4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania problemów decyzyjnych 1) Postawienie problemu. 2) Utworzenie modelu matematycznego: 1) wybór zmiennych decyzyjnych, 2) zbudowanie tak zwanej funkcji celu jest to funkcja, dla której poszukuje się ekstremum (minimum lub maksimum), 3) nałożenie warunków ograniczających na zmienne decyzyjne. 3) Rozwiązanie problemu z wykorzystaniem narzędzi matematycznych. Zagadnienie optymalizacyjne nazywamy zagadnieniem programowania liniowego (PL), gdy: 1) Funkcja celu jest liniowa. 2) Warunki ograniczające są liniowe (w postaci równań lub nierówności). 3) Zmienne decyzyjne są nieujemne. 4.1
4.1. Ogólne sformułowanie zagadnienia programowania liniowego Rozważmy zmienne decyzyjne: x 1, x 2,..., x n. Zmaksymalizować funkcję celu przy warunkach F(x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n a 11 x 1 +... + a 1n x n r 1 a m1 x 1 +... + a mn x n oraz x j 0, j = 1, 2,... n. Zminimalizować funkcję celu r m przy warunkach F(x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n a 11 x 1 +... + a 1n x n r 1 a m1 x 1 +... + a mn x n oraz x j 0, j = 1, 2,... n. Zbiorem rozwiązań dopuszczalnych nazywamy zbiór punktów X = (x 1, x 2,..., x n ), których współrzędne spełniają wszystkie warunki ograniczające. Rozwiązaniem optymalnym zagadnienia PL nazywamy taki punkt X, dla którego funkcja celu osiąga poszukiwane ekstremum. r m 4.2
Jeżeli funkcja celu zagadnienia PL osiąga w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych wartość największą (najmniejszą), to wartość ta jest osiągana w punkcie wierzchołkowym tego zbioru. Jeżeli zbiór rozwiązań dopuszczalnych zagadnienia PL jest ograniczony, to funkcja celu osiąga w tym zbiorze wartość najmniejszą i największą. Jeżeli zbiór ten nie jest ograniczony, to funkcja celu może nie mieć najmniejszej (największej) wartości. 4.2. Metoda graficzna Jedną z metod rozwiązywania zagadnień PL jest metoda graficzna. Jest ona dość prosta, jednak można ją stosować skutecznie jedynie w przypadku, kiedy występują dwie zmienne decyzyjne. Etapy metody zostaną zaprezentowane na przykładach. Przykład (zagadnienie diety) Dieta pewnej osoby składa się z dwóch rodzajów żywności, których ceny i zawartości składników odżywczych przedstawia tabela. W tabeli podano też minimalne zapotrzebowanie dzienne na poszczególne składniki zawarte w żywności. Jaka kombinacja obu tych rodzajów żywności zaspokaja dzienne zapotrzebowanie na substancje odżywcze najmniejszym kosztem? Wapń Proteiny Witamina A Cena Żywność I 10 5 2 0,60 Żywność II 4 5 6 1,00 Zapotrzebowanie 20 20 12 4.3
Rozwiązanie Oznaczmy x ilość żywności I, y ilość żywności II. Uwzględniając warunki zadania budujemy model matematyczny rozważanego problemu. Funkcja celu opisuje koszty diety, szukamy jej minimum. F(x, y) = 0,6x + y Min. Warunki ograniczające wynikają z zapotrzebowania na poszczególne składniki. 10x + 4y 20 (wapń) 5x + 5y 20 (proteiny) 2x + 6y 12 (witamina A) x, y 0 (warunki nieujemności) Każdy z warunków ograniczających opisuje w tym przypadku pewną półpłaszczyznę ograniczoną odpowiednią prostą. Warunki ograniczające wygodnie jest zapisać w postaci odcinkowej x y 1, 2 5 x y 1, 4 4 x y 1, 6 2 x, y 0 4.4
