z = 5 x 2 y 2 i z = ; b) z = e x2 +y 2 i z = 2. (V ) z dv, 6. Izračunati volumen tijela omedenog plohama z = x 2 + y 2 + 7 i z = 4. 7. Izračunati x 2 z dv, pri čemu je (V ) dio tijela omedenog plohama z = 4 3x 2 y 2 prvom oktantu, izmedu ravnina y = x i y = 3x. (V ) i z = koji se nalazi u 8. Izračunati yz dv, (V ) pri čemu je (V ) tijelo omedeno plohama z = x 2 + (y ) 2 i z = 4. 9. Izračunati volumen tijela omedenog plohama z = x 2 y 2 i y + z =.. Izračunati volumen tijela odredenog nejednadžbama x 2 +y 2, z i z 2y+.. Izračunati (V ) dv z 3,

4 Trostruki integrali 3 pri čemu je (V ) tijelo odredeno nejednadžbama z x 2 + 3y 2, z 2 i x. 2. Izračunati (V ) z 2 dv, pri čemu je (V ) tijelo omedeno plohama x = 3 y 2 + z 2, x = i x = 2. 3. Izračunati volumen tijela omedenog plohama z = 2 (x2 + y 2 ) i z = 4 x 2 + y 2. 4. Izračunati (V ) x 2 + y 2 + z 2 dv, pri čemu je (V ) tijelo odredeno nejednadžbom x 2 + y 2 + z 2 x. 5. Prijelazom na sferne koordinate izračunati (x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 dv, (V ) pri čemu je (V ) tijelo odredeno nejednadžbama x 2 + y 2 + z 2 z, x 2 + y 2 + z 2 2z z 3(x 2 + y 2 ). i 6. U integralu 3 3 3 x 2 3 x 2 dy 4 x 2 y 2 f(x, y, z) dz izvršiti prijelaz na ) cilindrične koordinate; 2) sferne koordinate, te izračunati integral ako je a) f(x, y, z) = z 3 ; b) f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2. 7. Izračunati z 2 dv, (V ) pri čemu je (V ) tijelo odredeno nejednadžbom (x ) 2 + 4(y + ) 2 + (z 5) 2 4. 8. Izračunati moment tromosti homogenog pravokutnog paralelepipeda sa stranicama duljina a, b i c s obzirom na a) jedan vrh; b) stranicu duljine a. γ(x, y, z) =

4 5 Vektorska analiza 9. Naći težište homogenog tijela odredenog nejednadžbama a) x 2 + y 2 + z 2 2z i x 2 + y 2 z 2 ; b) y 2 + 4z 2 4x i x 2. 2. Naći težište kocke x, y, z a, ako je γ(x, y, z) = x + y + z. 5 Vektorska analiza. Zadano je skalarno polje f(x, y, z) = 3x 2 y + y 2 z 3, te vektor s = ı + j + 2 k. Izračunati: a) grad f; b) f s ; c) f. 2. Zadano je vektorsko polje v(x, y, z) = x 2 ı + y 2 j + xyz k, te vektor s = ı + j + 2 k. Izračunati: a) div v; b) rot v; c) v s ; d) v. Neka je a konstantan vektor, r radijvektor točke u prostoru, te r njegov modul. 3. Zadano je vektorsko polje v = grad[( a r)r 2 ]. Izračunati v a. 4. Zadano je vektorsko polje v = (r 3 + 3r 2 ), te vektor s = 2 ı + j 2 k. Izračunati ( ) v s. T (,,) 5. Zadano je skalarno polje v = (r 3 + 3r), te vektor s = 2 ı + j 2 k. Izračunati v s. 6. Izračunati div ( ) a r. a r 7. Izračunati [f(r) r ( a r)]. 8. Izračunati { [( r a) ( a ( r a))]}. 9. Izračunati rot{rot[( a r)( a r)]}.. Izračunati ( ) a r. r 3. Izračunati [ r ( a r)].

6 Krivuljni i plošni integrali 5 2. Zadano je vektorsko polje v = grad(r 2 ln r). Izračunati ( ) v k. T ( 3,,) 3. Izračunati [( a r)r 2 ]. 4. Zadano je vektorsko polje v = (r 3 + 3r), te vektor s = ı j + k. Izračunati ( ) v. s T (,2,2) 5. Izračunati [( a r) r]. 6. Zadano je vektorsko polje v = rot[( a r) r 2 ]. Izračunati v a. 7. Izračunati { [f(r) r ( a r)]}. 8. Izračunati {[( a r) + r 2 ] r}. 9. Izračunati rot[rot(r 2 a)]. 6 Krivuljni i plošni integrali. Izračunati Γ xy ds, pri čemu je Γ dio presječnice ploha x 2 + y 2 = 4 i z = y koji se nalazi u prvom oktantu (x, y, z ). Nacrtati sliku! 2. Izračunati duljinu krivulje C, zadane kao dio presječnice ploha y = x 2 i y + z = 3 koji se nalazi u prvom oktantu. Nacrtati sliku! 3. Izračunati AB x 2 + y 2 dy + z 2 dz, x 2 + y 2 + z 2 + 4 pri čemu je AB usmjerena dužina od A(,, ) do B(, 2, 3). 4. Izračunati Γ x ds,

6 6 Krivuljni i plošni integrali pri čemu je Γ dio presječnice ploha y = x 2 i y + z = 3 koji se nalazi u prvom oktantu. 5. Izračunati AC yz + (x + z) dy + xy dz, pri čemu je AB dio krivulje { 3y 2 + z 2 = 4 x =, dok je BC usmjerena dužina (vidi sliku!). 6. Izračunati Γ x ds, pri čemu je Γ dio krivulje (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2 koji se nalazi u prvom kvadrantu. Nacrtati krivulju Γ! Naputak: Prijeći na polarne koordinate. 7. Neka je a konstantan vektor, te r radijvektor točke u prostoru. Ispitati je li krivuljni integral rot[( a r)( a r)] d s, pri čemu je d s = ı + dy j + dz k, neovisan o putu integracije. 8. Izračunati C (x + y + z) ds, S pri čemu je S dio plohe x 2 + y 2 = koji se nalazi izmedu ravnina z = i z = 2. 9. Izračunati z 2 ds, S

