METODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński

Podobne dokumenty
Definicja interpolacji

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

4. Aproksymacja Wprowadzenie (4.1) aproksymowana aproksymującej przybliżającej błędami aproksymacji przybliżenia

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

KADD Metoda najmniejszych kwadratów

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

1 Układy równań liniowych

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)

2. Schemat ideowy układu pomiarowego

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.

Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)

Wykład 11. a, b G a b = b a,

c 2 + d2 c 2 + d i, 2

Pochodna funkcji jednej zmiennej

1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767

MACIERZE STOCHASTYCZNE

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Przykładowe pytania na egzamin dyplomowy dla kierunku Automatyka i Robotyka

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Modele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017

Metody numeryczne. Marek Lefik. Wykład 1 Studia doktoranckie

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

METODY APROKSYMACJI MATEUSZ WAGA. Gimnazjum im. Jana Matejki w Zabierzowie

LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer. wykład 3 1

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

h = 10 / N, a N jest zadaną liczbą naturalną.

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

x t 1 (x) o 1 : x s 3 (x) Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY

I. Podzielność liczb całkowitych

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

Szkic do wykładów z mechaniki analitycznej

Rentgenowska analiza fazowa jakościowa i ilościowa Wykład 9

Miary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Funkcje tworzące - przypomnienie

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

"Liczby rządzą światem." Pitagoras

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

Prawdopodobieństwo i statystyka

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

Egzaminy. na wyższe uczelnie zadania

21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,

Planowanie doświadczeń - DPLD LMO Materiały pomocnicze

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

ANALIZA KORELACJI IREGRESJILINIOWEJ

MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

Tematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa

Zeszyty naukowe nr 9

( 0) ( 1) U. Wyznaczenie błędów przesunięcia, wzmocnienia i nieliniowości przetwornika C/A ( ) ( )

Podstawowe struktury algebraiczne

0, co implikuje tezę. W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna ( f (c)

Rozpuszczalność gazów w cieczach. Prawo Henry ego

Sprawdzamy, czy błędy są losowo rozrzucone wokół zera i nie obserwujemy wśród nich żadnego trendu.

Transkrypt:

Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1

Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład /

Aproksymacja fukcji jedej zmieej Daa jest fukcja jedej zmieej gdzie y f ( x) x[ a, b] Fukcja ta podaa jest w postaci wzoru aalityczego lub w postaci zbioru puktów f ( x ) y, f ( x ) y,..., f ( x ) y 1 1 Celem aproksymacji jest dobór takiej fukcji F( x, p,..., p ), x[ a, b] 0 aby w sesie przyjętego kryterium fukcja ta możliwie dokładie odtwarzała przebieg fukcji f (x). k Wykład /3

Aproksymacja fukcji jedej zmieej Jeżeli fukcja daa jest w postaci dyskretej (zbioru puktów) to aproksymację azywamy puktową, a jeżeli w postaci wzoru aalityczego, to mówimy o aproksymacji itegralej. Wykład /4

Aproksymacja fukcji jedej zmieej Kryteria aproksymacji puktowej dla fukcji jedej zmieej kostruuje się tak, aby zmiimalizować różice pomiędzy wartościami daej fukcji f (x) w puktach (x i, y i ), i = 1,,, a wartościami fukcji F (x, p 0,, p k ) w tych samych puktach. Wprowadzamy pojęcie odchyłki: F( x, p,..., p ) y mi, i 1,,..., i i 0 k i Należy tak dobrać parametry p 0,, p k wzoru empiryczego, aby spełioe było kryterium miimalizacji odchyłki. Wykład /5

Wykład /6 Aproksymacja fukcji jedej zmieej

Aproksymacja fukcji jedej zmieej W literaturze moża spotkać astępujące kryteria miimalizacji odchyłek metoda wybraych puktów, metoda średich, metoda sumowaia bezwzględych wartości, metoda ajmiejszych kwadratów. Wykład /7

Metoda ajmiejszych kwadratów Kryterium tej metody polega a takim doborze współczyików fukcji F (x, p 0,, p k ), aby 0 k i i 0 k i i1 i1 S( p,..., p ) F( x, p,..., p ) y mi Wykład /8

