Zimne gazy fermionowe

UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI KRAKÓW WYDZIAŁ FIZYKI, ASTRONOMII I INFORMATYKI STOSOWANEJ INSTYTUT FIZYKI IM. MARIANA SMOLUCHOWSKIEGO Zimne gazy fermionowe Samolokalizacja domieszki kondensatu Bosego Einsteina w nadciekłej mieszaninie fermionów Katarzyna Targońska Praca magisterska pod kierunkiem dr hab. Krzysztofa Sachy KRAKÓW, 2009

Składam serdeczne podziękowania panu dr hab. Krzysztofowi Sacha za wsparcie, pomoc i wyrozumiałość. Dziękuję również Rodzicom oraz Jolancie Darowskiej Dousa i Stefanowi Dousa za troskę i opiekę.

Spis treści Wstep v 1 Wstęp teoretyczny 1 1.1 Zimne gazy fermionowe............................. 1 1.2 Oddziaływanie między atomami......................... 1 1.3 Kondensat Bosego-Einsteina........................... 2 1.3.1 Bozony.................................. 2 1.3.2 Równanie Grossa-Pitajewskiego..................... 3 1.4 Teoria BCS.................................... 3 1.4.1 Fermiony................................. 4 1.4.2 Transformacje Bogoliubowa....................... 4 1.4.3 Właściwosci jednorodnego układu BCS................. 8 1.4.4 Nadprzewodnictwo............................ 8 1.4.5 Równanie na przerwę energetyczną dla skończonych temperatur.. 9 2 Samolokalizacja 11 2.1 Model....................................... 11 2.1.1 Układ BCS bez zaburzeń......................... 11 2.1.2 Układ BCS z domieszką kondensatu................... 12 2.2 Układ BCS bez zaburzeń............................. 13 2.2.1 Zależnośc temperaturowa........................ 13 2.3 Zachowanie domieszki kondensatu w układzie BCS............... 14 2.3.1 Samolokalizacja dla g bf > 0....................... 15 2.3.2 Odpowiedź BCS g bf > 0......................... 16 2.3.3 Samolokalizacja dla g bf < 0....................... 17 2.4 Poprawka temperaturowa............................. 20 2.5 Porównanie miedzy g bf > 0 g bf < 0....................... 20 2.6 Porównanie wyników z samolokalizacją neutralnej domieszki w Kondensacie Bosego-Einsteina................................. 21 2.7 Realizacja eksperymentalna............................ 23 3 Podsumowanie 25 4 Uzupełnienie 27 4.1 Jednostki..................................... 27 4.2 Formalizm drugiej kwantyzacji.......................... 27 4.3 Obliczenia numeryczne.............................. 29

ii SPIS TREŚCI 4.4 Przybliżenie lokalne stałej gęstości(lda).................... 29

Spis rysunków 1.1 Tworzenie sie par Coopera na powierzchni morza Fermiego dla 3 wymiarowego problemu. a.) Wokół morza Fermiego istnieje wąskie pasmo dla którego gęstości ma wartość stałą b.) Pary ze spinem równym 0 mają największą energię wiązania [3].................................. 4 1.2 Statystyka Fermi Diraca dla różnych temperatur................. 5 2.1 Zależność 0 od T dla g = 1.2.......................... 14 2.2 Samolokalizacja dla g bf = 1.2 i g = 1.2. Górny panel przedstawia funkcję parującą, środkowy gęstość fermionów, a dolny gęstość prawdopodobieństwa dla bozonów.................................... 15 2.3 Wykres, ρ BEC oraz ρ BCS w zależnosći od g bf dla g = 1.2.......... 16 2.4 Wykres zależności odchylenia standardowego od g bf............... 17 2.5 Porównanie kwazicząstek dla g = 1.2 dla g bf = 0 oraz g bf = 1.2......... 18 2.6 Samolokalizacja g bf = 1.2 dla g = 1.2. Górny panel przedstawia funkcję parującą, środkowy gęstość fermionów, a dolny gęstość prawdopodobieństwa dla bozonów.................................... 19 2.7 Wykres, ρ BCS oraz ρ BEC w zależności od g bf dla ustalonego g = 1.2..... 20 2.8 Wykres σ w zależności od g bf dla g = 1.2.................... 21 2.9 Porównanie kwazicząstek dla g = 1.2, g bf = 0 oraz g bf = 1.5......... 22 2.10 Zależność samolokalizacji od temperatury. W górnych panelach przestawiono funkcję parującą, w środkowych gęstość fermionów. Na najniższych zestwiono profil prawdopodobieństwa gęstości kondensatu................. 22 2.11 Porównie Samolokalizacji g bf > 0 dla g bf < 0.................. 23 4.1 Wartości własne operatora energii kinetycznej................. 29