7 Diferencijalne jednadžbe 7 pri čemu je S sfera x 2 + y 2 + (z 2) 2 =.. Izračunati površinu dijela plohe x 2 + y 2 = za koji je z i z y. Nacrtati sliku!. Izračunati površinu dijela plohe z = x 2 + y 2 koji se nalazi unutar sfere Nacrtati sliku! x 2 + y 2 + z 2 = 42. 2. Izračunati površinu dijela plohe x 2 + y 2 = koji se nalazi izmedu ravnina z = y i z = 4y i za koji je z. Nacrtati sliku! 3. Izračunati S + x dy dz, pri čemu je S + dio plohe y = 2x x 2 za koji je z, orijentirane tako da normala na tu plohu zatvara s osi y kut veći od 9. Nacrtati sliku! 4. Izračunati S + x 2 dy dz + y 2 dz + z 2 dy, pri čemu je S + dio ravnine z = 2y za koji je x 2 + 4y 2 4, orijentirane tako da normala na ravninu zatvara s osi z kut veći od 9. 5. Izračunati S + xz 2 dy dz + yz 2 dz + z 3 dy, pri čemu je S + vanjska strana sfere x 2 + y 2 + (z 2) 2 =. 7 Diferencijalne jednadžbe. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y = x cos y + sin(2y). 2. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe ( ( x ) x + e y + x ) e x y dy =. y 3. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe ( 2x y + y ) ( ) + ln x x2 dy =. x y 2

8 7 Diferencijalne jednadžbe 4. Naći ortogonalne trajektorije familije krivulja y 2 = 2x 2 ( Cx). 5. Naći sve krivulje sa svojstvom da je duljina odsječka normale na krivulju u proizvoljnoj točki T, izmedu točke T i sjecišta normale s osi x, jednaka kvadratu ordinate točke T. 6. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y x y = y x 2 + y 2. 7. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y y cos x = sin(2x). 8. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y cos x + sin x + e y =. 9. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y = 2 y (2x + y ).. Odrediti jednadžbu krivulje za koju vrijedi da je kut kojeg radijvektor bilo koje točke T (x, y) na krivulji čini s osi x dva puta manji od kuta kojeg tangenta u točki T (x, y) čini s osi y.. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe x(2y xy ) = y 2. 2. Naći opće rješenje diferencijalnih jednadžbi: a) y = 2x + y + 4x + 2y 3 ; b) y = x + 2y 5 2x y + 4. 3. Naći opće i singularno rješenje diferencijalne jednadžbe y = xy + y.

7 Diferencijalne jednadžbe 9 4. Naći opće rješenje diferencijalnih jednadžbi: a) (y 2 + xy 2 )y + x 2 yx 2 = b) y = a x+y (a >, a ) c) y = sin(x y) 5. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y = x y + y x. 6. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe ( ( x ) x + e y + e y x ) dy =. y 7. Odrediti jednadžbe onih krivulja kojima svaka tangenta siječe os ordinata u točki koja je jednako udaljena od ishodišta kao i od dirališta. 8. Naći opće rješenje diferencijalnih jednadžbi: a) (x + y 2) + (x y + 4) dy = b) (3x + 4y + )y + 2x + 3y + = 9. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y y sin x = sin x cos x. 2. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y y x ln x = x ln x. 2. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe dy = x cos y + a sin(2y), a. 22. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y + 2 x y = x3. 23. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe ( + x 2 )y 2xy = ( + x 2 ) 2.

2 8 Rješenja 24. Naći opće rješenje diferencijalnih jednadžbi: a) y + y x = x2 y 4 ; b) y + 2y x = 2 y cos 2 x. 25. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y = sin y x cos y. 26. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y y 2 + (x y 2 + y) dy =. 8 Rješenja 8. Funkcije više varijabli. a) {(x, y) x, y }; b) {(x, y) x 2 + y 2 }; c) {(x, y) x 2 + y 2 } {(x, y) x 2 + y 2 4}; d) {(x, y) y 2 x 2 }; e) {(x, y) y x, y }; f) {(x, y) y, (x + 2) 2 + y 2 4} {(x, y) y, (x + 2) 2 + y 2 4}; g) R 2 ; h) {(x, y) x >, y > x + } {(x, y) x <, x < y < x + }; i) {(x, y) y < x, x }. a) b) c)

8 Rješenja 2 d) e) f) 2. g) h) i) a) b) c)

22 8 Rješenja d) e) f) g) h) i) 3. a) z = (x 2 + y 2 ) 2 + ; b) z = cos 2 (2 x 2 + y 2 ); c) x = (y 2 + z 2 ) 3 + ; d) z = ln ( ) 2 x 2 + (y 2) 2. 4. a) (z ) 2 = 4[(x 3) 2 + (y 2) 2 ]; b) y = 3 3 (x ) 2 + (z 2) 2. 5. z 2 = 2x 2 + 4y 2. 8.2 Diferencijalni račun funkcija više varijabli. f (x) = ( x) x [ + ln ( x) ], f (x) = ( x) x [ + + ln ( x) + ln 2 ( x) ] ; 2 4 2x g (x) = (ln x) x2 [ x + 2x ln(ln ln x x)], g (x) = (ln x) x2 [ x 2 + 4x2 ln(ln x) + 4x 2 ln 2 (ln x) + 2 ln(ln x) ] ; ln x ln x + 3 ln 2 x ln 2 x x ln x ], h (x) = x x 3 [x + 2 x x h (x) = x x 3 [ x + 3 2 2. Stavimo f(u, v) = u v, u = x 3 + y 3, v = xy. f u = vu v, f v = u v ln u, f uu = v(v )u v, f uv = u v + vu v ln u, f u x = 3x 2, u xx = 6x, u y = 3y 2, u v x = y, v xx =, v y = x, v yy =, v vv = u v ln 2 u; yy = 6y, u xy = ; xy = ; + 3x ln x + 9 4 x ln2 x + 3 ln x 4 x ].