Postać ta jest wygodna, gdyż mianowniki przy odpowiednich zmiennych wskazują miejsce przecięcia danej prostej z osiami układ współrzędnych. Obszar rozwiązań dopuszczalnych uzyskamy, gdy uwzględnimy w układzie współrzędnych wszystkie warunki ograniczające. y 8 Kolejny krok to narysowanie zerowej warstwicy funkcji celu. Przyjmując F(x, y) = 0 otrzymujemy 6 4 2 0 0 2 4 6 8 x 0,6x + y = 0. y 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 x Przyjmując coraz to większe wartości funkcji celu otrzymuje się coraz to wyżej położone warstwice przy czym wszystkie są równoległe do 4.5
warstwicy zerowej. Jeżeli zatem poszukuje się najmniejszej wartości funkcji celu, to należy wyznaczyć warstwicę położoną jak najniżej i mającą punkty wspólne ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych. Przesuwamy zatem zerową warstwicę równolegle w górę do napotkania pierwszego punktu ze zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Rozwiązaniem jest punkt przecięcia się prostych zadanych warunkami 5x + 5y = 20, 2x + 6y = 12. Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy Wtedy x = 3, y = 1. F(3, 1) = 0,6 3 + 1 = 2,8. Aby dostarczyć wymaganych ilości składników przy jednoczesnej minimalizacji kosztów, dieta powinna składać się z 3 jednostek żywności I oraz 1 jednostki żywności II. Wtedy minimalny koszt wyniesie 2,8. y 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 x Przykład (zagadnienie produkcji) 4.6
Zakład produkuje dwa rodzaje wyrobów na obrabiarce i frezarce. Czas pracy poszczególnych maszyn potrzebny do wytworzenia danego wyrobu, dzienny limit czasu pracy maszyn oraz zysk osiągany ze sprzedaży każdego z wyrobów przedstawia tabela Obrabiarka Frezarka Zysk Wyrób I 0,4 0,8 400 Wyrób II 0,6 0,2 300 Limit 8 8 Ustalić strukturę produkcji zapewniającą maksymalny zysk. Rozwiązanie Oznaczmy x ilość wyrobu I, y ilość wyrobu II. Budujemy model matematyczny problemu. Funkcja celu opisuje zysk, szukamy jej maksimum. F(x, y) = 400x + 300y Max. Warunki ograniczające wynikają z limitu czasu pracy maszyn. 0,4x + 0,6y 8 (czas pracy obrabiarki) 0,8x + 0,2y 8 (czas pracy frezarki) x, y 0 (warunki nieujemności) Obszar rozwiązań dopuszczalnych y 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 x 4.7
Zerowa warstwica funkcji celu 400x + 300y = 0 y 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 x Tym razem poszukujemy maksimum funkcji celu. Szukamy zatem warstwicy położonej jak najwyżej i jednocześnie mającej punkty wspólne ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych. y 40 30 20 10 Rozwiązaniem jest punkt przecięcia się prostych zadanych warunkami Po rozwiązaniu układy otrzymujemy 0 0 10 20 30 40 x 0,4x + 0,6y = 8, 0,8x + 0,2y = 8. x = 8, y = 8, F(8, 8) = 400 8 + 300 8 = 5600. 4.8