Wstep W pracy rozważa się samolokalizację małego układu kondensatu Bosego-Einsteina w dużym systemie BCS dla przypadku jednowymiarowego. Domieszka kondensatu 1 zniekształca profil gęstości prawdopodobieństwa otaczającego systemu BCS. W wyniku zaburzenia tworzy się pułapkujący potencjał, którego stanem związanym jest samozlokalizowany kondensat. Pierwszą część pracy stanowi wstęp teoretyczny, w którym streszcza się właściwości badanych układów realizowanych w ultra zimnych gazach fermionowych. Rozpatruje się oddziaływania między atomami w temperaturach bliskich T = 0K. Bazując na formaliźmie drugiej kwantyzacji i opisie średniopolowym przedstawia się równanie Grossa-Pitaevskiego opisujące kondensat Bosego-Einseina. Główny nacisk położono na analizę właściwości modelu nadprzewodnictwa opisanego przez Bardenna, Coopera i Schrieffera. Rozdział drugi poświęcony jest przedstawieniu modelu badanego układu oraz analizie wyników nurmerycznych. W pierwszej części rozważa się przypadek, gdy między kondensatem Bosego Einsteina, a systemem BCS istnieją oddziaływania opisane dodatnim parametrem potencjału g bf, natomiast druga część poświęcona jest sytuacji, gdy parametr g bf jest ujemny. Rozdział kończy się zestawieniem wyników dla obu reżimów oraz porównaniem podobnego układu, w którym domieszka atomów jest zanurzona w dużym systemie kondensatu. Ostania część pracy zawiera podsumowanie otrzymanych wyników, propozycję realizacji eksperymentalnej badanego układu oraz możliwości dalszych modyfikacji i badań. 1 W pracy stosuję się skrót BEC, ang. Bose Einstein Condensate

Rozdział 1 Wstęp teoretyczny 1.1 Zimne gazy fermionowe Współcześnie wiele uwagi poświęca się badaniu dynamiki ultra-zimnych gazów fermionowych. Jednym z najciekawszych fenomenów jakie można w nich obserwować jest nadprzewodnictwo i nadciekłość. Ultra zimne gazy są rozrzedzone, dzięki czemu można stworzyć stosunkowo prosty model oddziaływań między atomami. Zachowaniem gazów, których atomy mają nieparzystą liczbę fermionów,rządzi statystyka Fermiego-Diraca. Gazy te nie mogą kondensować, ale za pomocą rezonansów Feshbacha można kontrolować oddziaływania między nimi. Konsekwencją tego faktu jest możliwość realizacji kondensatów molekuł powstałych na skutek silnego odpychania między fermionami. Natomiast dla słabych przyciągających oddziaływań dwa fermiony znajdujące się w różnych stanach spinowych mogą tworzyć kondensat par fermionowych. Możliwe jest osiągnięcie płynnych przejść pomiędzy tymi stanami. Ich niezwykłym atutem jest rownież osiąganie wysokiej temperatury krytycznej, której wartość w stosunku do temperatury Fermiego wynosi Tc T f równy Tc T f = 5 10 4. W eksperymentach najczęściej stosuje się atomy 40 K and 6 Li. = 0.2, dla 3 He ten sam stosunek jest 1.2 Oddziaływanie między atomami Ze względu na rozrzedzenie ultrazimnych atomów większość problemów rozproszeniowych można zawęzić do przypadku oddziaływań między dwoma cząstkami. Na dużych odległościach atomy działają na siebie przez efektywny potencjał Van der Walsa, który skaluje się jak - C 6. Źródłem tego oddziaływania są fluktuacje atomowych dipoli elektycznych. Na dystansie rzędu kilku promieni Bohra a 0 elektrony walencyjne zaczynają silnie r 6 się odpychać, co efektywnie prowadzi do oddziaływań zwanych odpychaniem twardego rdzenia. Dla stanów trypletowych dodatkowo należy uwzględnić zakaz Pauliego. Opis staje się bardzo skomplikowany. W omawianych gazach fala de Broglie λ db oraz odległości pomiędzy atomami n 1 3 50000 10000a 0 są znacznie większe niż zasięg potencjału r 0. W rezultacie, aby przedstawić procesy zderzeniowe wystarczy jedna wielkość zwana długością rozpraszania. Równanie Schrödingera dla dwu cząstek rozpatruje się w układzie środka masy, gdzie m 2 pełni role masy zredukowanej,odległości między atomami oznacza się jako r, a początkowy