8 Rješenja 23 f x = f u u x + f v v x = (x 3 + y 3 ) xy [ 3x 3 y + y ln(x 3 + y 3 ) ], x 3 +y 3 f y = f u u y + f v v y = (x 3 + y 3 ) xy [ 3xy 3 + x ln(x 3 + y 3 ) ], x 3 +y 3 f xx = f uu (u x) 2 + 2f uv u x v x + f vv (v x) 2 + f u u xx + f v v xx =, f xy = f uu u x u y + f uv(u x v y + u y v x) + f vv v x v y + f u u xy + f v v xy =, f yy = f uu (u y) 2 + 2f uv u y v y + f vv (v y) 2 + f u u yy + f v v yy =. 3. a) dz = [ e x2 +xy+y 2 (2x + y) ] + [ e x2 +xy+y 2 (x + 2y) ] dy; b) dz = [ (x 2 y 2 ) 3 2x(x + ] [ 3 y)(x2 y 2 ) 4 3 + (x 2 y 2 ) 3 + 2y(x + ] 3 y)(x2 y 2 ) 4 3 dy. 4. (dz) T = 2 dy, 5 5 (d2 z) T = 4 25 ()2 + 6 4 dy + 25 25 (dy)2. 5. (du) T = 2 3 dy + 4 dz, (d 2 u) T = 6() 2 6(dy) 2 + 2(dz) 2 + 8 dy. du 6. = f + f x y g (x) + f ( ϕ + ϕ z x y g (x) ). 7. Naputak: Funkciju z = yϕ(x 2 y 2 ) rastaviti na z = yϕ(u), u = x 2 y 2. 8. Naputak: Funkciju z = xf ( ( ) y x) + g y x rastaviti na z = xf(u) + g(u), u = y. x z. =. u 2. 2u 2 z z =. u v v 3. (d 2 z) T = 7 6 ()2 dy 6 (dy)2. 4. (du) (,2) = dy, (dv) 3 (,2) = + dy. 3 5. (dz) T (3,4,2) = 3 dy, (d 2 z) T (3,4,2) = 8() 2 + dy 3(dy) 2. 6. a) 4x + 2y z 75 =, x 2 4 = y 2 = z 25 ; b) 2x + 3 x 2y + 4z 2 =, 2 2 = y 2 3 = z 2 x c) 2x y =, 2 = y = z. 2 7. ϕ = π (. 3 ) ( ) a 8. T 2 a, b 2 2 +b 2 +c 2 a, c 2 2 +b 2 +c 2 a 2 +b 2 +c, T2 a 2 2 a, b 2 2 +b 2 +c 2 a, c 2 2 +b 2 +c 2 a 2 +b 2 +c. 2 9. 3x 3y + 2z 4 =, 3x + 3y + 2z 4 =. 2. p =, p 2 = 72. 49 ( 2. T (,, ), T 2 (,, ) T 3 (,, ) T 4 (,, ), T 5 3e, 3e, 3e), ), T7 ( e, e, e ( T 6 3e, 3e, 3e 22. a 2. 24. f(x, y) = (x + 2) 2 + 2(x + 2)(y ) + 3(y ) 2. 25. T 3 (x, y) = y + xy + 2 x2 y 6 y3. 26. a) T 2 (x, y) = + (y ) + (x )(y ); b) T 2 (x, y, z) = π (x ) (y + ) π(z ) + (x 4 2 2 4 4 )2 (y + 4 )2 (x )(z ) (y + )(z ); 2 2 c) T 2 (x, y) = x (y ) x(y ) (y 3 3 9 9 )2 ; d) T 2 (x, y) = 2(x ) (y 2) (x 2 )2 (x )(y 2); e) T 2 (x, y) = e (x )+ e 27. a) minimum u točki T ( 3 (y e)+ 4e2 5e e, ) 3 4 4 ; 4 ; ), T8 ( e, e, e ). (x ) 2 + 2+e 2e2 2( e) 3 ( e) 3 ( b) minimum u T (, ), nema ekstrema u T 2, ( 2 4) i 2 T3, 3 3 c) maksimum u T (6, 4); (x )(y e)+ 3e 4 2( e) 3 (y e) 2. ) ;

24 8 Rješenja d) nema ekstrema u T (, ), maksimum u T 2 ( 4, 2); e) minimum u T (,, ), maksimum u T 2 (,, ). 28. a) minimum( u T (, 2), ) maksimum ( u T 2 )(, 2); ( ) b) minimum u T 2, 3 + 2 i T2 2, 3 2, maksimum u T3 2, 3 + 2 i ( ) T 2 4, 3 2 ; ( ) ( c) minimum u T 2, i 3 T2, ) ( ) ( 2 2, maksimum u T3 2, i T4 3, ) 2 2 ; ( d) minimum u T, 2, ( 2 3 3 3), maksimum u T2, 2, ) 2 3 3 3 ; e) maksimum u T (a,, ) i T 2 ( a,, ), nema ekstrema u T 3 (, b, ) i T 4 (, b, ), minimum u T 5 (,, c) i T 6 (,, c); f) nema ekstrema u T (,, 4 4 4) ; g) minimum u T (, ( 2, 2), T 2 (2,, 2), T 3 (2, 2, ), maksimum u T 4 4, 4, ) ( 7 3 3 3, 4 T5, 7, ) ( 4 3 3 3, 7 T6, 4, ) 4 3 3 3. 29. Kocka brida a = 3 V. 3. Ako opseg trokuta označimo sa s, onda su duljine stranica a = 3s, b = 3s, c = s. 8 8 4 3. Vmax = abc 27. 32. Nepravi maksimum u točkama kružnice x 2 + y 2 = 2. 33. 32 Pmax = 27 6. 3 34. Vmax =. 4 35. Vmax = 8 5. 25 36. D ( ) 2 3, 3, 3 3, V max = 6 ( AB AC) AD = + 3. 37. T (,, ). ( 38. Tjemena elipse su u točkama T 2, 2 ( 2 2 T 4 3 2, ) 3 2 2 2 ; poluosi su a = 3, b =. ) (, T2 2, ) ( 2 2 2, 3 2 T3, ) 3 2 2 2, 8.3 Dvostruki integrali. a) 346 45 ; b) e4 + 3. 2. a) 3 2 dy 3 y f(x, y) + 3 2 dy f(x, y) + 3 y 8 3 dy f(x, y) + 9 8 dy 9 y 9 y f(x, y) ; b) ln 2 e x f(x, y) dy + ln 2 2 f(x, y) dy + 2 2 x f(x, y) dy.

