CPS 6/7 PREKSTAŁCENIE ET Defiicja rekstałceia Prekstałceie ET jest w diediie casu dyskretego odowiedikiem ciągłego rekstałceia Lalace a w diediie casu ciągłego. Podamy dwie rówoważe defiicje rekstałceia ET różiące się jedyie sosobem aisu matematycego sygału dyskretego: Dla sygału aisaego w Uostaci ciąguu UwartościU f[]: defiicja [ ] F f Dla Usygału sróbkowaegou f*(t) ( wykorystując rekstałceie Lalace a ) USygał dyskrety defiicja { } F L f t * e st *() δ ( ) f t f T t T Trasformata Lalace a (dwustroa) sygału dyskretego: * F s f T e st II st e Stąd o dokoaiu odstawieia godie defiicją otrymamy wyrażeie jak dla ciągu Obsar bieżości F f T Poieważ rekstałceie ciągu f[] jest defiiowae jako suma seregu ieskońcoego, atem Uistieje tylko dla tych wartości dla których sereg jest bieżyu. Suma awiera arówo dodatie jak i ujeme otęgi mieej. Jak wiadomo teorii seregów otęgowych suma ujemych otęg seregu bieża dla więksego iż ewa stała rbb, a suma otęg dodatich seregu jest bieża dla miejsego iż ewa stała rbb.
ależych CPS 6/7 UWyika stąd, że obsar bieżości (istieia) trasformaty ma kstałt ierścieia Uo romieiach rbb, rbb od fukcji f[]. W celu dokładiejsego wyjaśieia tego agadieia wykorystamy rekstałceie Lalace a. Roatrymy odworowaie uktów łascyy mieej esoloej s a ukty łascyy mieej esoloej. godie defiicją rekstałceia wiąek międy mieą i s oisuje rówaie: Poieważ e st s σ + jω Stąd Cyik j T e ω ( σ + j ω ) T σ T j ω T e e e jest okresowy, atem odworowaie ie jest jedoace. σt j T ( σt j T ) e e ω e e ω + π Oaca to, że każdy dowoly as a łascyźie mieej s określoy astęująco π ω < ω < ω + < σ < T odworowuje Ucałą łascyęu mieej. Im{s} Re{s} ω ω π + T
CPS 3 6/7 Roatrymy scególe ryadki odworowań: at Obraem rostej o rówaiu sa (ioowa) a łascyźie s będie okrąg o romieiu e a łascyźie mieej. Oś urojoych ma łascyźie s odworowuje się a okrąg jedostkowy a łascyźie. Im{s} Re{s} π T Półłascya a lewo od rostej sa a łascyźie s będie wętrem koła o at romieiu e Im{s} Re{s} r> π T Półłascya a rawo od rostej sa a łascyźie s będie ewętrem koła o romieiu at e Im{s} Re{s} r> π T
CPS 4 6/7 Roatrymy rykład, który do wyacaia rekstałceia wykorystuje aalogie trasformacją Lalace a Oblicymy dwustroą trasformatę Lalace a sygału o ciągłym casie: at bt ( ) + x t e t e t + x t x t x t + { } s s ( ) X s L x t X ( s) s + a Obsar bieżości dla tego składika leży a lewo od uktu a a łascyźie s, cyli at wewątr okręgu o romieiu e > { } X s L x t + X ( s) + s + b Obsar bieżości dla tego składika leży a rawo od uktu b a łascyźie s, cyli a bt ewątr koła o romieiu e < X s + s + a s+ b Im{s} Re{s} bt -b a e at e S Pas bieżości omiędy b i a ierścień o romieiach bt e, at e
dowolego CPS 5 6/7 Prykłady wyacaia trasformaty odstawowych sygałów: UTrasformata et () delty Kroeckera: δ [ ] dla dla f[] -3 - - 3 { [ ]} [ ] [ ] f f f UTrasformata UU [ ] x δ [ ] ciągu skońcoego:,,,,, ie f[] -3 - - - 3 { f [ ] } f [ ] + +
skoku UTrasformata UU CPS 6 6/7 jedostkowego: [ ] dla dla < f[] -3 - - 3 { f [ ] } f [ ] ( ) Wykorystamy ależość a sumę ciągu geometrycego: A Ax + + + x N x < ora N x A Ax... N Ax N Ax { f [ ] } [ ] Trasformata F() osiada biegu w ukcie, ora ierwiastek w ukcie. Obsar bieżości oisuje ależość >, leży a ewątr okręgu o romieiu.