2 Wstęp teoretyczny wektor falowy jest równy k: ( 2 + k 2 )Ψ( r) = mv ( r) Ψ( r) gdzie k 2 = me (1.1) h h 2 Jeżeli potencjał V ( r) ma skończony zasięg r 0, to funkcja falowa Ψ jest dana przez sumę fali początkowej e i k r i końcowej: Ψ e i k r + f( k, k) eikr r (1.2) gdzie f( k, k) = 2m 4π h d 3 r e i k r V ( r )Ψ( r ) to amplituda rozpraszania, a werktor k = k r 2 r wyznacza kierunek rozpraszania. Jeżeli kolizje zachodzą przy niskich energiach kr 0 1, f( k, k) przestaje zależeć od kierunku k : f k 0 = 2m 4π h 2 d 3 r V ( r )Ψ( r ) = a (1.3) Fala rozproszona (rozważana zdala od potencjału) jest sferycznie symetryczna. Jest to rozpraszanie typu s, które realizuje się dla momentu pędu ruchu względnego l równego 0.[1] Jeżeli do opisu założy się potencjał o zerowym zasięgu V ( r) = g 0 δ( r) 1, a w równaniu (1.3) założy sie przybliżenie Born a Ψ = e i k r to długość rozpraszania wyraża się przez : Parametr potencjału wynosi f k 0 = 2m 4π h 2 g 0 = a (1.4) g 0 = 4π h2 a m. (1.5) Jeżeli długość rozpraszania przyjmuje wartości dodatnie ma się doczynienia z efektywnym odpychajacym potencjałem. Jeżeli jej wartości są mniejsze od 0 atomy przyciagają się. Podsumowujac, jeżeli termiczna fala de Broglie 2π zderzających sie atomów jest znacznie k większa niż subtelne detale potencjału miedzyatomowego, 1 r k 0 można wprowadzić prostszy model charakteryzujący oddziaływania. Ważne jest by potencjał w danym modelu wciąż odwzorowywał fizyczne właściwości rozpraszania typu s. Najprostszym przybliżeniem jest potencjał zerowego zasiegu. Warto podkreślić,że opisane oddziaływania dotyczą rozpraszania dwóch fermionów znajdujących się w różnych stanach struktury nadsubtelnej. Przez antysymetryczność funkcji falowych dwóch fermionów o tej samej strukturze, kolizje typu s są zabronine. Mogłoby zachodzić rozpraszanie typu p, ale poniżej pewnych temperatur (k B T = h2 ) ono również zanika. mro 2 1.3 Kondensat Bosego-Einsteina 1.3.1 Bozony Bozony są cząstkami o spinie całkowitym. Średnia liczba cząstek obsadzająca dany poziom energetyczny opisana jest przez rozkład Bosego-Einsteina: 1 W przestrzeni trójwymiarowej istnieje potrzeba regularyzacji potencjału V. W tym celu stosuje się tzw. pseudopotencjał V ( r)ψ( r) = V 0 δ( r) (rψ( r)). Przy zastosowaniu tego modelu wzór na amplitudę rozpraszania r jest równy f k = a 1+ika

