PRZEKSZTAŁCENIE ZET. definicja. nst. Stąd po dokonaniu podstawienia zgodnie z definicją otrzymamy wyrażenie jak dla ciągu.

Podobne dokumenty
ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE ZET

ENERGIA SPRĘŻYSTA 1 1. BILANS ENERGETYCZNY 2. RÓWNANIE STANU, POTENCJAŁ SIŁ WEWNĘTRZNYCH

Z-TRANSFORMACJA Spis treści

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

Programowanie dynamiczne i modele rekurencyjne w ekonomii Wykład 3

, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE

Przekształcenie Z. Krzysztof Patan

A B - zawieranie słabe

III. LICZBY ZESPOLONE

Znikanie sumy napięć ïród»owych i sumy prądów w wielofazowym układzie symetrycznym

W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6

FILTRY FILTR. - dziedzina pracy filtru = { t, f, ω } Filtr przekształca w sposób poŝądany sygnał wejściowy w sygnał wyjściowy: Filtr: x( ) => y( ).

Światłem nazywamy fale elektromagnetyczne, o długościach, na które reaguje oko ludzkie, tzn nm.

Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5

I. Podzielność liczb całkowitych

Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich)

Funkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Zbiór wszystkich punktów brzegowych D nazywamy brzegiem D (ozn. D). Mówimy, że zbiór D jest domknięty D D. Domknięciem zbioru D nazywamy D D (ozn. D).

1. ALGEBRA Liczby zespolone

SUBWENCJA WYRÓWNAWCZA DLA GMIN

MACIERZE I WYZNACZNIKI

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Operatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)

Podprzestrzenie macierzowe

ZEWNĘTRZNA MODULACJA ŚWIATŁA

PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1. (1 pkt) Wartość wyrażenia. b dla a 2 3 i b 2 3 jest równa A B. 5 C. 6 D Zadanie 2.

W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

TEORIA STEROWANIA I, w 4. dr inż. Adam Woźniak ZTMiR MEiL PW

Podprzestrzenie macierzowe

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Transformata Z Matlab

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

{ x n } = {,1.1, 0.2,2.1,3.0, 1.2, }

Estymacja przedziałowa parametrów strukturalnych zbiorowości generalnej

Chemia Teoretyczna I (6).

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)

Inżynieria Systemów Dynamicznych (3)

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

FILTRY Z NIESKOŃCZONĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ. IIR od ang. Infinite Impulse Response. Spis treści

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

Optymalizacja (w matematyce) termin optymalizacja odnosi się do problemu znalezienia ekstremum (minimum lub maksimum) zadanej funkcji celu.

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego, Politechnika Wrocławska, Wrocław **

Funkcje arytmetyczne

Elementy optyki zintegrowanej

3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie

Egzaminy. na wyższe uczelnie zadania

A A A A11 A12 A1. m m mn

I kolokwium z Analizy Matematycznej

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład IV Twierdzenia całkowe

PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,

Drgania układów o wielu stopniach swobody

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

FILTRY Z NIESKOŃCZONĄ ODPOWIEDZIĄ IMPULSOWĄ. IIR od ang. Infinite Impulse Response. Spis treści

METODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński

Stochastyczne metody optymalizacji

k i j=1 f(ζ) dζ = f(z). (ζ z) f n (ζ) 1 dζ f(z) = 1

PORZĄDKI GENEROWANE KRZYWĄ LORENZA

3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie

LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW

Materiał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.

Płaskie układy obciąŝeń. Opis analityczny wielkości podstawowych. wersory. mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów 1 statyka 2

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

Przetwarzanie sygnałów dyskretnych

Lista 6. Estymacja punktowa

Transkrypt:

CPS 6/7 PREKSTAŁCENIE ET Defiicja rekstałceia Prekstałceie ET jest w diediie casu dyskretego odowiedikiem ciągłego rekstałceia Lalace a w diediie casu ciągłego. Podamy dwie rówoważe defiicje rekstałceia ET różiące się jedyie sosobem aisu matematycego sygału dyskretego: Dla sygału aisaego w Uostaci ciąguu UwartościU f[]: defiicja [ ] F f Dla Usygału sróbkowaegou f*(t) ( wykorystując rekstałceie Lalace a ) USygał dyskrety defiicja { } F L f t * e st *() δ ( ) f t f T t T Trasformata Lalace a (dwustroa) sygału dyskretego: * F s f T e st II st e Stąd o dokoaiu odstawieia godie defiicją otrymamy wyrażeie jak dla ciągu Obsar bieżości F f T Poieważ rekstałceie ciągu f[] jest defiiowae jako suma seregu ieskońcoego, atem Uistieje tylko dla tych wartości dla których sereg jest bieżyu. Suma awiera arówo dodatie jak i ujeme otęgi mieej. Jak wiadomo teorii seregów otęgowych suma ujemych otęg seregu bieża dla więksego iż ewa stała rbb, a suma otęg dodatich seregu jest bieża dla miejsego iż ewa stała rbb.

ależych CPS 6/7 UWyika stąd, że obsar bieżości (istieia) trasformaty ma kstałt ierścieia Uo romieiach rbb, rbb od fukcji f[]. W celu dokładiejsego wyjaśieia tego agadieia wykorystamy rekstałceie Lalace a. Roatrymy odworowaie uktów łascyy mieej esoloej s a ukty łascyy mieej esoloej. godie defiicją rekstałceia wiąek międy mieą i s oisuje rówaie: Poieważ e st s σ + jω Stąd Cyik j T e ω ( σ + j ω ) T σ T j ω T e e e jest okresowy, atem odworowaie ie jest jedoace. σt j T ( σt j T ) e e ω e e ω + π Oaca to, że każdy dowoly as a łascyźie mieej s określoy astęująco π ω < ω < ω + < σ < T odworowuje Ucałą łascyęu mieej. Im{s} Re{s} ω ω π + T

CPS 3 6/7 Roatrymy scególe ryadki odworowań: at Obraem rostej o rówaiu sa (ioowa) a łascyźie s będie okrąg o romieiu e a łascyźie mieej. Oś urojoych ma łascyźie s odworowuje się a okrąg jedostkowy a łascyźie. Im{s} Re{s} π T Półłascya a lewo od rostej sa a łascyźie s będie wętrem koła o at romieiu e Im{s} Re{s} r> π T Półłascya a rawo od rostej sa a łascyźie s będie ewętrem koła o romieiu at e Im{s} Re{s} r> π T

CPS 4 6/7 Roatrymy rykład, który do wyacaia rekstałceia wykorystuje aalogie trasformacją Lalace a Oblicymy dwustroą trasformatę Lalace a sygału o ciągłym casie: at bt ( ) + x t e t e t + x t x t x t + { } s s ( ) X s L x t X ( s) s + a Obsar bieżości dla tego składika leży a lewo od uktu a a łascyźie s, cyli at wewątr okręgu o romieiu e > { } X s L x t + X ( s) + s + b Obsar bieżości dla tego składika leży a rawo od uktu b a łascyźie s, cyli a bt ewątr koła o romieiu e < X s + s + a s+ b Im{s} Re{s} bt -b a e at e S Pas bieżości omiędy b i a ierścień o romieiach bt e, at e

dowolego CPS 5 6/7 Prykłady wyacaia trasformaty odstawowych sygałów: UTrasformata et () delty Kroeckera: δ [ ] dla dla f[] -3 - - 3 { [ ]} [ ] [ ] f f f UTrasformata UU [ ] x δ [ ] ciągu skońcoego:,,,,, ie f[] -3 - - - 3 { f [ ] } f [ ] + +

skoku UTrasformata UU CPS 6 6/7 jedostkowego: [ ] dla dla < f[] -3 - - 3 { f [ ] } f [ ] ( ) Wykorystamy ależość a sumę ciągu geometrycego: A Ax + + + x N x < ora N x A Ax... N Ax N Ax { f [ ] } [ ] Trasformata F() osiada biegu w ukcie, ora ierwiastek w ukcie. Obsar bieżości oisuje ależość >, leży a ewątr okręgu o romieiu.