Aproksymacja liiowa fukcji jedej zmieej Rozpatrujemy zbiór puktów ( x, y ), ( x, y ),..., ( x, y ) 1 1 którego aproksymacją ma być fukcja liiowa y p p x 0 1 Zgodie z kryterium metody ajmiejszych kwadratów S( p, p ) p p xi yi mi 0 1 0 1 i1 Wykład /9

Aproksymacja liiowa fukcji jedej zmieej Wykład /10 Warukiem koieczym dla istieia ekstremum fukcji dwóch zmieych jest zerowaie się odpowiedich pochodych cząstkowych: S( p0, p1) p0 S( p0, p1) p1 Otrzymujemy zatem astępujący układ rówań: S p0 p1xi yi 0 p0 i1 S p0 p1xi yi xi 0 p1 i1 0 0

Aproksymacja liiowa fukcji jedej zmieej Układ te moża zapisać w astępującej postaci: lub macierzowo: p0 p 1 xi yi i1 i1 p x p x x y 0 i 1 i i i i1 i1 i1 xi yi i1 p 0 i1 p 1 xi x i xi yi i1 i1 i1 Wykład /11

Aproksymacja liiowa fukcji jedej zmieej Rozwiązując układ rówań dowolą metodą moża obliczyć parametry p 0 i p 1 p.: 1 X P Y P X Y Wykład /1

Aproksymacja kwadratowa fukcji jedej zmieej Przykład 1: Dla zbioru puktów P( x, y ), i 1,,..., i i i dobrać wzór aproksymujący w postaci: y p p x p x 0 1 Wykład /13

Aproksymacja kwadratowa fukcji jedej zmieej Wykład /14 Wykorzystując kryterium metody ajmiejszych kwadratów i i i S( p, p, p ) p p x p x y = mi 0 1 0 1 i1 możemy zapisać astępujący układ rówań: S p0 S p1 S p p 0 p1 xi p xi yi 1 0 i1 p 0 p1 xi p xi yi xi 0 i1 p0 p1 xi p xi yi xi 0 i1

Aproksymacja kwadratowa fukcji jedej zmieej Zapis macierzowy: x i xi yi i1 i1 i1 p 0 3 xi xi x i p 1 xi y i i1 i1 i1 i1 p 3 4 x i x i xi xi yi i1 i1 i1 i1 Z powyższego układu rówań wyzacza się p 0, p 1, p. Wykład /15

Aproksymacja fukcji jedej zmieej Przykład : Dla zbioru puktów P( x, y ), i 1,,..., i i i dobrać wzór aproksymujący w postaci: 1 y b0 b1 b x x Wykład /16

Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład /17 Wykorzystując kryterium metody ajmiejszych kwadratów 1 ( 0, 1, ) 0 1 i i = mi i1 xi S b b b b b b x y zapisujemy astępujący układ rówań: S 1 b0 b1 b xi yi1 0 b0 i1 xi S 1 1 0 b0 b1 b xi yi b1 i1 xi xi S 1 b0 b1 b xi yi xi 0 b i1 xi

Aproksymacja fukcji jedej zmieej Zapis macierzowy: 1 x i yi i 1 x i i1 i1 b 0 1 1 yi b 4 1 i 1 xi i 1 x i i1 x i b 4 xi xi xi yi i1 i1 i1 Z powyższego układu rówań wyzacza się b 0, b 1, b. Wykład /18

Metody Numerycze Iterpolacja fukcji jedej zmieej Wykład /19

Iterpolacja - defiicja Daa jest fukcja: y f x x x x ( ), 0, dla której zamy tablicę jej wartości f ( x ) y, f ( x ) y,..., f ( x ) y 0 0 1 1 Wartości tworzące +1 par puktów ( x, y ),( x, y ),...,( x, y ) 0 0 1 1 zwae są węzłami iterpolacji. Wykład /0

Iterpolacja - defiicja Celem iterpolacji jest wyzaczeie takiej fukcji W(x), aby: W( x ) y, W( x ) y,..., W( x ) y 0 0 1 1 Fukcja ta azywaa jest wielomiaem iterpolacyjym i węzłach iterpolacji przyjmuje takie same wartości co fukcja y = f (x). Wykład /1