CPS 7 6/7 UTrasformata fukcji wykładicej U( ): [ ] [ ] x a [ ] X a ( a ) x Suma jest bieża gdy a/ < lub > a a a X a [ ] a Trasformata X() osiada biegu w ukcie a, ora ierwiastek w ukcie. Obsar bieżości oisuje ależość > a, leży a ewątr okręgu o romieiu a.
CPS 8 6/7 a UTrasformata fukcji wykładicej U( < ): [ ] Y a ( a ) y ( a ) [ ] [ ] y a Suma jest bieża gdy /a < lub < a X a a a a a [ ] a Trasformata X() osiada biegu w ukcie a, ora ierwiastek w ukcie. Obsar bieżości oisuje ależość < a, leży wewątr okręgu o romieiu a.
CPS 9 6/7 a Prykład idetyfikujemy obsary istieia trasformaty dla astęujących sygałów: X() X 4 [ ] [ ] + [ ] x ( ) + 4 y 4 [ ] [ ] + [ ] w 4 [ ] [ ] + [ ] + 4 Pierwsa suma jest bieża dla < lub </. Druga suma jest bieża dla /(4) < lub >/4. Wsóly obsar bieżości dla tych seregów staowi ierścień: < < 4 X + + 4
CPS 6/7 -/ /4 Y() Y + 4 + 4 Pierwsa suma jest bieża dla /() < lub >/. Druga suma jest bieża dla /(4) < lub >/4. Wsóly obsar bieżości dla tych seregów staowi ewętre okręgu: > Y + + 4 -/ /4
W() CPS 6/7 W + 4 ( ) ( 4) + Pierwsa suma jest bieża dla < lub </. Druga suma jest bieża dla 4 < lub </4. Wsóly obsar bieżości dla tych seregów staowi wętre okręgu: < 4 W + + 4 -/ /4
CPS 6/7 Wykorystaie rekstałceia Lalace a od wyacaia trasformaty : UTrasformata wykładicego rebiegu rawostroego U( t ): bt x t e t bt () δ ( ) x * t e t kt k bkt () δ ( ) x * t e t kt k Korystając trasformaty Lalace a bkt X * s e e k skt bt st X * s e e k bt X e k e X bt bt X e k k Poieważ obsar bieżości trasformaty Lalace a X ( s) s + b jest ółłascyą ołożoą a rawo od rostej s-b dlatego obsarem bieżości trasformaty jest ewętre okręgu o romieiu e bt Im{s} Re{s} -b e bt
CPS 3 6/7 UTrasformata wykładicego rebiegu lewostroego U(t < ): ( t ) x t e bt bt () δ ( ) x* t e t kt k bkt () δ ( T ) x * t e t k k Korystając trasformaty Lalace a bkt X * s e e k bkt X * s e e k skt skt bt st X * s e e k bt X e k bt X e X k k k k e bt bt bt e e e bt bt X Poieważ obsar bieżości trasformaty Lalace a X ( s) e s + b jest ółłascyą ołożoą a lewo od rostej s-b, dlatego obsarem bieżości trasformaty et jest wętre okręgu o romieiu e bt Im{s} Re{s} -b e bt
CPS 4 6/7 Podstawowe właściwości rekstałceia : Pryjmiemy skrótowe oaceie trasformaty et sygału x[], istiejącej w obsare bieżości o romieiu RBxB Liiowość [ ] R x x X dla O [ ] + [ ] + x y ax by ax by dla O R R (wsóly obsar bieżości) Prykład 3 x [ ] [ ] [ ] X( ) dlao < < 3 3 ora y[ ] [ ] [ ] 4 Y dla O < 4 4 / 3/ 3 ax[ ] + by[ ] a + b 4 dla O < < 3 4