8 Rješenja 25 3. 4. a) ; 2 b) 2π 3 3 3 4 a) 4 3 2 ( e 2 + e 2 e e 5. a) 4 3 ; b) 4 7. 6. 2π 4 3. 7. 4 5 e. 8. 6 3. 9. 64 2 5 2 5 3 2. x 2 +. πe 2 (3e 2 ). π.. 36 2. a) π; b) π + 3 7 3 6 2 x 2 f(x, y) dy + 2 x 2 + f(x, y) dy; x 2 ) ; b) 2 ; c) 2 ; d). 3 3 8 ; c) π 3 6 3. ab 3.. 2c 4. 6 9 3. 6 5. a) ln 3; b) 3 + 6 + π; c) π ( 3 2 9 9 6. 3 π arctg ) 3 6 3. 7. 2 3 2π. 3 2 8.. 3 9. 3. π 2. 6. 3. 2ab 2. 2 22. 3 δr2 π. 23. a) T ( 5 a, 6 ) ; b) T ( 2, 5 ). 24. a) (R2 4 R) 4 π; b) 4 (R4 2 R) 4 π. 2 3 + 5 2. 44 8 8 8.4 Trostruki integrali 4. 9 e 3 e 2 +. 9 9 2. ln 3 4. 2 3. a) b) 2 dy 3 2 y y 2 2 3 x 6 y 3 3 2 x dy 6 3x 2y f(x, y, z) dz + 2 f(x, y, z) dz; 3 2 x x dy 2 6 x 3 y f(x, y, z) dz;

26 8 Rješenja c) dy 2 y y y f(x, y, z) dz + 2 x 2 x dy 2 x f(x, y, z) dz + 2 dy y 2 y 2 y f(x, y, z) dz+ d) + 2 x x dy x f(x, y, z) dz; dy 2 y 2 2 f(x, y, z) dz + x dy 2 2 f(x, y, z) dz + dy y 2 f(x, y, z) dz+ y 2 2y 2 x 2x 2 2 y 2y 2 + 4. a) 9 6 ; b) V = 6 6. 5 5 5. a) 56π; b) π ( ) 2 ln 2 3 3 4. 6. V = 7 7 π. 3 7 7. 3 (π + 6 3 3). 384 64π 8.. 3 9. V = π 32.. V = 3 3 + 2π (. 4 3. 3 π 4 6). 3π 2.. 2 3. V = 2π 4. π. 3. 5. 2 3 3 4 π. 6. a) 9π 2 ; b) π 6. 2 x x dy 2 2 2x f(x, y, z) dz. 7. 688π 5. 8. a) I = 3 abc(a2 + b 2 + c 2 ); b) I a = 3 abc(b2 + c 2 ). 9. a) T (,, 7 6) ; b) T ( 4 3,, ). 2. T ( 5 9 a, 5 9 a, 5 9 a). 8.5 Vektorska analiza. a) 6xy ı+(3x 2 +2yz 3 ) j+3y 2 z 2 k; b) 6 (6xy+3x 2 +2yz 3 +6y 2 z 2 ); c) 6y+2z 3 +6y 2 z. 2. a) 2x + 2y + xy; b) xz ı yz j; c) 6 [2x ı + 2y j + (xz + yz + 2xy) k]; d) 2 ı + 2 j. 3. 2a r + 4( a r) a.

8 Rješenja 27 4. 6 ı ( + 4 j ) 6 k. 5. 2 6 r 2 ( s r ). 6.. 7. 2( a r)f(r). 8. 2a 2 a. 9..... 4 a. 2. 3 ) 2 ln 2 + 3 k. 2 2 3. ( a r). 4. 9 (98 ı 74 j + 6 k). 3 5. 2 a. 6. 6( a r) a 2a r. 7. 2f(r) a 2( a r)f (r) r. 8. 2 a + r. 9. 4 a. 8.6 Krivuljni i plošni integrali 8. (2 2 ). 3 [ sh(2 arsh 24) + arsh 24 ]. 2 2. 4 2 3. 5 3 7π 3 4.. 6 3 5. 8 3. 2π 2 3. 2. 2 6. 7. Ne ovisi o putu integracije. 8. 4π. 9. 52π 3.. 2.. 62π 3. 2. 6. 3. π 2. 4. π. 5. 28π. 8.7 Diferencijalne jednadžbe. Linearna diferencijalna jednadžba po x. Opće rješenje je x = Ce sin y 2( + sin y). 2. Egzaktna diferencijalna jednadžba. Opći integral je x2 + ye x y 2 = C. 3. Egzaktna diferencijalna jednadžba. Opći integral je x2 + y ln x = C. y 4. x 2 + 3y 2 ln Cy =. 5. ln y + y 2 = ±x + C (ili arch y = ±x + C).

28 8 Rješenja 6. Homogena diferencijalna jednadžba. Opći integral je x + x 2 + y 2 = C. 7. Linearna diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = Ce sin x 2( + sin x). 8. Supstitucijom e y = t dobije se Bernoullijeva diferencijalna jednadžba. Opći integral je x e y cos x = C. 9. Lagrangeova diferencijalna jednadžba. Opće rješenje u parametarskom obliku je ) x = 3 ( Cp p y = 6 (2C p + p 2 ). = Cx. 3 3 y2 x 2. Homogena diferencijalna jednadžba. Opći integral je y = Cx(y x). 2. a) 2x + y = Ce 2y x ; b) C(x + y ) 3 = x y + 3. 3. Clairautova diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = Cx + ; singularno C rješenje je y 2 = 4x. 4. a) Diferencijalna jednadžba sa separiranim varijablama. Opći integral je x 2 2x y 2 x + 2y + 2 ln y = C; b) Diferencijalna jednadžba sa separiranim varijablama. Opći integral je a x + a y = C; c) Supstitucijom t = x y dobije se diferencijalna jednadžba sa separiranim varijablama. Opći integral je tg x y 2 = 2 x+c. 5. Homogena diferencijalna jednadžba. Opći integral je y2 = 2 ln Cx. x 2 6. Homogena diferencijalna jednadžba. Opći integral je x + ye x y = C. 7. Cx = x 2 + y 2. 8. a) x 2 + 2xy y 2 4x + 8y = C; b) 2(y + ) 2 + 3(y + )(x ) + (x ) 2 = C. 9. Linearna diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = cos x + Ce cos x. 2. Linearna diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = ( x 2 2 + C) ln x. 2. Linearna diferencijalna jednadžba po x. Opće rješenje je x = 2a(sin y+)+ce sin y. 22. Linearna diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = x4 6 + C x 2. 23. Linearna diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = ( + x 2 )(x + C). 24. a) Bernoullijeva diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = x 3 3 ln C x b) Bernoullijeva diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je y = ( tg x + ) 2 ln cos x + C. x ;

