Przykłd 1 Wyzncznie prędkści i przyśpieszeni w ruchu bryły Stżek kącie rzwrci twrzących i pdstwie, której prmień wynsi tczy się bez pślizgu p płszczyźnie Wektr prędkści śrdk pdstwy m stłą długść równą Znleźć wektry prędkści i przyśpieszeni kątweg rz wektry prędkści i przyśpieszeni njwyższeg punktu pdstwy stżk OZWIĄZNIE Sfrmułwny pisw prblem przedstwimy grficznie n rysunku 1 uch stżk jest ruchem kulistym względem punktu O Pniewż ruch bryły jest pisny pprzez ruch punktu - śrdk pdstwy, wykrzystując twierdzeni ruchu punktu kreślimy jeg równnie ruchu rz prędkść i przyśpieszenie rys 1 1 Określenie ruchu punktu Zgdnie z gemetrią zdni tr śrdk pdstwy jest kręgiem ( przedstwinym n rysunku 1B) Prmień teg kręgu wynsi ρ wynsi = rys 1 B cs Prędkść kątw w ruchu p tym kręgu 1
ω = = ρ cs Płżenie punktu n trze mże być kreślne przez kąt ϕ (przedstwiny n rysunku), który w płżeniu pczątkwym równy jest zer Wynik stąd, że kąt ϕ jest liniwą funkcją czsu: ϕ = ω t = sin t cs, drg jką przebyw punkt wyrż się związkiem s = ϕ ρ = t Wektr prędkści punktu m w ukłdzie współrzędnych Oxyz skłdwe: x y z = = = 0 sinϕ, csϕ, Przyśpieszenie styczne punktu jest równe zer Przyśpieszenie nrmlne m wrtść n = = ρ cs Ztem n = i skłdwe przyśpieszeni wyrżją się związkmi: x = cs ϕ, y = sin ϕ, z = 0 cs cs Określenie prędkści kątwej stżk zptrując ruch punktu jk ruch punktu bryły sztywnej będącej w ruchu kulistym kreślimy wektr prędkści kątwej bryły rys 1 C Stżek prusz się bez pślizgu, c zncz, że prędkści chwilwe punktów styku stżk z pdłżem są równe zeru Tym smym punkty te, (twrząc OB) stnwią chwilwą ś brtu Znmy więc kierunek wektr prędkści kątwej (pkryw się n z kierunkiem chwilwej si brtu) Wykrzystując twierdzenie prędkścich w ruchu kulistym wygdnie jest krzystć z ruchmeg ukłdu współrzędnych XYZ (rysunek 1C)
Prędkść punktu mżn przedstwić jk = ω r W ruchmym ukłdzie współrzędnych XYZ skłdwe pszczególnych wektrów są nstępujące: = 0, =, = 0, X Y Z ω = ωcs, ω = 0, ω = ωsin, X Y Z r = ctg, r = 0, r = 0 X Y Z Krzystjąc z definicji ilczynu wektrweg trzymujemy, że r r r = ω ω ω = ωcs 0 ωsin = ( ωsin ctg) J X Y Z X Y Z ctg 0 0 Pniewż jedncześnie = J, t mżemy bliczyć, że ω = ezultt ten cs mżemy trzymć również z nlizy ruchu brtweg wkół chwilwej si brtu Wyrżenie cs jest tutj dległścią punktu d tej si W ukłdzie nieruchmym skłdwe wektr prędkści kątwej są nstępujące: ωx = ωcsϕ = cs ϕ, cs ω y = ωsinϕ = sin ϕ, ωz = 0 cs 3 Określenie przyśpieszeni kątweg bryły Wektr przyśpieszeni kątweg jest zdefiniwny jk pchdn względem czsu wektr prędkści kątwej Pniewż długść wektr prędkści jest stł, więc jeg pchdn m kierunek d nieg prstpdły Jedncześnie wektr prędkści kątwej stle znjduje się n płszczyźnie xy, c zncz, że jeg pchdn również musi znjdwć się n tej płszczyźnie Tym smym kierunek wektr przyśpieszeni kątweg pkryw się z kierunkiem si Y ukłdu ruchmeg, czyli ε = 0, ε = ε, ε = 0 X Y Z rys 1 D 3
Wykrzystując twierdzenie przedstwieniu przyśpieszeń w ruchu kulistym mmy (rysunek 1D): = + = ω + ε r ds br W ruchmym ukłdzie współrzędnych skłdwe wektrów wyzncznych wcześniej w punkcie 1 i są nstępujące: = 0, =, = 0, X Y Z ω X = ωy ω Z, = 0, = tg Krzystjąc z mcierzweg przedstwieni ilczynu wektrweg trzymujemy br = 0 ε 0 = ( ε ctg) K, ctg 0 0 ds = 0 tg = 0 0 tg I = + K Otrzymne przyśpieszenie punktu w ruchu kulistym bryły prównmy z wyzncznym wcześniej (w punkcie 1) przyśpieszeniem teg punktu w ruchu p kręgu, któreg skłdwe w ruchmym ukłdzie współrzędnych wynszą: X = n cs = tg, Y = cs 90 = 0, n Z = n sin = tg Uzyskmy jedn równnie tżsmściwe: = tg I tg I pzwljące kreślić przyśpieszenie kątwe ε i równnie tg K ctg ε = K Stąd ε = cs 3 4
W ukłdzie nieruchmym skłdwe wektr przyśpieszeni kątweg są nstępujące: ε x = sin ϕ, ε y = 3 cs 3 cs ϕ, εz = 0 cs 4 Określenie prędkści i przyśpieszeni punktu Znjąc przyśpieszenie i prędkść kątwą bryły mżemy bliczyć prędkść punktu jk: 0 tg 0 tg ctg = 0 = + J = 0 J ctg 0 Stąd skłdwe wektr prędkści punktu wynszą : - w ukłdzie ruchmym X = 0, Y = 0, Z = 0, - w ukłdzie nieruchmym x = sin ϕ, y = cs ϕ, z = 0 Długść wektr prędkści punktu wynsi Obliczenie przyśpieszeni przebieg nlgicznie: = + ds br Skłdwą dsiwą przyśpieszeni bliczmy jk: ds = ω = 0 tg = 0 0 tg I = + K i brtwą jk br r = ε = 0 0 = 3 cs ctg 0 tg = I cs + cs K 5
Skłdwe wektr przyśpieszeni punktu w ukłdzie ruchmym wynszą ztem tg tg X tg 1 = = +, cs cs Y = 0, 1 Z = + = cs cs długść wektr przyśpieszeni = 1+ 4sin tg cs + 6