Iterpolacja - defiicja Wielomia iterpolacyjy defiiuje się jako kombiację liiową + 1 fukcji bazowych i współczyików a i W ( x) a ( x) i0 i i a i współczyiki wielomiau iterpolacyjego i (x) przyjęte fukcje bazowe Wykład /

Iterpolacja - defiicja Defiiując: Φ ( x), ( x), ( x),..., ( x) 0 1 X 0( x0 ) 1( x0 )... ( x0 ) 0( x1 ) 1( x1 )... ( x1 )............ 0( x ) 1( x )... ( x ) A a a a 0 1 Y y y y 0 1 wtedy: W( x) XA Y 1 X Y Wykład /3

Iterpolacja aturala Fukcje bazowe: ( x) x 1, ( x) x, ( x) x,..., ( x) x 0 0 1 Postać wielomiau iterpolacyjego: W x a a x a x a x ( ) 0 1... Wykład /4

Iterpolacja aturala Opierając się a waruku koieczym istieia iterpolacji: a a x a x... a x y 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1... 1 1 a a x a x a x y moża zapisać, że a a x a x... a x y 0 1 AX Y X 1 x0... x 0 1 x1... x1............ 1 x... x a a A a 0 1 Y y y y 0 1 Wykład /5

Iterpolacja aturala Przykład Dla podaych węzłów zapisz: macierze układu rówań, z których wyzacza się współczyiki wielomiau iterpolacyjego dla iterpolacji wielomiaowej wielomia iterpolacyjy Węzły: (1,3) (,5) (4,7) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) 0 0 1 1 Wykład /6

Iterpolacja aturala 0 1 x0 x0 x 0 a0 y0 0 1 1 x1 x1 x 1 a 1 y 1 0 1 x x x a y 0 1 1 1 a0 3 0 1 ( ) ( ) ( ) a 1 5 0 1 4 4 4 a 7 1 1 1 a0 3 1 4 a 5 1 1 4 16 a 7 Wykład /7

Iterpolacja aturala 1 A X Y 1 1 a0 3, a1, a 3 3 W ( x) a a x a x 0 1 1 1 W ( x) 3 x x 3 3 Wykład /8

Iterpolacja Lagrage a Fukcje bazowe: ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) 0 1 3 ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) 1 0 3... i ( x) ( x x1 ) x x x xi 1 x xi 1 x x ( )...( )( )...( )... ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) 1 3 1 Dla każdej i (x), i = 0, 1,..., brakuje składika (x - x i )!!! Wykład /9

Iterpolacja Lagrage a Postać wielomiau iterpolacyjego: W ( x) a ( x) a ( x)... a ( x) 0 0 1 1 a ( x x )( x x )...( x x ) 0 1 a ( x x )( x x )...( x x )... 1 0 a( x x0 )( x x1 )...( x x 1) Wykład /30

Iterpolacja Lagrage a Macierz X: X 0( x0) 0 0 0 0 1( x1) 0 0 0 0 ( x) 0 0 0 0 ( x) Dla puktu x i wszystkie fukcje bazowe oprócz i (x) zerują się, bo występuje w ich składik (x - x i ) Wykład /31

Iterpolacja Lagrage a Poieważ macierz X ma tylko główą przekątą iezerową to: a a 0 1 y0 y0 ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) 0 1 0 0 0 0 y1 y1 ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) 1 0 1 1 1 1 a y y ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) 1 1 Wykład /3

Iterpolacja Lagrage a Przykład Dla podaych węzłów zapisz: macierze układu rówań, z których wyzacza się współczyiki wielomiau iterpolacyjego dla iterpolacji wielomiaowej wielomia iterpolacyjy Węzły: (,3) (0,5) (, 3) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) 0 0 1 1 Wykład /33

Iterpolacja Lagrage a (,3) (0,5) (, 3) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) 0 0 1 1 ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) W ( x) y y y ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 0 0 1 0 1 x0 x1 x0 x x1 x0 x0 x x x0 x x1 ( x0)( x) x ( ) ( x ) x ( ) ( x 0) W( x) 3 5 ( 3) ( 0)( ) 0 ( ) (0 ) x ( ) ( 0) ( x 0)( x ) ( x )( x ) ( x )( x 0) W( x) 3 5 3 ( 0)( ) (0 )(0 ) ( )( 0) Wykład /34