9 Kontrolne zadaće iz 22. godine 29 25. Diferencijalna jednadžba sa separiranim varijablama. Opći integral je x sin y = C. 26. Diferencijalna jednadžba svodi se na egzaktnu množenjem s Eulerovim multiplikatorom oblika µ = µ(y). Opći integral je xy y 2 = C. 9 Kontrolne zadaće iz 22. godine PRVA KONTROLNA ZADAĆA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 25. 3. 22. GRUPE: A B C M N O. (3 boda) Funkcija z = z(x, y) je zadana implicitno jednadžbom Naći 2 z x y u točki T (,, ). (x + )e y + (y + )e z + (z + )e x = 3. 2. (3 boda) Pokažite da sve tangencijalne ravnine na plohu ( y z(x, y) = x ϕ x) (gdje je ϕ derivabilna funkcija) prolaze ishodištem. 3. (4 boda) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije f(x, y, z) = 2x 3 + y 2 + z 2 3x 2 y + y. GRUPE: D E F G H I J K L. (3 boda) Pokažite da funkcija z = z(x, y) definirana jednadžbom x + y + z = f(x 2 + y 2 + z 2 ) (gdje je f derivabilna funkcija) zadovoljava identitet (y z) z + (z x) z x y = x y. 2. (3 boda) Naći jednadžbe tangencijalnih ravnina na plohu paralelnih ravnini x + y + 4z =. x 2 + 4y 2 + 4z 2 = 2

3 9 Kontrolne zadaće iz 22. godine 3. (4 boda) Naći i ispitati ekstreme funkcije z = x + y uz uvjet x 2 + y 2 = a 2 (a > ). DRUGA KONTROLNA ZADAĆA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 29. 4. 22. GRUPE: A B C M N O. (3 boda) Izračunati x 2 dy, (P ) pri čemu je (P ) lik odreden nejednadžbama 3x 2 + (y 2) 2 4, y 2 x 2 i x. 2. (4 boda) Izračunati volumen tijela odredenog nejednadžbama x 2 + y 2 + z 2 4 i x 2 + y 2 2x. 3. (3 boda) Neka je ϕ = [r 3 ( a r)], pri čemu je a konstantan vektor, r radijvektor, a r modul radijvektora. Izračunati ϕ. GRUPE: D E F G H I J K L. (3 boda) Izračunati pri čemu je (P ) područje omedeno elipsom (xy + 2y 5) dy, (P ) (x 4) 2 + (y 3)2 4 =. 2. (4 boda) Izračunati x 2 x 2 + y 2 + z 2 dv, (V ) pri čemu je (V ) tijelo odredeno nejednadžbama x 2 + y 2 + z 2 2z i z x 2 + y 2. Nacrtati sliku! 3. (3 boda) Izračunati div[ r( a r)], pri čemu je a konstantan vektor, a r radijvektor.

9 Kontrolne zadaće iz 22. godine 3 TREĆA KONTROLNA ZADAĆA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 3. 6. 22. GRUPE: A B C M N O. (3 boda) Izračunati yds, pri čemu je C luk krivulje 4x 2 + 3y 2 = 2 od točke A( 6/2, 2) do točke B(, 2). 2. (2 boda) Izračunati površinu dijela plohe z = x 2 + y 2 za koji je z 2. 3. (2 boda) Izračunati x 3 dy dz + y 3 dz + z 3 dy, S + pri čemu je S + vanjska strana kugle x 2 + y 2 + z 2 = a 2. C 4. (3 boda) Naći jednadžbu krivulje za koju se odsječak normale izmedu koordinatnih osi u bilo kojoj točki krivulje raspolavlja u toj točki. GRUPE: D E F G H I J K L. (2 boda) Izračunati duljinu luka krivulje zadane kao dio presječnice ploha y = x x i y + z = 8, za koji je z. 2. (2 boda) Izračunati K ln(x + ) + (x 2 + y 2 ) dy, pri čemu je K pozitivno orijentirana kontura četverokuta s vrhovima u točkama A(, ), B(2, ), C(4, 4) i D(, 4). 3. (3 boda) Izračunati S + x dy dz + y dz + z dy, pri čemu je S + dio plohe 2z = x 2 +y 2 za koji je z b (b > ), orijentiran tako da normala na plohu zatvara s pozitivnim dijelom osi OZ kut veći od 9. 4. (3 boda) Naći jednadžbu krivulje za koju je odsječak na osi ordinata, koji odsijeca bilo koja tangenta na krivulju, jednak apscisi dirališta.

32 Rješenja kontrolnih zadaća iz 22. godine Rješenja kontrolnih zadaća iz 22. godine RJEŠENJA PRVE KONTROLNE ZADAĆE IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 25. 3. 22. GRUPE: A B C M N O. ( 2 ) z x y T 2. Jednadžba tangencijalne ravnine: [ ( ) y ϕ x U jednadžbu uvrstimo y x ϕ ( )] y x =. ( ) (x x ) + ϕ y (y y ) (z z ) =. x z = x ϕ pa se lako vidi da točka x ( = y = z = zadovoljava jednadžbu tangencijalne ravnine. 3. Stacionarne točke: T,, ( 2 ), T 2 (,, ), T 3,, 3 3 ). (d 2 f) T > minimum u T, f min = ; 4 (d 2 f) T2 mijenja predznak nema ekstrema u T 2 ; (d 2 f) T3 mijenja predznak nema ekstrema u T 3.. z x ( y x ), GRUPE: D E F G H I J K L = 2xf 2zf, z y = 2yf 2zf. Parcijalne derivacije zadovoljavaju zadani identitet. 2. π... x + y + 4z 2 2 =, π 2... x + y + 4z + 2 2 =. 3. F (x, y; λ) = x + ( y + λ x + 2 y ) 2 a 2 ( ) Stacionarne točke: T a 2, a 2, λ = a 2 ; T 2 2(a 2, a 2), λ 2 = a 2. 2 (d 2 F ) T = 2 () 2 > za () 2 > minimum u T 2a 3, z min = 2 ; a (d 2 F ) T2 = 2 () 2 < za () 2 > maksimum u T 2a 3 2, z max = 2. a

Rješenja kontrolnih zadaća iz 22. godine 33 RJEŠENJA DRUGE KONTROLNE ZADAĆE IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 29. 4. 22. GRUPE: A B C M N O. 2. 3. I = 2π 3 27 7 6. V = 6 3 π 64 9. ϕ =, ϕ = =. GRUPE: D E F G H I J K L. 2. 3. I = I = 26π. π 89 (64 2). 4( a r). RJEŠENJA TREĆE KONTROLNE ZADAĆE IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 3. 6. 22. GRUPE: A B C M N O. 2. 3. 4. C y 2 x 2 = C y ds = 3 arsh S = 3π 3. I = 2πa5. 5 6 7 6 + 2. (familija hiperbola).