Równanie Grossa-Pitajewskiego 3 1 n i = (1.6) e E i µ k bt 1 Dla stanu podstawowego, gdy µ E 0 wyrażenie (1.6) dąży do. Okazuje się,że jest to możliwe dla małych,ale skończonych temperatur T = T c. Układ,gdy wszystkie cząstki obsadzają stan podstawowy nazywamy kondensatem Bosego-Einsteina. Dla N bozonów w trójwymiarowym pudle o boku L warunek przejścia fazowego można zapisać, przy pomocy termicznej fali de Brogile a: N = 1 ζ L 3 λ 3 db ( 3 2 ), (1.7) 2π h 2 λ db = (1.8) mk b T c Na podstawie (1.7) można stwierdzić,że przejście fazowe następuje,gdy średnia odległość między atomami osiąga wartość λ db. 1.3.2 Równanie Grossa-Pitajewskiego Hamiltonian w formaliźmie drugiej kwantyzacji (patrz rozdział 4) dla atomów o masie m umieszczonych w pułapce o potencjale U( r), których oddziaływanie można opisać przez potencjał zerowego zasięgu ma postać: Ĥ = d 3 r ˆψ ( r) [ h2 2m 2 + U( r) + g ] o 2 ˆψ ( r) ˆψ( r) ˆψ( r), (1.9) gdzie ˆψ( r) jest operatorem pola bozonowego. Kondenstat Bosego-Einsteina opisuje układ, w którym zachodzi makroskopowe obsadzenie stanu podstawowego. Zakłada sie, że idealny kondensat można opisać przez stan produktowy ψ( r 1.. r N ) : ψ( r 1.. r N ) = φ( r 1 )...φ( r N ) (1.10) Funkcja φ( r i ) opisuje stan jednocząstkowy.φ( r i ) spełniają równanie Grossa-Pitajewskiego : h 2m 2 φ( r) + U( r) + g o N φ( r) 2 φ( r) = µφ( (r)) (1.11) Równanie to otrzymuje się metodą wariacyjną, która polega na minimalizacji energii dla funkcji φ( r i ) układu w przestrzeni funkcji stanu (1.10). 1.4 Teoria BCS W kontraście do bozonów, rozrzedzony nieoddziałujący gas Fermiego nie wykazuje przejścia fazowego blisko temperatury zera bezwzględnego. Jednak,nawet bardzo słabe przyciągajace oddziaływania miedzy mieszaniną fermionów powodują, że tworzą się pary Coopera i układ staje się nadprzewodnikiem. W przypadku jedno- i dwuwymiarowym stany zwiazane istnieją zawsze dla arbitralnie małych przyciągających oddziaływań. Inaczej jest w przestrzeni trójwymiarowej: istnieje próg

