Wyk lad 3 Uk lady modelowe I
Hamiltonian, równania Schrödingera hamiltonian Ĥ(x) = ˆT (x) = 2 d 2 2m dx 2 równanie Schrödingera zależne od czasu stany stacjonarne 2 2 Ψ(x, t) Ψ(x, t) 2m x 2 = i t dψ E (x) dx 2 = 2mE ( ) p 2 2 ψ E (x) = ψ E (x) = k 2 ψ E (x)
Analiza rozwiazań E = k = 0 (rozwiazanie nieporzadne) ψ E=0 x E < 0, k = iκ (rozwiazanie nieporzadne) ψ E<0 = A exp(κx) + B exp( κx) E > 0, k R (rozwiazanie porzadne) ψ E>0 = A exp(ikx) + B exp( ikx) E = k2 2 2m
Wnioski energia w ruchu swobodnym nie jest kwantowana funkcje A exp(ikx) i B exp( ikx) sa funkcjami w lasnymi pedu z wartościami w lasnymi odpowiednio k i k sta le ca lkowania A i B wyznaczane sa przez warunki poczatkowe (brzegowe), na przyk lad gdy czastka porusza sie zgodnie z osia x( ), wówczas B = 0 pe lne funkcje falowe (z cz lonem zależnym od czasu) reprezentuja fale p laskie rozchodzace sie ze sta l a predkości a: w prawo (Ψ E (x, t)) i w lewo (Ψ E (x, t)) funkcji ψ E>0 (x) nie da sie unormować do jedności, sens fizyczny maja jedynie wzgledne gestości prawdopodobieństwa: typowe dla ruchu nieograniczonego warunek ortonormalności dla widma ci ag lego: ψ E ψ E = δ(e E )
Czastka w sta lym potencjale V (x) = V 0 hamiltonian wektor falowy rozwiazania Ĥ(x) = ˆT (x) + ˆV (x) = 2 d 2 2m dx 2 + V k 2 = 2m(E V ) 2 ψ E V >0 = A exp(ik x) + B exp( ik x) E = k 2 2 2m
Definicja uk ladu, obraz klasyczny Czastka klasyczna nadchodzaca z : przejdzie do obszaru III dla E > V 0 odbije sie od bariery w przypadku E < V 0 Rozważamy strumień czastek kwantowych nadchodzacy z...
Ogólna postać rozwiazań E > V 0 2mE ψ I = A exp(ik 0 x) + B exp( ik 0 x), k 0 =, x < 0 2m(E V0 ) ψ II = C exp(ikx) + D exp( ikx), k =, 0 x L ψ III = F exp(ik 0 x), k 0 = 2mE, x > L 0 < E < V 0 2mE ψ I = A exp(ik 0 x) + B exp( ik 0 x), k 0 =, x < 0 2m(V0 E) ψ II = C exp(κx) + D exp( κx), κ =, 0 x L ψ III = F exp(ik 0 x), k 0 = 2mE, x > L
Warunki ciag lości Ciag lość funkcji falowej: ψ I (0) = ψ II (0) ψ II (L) = ψ III (L) Ciag lość pierwszej pochodnej funkcji falowej: ψ I (0) = ψ II (0) ψ II (L) = ψ III (L)
Prawdopodobieństwa przejścia i odbicia prawdopodobieństwo przejścia prawdopodobieństwo odbicia ( E > V 0 : P+ 1 = 1 + 1 4 P + = F A P = B A 0 < E < V 0 : P 1 + = 1 + 1 4 2 2 = 1 P + ) 2 k0 2 k2 kk 0 sin 2 (kl) ( ) 2 k0 2+κ2 κk 0 sinh 2 (κl)
Tunelowanie I
Tunelowanie II prawdopodobieństwo przetunelowania szybko zanika ze wzrostem d lugości bariery wzrost wysokości bariery ma mniejsze znaczenie bariera staje si e przezroczysta dla kl = nπ
Tunelowanie w fizyce i w biologii Azotobacter vinelandii ferredoxin I
Podwójna bariera funkcja zszywana z pi eciu kawa lków najwygodniej użyć oprogramowania typu CAS (Mathematica, Maple,... )
A kind of magic zupe lnie nieaddytywny efekt obecność drugiej bariery czyni możliwymi rezonanse
Opis uk ladu Czastka zamknieta w pude lku o krawedziach dla x = a i x = a, x a V (x) = 0, a < x < a, x a funkcja falowa musi mieć postać 0, x a ψ(x) = A exp(ikx) + B exp( ikx), 0, x a a < x < a
Warunki brzegowe i kwantowanie Warunek ciag lości w x = a i x = a wymusza A exp(ika) + B exp( ika) = 0 A exp( ika) + B exp(ika) = 0 Uk lad równań na wspó lczynniki A i B jest jednorodny i ma nietrywialne rozwiazania wtedy, gdy exp(ika) exp( ika) exp( ika) exp(ika) = 0 Stad k n = nπ, n =..., 1, 0, 1,... 2a
Stany w lasne Można pokazać, co uczynimy na ćwiczeniach :), że: dla n = 0 nie otrzymujemy funkcji porzadnej funkcje otrzymane dla n i n różnia sie tylko znakiem, czyli opisuja ten sam stan Ostatecznie otrzymamy: ψ n = 1 a cos nπx 2a, n = 1, 3,... ψ n = 1 a sin nπx 2a, n = 2, 4,... E n = 2 k 2 2m = 2 π 2 n 2 8ma 2, n = 1, 2,...