CPS 7 6/7 UTrasformata fukcji wykładicej U( ): [ ] [ ] x a [ ] X a ( a ) x Suma jest bieża gdy a/ < lub > a a a X a [ ] a Trasformata X() osiada biegu w ukcie a, ora ierwiastek w ukcie. Obsar bieżości oisuje ależość > a, leży a ewątr okręgu o romieiu a.

CPS 8 6/7 a UTrasformata fukcji wykładicej U( < ): [ ] Y a ( a ) y ( a ) [ ] [ ] y a Suma jest bieża gdy /a < lub < a X a a a a a [ ] a Trasformata X() osiada biegu w ukcie a, ora ierwiastek w ukcie. Obsar bieżości oisuje ależość < a, leży wewątr okręgu o romieiu a.

CPS 9 6/7 a Prykład idetyfikujemy obsary istieia trasformaty dla astęujących sygałów: X() X 4 [ ] [ ] + [ ] x ( ) + 4 y 4 [ ] [ ] + [ ] w 4 [ ] [ ] + [ ] + 4 Pierwsa suma jest bieża dla < lub </. Druga suma jest bieża dla /(4) < lub >/4. Wsóly obsar bieżości dla tych seregów staowi ierścień: < < 4 X + + 4

CPS 6/7 -/ /4 Y() Y + 4 + 4 Pierwsa suma jest bieża dla /() < lub >/. Druga suma jest bieża dla /(4) < lub >/4. Wsóly obsar bieżości dla tych seregów staowi ewętre okręgu: > Y + + 4 -/ /4

W() CPS 6/7 W + 4 ( ) ( 4) + Pierwsa suma jest bieża dla < lub </. Druga suma jest bieża dla 4 < lub </4. Wsóly obsar bieżości dla tych seregów staowi wętre okręgu: < 4 W + + 4 -/ /4

CPS 6/7 Wykorystaie rekstałceia Lalace a od wyacaia trasformaty : UTrasformata wykładicego rebiegu rawostroego U( t ): bt x t e t bt () δ ( ) x * t e t kt k bkt () δ ( ) x * t e t kt k Korystając trasformaty Lalace a bkt X * s e e k skt bt st X * s e e k bt X e k e X bt bt X e k k Poieważ obsar bieżości trasformaty Lalace a X ( s) s + b jest ółłascyą ołożoą a rawo od rostej s-b dlatego obsarem bieżości trasformaty jest ewętre okręgu o romieiu e bt Im{s} Re{s} -b e bt

CPS 3 6/7 UTrasformata wykładicego rebiegu lewostroego U(t < ): ( t ) x t e bt bt () δ ( ) x* t e t kt k bkt () δ ( T ) x * t e t k k Korystając trasformaty Lalace a bkt X * s e e k bkt X * s e e k skt skt bt st X * s e e k bt X e k bt X e X k k k k e bt bt bt e e e bt bt X Poieważ obsar bieżości trasformaty Lalace a X ( s) e s + b jest ółłascyą ołożoą a lewo od rostej s-b, dlatego obsarem bieżości trasformaty et jest wętre okręgu o romieiu e bt Im{s} Re{s} -b e bt

CPS 4 6/7 Podstawowe właściwości rekstałceia : Pryjmiemy skrótowe oaceie trasformaty et sygału x[], istiejącej w obsare bieżości o romieiu RBxB Liiowość [ ] R x x X dla O [ ] + [ ] + x y ax by ax by dla O R R (wsóly obsar bieżości) Prykład 3 x [ ] [ ] [ ] X( ) dlao < < 3 3 ora y[ ] [ ] [ ] 4 Y dla O < 4 4 / 3/ 3 ax[ ] + by[ ] a + b 4 dla O < < 3 4