4 Wstęp teoretyczny poniżej którego nie dochodzi do kreacji stanu związanego. Dwa fermiony w próżni znajdujące się na powierzchni nieoddziałującego morza Fermiego o spinie 1, mogą związać się w parę 2 Coopera, jeżeli założy się, że prócz niewielkich oddziaływań przyciągających gęstość stanów wokół energii Fermiego ma wartość stałą (patrz rys.(1.1)). Pełny opis stanu nadprzewodnictwa dla wielocząstkowych oddziaływań wraz z konieczną antysymetryzacją funkcji falowej całego układu znajduje się w teorii Bardeena Coopera i Schriefffer a. Teoria ta uwzględnia rownież fakt, że tworzenie się par jest procesem samouzgodnionym.[3] Rysunek 1.1: Tworzenie sie par Coopera na powierzchni morza Fermiego dla 3 wymiarowego problemu. a.) Wokół morza Fermiego istnieje wąskie pasmo dla którego gęstości ma wartość stałą b.) Pary ze spinem równym 0 mają największą energię wiązania [3] 1.4.1 Fermiony Nieoddziałujące fermiony obsadzają stany zgodnie ze statystyka Fermiego-Diraca (1.4.1). Średnia liczba cząstek zajmująca dany poziom energetyczny E i wyraża się wzorem: n i = 1 e E i µ k bt + 1 (1.12) Wartość potencjału chemicznego µ znajduje się nakładając warunek na wartość średnią całkowitej liczby cząstek N = n i (1.13) Dla T = 0 wartość potencjału chemicznego jest nazwana energią Fermiego. i=0 E f = µ(t = 0) = h2 k 2 f ( r) 2m + U( r) (1.14) Powyższe równanie jest oparte na przybliżeniu Thomasa-Fermiego, w którym definuje się lokalny pęd k f ( r), (zwany pędem Fermiego) zakładając, że własności gazu w pułapce U( r) w każdym punkcie r są takie same.(patrz rozdz.(4).lda) 1.4.2 Transformacje Bogoliubowa Rozważa się jednorodny gaz w równowagowej mieszaninie atomów znajdujących się w przeciwnych stanach spinowych s = +, =, umieszczony w pułapce U( r). Między fermionami istnieją przyciągające oddziaływania opisane potencjałem zerowego zasięgu:

Transformacje Bogoliubowa 5 Rysunek 1.2: Statystyka Fermi Diraca dla różnych temperatur V ( r 1 r 2 ) = g δ( r 1 r 2 ), g > 0 (1.15) Hamiltonian ogranicza się do podprzestrzeni Hilberta o danej liczbie cząstek, co efektywnie wiąże się z uwzględnieniem dodatkowego członu o postaci N µ. Operator energii w formaliźmie drugiej kwantyzacji 2 przedstawia się następująco: ˆK = Ĥ µ s N s = s d 3 r[ ˆψ s( r)h o ˆψs ( r) g 2 ˆψ s( r) ˆψ s( r) ˆψ s ( r) ˆψ s ( r)] (1.16) gdzie H 0 = h 2m 2 + U( r) µ. Człon oddziaływania można zastąpic przez średni potencjał działający w danym momencie na jedna czastkę. Zastosowane przybliżenie jest uogólnieniem teorii Hartego Focka zakładającej, że każda cząstka porusza się w polu wytworzonym przez uśrednienie oddziaływań danej czastki z pozostałymi cząstkami [4]. Otrzymuje się tzw. efektywny Hamiltonian o postaci: ˆK ef = d 3 r[ ˆψ ( r)h o ˆψ ( r) + ˆψ ( r)h o ˆψ ( r) W ( r) ˆψ ( r) ˆψ ( r) + W ( r) ˆψ ( r) ˆψ ( r) ( r) ˆψ ( r) ˆψ ( r) + ( r) ˆψ ( r) ˆψ ( r)]. (1.17) Aby wyliczyć wartości nieznanych pól należy zdiagonalizować powyższy Hamiltonian(1.17). W kolejnym kroku wykorzystuje się znalezioną bazę wektorów własnych K ef i wyznacza takie W ( r) i ( r), które minimalizują energię swobodną układu 3 [1]. 2 patrz rozdział 4 3 Dla procesów izotermicznych F 0