Symetria funkcji falowej potencja l jest symetryczny wzgl edem zera: V ( x) = V (x) kwadrat modu lu funkcji falowej powinien wykazywać identyczna symetrie przy za lożeniu, że funkcje sa rzeczywiste, możliwe bed a tylko dwie sytuacje: ψ n ( x) = ψ n (x) lub ψ n ( x) = ψ n (x) funkcje parzyste dla nieparzystych n funkcje nieparzyste dla parzystych n
Widmo energii, w ez ly funkcji falowej odleg lości miedzy kolejnym poziomami energetycznymi szybko rosna ze wzrostem n funkcja falowa dla każdego kolejnego poziomu ma dodatkowy weze l ze wzgledu na konieczność spe lnienia warunków ortogonalności w granicy a czastka może przyjmować dowolne energie l acznie z zerowa (obraz klasyczny) w granicy n rozk lad gestości prawdopodobieństwa jest praktycznie jednorodny (obraz klasyczny)
Alternatywne definicje pud la x < a, a > ψ n = 1 a cos nπx 2a, n = 1, 3,... ψ n = 1 a sin nπx 2a, n = 2, 4,... E n = 2 π 2 n 2 8ma 2, n = 1, 2,... podkreślenie symetrii x < 0, L > ψ n = 2 1/2 1 L 1, 2,... sin nπx L, n = E n = 2 π 2 n 2 2mL 2, n = 1, 2,... pojedyncze wyrażenie na funkcje falowe
Czasteczka butadienu jako pud lo 1D dla elektronów π
Energetyka orbitali/stanów π eksperymentalna d lugość fali odpowiadajaca wzbudzeniu: 217nm λ FEMO = hc 9E 1 4E 1 hc E FEMO = = 220nm
Butadien vs hekstarien Absorpcja promieniowania: butadien: 217nm heksatrien: 258nm efekt batochromowy ze wzrostem d lugości lańcucha FEMO: butadien: 220nm heksatrien: 251nm
Benzen pud lo cykliczne (czastka na okregu) warunki brzegowe: ψ(0) = ψ(l), ψ (0) = ψ (L) rozwiazania: 1 ψ 0 = L 2 ψ n = L sin ( ) 2nπx L, n > 0 2 ψ n = L cos ( ) 2nπx L, n < 0 E n = 2 π 2 (2n) 2 2mL 2 degeneracja stanów wzbudzonych
G estość π wed lug FEMO poprawna struktura ekstremów dla polienów aromatyczny charakter benzenu brak aromatyczności dla kationu/anionu benzenu
Hamiltoniany separowalne Definicja Jeżeli hamiltonian uk ladu Ĥ(q) zależy od wspó lrz ednych w taki sposób, że daje si e on wyrazić jako suma hamiltonianów dla poszczególnych wymiarów Ĥ(q 1, q 2,..., q m ) = m Ĥ i (q i ) to hamiltonian taki nazywamy hamiltonianem separowalnym. i=1
Twierdzenie o separacji Twierdzenie Jeżeli hamiltonian jest separowalny i Ĥ i (q i )ψ i (q i ) = E i ψ i (q i ), i = 1, 2,..., m to ψ(q) = E = m ψ i (q i ) i=1 m E i i=1
Pud lo 2D x < 0, L x >, y < 0, L y > 1 ψ nx,n y = 2 sin n xπx sin n yπy L x L y L x L y E nx,n y = 2 π 2 ( ) n 2 x 2m L 2 + n2 y x L 2 y
Pud lo 3D, degeneracja x < 0, L x >, y < 0, L y >, z < 0, L z > ψ nx,n y = 2 3/2 1 L x L y L z sin n xπx E nx,n y = 2 π 2 2m ( n 2 x L 2 x L x + n2 y L 2 y sin n yπy L y ) + n2 z L 2 z sin n zπz L z Dla pude l wielowymiarowych może pojawić si e degeneracja. Przyk ladowo dla kwadratowego pude lka E nx,n y = E ny,n x