CPS 5 6/7 /4 / W ryadku gdy ab 5 3 ax[ ] + ay[ ] a 4 dla O < < 3 4 4 UTrasformata et siusoidalego rebiegu rawostroego ( t ): [ ] si ( ω ) [ ] x T Wykorystamy właściwość liiowości rekstałceia ora wyrowadoą wceśiej trasformatę sygału wykładicego: Poieważ e bt si [ ] e j bt α α ( α ) ( e e ) jωt jωt e [ ] e [ ] ω j j j e e ω j T j T jωt jωt ( ) ( ) jωt jωt ( e )( e ) ( ) j jω e e T jωt e + e j j e e + e e ( ) ( ) jωt jωt jωt jωt e e e e j jωt jωt jωt jωt e + e + e e + e + ω ω ω ω j T j T j T j T
jest bieguów P. bieguów CPS 6 6/7 ( ωt ) ( ω ) si si( ω T ) [ ] dla O > cos T + Odwróceie sygału w casie x[ ] X dla O R x Odwróceie sygału w diediie casu odowiada miaie mieej a P miaie ulega także obsar bieżości. Jeżeli RBxB ierścieiem a< <b to obsar bieżości sygału odwrócoego a< / <b lub /b< </a - Presuięcie sygału w casie [ ] x X dla O R x Możeie re wrowada BB w gdy BB>. W tym ryadku jeżeli bieguy ie są redukowae re ierwiastki X(), owy obsar bieżości ie może awierać uktu. Natomiast gdy BB< możeie re wrowada BB w ieskońcoości. Jeżeli bieguy te ie są redukowae re ierwiastki X(), owy obsar bieżości ie może awierać uktu
Prykład: CPS 7 6/7 f[] g[]f[-] -3 - - 3-3 - - 3 g[]f[-] g[]f[] [ ] [ ] + [ ] + [ ] G g g g g [ ] [ ] [ ] f + f + f +... +... f [ ] + f [ ] + f [ ] +... F( ) Stąd otrymujemy ależości: [ ] + [ ] [ ] ( + [ ] ) + [ ] + [ ] + [ ] f F f f F f f F f f ( { [ ] } [ ] ) { [ ]} { [ ]} [ ] { + } f f f [ ] f f f [ + ] [ ] f F f f [ + ] F( ) f [ ] f F f [] [ ] f [ ]
jest CPS 8 6/7 Możeie re ciąg wykładicy α x[ ] X dla O α α R x Jeżeli RBxB ierścieiem a< <b to obsar bieżości sygału a a< < a b. miaa obsaru bieżości wyika resuwaia się bieguów fukcji X(). Wsystkie bieguy ostają w jedakowej skali rówej a resuięte wględem. Wyrowadimy defiicji rekstałceia ET owyżsą własość Prykład [ ] [ ] [ ] ax ax [ ] xa [ ]( a ) x X a Poieważ a [ ] a to [ ] a [ ] a a a Slot [ ] [ ] x y x y X Y dla O R R Slot rebiegów casowych odowiada możeiu trasformat. liiowości rekstałceia wyika, że obsar bieżości może być więksy iż cęść wsóla obsarów dla trasformat slataych sygałów. Taki ryadek achodi wtedy wysteuje redukcja ierwiastków i bieguów.
CPS 9 6/7 Różickowaie w diediie et d x X dla O R d [ ] x Możeie sygału re w diediie casu odowiada różickowaiu ora możeiu re w diediie et. Oeracja ta ie mieia obsaru bieżości. UWyrowadimy tę własość defiicji rekstałceia et: stąd ( ) [ ] + + + + 3 3... 3 4 { 3...} d + + + + d d d ( ) 3 { 3...} d [ ] d Prykład: ajdiemy trasformatę sygału Oacymy: [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 4 [ ] [ ] x w [ ] ( 4 ) [ ] y Obliceia dla w[]: [ ] dla O + >
CPS 6/7 Wykorystamy właściwość różickowaia w diediie et: d ( ) [ ] dla O > d + + ( ) + > dla O ( + ) Obliceia dla y[]: [ ] 4 dla O > 4 4 Wykorystamy właściwość iwersji w casie: 4 dla O > 4 4 [ ] 4 dla O < 4 4 Wykorystamy właściwość trasformaty slotu: [ ] [ ] [ ] x w y X W Y dla O R R 4 4 ( + ) dla O < < 4 ( 4)( + ) W Y