6 Wstęp teoretyczny Hamiltonian K ef doprowadza się do postaci diagonalnej przez unitarne transformacje Bogoliubowa : ( ˆψ ( r) ˆ ψ ( r) ) ˆγ n, = u n ˆψ + = n ˆγ n, ( un ( r) v n ( r) ) + ˆγ n, ( v n ( r) u n( r) v n ˆψ, ˆγ n, = vn ˆψ + u n ˆψ Funkcje u n i v n są wektorami własnymi, które spełniają równania Bogoliubowa-Gennsa. ( un Ω v n Hamiltonian 1.17 przekształcono do postaci 4 : K ef = ) = E n ( un v n ) ( ( d 3 r ˆψ, ˆψ ) ˆψ Ω ˆ ψ ( ) H0 + W ( r) ( r) Ω = ( r) H 0 W ( r) ) ) (1.18) (1.19) (1.20) (1.21) Rozpatruje się energię swobodną, wyliczoną w stanie równowagi przy użyciu bazy wektorów własnych Hamiltonianu efektywnego: (1.17) F = ˆK T S (1.22) gdzie ˆK wyraża się, ˆK = [ T r T r ˆKe K ˆ ef k b T ] ] [e Kˆ (1.23) ef k b T Korzystając z twierdzenia Wicka ([4],[1]) oraz przeprowadzając wariację energii swobodnej F po stanach i energiach własnych hamiltonianu K ˆ ef dostajemy równanie : δf = s g ˆψ [ d 3 r δ ˆψ sh 0 ˆψs g δ ˆψ ˆψ s s ˆψ ˆψ s s ˆψ ˆψ s s g δ ˆψ ˆψ s s ˆψ s ˆψs ] δ ˆψ s ˆψs T δs. (1.24) ˆψ s s δ g ˆψs ˆψ s Jeżeli porówna się równanie (4.16) z pochodną wariacyjną z energii swobodnej efektywnej F ef = ˆ K ef, dla której z założenia δf ef = 0: 4 dla stanu podstawowego można we wzorze (1.17) pominąć stałą

Transformacje Bogoliubowa 7 δf ef = s d 3 r[δ ˆψ +W ( r)δ ˆψ + δ sh 0 ˆψs + W ( r)δ ˆψ ˆψ s s ˆψ ˆψ s s ˆψ s s + ( r)δ ˆψ s ˆψs ] T δs = 0. (1.25) to otrzymuje sie wartości na pola W i W ( r) = g ˆψ ˆψ s s ( r) = g ˆψ s ˆψs = g ˆψ ˆψ s s = g ˆψ ˆψ s s (1.26) Taki wybór średnich pól zapewnia stacjonarność dokładnej energii swobodnej liczonej przy użyciu stanów hamiltonianu efektywnego [1]. Wartości średnie wylicza sie podstawiając (1.18) oraz korzystając z wartości oczekiwanych operatorów: ˆ γ n,s ˆ γ n,s γ n ˆ,s = δ n,n δ s,s f(e n ) γ n ˆ,s = 0 (1.27) ) gdzie f(e b ) jest rozkładem Fermiego f(e n ) = 1/ (e En k bt + 1 : Równanie na przerwę energetyczną i W przyjmują postać: W ( r) = g n [ u n ( r) 2 f(e n ) + v n ( r) 2 (1 f(e n ))] (1.28) ( r) = g n u n ( r)v ( r)[1 2f(En)] (1.29) Wyrażenia (1.28),(1.29) oraz (1.19) stanowia kompletny układ rownań, które zazwyczaj rozwiązuje się metodą samouzgodnienia[1]. Dla układu jednorodnego istnieje alternatywna metoda wyprowadzenia teorii BCS, która prowadzi do równań Bogoliubova de Genna (1.19) bez pułapki. Opiera się na zastosowaniu rachunku wariacyjnego, za pomocą którego wylicza się współczynniki v n,u n Ansatzu funkcji BCS: ( ) u k + v k â k â k (1.30) Ψ BCS >= k gdzie â pochodzi z rozwinięcia operatora pola fermionowego w bazie jednocząstkowej o określonym pędzie ψ s ( r) = 1 e i k r aˆ (2π) 2 3 ks ([3]) k