Optymalna z punktu widzenia zysku struktura produkcji to 8 jednostek wyrobu I oraz 8 jednostek wyrobu II. Wtedy zysk wyniesie 5600. 4.3. Metoda punktów wierzchołkowych W przypadku, gdy zagadnieniach PL występują więcej niż dwie zmienne decyzyjne metoda graficzna nie znajduje zastosowania. Należy wtedy zastosować jedną z metod analitycznych nie mających takiego ograniczenia. Jedną z nich jest metoda punktów wierzchołkowych. Metoda ta może być stosowana w przypadku dowolnej liczby zmiennych decyzyjnych, jednak w przypadku dużej ich liczby wymaga ona wielu rachunków. Rozważmy zagadnienie PL w postaci zwyczajnej F(x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n Max. (Min.) z warunkami n j 1 n j 1 n j 1 a a a ij ij ij x x x j j j r i r r i i, i = 1,..., l (a) lub, i = l + 1,..., k (b) lub, i = k + 1,..., m (c) oraz x j 0, j=1, 2,... n. Wprowadzając zmienne uzupełniające (by z nierówności zrobić r-nia) x n+1,..., x n+k, 4.9
przekształca się postać zwyczajną do postaci standardowej F(x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n + 0x n+1 +...+0x n+k przy warunkach Max. (Min.) n j k 1 a ij x j r i, i = 1,..., m x j 0, j = 1, 2,... n+k. Współczynniki a ij stojące przy zmiennych uzupełniających są równe: 1 lub 0, gdy nierówności są postaci (a), 1 lub 0, gdy nierówności są postaci (b). (-1 ze względu na warunek nieujemności iksów) Często zmienne uzupełniające oznacza się s 1,..., s k zamiast x n+1,..., x n+k, nazywając je zmiennymi: niedoboru dla warunków (a) nadmiaru dla warunków (b) Etapy metody punktów wierzchołkowych: 1) Utworzenie modelu matematycznego, 2) Przekształcenie modelu do postaci standardowej, 3) Określenie rzędu r macierzy współczynników a ij postaci standardowej, 4) Rozwiązanie n k n k r układów równań utworzonych poprzez przyjęcie wartości zero dla n + k r zmiennych, 5) Obliczenie wartości funkcji celu w wyznaczonych punktach spełniających warunki nieujemności, 6) Wybór punktu realizującego żądane ekstremum funkcji celu. 4.10
Przykład Rozwiązać zagadnienie programowania liniowego F(x, y) = 20x + 30y Max. x + 2y 11, 4x + 2y 14, x, y 0. Rozwiązanie Przekształcamy zagadnienie do postaci standardowej F(x, y) = 20x + 30y + 0s 1 + 0s 2 x 2y 4x 2y x, y, s 1 s, s 1 s 2 2 11, 14, 0. (*) Max. Rzędy macierzy współczynników 1 4 2 2 1 0 0 1 oraz macierzy rozszerzonej wynoszą 2. Układ równań posiada zatem 4 2 = 2 parametry. Dowolne dwie zmienne przyjmujemy zatem za zerowe. Wszystkie możliwe takie przypadki zapisujemy w tabeli: L.p. x y s 1 s 2 F 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 Następnie uzupełniamy tabelkę w każdym z tych przypadków w oparciu o układ równań (*). 4.11
Otrzymujemy. Ad1) Ad2) s 1 = 11 2y = 11 skąd y = 11/2 s 2 = 14. 2y + s 2 = 14 s 2 = 3. Ad3) 2y + s 1 = 11 skąd y = 7 2y = 14 s 1 = 3. Ad4) x = 11 skąd x = 11 4x + s 2 = 14 s 2 = 30. Ad5) x + s 1 = 11 skąd x = 14/4 4x = 14 s 1 = 30/4 Ad6) x + 2y = 11 skąd x = 1 4x + 2y = 14 y = 5 Uzyskane wartości wpisujemy do tabeli obliczając dodatkowo wartość funkcji celu w tych przypadkach, w których nie występują ujemne wartości zmiennych (zmienne muszą spełniać warunki nieujemności). L.p. x y s 1 s 2 F 1 0 0 11 14 0 2 0 5,5 0 3 165 3 0 7 3 0 4 11 0 0 30 5 3,5 0 7,5 0 70 6 1 5 0 0 170 Największa wartość funkcji celu równa 170 jest przyjmowana dla x = 1, y = 5. 4.12