34 Pismeni ispiti iz 22. godine. 2. 3. 4. GRUPE: D E F G H I J K L s = 4 27 (9 9 ). I = 2 3. I = b 2 π. y = x ln C x. Pismeni ispiti iz 22. godine PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 28.. 22.. (4 boda) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije z = z(x, y) = e y2 cos x. 2. (2 boda) Izračunati prve parcijalne derivacije funkcije u = u(x, y, z) = (x + y) y+2z na njenom prirodnom području definicije. 3. (3 boda) Izračunati integral z dv, pri čemu je V tijelo omedeno plohama z = x 2 + 4y 2 V i z = 4. Nacrtati sliku! 4. (2 boda) Izračunati grad[( a r)r 3 ], pri čemu je a konstantan vektor, a r radijvektor proizvoljne točke prostora. 5. (4 boda) Izračunati Γ x + y dy + z dz x2 + y 2 + z 2 +, pri čemu je Γ dio krivulje zadane sa y = x 2 +, z = x 2 + x + 2 od točke A(x = ) do točke B(x = ). Naputak: Ispitati ovisnost krivuljnog integrala o putu integracije. 6. (3 boda) Izračunati površinu dijela plohe z = x 2 + y 2 za koji je z 4. Nacrtati sliku! 7. (2 boda) Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y y = 3x + y. 2

Pismeni ispiti iz 22. godine 35 PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 5. 2. 22.. (4 boda) Naći jednadžbu normale iz točke P (3,, 3) na plohu y = 2x 2 + z 2 + 2. Nacrtati sliku! 2. (2 boda) Izračunati integral x dp, P pri čemu je P lik omeden krivuljama y =, y = ln x i y = x (e ) koji se nalazi u prvom kvadrantu. 3. (4 boda) Izračunati (x 2 + y 2 ) dv, pri čemu je V dio kugle x 2 + y 2 + z 2 4 za koji je z. V 4. (3 boda) Neka je a konstantan vektor, a r radijvektor proizvoljne točke prostora. Izračunati usmjerenu derivaciju vektorskog polja v = ( a r)r 3 r u smjeru vektora a. 5. (2 boda) Izračunati duljinu luka krivulje x = t sin t + cos t od t = do t = 2π. y = t cos t sin t z = t 6. (2 boda) Neka je S + pozitivno orijentirana ploha x 2 + y 2 + y 2 =, te neka je a konstantan vektor, a r radijvektor proizvoljne točke prostora. Izračunati S + ( a r) d S. 7. (3 boda) Riješiti jednadžbu koristeći supstituciju u(x) = x2 y. xy y ( ) x ln x2 y + 2 =,

36 Pismeni ispiti iz 22. godine PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 3. 4. 22.. (2 boda) Funkcija z = z(x, y) je zadana parametarski sa Naći dz u točki T za koju je u =, v =. x = u2 + v 2 2 y = u2 v 2 2 z = uv. 2. (3 boda) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = 2x 3 + y 2 3x 2 y + y. 3. (2 boda) Postaviti granice integracije u integralu f(x, y, z) dy dz, V pri čemu je V tetraedar s vrhovima O(,, ), A(,, ), B(,, ) i C(,, 2). 4. (3 boda) U integralu izvršiti prijelaz na polarne koordinate. 2 x 2 x 2 f(x, y) dy 5. (2 boda) Izračunati Γ xy, pri čemu je Γ dio pozitivno orijentirane krivulje x 2 + y 2 = 4 od točke A( 2, 2) do točke B( 2, 2). 6. (4 boda) Korištenjem Greenove formule izračunati (e x sin y y 2 ) + e x cos y dy, Γ pri čemu je Γ dio krivulje y = 4x x 2 od A(x = ) do B(x = 3). Primjedba: Uočiti da krivulja nije zatvorena. 7. (4 boda) Naći krivulje čija svaka tangenta siječe os y u točki koja je jednako udaljena od dirališta i od ishodišta koordinatnog sustava.

Pismeni ispiti iz 22. godine 37 PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 3. 6. 22.. (4 boda) Na plohi z = x 2 + 3y 2 + 5 naći točku najbližu točki A(2, 4, ). 2. (2 boda) Promijeniti poredak integriranja u dvostrukom integralu 2 2 2 x+ 4 x 2 f(x, y) dy. 3. (4 boda) Izračunati volumen tijela omedenog plohama x 2 + y 2 = 2x, x 2 + y 2 = 2y, z = x + 2y, z =. 4. (3 boda) Izračunati (r r), pri čemu je r radijvektor, a r = r. 5. (2 boda) Izračunati y ds, pri čemu je C dio kardioide r = + cos ϕ koji se nalazi u prvom kvadrantu. C 6. (3 boda) Izračunati pri čemu je S + dio plohe S + x dy dz + y dz + z dy x 2 + y 2 + z 2, x = y 2, z, orijentiran tako da normala na tu plohu zatvara s osi OX kut manji od π/2. 7. (2 boda) Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe xy + y = y 2 ln x. PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2. 7. 22.. (3 boda) Naći i ispitati ekstreme funkcije f(x, y) = e x y (x 2 2y 2 ).

38 Pismeni ispiti iz 22. godine 2. (3 boda) Izračunati površinu lika odredenog nejednadžbama x 2 + y 2 x, x 2 + y 2 2x, y x 3, y x. 3. (3 boda) Izračunati integral (V ) x dy dz (x + y + z + ) 4, pri čemu je (V ) tetraedar s vrhovima O(,, ), A(,, ), B(,, ) i C(,, ). 4. (2 boda) Izračunati (r 3 ), pri čemu je r = r, a r radijvektor. 5. (4 boda) Izračunati C x 3 dy x 2 y (x 2 + y 2 ) 2, pri čemu je C dio krivulje y = 2 x od točke A(, ) do točke B(, 2 ). 6. (2 boda) Izračunati (x 2 + y 2 ) ds, S pri čemu je S dio plohe z = x 2 + y 2 za koji je z 4. Nacrtati sliku! 7. (3 boda) Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe x dy y ln y =. x PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 9. 7. 22.. (2 boda) Odrediti točku u ravnini, tako da je zbroj kvadrata udaljenosti te točke do točaka A(, ), B(, ) i C(2, 2) minimalan. 2. (2 boda) Promjenom poretka integracije izračunati x x 2 e y2 dy. 3. (4 boda) Izračunati integral (V ) x 2 + y 2 + z 2 dy dz,