8 Wstęp teoretyczny 1.4.3 Właściwosci jednorodnego układu BCS Hamiltonian efektywny po zastosowaniu transformacji Bogoliubova(1.18) wyraża się wzorem Kˆ ef = ( ) E k ˆγ k, ˆγ k, + ˆγ k, ˆγ k, (1.31) k Sumowanie odbywa się po k, gdyż rozważamy operatory pola fermionowego w bazie pędów. Dodatkowo założono symetrię translacyjną korzystając z faktu, że całkowity pęd jest zachowany. Fizycznie oznacza to, iż rozpatruje się jedynie te pary fermionowe, które mają całkowity moment pędu równy 0. Tym samy eliminuje się fluktuacje gęstości. Wartość energii E k wylicza się parametryzując warunek unormowania wektorów własnych u k + v k = 1 oraz korzystając z równania (1.19): E k = ɛ 2 k + 2 (1.32) ɛ 2 k = h2 k 2 2m µ (1.33) Mody v k i u k można wyrazić następująco: vk 2 = 1 ( 1 ɛ ) k (1.34) 2 u 2 k = 1 2 E k ( 1 + ɛ ) k E k Są to współczyniki funkcji (1.30) Równanie na przerwę energetyczną przybiera postać: (1.35) = g k 2 ɛ 2 k + 2 (1.36) Dla = 0 definiuję się, że stan układu jest stanem normalnym z wypełnionym morzem Fermiego u k = 0, v k = 1,aż do wartości energii równej E f = µ. Powyżej energii Fermiego u k = 1, v k = 0. Jeżeli 0 w układzie tworzą się pary Coopera. Proces ten obniża energię układu. Mieszanina fermionów znajduję się w stanie nadciekłym opisanym funkcją (1.30), w którym elementarne wzbudzenie realizuje się przez wzbudzenie dwóch kwazicząstek o energii równej 2 : ( ) ˆγ k,sˆγ k,s Ψ BCS >= â k,sâ k u s q + v q â q â q 0 >. (1.37) 1.4.4 Nadprzewodnictwo q k, k Ponieważ rozważany jednorodny układ BCS ma symetrię translacyjną, możliwe jest nadanie układowi pędu o wartości q (np.przez zewnętrzne pole), powodując tym samy przesunięcie kuli Fermiego. Przesunięcie to będzie trwałe, jeżeli żadne wzbudzenie w układzie nie przekroczy

Równanie na przerwę energetyczną dla skończonych temperatur 9 wartości 2. Istnieje warunek na maksymalne przesunięcie kuli Fermiego,które nie prowadzi do zaniku przewodnictwa: h 2 (k f + q c ) 2 2m h2 (k f q c ) 2 2m = 2 (1.38) Prąd nadprzewodnictwa istnieje, jeżeli elektrony nie zostaną przyspieszone do prędkości większej niż prędkość krytyczna v c = qc m.[1] W stanie normalnym, prąd przewodnictwa zanika po ustaleniu się równowagi w wyniku rozpraszania fononów na elektronach. 1.4.5 Równanie na przerwę energetyczna dla skończonych temperatur Korzystając z równania dla układu jednorodnego (1.29) oraz (1.36) otrzymuje się zależność przerwy energetycznej od temperatury: ( r) = g ( ) Ek tgh (1.39) E k 2k b T k Jeżeli w równaniu (1.39) sumę po stanach pędowych zapisze się jako całkę 5 oraz zakładając, że µ >> k b T można wyliczyć wartość temperatury krytycznej T c : 6 gdzie eγ π = 1.78 T c = eγ π (1.40) 5 Stosując dodatkowo regularyzację wyrażenia 6 Temperatura, w której zachodzi przejście fazowe z fazy normalnej do nadprzewodzącej