4.4. Zagadnienie dualne W przypadku zagadnienia PL, w którym jest więcej zmiennych decyzyjnych niż warunków ograniczających wyznaczenie wprost jednoznacznego rozwiązania jest na ogół niemożliwe. Rozwiązuje się wtedy zagadnienie dualne i na podstawie tego rozwiązania formułuje się wnioski dotyczące rozwiązania zagadnienia prymalnego (pierwotnego). Wyjściowe zagadnienie PL będziemy nazywali zagadnieniem prymalnym (ZP). Aby utworzyć zagadnienie dualne (ZD) należy zastosować następujące reguły: 1) jeżeli w ZP funkcja celu jest maksymalizowana, to w ZD funkcja celu jest minimalizowana i na odwrót, 2) zwroty nierówności występujące w warunkach ograniczających ZD są przeciwne niż w warunkach ograniczających ZP (warunki nieujemności pozostają bez zmian), 3) macierz współczynników dla warunków ograniczających ZD jest transpozycją macierzy współczynników dla warunków ograniczających ZP, 4) wyrazy wolne warunków ograniczających ZP stają się współczynnikami funkcji celu ZD i na odwrót tzn. współczynniki funkcji celu ZP stają się wyrazami wolnymi warunków ograniczających ZD. 4.13
Zagadnienie dualne ma następujące własności: 1. Optymalne wartości prymalnej i dualnej funkcji celu są jednakowe (o ile istnieją rozwiązania optymalne) 2. Jeżeli pewna zmienna decyzyjna (uzupełniająca) w zagadnieniu PL ma optymalną wartość różną od zera, to odpowiednia zmienna uzupełniająca (decyzyjna) w zagadnieniu dualnym do niego musi mieć optymalną wartość równą zero. Pierwsza z tych własności pozwala wyznaczyć optymalną wartość prymalnej funkcji celu bez znajomości rozwiązania prymalnego. Z drugiej własności wynika, że jeżeli dla rozwiązania optymalnego ZD pewien warunek będący nierównością jest spełniony w sposób ostry, to odpowiednia zmienna ZP jest równa zero. Przykład Rozwiązać zagadnienia PL F(x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 + x 2 + 4x 3 Max. x 1 + x 2 + 4 x 3 20 2x 1 + x 2 + 2 x 3 16 x 1, x 2, x 3 0. Rozwiązanie W rozważanym zagadnieniu występują trzy zmienne decyzyjne a tylko dwa warunki ograniczający. Wykorzystamy zatem zagadnienie dualne. Wykorzystując reguły transformacji otrzymujemy następujące ZD: G(y 1, y 2 ) = 20y 1 + 16y 2 Min. 4.14
y 1 + 2y 2 2 (1) y 1 + y 2 1 (2) 4y 1 + 2y 2 4 (3) y 1, y 2 0. Łatwo sprawdzić, że rozwiązaniem zagadnienia dualnego jest 2 2 y 1, y 2. 3 3 Optymalna wartość dualnej funkcji celu wynosi G, 24 i jest równa wartości optymalnej funkcji F(x 1, x 2, x 3 ). 2 3 2 3 Podstawiając rozwiązanie optymalne ZD do warunków ograniczających stwierdzamy, że jedynie warunek (2) jest spełniony w sposób ostry, 2 2 4 gdyż 1 3 3 3. W zagadnieniu prymalnym przyjmujemy zatem x 2 = 0. Wtedy otrzymamy następujący układ równań na pozostałe zmienne: x 1 + 4 x 3 = 20 2x 1 + 2 x 3 = 16 skąd otrzymujemy x 1 = 4, x 3 = 4. Ostatecznie zatem rozwiązaniem optymalnym ZD jest x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = 4. Optymalna wartość prymalnej funkcji celu wynosi F(4, 0, 4) = 24. Widoczne jest, że optymalne wartości prymalnej i dualnej funkcji celu są jednakowe. 4.15