CPS 5 6/7 /4 / W ryadku gdy ab 5 3 ax[ ] + ay[ ] a 4 dla O < < 3 4 4 UTrasformata et siusoidalego rebiegu rawostroego ( t ): [ ] si ( ω ) [ ] x T Wykorystamy właściwość liiowości rekstałceia ora wyrowadoą wceśiej trasformatę sygału wykładicego: Poieważ e bt si [ ] e j bt α α ( α ) ( e e ) jωt jωt e [ ] e [ ] ω j j j e e ω j T j T jωt jωt ( ) ( ) jωt jωt ( e )( e ) ( ) j jω e e T jωt e + e j j e e + e e ( ) ( ) jωt jωt jωt jωt e e e e j jωt jωt jωt jωt e + e + e e + e + ω ω ω ω j T j T j T j T

jest bieguów P. bieguów CPS 6 6/7 ( ωt ) ( ω ) si si( ω T ) [ ] dla O > cos T + Odwróceie sygału w casie x[ ] X dla O R x Odwróceie sygału w diediie casu odowiada miaie mieej a P miaie ulega także obsar bieżości. Jeżeli RBxB ierścieiem a< <b to obsar bieżości sygału odwrócoego a< / <b lub /b< </a - Presuięcie sygału w casie [ ] x X dla O R x Możeie re wrowada BB w gdy BB>. W tym ryadku jeżeli bieguy ie są redukowae re ierwiastki X(), owy obsar bieżości ie może awierać uktu. Natomiast gdy BB< możeie re wrowada BB w ieskońcoości. Jeżeli bieguy te ie są redukowae re ierwiastki X(), owy obsar bieżości ie może awierać uktu

Prykład: CPS 7 6/7 f[] g[]f[-] -3 - - 3-3 - - 3 g[]f[-] g[]f[] [ ] [ ] + [ ] + [ ] G g g g g [ ] [ ] [ ] f + f + f +... +... f [ ] + f [ ] + f [ ] +... F( ) Stąd otrymujemy ależości: [ ] + [ ] [ ] ( + [ ] ) + [ ] + [ ] + [ ] f F f f F f f F f f ( { [ ] } [ ] ) { [ ]} { [ ]} [ ] { + } f f f [ ] f f f [ + ] [ ] f F f f [ + ] F( ) f [ ] f F f [] [ ] f [ ]

jest CPS 8 6/7 Możeie re ciąg wykładicy α x[ ] X dla O α α R x Jeżeli RBxB ierścieiem a< <b to obsar bieżości sygału a a< < a b. miaa obsaru bieżości wyika resuwaia się bieguów fukcji X(). Wsystkie bieguy ostają w jedakowej skali rówej a resuięte wględem. Wyrowadimy defiicji rekstałceia ET owyżsą własość Prykład [ ] [ ] [ ] ax ax [ ] xa [ ]( a ) x X a Poieważ a [ ] a to [ ] a [ ] a a a Slot [ ] [ ] x y x y X Y dla O R R Slot rebiegów casowych odowiada możeiu trasformat. liiowości rekstałceia wyika, że obsar bieżości może być więksy iż cęść wsóla obsarów dla trasformat slataych sygałów. Taki ryadek achodi wtedy wysteuje redukcja ierwiastków i bieguów.

CPS 9 6/7 Różickowaie w diediie et d x X dla O R d [ ] x Możeie sygału re w diediie casu odowiada różickowaiu ora możeiu re w diediie et. Oeracja ta ie mieia obsaru bieżości. UWyrowadimy tę własość defiicji rekstałceia et: stąd ( ) [ ] + + + + 3 3... 3 4 { 3...} d + + + + d d d ( ) 3 { 3...} d [ ] d Prykład: ajdiemy trasformatę sygału Oacymy: [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 4 [ ] [ ] x w [ ] ( 4 ) [ ] y Obliceia dla w[]: [ ] dla O + >

CPS 6/7 Wykorystamy właściwość różickowaia w diediie et: d ( ) [ ] dla O > d + + ( ) + > dla O ( + ) Obliceia dla y[]: [ ] 4 dla O > 4 4 Wykorystamy właściwość iwersji w casie: 4 dla O > 4 4 [ ] 4 dla O < 4 4 Wykorystamy właściwość trasformaty slotu: [ ] [ ] [ ] x w y X W Y dla O R R 4 4 ( + ) dla O < < 4 ( 4)( + ) W Y