Pismeni ispiti iz 22. godine 39 pri čemu je (V ) odreden nejednadžbama x 2 + y 2 + z 2 4 i x 2 + y 2 + z 2 4z. 4. (2 boda) Izračunati div(r 3 r), pri čemu je r radijvektor, a r = r. 5. (3 boda) Izračunati C x + (x + y) dy + (x + y + z) dz, pri čemu je C presječnica ploha x 2 + y 2 = a 2 (a > ) i z = x + y, prijedena u pozitivnom smjeru, gledano iz točke (,, ). 6. (3 boda) Izračunati S x ds, pri čemu je S dio sfere x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (R > ) koji se nalazi u prvom oktantu. 7. (4 boda) Tangenta i normala neke krivulje povučene u bilo kojoj točki M(x, y) te krivulje sijeku os x u točkama T (x T, ) i N(x N, ), redom. Odredite sve krivulje za koje vrijedi OM 2 = x T x N. PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 3. 8. 22.. (2 boda) Pokažite da funkcija u(x, y) = x p ϕ ( y x 2 ), p R, pri čemu je ϕ derivabilna funkcija, zadovoljava jednadžbu 2. (3 boda) Izračunati x u u + 2y x y = pu. (P ) pri čemu je (P ) lik odreden nejednadžbama x 2 dy (x 2 + y 2 ) 3, x 2 + y 2 y, x 2 + y 2 2y, x, y x. 3. (3 boda) Izračunati integral (V ) x 2 + y 2 + dy dz,

4 Pismeni ispiti iz 22. godine pri čemu je (V ) područje odredeno nejednadžbama Nacrtati sliku! y + z 4, x 2 + y 2 6, z. 4. (4 boda) Izračunati ln{re r + [r( a r)]}, pri čemu je a konstantan vektor, r radijvektor, a r = r. 5. (4 boda) Izračunati C y ds, pri čemu je C presječnica ploha z = x 2 + y 2 i z = 5 (x ) 2 y 2. 6. (2 boda) Izračunati C xy 2 dy x 2 y, pri čemu je C kružnica x 2 + y 2 = a 2 prijedena u pozitivnom smjeru. 7. (2 boda) Naći opći i singularni integral diferencijalne jednadžbe y = xy + + (y ) 2. PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 6. 9. 22.. (2 boda) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije z = 3 x3 + x 2 + y 2 + xy x 4y. 2. (3 boda) Izračunati pri čemu je (D) dio elipse (x 2 + y 2 ) dy, (D) ( ) x 2 + (y ) 2 =, za koji je x i y. 2 3. (4 boda) Izračunati volumen tijela odredenog nejednadžbama x 2 + y 2 + z 2 a 2 i x 2 + y 2 az 2 3 (a > ).

Pismeni ispiti iz 22. godine 4 4. (2 boda) Izračunati ( a ) r, pri čemu je a konstantan vektor, a r radijvektor. 5. (4 boda) Izračunati pri čemu je C dio presječnice ploha C x + y dy + z dz, x 2 + y 2 = i z = (x 2) 2 + y 2 od točke A( 3,, 2 3 + 5) do točke B(, 3, 3). Nacrtati sliku! 2 2 2 2 6. (3 boda) Izračunati S y ds, pri čemu je S dio plohe y = x 2 za koji je y i z. 7. (2 boda) Naći ortogonalne trajektorije familije krivulja xy = a. PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 7. 9. 22.. (4 boda) Naći kvadar najvećeg volumena čija prostorna dijagonala iznosi D. Koliki je taj volumen? 2. (3 boda) Izračunati površinu lika odredenog nejednadžbama x 2 +y 2 i x 2 +y 2 2 3 x. 3. (2 boda) Izračunati z dv, pri čemu je (V ) tijelo omedeno plohama z = x 2 + 4y 2 (V ) i z = 4. Nacrtati sliku! 4. (3 boda) Izračunati div[( a r)f(r)], pri čemu je a konstantan vektor, r radijvektor, a f derivabilna funkcija. 5. (3 boda) Izračunati C xy(dy ), pri čemu je C dio pozitivno orijentirane kružnice x 2 + (y + ) 2 = od točke A(, ) do točke B(, ). 6. (3 boda) Izračunati S + z dy,

42 Pismeni ispiti iz 22. godine pri čemu je S + vanjska strana elipsoida x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 =. 7. (2 boda) Naći opći integral diferencijalne jednadžbe e y + (xe y 2y) dy =. PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 25. 9. 22.. (4 boda) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = 5x+3y uz uvjet 4 sin x = 3 cos y u području < x < π 2, < y < π 2. 2. (2 boda) Zamjenom poretka integracije izračunati integral x 5 x 2 e y2 dy. 3. (4 boda) Izračunati volumen tijela omedenog plohama z =, z = x2 a + y2 2 b 2 i x 2 a 2 + y2 b 2 = 2x a. 4. (3 boda) Izračunati rot[( a r)f(r) r], pri čemu je a konstantan vektor, r radijvektor, a f derivabilna funkcija. 5. (3 boda) Izračunati C x arctg y x + y3 e y dy, pri čemu je C pozitivno orijentirana zatvorena krivulja zadana slikom:

Pismeni ispiti iz 22. godine 43 6. (2 boda) Izračunati površinu dijela plohe z = x 2 + y 2 za koji je z 4. Nacrtati sliku! 7. (2 boda) Naći opći integral diferencijalne jednadžbe (x + 2y + ) + (x + 3y) dy =. PISMENI ISPIT IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 4.. 22.. (3 boda) Naći ekstreme funkcije z(x, y) = x 4 + y 4 2x 2 4xy 2y 2. 2. (2 boda) Izračunati integral x 2 e x2 y 2 dy. 3. (3 boda) Izračunati pri čemu je r radijvektor, a r = r. (sin r), 4. (3 boda) Izračunati volumen tijela omedenog plohama x 2 + y 2 + z 2 = 4 i x 2 + y 2 = 3z. 5. (4 boda) Izračunati integral (y 2) ds, K pri čemu je K presjek paraboloida 4(x ) 2 + y 2 = 4z s ravninom z = y, uz uvjet y > 2. 6. (3 boda) Izračunati integral S + z dy + x dz + y dy dz, pri čemu je S + gornja strana ravnine 2x + z = 4 u prvom oktantu, odredene uvjetom < y < 4. 7. (2 boda) Riješiti diferencijalnu jednadžbu (x 2 + y 2 + 2x) + 2xy dy =.

