Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam pre o Prkład Odejmowaie jest diałaiem w biore licb całkowitch atomiast ie jest diałaiem w biore licb aturalch Defiicja 3 Zbiór K dwoma diałaiami (wam umowie dodawaiem) i (wam umowie możeiem) awam ciałem gd spełioe są astępujące waruki: łącość dodawaia; ) ( a b) c a ( b c) premieość dodawaia ) ( a b) ( b a) 3) θ a a θ K a K istieje elemet eutral dodawaia(oacam go pre θ ); a ( a) θ 4) a K ( a ) K istieje elemet preciw (oacam go -a) a b c a b c łącość moŝeia; 5) ( ) ( ) premieość moŝeia ( ) ( ) 6) a b b a a a 7) K; θ a K istieje elemet eutral moŝeia (oacam go pre ); 8) a a a K a K istieje elemet odwrot (oacam go a - ) 9) a ( b c) ( a b) ( a c) a b c K rodielość moŝeia wględem dodawaia
Wiosek: Zbiór licb recwistch diałaiami i możeia staowi ciało dodawaia Określeie bioru licb espoloch Dla wielu roważań matematcch istota jest możliwość rowiąaia rówaia postaci - Matematcie problem te moża sformułować astępująco: Zaleźć ajmiejse ciało C spełiające waruki: (i) R C (ii) rówaie - posiada w ciele C co ajmiej jedo rowiąaie Skostruujm to ciało: Defiicja 33 Zbiór C RR cli C { : ( ) R R} w którm określoo diałaia dodawaia i możeia dla dowolch ( ) ( ) astępując sposób: () + ( + + ) () ( + ) w awam biorem licb espoloch a jego elemet licbami espolomi Twierdeie 3 Zbiór C jest ciałem w którm: - rolę elemetu eutralego dodawaia ( era) pełi para- (00) - rolę elemetu eutralego możeia (jedości) pełi para - (0) Wprowadźm oaceie: (0) i awając te elemet jedostką urojoą
Uwagi Zauważm że ( 0)+( 0)( + 0) i ( 0) ( 0)( 0) więc każdą parę postaci (0) możem utożsamiać licbą recwistą (amiast pisać (0) będiem pisali krótko ) W te sposób R C cli spełio ostał waruek (i) Oblicm i i (0) (0)(-0)- cli i - a atem spełio jest waruek (ii)- rówaie - posiada rowiąaie Licb te moża predstawiać w różej postaci Zauważm obecie że: a) (0)(0)(0)i b) ()(0)+(0) +i Postać kaoica licb espoloej więc dowolą licbę espoloą () moża apisać w postaci: ()+i - postać kaoica licb espoloej (postać kartejańska) Wówcas awam dla dowolej licb espoloej - awam cęścią recwistą licb espoloej i apisujem Re - awam cęścią urojoą licb espoloej i apisujem Im Co oaca że Re + i Im Uwagi:
3 Dwie licb espoloe są rówe wted i tlko wted gd ich cęści recwiste są rówe i cęści urojoe są rówe T ( Re Re Im Im ) Prjmując +i +i mam: + ( + )+ i ( + ) ( - )+i ( + ) - ( - )+i ( - ) + + + i + Defiicja 34 pr dodatkowm ałożeiu że 0 Licbą sprężoą do licb +i awam licbę -i Geometrca iterpretacja licb espoloch Lic espoloe to par uporądkowae licb recwistch a atem każdą licbę espoloą +i() moża iterpretować geometrcie jako pukt o współrędch i Z + +i Z ϕ Z Defiicja 35 ( Moduł licb) Odległością puku od pocątku układu współrędch jest licba + którą awam modułem licb Defiicja 36 ( Argumet licb) Jeśli 0 to każdą licbę recwistą ϕ określoą układem rówości
4 cos ϕ ora s i ϕ awam argumetem licb i oacam arg Zatem argumet licb jest to miara kąta wrażoa w radiaach Każda licba espoloa ma ieskońceie wiele argumetów różiącch się o całkowitą wielokrotość licb π Dla każdej licb espoloej istieje dokładie jede jej argumet ależąc do prediału (-ππ] któr awam jej argumetem główm i oacam Arg Postać trgoometrca licb espoloch Jeśli 0 i ϕ jest argumetem licb to cosϕ ora si ϕ Prjmując że dla 0 ϕ jest dowolą licbą wika że każdą licbę espoloą moża apisać w postaci trgoometrcej: +i (cos ϕ+i si ϕ) Twierdeie 3 Własości licb espoloch Dla dowolch licb espoloch C wstępujące w miaowikach ułamków są róże od 0 a) + b) Zakładam że licb + ; ; ; c) + + d)
5 e) arg arg + arg ;arg arg arg ;arg arg Dowód Własość b) Niech a+i b wted a) (a+i b)(a-ib)a +b Twierdeie 33 (wór de Moivre a) Dla dowolego kąta o miere ϕ achodi wór Twierdeie 34 (cos ϕ + i si ϕ) cos(ϕ) + i si(ϕ) Dla dowolej licb espoloej i dla każdej licb N ( cosϕ + i si ϕ) Dowód: Powżs wór wika postaci trgoometrcej licb i woru de Moivre a gdż [ (cos ϕ+i si ϕ) ] (cos ϕ+i si ϕ) ( cosϕ + i siϕ) Defiicja 37 Pierwiastkiem -tego stopia licb espoloej awam każdą licbę espoloą w o tej własości że w Twierdeie 35 Jeśli (cos ϕ + i si ϕ) 0 to istieje dokładie różch pierwiastków -tego stopia licb Pierwiastki te wrażają się worem: w k ϕ + kπ ϕ + kπ (cos + i si ) k0-