Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1
Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład /
Aproksymacja fukcji jedej zmieej Daa jest fukcja jedej zmieej gdzie y f ( x) x[ a, b] Fukcja ta podaa jest w postaci wzoru aalityczego lub w postaci zbioru puktów f ( x ) y, f ( x ) y,..., f ( x ) y 1 1 Celem aproksymacji jest dobór takiej fukcji F( x, p,..., p ), x[ a, b] 0 aby w sesie przyjętego kryterium fukcja ta możliwie dokładie odtwarzała przebieg fukcji f (x). k Wykład /3
Aproksymacja fukcji jedej zmieej Jeżeli fukcja daa jest w postaci dyskretej (zbioru puktów) to aproksymację azywamy puktową, a jeżeli w postaci wzoru aalityczego, to mówimy o aproksymacji itegralej. Wykład /4
Aproksymacja fukcji jedej zmieej Kryteria aproksymacji puktowej dla fukcji jedej zmieej kostruuje się tak, aby zmiimalizować różice pomiędzy wartościami daej fukcji f (x) w puktach (x i, y i ), i = 1,,, a wartościami fukcji F (x, p 0,, p k ) w tych samych puktach. Wprowadzamy pojęcie odchyłki: F( x, p,..., p ) y mi, i 1,,..., i i 0 k i Należy tak dobrać parametry p 0,, p k wzoru empiryczego, aby spełioe było kryterium miimalizacji odchyłki. Wykład /5
Wykład /6 Aproksymacja fukcji jedej zmieej
Aproksymacja fukcji jedej zmieej W literaturze moża spotkać astępujące kryteria miimalizacji odchyłek metoda wybraych puktów, metoda średich, metoda sumowaia bezwzględych wartości, metoda ajmiejszych kwadratów. Wykład /7
Metoda ajmiejszych kwadratów Kryterium tej metody polega a takim doborze współczyików fukcji F (x, p 0,, p k ), aby 0 k i i 0 k i i1 i1 S( p,..., p ) F( x, p,..., p ) y mi Wykład /8
Aproksymacja liiowa fukcji jedej zmieej Rozpatrujemy zbiór puktów ( x, y ), ( x, y ),..., ( x, y ) 1 1 którego aproksymacją ma być fukcja liiowa y p p x 0 1 Zgodie z kryterium metody ajmiejszych kwadratów S( p, p ) p p xi yi mi 0 1 0 1 i1 Wykład /9
Aproksymacja liiowa fukcji jedej zmieej Wykład /10 Warukiem koieczym dla istieia ekstremum fukcji dwóch zmieych jest zerowaie się odpowiedich pochodych cząstkowych: S( p0, p1) p0 S( p0, p1) p1 Otrzymujemy zatem astępujący układ rówań: S p0 p1xi yi 0 p0 i1 S p0 p1xi yi xi 0 p1 i1 0 0
Aproksymacja liiowa fukcji jedej zmieej Układ te moża zapisać w astępującej postaci: lub macierzowo: p0 p 1 xi yi i1 i1 p x p x x y 0 i 1 i i i i1 i1 i1 xi yi i1 p 0 i1 p 1 xi x i xi yi i1 i1 i1 Wykład /11
Aproksymacja liiowa fukcji jedej zmieej Rozwiązując układ rówań dowolą metodą moża obliczyć parametry p 0 i p 1 p.: 1 X P Y P X Y Wykład /1
Aproksymacja kwadratowa fukcji jedej zmieej Przykład 1: Dla zbioru puktów P( x, y ), i 1,,..., i i i dobrać wzór aproksymujący w postaci: y p p x p x 0 1 Wykład /13
Aproksymacja kwadratowa fukcji jedej zmieej Wykład /14 Wykorzystując kryterium metody ajmiejszych kwadratów i i i S( p, p, p ) p p x p x y = mi 0 1 0 1 i1 możemy zapisać astępujący układ rówań: S p0 S p1 S p p 0 p1 xi p xi yi 1 0 i1 p 0 p1 xi p xi yi xi 0 i1 p0 p1 xi p xi yi xi 0 i1
Aproksymacja kwadratowa fukcji jedej zmieej Zapis macierzowy: x i xi yi i1 i1 i1 p 0 3 xi xi x i p 1 xi y i i1 i1 i1 i1 p 3 4 x i x i xi xi yi i1 i1 i1 i1 Z powyższego układu rówań wyzacza się p 0, p 1, p. Wykład /15
Aproksymacja fukcji jedej zmieej Przykład : Dla zbioru puktów P( x, y ), i 1,,..., i i i dobrać wzór aproksymujący w postaci: 1 y b0 b1 b x x Wykład /16
Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład /17 Wykorzystując kryterium metody ajmiejszych kwadratów 1 ( 0, 1, ) 0 1 i i = mi i1 xi S b b b b b b x y zapisujemy astępujący układ rówań: S 1 b0 b1 b xi yi1 0 b0 i1 xi S 1 1 0 b0 b1 b xi yi b1 i1 xi xi S 1 b0 b1 b xi yi xi 0 b i1 xi
Aproksymacja fukcji jedej zmieej Zapis macierzowy: 1 x i yi i 1 x i i1 i1 b 0 1 1 yi b 4 1 i 1 xi i 1 x i i1 x i b 4 xi xi xi yi i1 i1 i1 Z powyższego układu rówań wyzacza się b 0, b 1, b. Wykład /18