4.5. Zadania 4.1. Pewien zakład produkuje dwa wyroby W 1 i W 2. Spośród wielu środków produkcji dwa są limitowane. Nakłady limitowanych środków, zysk oraz limity przedstawia tabela: Wyrób 1 Wyrób 2 Limit Środek 1 1 4 8000 Środek 2 3 2 9000 Zysk 200 400 a) ustalić strukturę produkcji zapewniającą maksymalny zysk oraz wyznaczyć wielkość maksymalnego zysku, b) jak zmieni się struktura produkcji, jeśli założyć dodatkowo, że nie uda się sprzedać więcej aniżeli 100 sztuk wyrobu W 2? 4.2. Wykonać polecenia zadania nr1 dla następującej tablicy nakładów: Wyrób 1 Wyrób 2 Limit Środek 1 4 8 1600 Środek 2 10 6 1800 Zysk 100 200 4.3. Zakład stolarski produkuje stoły oraz krzesła wykorzystując do tego drewno pierwszego i drugiego gatunku. Zakład ten ma pewne ograniczenia dotyczące ilości poszczególnych rodzajów drewna oraz siły roboczej. Zużycie poszczególnych rodzajów drewna, nakłady roboczogodzin, tygodniowe limity oraz zyski przedstawia tabela: Gatunek I Gatunek II Roboczo Zysk godziny Stół 0,01 0,02 3 100 Krzesło 0,002 0,005 2 30 Limit 2 2 180 Ustalić strukturę produkcji zapewniającą maksymalny zysk oraz wyznaczyć wielkość maksymalnego zysku. 4.16
4.4. Pewien zakład wykonuje dwa wyroby W 1 i W 2 wykorzystując przy tym trzy maszyny M 1, M 2 i M 3. Wymagany czas pracy poszczególnych maszyn do wykonania wyrobów, tygodniowe limity czasu pracy maszyn oraz zysk przedstawia tabela: M 1 M 2 M 3 Zysk W 1 1 0,5 0,2 20 W 2 0,5 0,6 0,3 30 Limit 40 42 45 a) ustalić strukturę produkcji zapewniającą maksymalny zysk oraz wyznaczyć wielkość maksymalnego zysku, b) jak zmieni się struktura produkcji, jeśli założyć dodatkowo, że należy produkować dwa razy więcej wyrobu W 1 niż W 2? 4.5. Gospodarstwo rolne zamierza przeznaczyć 500 ha na uprawę buraków oraz marchwi. Obsianie 1 ha burakami kosztuje 600 zł. natomiast marchwią 400 zł. Uprawa 1 ha buraków przynosi zysk w wysokości 1400 zł. natomiast 1 ha marchwi przynosi 1300 zł. zysku. a) określić strukturę zasiewów, aby przy wydatkach inwestycyjnych nie większych niż 240000 zł. gospodarstwo osiągnęło maksymalne zyski oraz wyznaczyć ten zysk, b) czy rozwiązanie się zmieni, jeśli zysk osiągany z 1 ha uprawy marchwi wzrośnie do 1500 zł.? 4.6. Gospodarstwo hodowlane tuczników ustaliło, że optymalny przyrost masy ciała wymaga dostarczenia dziennie trzech składników S 1, S 2 oraz S 3 w ilościach nie mniejszych niż odpowiednio 30, 40 oraz 10 jednostek. Składniki te są zawarte w dwóch paszach P 1 i P 2. Zawartości składników w jednostce paszy oraz ceny pasz przedstawia tabela. 4.17
S 1 S 2 S 3 Cena P 1 30 10 20 2 P 2 10 20 10 2 a) Ustalić skład mieszanki zapewniający dostarczenie wymaganych ilości składników i jednocześnie minimalizujący koszty oraz wyznaczyć minimalne koszty. b) Czy optymalne rozwiązanie zmieni się jeśli założyć dodatkowo, że składnika S 1 nie powinno być więcej w posiłku niż 15 jednostek? 