44 2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine 2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 28.. 22.. Stacionarne točke: T k (kπ, ), k Z. k paran T k je lokalni maksimum. k neparan T k je lokalni minimum. 2. 3. 4. 5. 6. u x = (y + 2z)(x + y)y+2z, u y = (x + y)y+2z u z = 2(x + y)y+2z ln(x + y). I = 32π 3. 3r( a r) r + r 3 a. I = 2. S = π 6 (7 7 ). ( ln(x + y) + y + 2z x + y ), 7. x = Cy 3 y 2. RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 5. 2. 22.. 2. 3. 4. 5. n... x 4 = y 5 2 5 = z 3 2. 3 I = 5 2 e 2 + e2 4. I = 53π 3. ( a r)r 3 a + r 3 a[3( a r ) 2 + ] r. s = 2 arsh(2π) + sh(2 arsh(2π)). 4

2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine 45 6. 7. I =. C ln x2 y = e x. RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 3. 4. 22.. dz T =. 2. Stacionarne točke: T (, ), T ( 2 2 (, ), T 3, ) 3 3. U T funkcija ima lokalni minimum. U T 2 i T 3 funkcija nema ekstrem. 3. 4. 5. 6. π/4 dϕ x 2 sin ϕ dy 2 2y f(x, y, z) dz + f(r cos ϕ, r sin ϕ)r dr + π/2 π/4 I = 4 2 3. x dϕ dy 2 I = (e 3 e) sin 3 22 3. 2 2y f(x, y, z) dz. f(r cos ϕ, r sin ϕ)r dr. 7. x 2 + y 2 = Cx.. RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 3. 6. 22. F (x, y, z) = (x 2) 2 + (y 4) 2 + z 2 + λ(x 2 + 3y 2 + 5 z 2 ), z > Minimum u točki T (,, 3). 2. I = 2 dy 4 y 2 f(x, y) + 4 y 2 2 dy 2 2y 2 f(x, y)

46 2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine 3. ( π 2 ) 4. 5. 6. C V = 3 2 (r r) = 4 r y ds = 2 2 5 (4 2 ). I = π2 4 7. Bernoullijeva diferencijalna jednadžba. y(x) = ln x + + Dx RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2. 7. 22.. Stacionarne točke: T (, ), T 2 ( 4, 2). Nema ekstrema u T (, ). Maksimum u T 2 ( 4, 2), fmax = 8e 2. 2. P = π + 6 3 3. 6 3. I = 9 + ln 2. 6 4. 5. P y Q x (r 3 ) = 2r. krivuljni integral ne ovisi o putu integracije 6. S(x 2 + y 2 ) ds = π 6 I = 2 arctg 2 π 4 + 5 [ 2 5 (289 7 25 5) 2 3 (7 7 5 5)]. 7. Homogena diferencijalna jednadžba. Opće rješenje je: y = xe Cx+, C R.

2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine 47 RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 9. 7. 22.. Minimum u T ( 4 3, ). 2. 3. 4. 5. I = 4 ( e ). I = 24π 5. (r 3 r) = 6r 3. I = a 2 π. 6. x ds = R3 π S 4. 7. Opće rješenje: y = Cx2, x, C. 2 2C. 2. 3. RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 3. 8. 22. ( ) ( ) u y y x = pxp ϕ 2x p 3 yϕ, x 2 x 2 x u u + 2y x y = pu. I = 3 8 ( π ). 4 I = 8π 3 (7 7 ). 4. ln{re r + [r( a r)]} = + r r. r 5. y ds =. 6. I = a4 π 2. 7. Clairautova diferencijalna jednadžba. Opći integral: y = xc + + C 2 Singularni integral: x 2 + y 2 =, y. C ( ) u y y = xp 2 ϕ, x 2

48 2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 6. 9. 22. (. Stacionarne točke: T (2, ), T 2, ) 9 2 4. U T funkcija nema ekstrem. U T 2 funkcija ima lokalni minimum, z min = 25. 48 2. I = 3π 8 + 4. 3. ( 2 I = πa 3 3 5 ) 3. 6 4. ( a ) r = 2 a. 5. 3 I = ln 5 2 3. 6. I = sh(4 arsh 2) arsh 2. 28 32 7. y 2 x 2 = C, C R (familija hiperbola). RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 7. 9. 22.. 2. 3. 4. 5. 6. ( D 3 T max 3, D 3 3, D ) 3, V max = D3 3. 3 9 P = 8 ( 3 3 π ). I = 32π 3. div[( a r)f(r)] =. I = 2 3 π 2. I = 4 3 abcπ. 7. Egzaktna diferencijalna jednadžba. Opći integral: xe y y 2 = C, C R.

2 Rješenja pismenih ispita iz 22. godine 49 RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 25. 9. 22.. Maksimum u točki T ( arcsin 9 6, arccos 3 4). 2. I = 2. 3. V = 3abπ 2. 4. rot[( a r)f(r) r] = f(r)( a r). 5. 6. 7. Opći integral: I = π ln 2. 4 S = π 6 (7 7 ). C[3(y ) 2 + 3(y )(x + 3) + (x + 3) 2 ] = e 2 3 arctg(2 3 y 3 x+3 + 3), C R +. RJEŠENJA PISMENOG ISPITA IZ MATEMATIČKE ANALIZE 2 4.. 22.. Stacionarne točke: T (, ), T ( 2, 2), T 2 ( 2, 2). Nema ekstrema u T (, ). U T ( 2, 2) i T 2 ( 2, 2) funkcija ima minimum z min = 8. 2. I = π ( ). 4 e 3. 4. 5. 6. (sin r) = sin r + 2 cos r. r V = 9π 6. I = 4 2 + 2 7 7 ln(2 2 + 7). I = 48. 7. Egzaktna diferencijalna jednadžba. Opći integral je xy 2 + x3 3 + x2 = C.

5 Dodatak A Tablica derivacija f(x) f (x) f(x) f (x) c arctg x +x 2 x α αx α arcctg x +x 2 a x a x ln a ch x sh x e x e x sh x ch x ln x x th x ch 2 x log a x log x a e cth x sin x cos x arsh x sh 2 x x 2 + cos x sin x arch x x 2 tg x cos 2 x arth x x 2 ctg x arcth x sin 2 x arcsin x x 2 arccos x x 2 x 2 B Tablica neodredenih integrala. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9... 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. x α = xα+ + C, α α+ = ln x + C x e x = e x + C a x = ax + C ln a sin x = cos x + C cos x = sin x + C = tg x + C cos 2 x = ctg x + C sin 2 x sh x = ch x + C ch x = sh x + C = th x + C ch 2 x = cth x + C sh 2 x = ln tg ( ) x sin x 2 + C = ln tg ( ) x + π cos x 2 4 + C = arctg ( ) x x 2 +a 2 a a + C, a = ln x a x 2 a 2 + C, a 2a x+a a = arcsin ( ) x 2 x 2 a + C, a x = ln x + x 2 ± a 2 2 ±a + C, a 2