Metody Numerycze Iterpolacja fukcji jedej zmieej Wykład /19
Iterpolacja - defiicja Daa jest fukcja: y f x x x x ( ), 0, dla której zamy tablicę jej wartości f ( x ) y, f ( x ) y,..., f ( x ) y 0 0 1 1 Wartości tworzące +1 par puktów ( x, y ),( x, y ),...,( x, y ) 0 0 1 1 zwae są węzłami iterpolacji. Wykład /0
Iterpolacja - defiicja Celem iterpolacji jest wyzaczeie takiej fukcji W(x), aby: W( x ) y, W( x ) y,..., W( x ) y 0 0 1 1 Fukcja ta azywaa jest wielomiaem iterpolacyjym i węzłach iterpolacji przyjmuje takie same wartości co fukcja y = f (x). Wykład /1
Iterpolacja - defiicja Wielomia iterpolacyjy defiiuje się jako kombiację liiową + 1 fukcji bazowych i współczyików a i W ( x) a ( x) i0 i i a i współczyiki wielomiau iterpolacyjego i (x) przyjęte fukcje bazowe Wykład /
Iterpolacja - defiicja Defiiując: Φ ( x), ( x), ( x),..., ( x) 0 1 X 0( x0 ) 1( x0 )... ( x0 ) 0( x1 ) 1( x1 )... ( x1 )............ 0( x ) 1( x )... ( x ) A a a a 0 1 Y y y y 0 1 wtedy: W( x) XA Y 1 X Y Wykład /3
Iterpolacja aturala Fukcje bazowe: ( x) x 1, ( x) x, ( x) x,..., ( x) x 0 0 1 Postać wielomiau iterpolacyjego: W x a a x a x a x ( ) 0 1... Wykład /4
Iterpolacja aturala Opierając się a waruku koieczym istieia iterpolacji: a a x a x... a x y 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1... 1 1 a a x a x a x y moża zapisać, że a a x a x... a x y 0 1 AX Y X 1 x0... x 0 1 x1... x1............ 1 x... x a a A a 0 1 Y y y y 0 1 Wykład /5
Iterpolacja aturala Przykład Dla podaych węzłów zapisz: macierze układu rówań, z których wyzacza się współczyiki wielomiau iterpolacyjego dla iterpolacji wielomiaowej wielomia iterpolacyjy Węzły: (1,3) (,5) (4,7) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) 0 0 1 1 Wykład /6
Iterpolacja aturala 0 1 x0 x0 x 0 a0 y0 0 1 1 x1 x1 x 1 a 1 y 1 0 1 x x x a y 0 1 1 1 a0 3 0 1 ( ) ( ) ( ) a 1 5 0 1 4 4 4 a 7 1 1 1 a0 3 1 4 a 5 1 1 4 16 a 7 Wykład /7
Iterpolacja aturala 1 A X Y 1 1 a0 3, a1, a 3 3 W ( x) a a x a x 0 1 1 1 W ( x) 3 x x 3 3 Wykład /8
Iterpolacja Lagrage a Fukcje bazowe: ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) 0 1 3 ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) 1 0 3... i ( x) ( x x1 ) x x x xi 1 x xi 1 x x ( )...( )( )...( )... ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) 1 3 1 Dla każdej i (x), i = 0, 1,..., brakuje składika (x - x i )!!! Wykład /9
Iterpolacja Lagrage a Postać wielomiau iterpolacyjego: W ( x) a ( x) a ( x)... a ( x) 0 0 1 1 a ( x x )( x x )...( x x ) 0 1 a ( x x )( x x )...( x x )... 1 0 a( x x0 )( x x1 )...( x x 1) Wykład /30
Iterpolacja Lagrage a Macierz X: X 0( x0) 0 0 0 0 1( x1) 0 0 0 0 ( x) 0 0 0 0 ( x) Dla puktu x i wszystkie fukcje bazowe oprócz i (x) zerują się, bo występuje w ich składik (x - x i ) Wykład /31
Iterpolacja Lagrage a Poieważ macierz X ma tylko główą przekątą iezerową to: a a 0 1 y0 y0 ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) 0 1 0 0 0 0 y1 y1 ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) 1 0 1 1 1 1 a y y ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) 1 1 Wykład /3
Iterpolacja Lagrage a Przykład Dla podaych węzłów zapisz: macierze układu rówań, z których wyzacza się współczyiki wielomiau iterpolacyjego dla iterpolacji wielomiaowej wielomia iterpolacyjy Węzły: (,3) (0,5) (, 3) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) 0 0 1 1 Wykład /33
Iterpolacja Lagrage a (,3) (0,5) (, 3) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) 0 0 1 1 ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) W ( x) y y y ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 0 0 1 0 1 x0 x1 x0 x x1 x0 x0 x x x0 x x1 ( x0)( x) x ( ) ( x ) x ( ) ( x 0) W( x) 3 5 ( 3) ( 0)( ) 0 ( ) (0 ) x ( ) ( 0) ( x 0)( x ) ( x )( x ) ( x )( x 0) W( x) 3 5 3 ( 0)( ) (0 )(0 ) ( )( 0) Wykład /34