4.7. Gospodarstwo prowadzące hodowlę bydła ustaliło, że optymalna dieta powinna zawierać co najmniej 8 jednostek składnika S 1, co najmniej 6 jednostek składnika S 2 i co najwyżej 12 jednostek składnika S 3. Składniki te zawarte są w dwóch paszach P 1 i P 2. Zawartości składników w jednostce paszy oraz ceny jednostkowe pasz przedstawia tabela. S 1 S 2 S 3 Cena P 1 2 2 12 4 P 2 8 3 3 8 Ustalić skład mieszanki paszowej zapewniający dostarczenie wymaganych ilości składników i jednocześnie minimalizujący koszty wyżywienia bydła oraz obliczyć minimalny koszt. 4.8. Wiadomo, że magnez jeden z pierwiastków niezbędnych do życia, jest najlepiej przyswajalny, jeśli jest spożywany łącznie z wapniem w proporcji 1:2. Posiłek dorosłego mężczyzny, którego zapotrzebowania na magnez wynosi od 250mg do 450mg składa się z dwóch składników S 1 i S 2. Zawartości magnezu oraz wapnia w składnikach oraz ceny jednostkowe składników przedstawia tabela Magnez Wapń Cena 4.18
S 1 2 5 0,1 S 2 5 4 0,15 Ile jednostek każdego ze składników powinien zawierać posiłek aby przy minimalnym koszcie spełnić wymagania dotyczące zapotrzebowania na magnez? Jaki jest wtedy koszt posiłku? 4.9. Mleczarnia zaopatruje się w mleko u dwóch dostawców. Z jednej jednostki mleka od dostawcy A można wyprodukować dwie jednostki masła i cztery jednostki sera. Z jednej jednostki mleka od dostawcy B można wyprodukować trzy jednostki masła i trzy jednostki sera. Dzienna produkcja mleczarni powinna wynosić co najmniej 300 jednostek masła oraz 900 jednostek sera. Wiadomo również, że łączna produkcja mleczarni nie może przekraczać 1500 jednostek. Ile i u którego dostawcy należy zakupić mleka, aby zminimalizować koszty zakupu surowca, jeśli dostawca A sprzedaje mleko po 300zł. a dostawca B po 320zł. za jednostkę? Jaki jest ten minimalny koszt? 4.10. Mleko od dwóch dostawców różni się zawartością tłuszczu, pożądanych bakterii typu A oraz niepożądanych bakterii typu B. Zawartości procentowe oraz cenę jednostki mleka przedstawia tabela: Tłuszcz Bakterie Bakterie Cena typu A typu B Dostawca A 3,5% 0,00015% 0,00002% 5 Dostawca A 4% 0,0001% 0,00003% 6 W jakiej proporcji należy zmieszać mleka od dostawców, aby uzyskać zawartość tłuszczu nie mniejszą niż 3,7 %, zawartość bakterii typu A nie mniejszą niż 0,00013 % i zawartość bakterii typu B nie większą niż 0,000025%? 4.19
4.11. Pewien zakład wykonuje cztery wyroby W 1, W 2, W 3 i W 4. W zakładzie tym występują ograniczenia dotyczące siły roboczej oraz parku maszynowego. Nakłady czasu pracy, limity oraz zysk przedstawia tabela: W 1 W 2 W 3 W 4 Limit Praca ludzi 1 2 2 2 400 Praca maszyn 2 1 3 2 120 Zysk 40 50 50 30 Ustalić strukturę produkcji zapewniającą maksymalny zysk oraz wyznaczyć wielkość maksymalnego zysku. Uwaga: w rozwiązaniu należy wykorzystać zadanie dualne. 4.12. Farma drobiowa żywi kurczaki czterema rodzajami pasz P 1, P 2, P 3 i P 4. Pasze te zawierają między innymi dwa składniki S 1 i S 2, które muszą być dostarczane w odpowiednich ilościach. Niezbędne dane zawiera tabela P 1 P 2 P 3 P 4 Niezbędne minimum S 1 2 4 4 1 20 S 2 3 2 2 1 25 Koszt 12 16 12 8 Ustalić skład mieszanki zapewniający dostarczenie wymaganych ilości składników i jednocześnie minimalizujący koszty oraz obliczyć minimalny koszt. Uwaga: w rozwiązaniu należy wykorzystać zadanie dualne. 4.20