Rozdział 2 Samolokalizacja 2.1 Model 2.1.1 Układ BCS bez zaburzeń Rozważa się jednorodną mieszaninę fermionów o tej samej liczbie spinów s = = + oraz s = = zdefiniowaną na skończonym obszarze jednowymiarowej przestrzeni. Układ można opisać przez poniższy Hamiltonian : [ ( ( h Ĥ = dx ˆΨ f,s 2 ) (x) x 2 µ ˆΨ f,s (x) g ) ] 2m s f 2 ˆΨ f,s (x) ˆΨ f, s (x) ˆΨ f, s (x) ˆΨ f,s (x) (2.1) gdzie µ oznacza potencjał chemiczny, g jest parametrem potencjału dla przyciągających oddziaływań między fermionami 1. W teorii BCS, przedstawionej w poprzednim rozdziale, stosuje się opis średniopolowy przez wprowadzenie transformacji Bogoliubowa. Operator pola fermionowego w jednym wymiarze można wyrazić za pomocą operatorów kwazicząstek ˆγ n,s : ˆΨ ± (x) = n ˆγ n,± u n (x) ˆγ n, v n(x) (2.2) Funkcje u n i v n stanowia unormowaną i zupełną bazę wektorów własnych spełniajacych układ równań Bogoliubowa-de Genna o postaci : ( H0 + W ( r) ( r) ( r) H 0 W ( r) ) ( un (x) v n (x) ) = E n ( un (x) v n (x) ) (2.3) Wartość własna E n jest energią n-tej kwazicząstki. Funkcja parująca oraz potencjał Hartri Focka W przyjmują postać: 1 patrz 1.2 = g (1 2f n )u n (x) n v (x) (2.4) n=1

12 Samolokalizacja W = g f n u n (x) 2 + (1 f n ) v n (x) 2 (2.5) n=1 gdzie f n jest rozkładem Fermii-Diraca. W jednym wymiarze obie sumy we wzorze na i W są zbieżne. Dla wyższych wymiarów suma w jest nieskończona. 2 2.1.2 Układ BCS z domieszka kondensatu W jednym wymiarze Hamiltonian opisujący mieszaninę rozrzedzonych bozonów i fermionów ma następującą postać: [ ( h Ĥ = dx ˆΨ b 2 ) (x) 2 x µ b ˆΨ b (x) + g b 2m b 2 ˆΨ b (x) ˆΨ b (x) ˆΨ b (x) ˆΨ b (x) + ( ( h ˆΨ f,s 2 ) (x) x 2 µ ˆΨ f,s (x) g 2m s f 2 ˆΨ f,s (x) ˆΨ f, s (x) ˆΨ f, s (x) ˆΨ f,s (x) +g bf ˆΨ f,s (x) ˆΨ f,s (x) ˆΨ b (x) ˆΨ b (x) )] (2.6) gdzie ˆΨ b (x) jest operatorem pola bozonowego. W modelu zakłada się, że liczba oraz lokalna gęstość bozonów jest wystarczająco mała, aby można było pominąć oddziaływanie między atomami kondensatu, czyli parametr g b. Zatem w dalszej części ignoruje się człon g b. Opisywany układ jest jednorodny, tzn. nie znajduje się w pułapce, ale ma skończone wymiary. Zakłada się, że stan podstawowy ma postać produktową: Ψ >= ψ > f φ > b (2.7) Podukład fermionów opisuje się przez teorię BCS, natomiast φ > b to funkcja stanu podstawowego kondenstatu. 3 Podobne założenie stosuje się do opisu małego polaronu w teorii Landaua Pekard a [5]. Analogicznie jak dla elektronu w krysztale, rozważa się dwa samouzgadniające się człony. Dla przedstawianego modelu jest to potencjał pułapkujacy wynikający z odkształcenia w gęstości układu BCS oraz funkcja falową kondensatu. Wartość oczekiwana Hamiltonianu (2.6) dla stanu (2.7) osiagą minimalna wartość 4, gdy spełniony jest poniższy układ równań 5 : ( 12 ) x 2 µ + W (x) + g bf φ(x) 2 u n (x) + (x)v n (x) = E n u n (x) (x)u n (x) ( 12 ) x 2 µ + W (x) + g bf φ(x) 2 v n (x) = E n v n (x) ( 12 ) x 2 + V eff φ(x) = Eφ(x) (2.8) gdzie i W spełniają równania 2.4 i 2.5, a potencjał V ef zaburzający dla układu BEC: 2 W dalszej części pracy dla niezaburzonego układu przyjmuje się oznaczenia 0 oraz W 0 3 patrz rozdz.(1.3) 4 Dokonuje się wariacji δh = 0 względem ψ oraz φ. Zakłada się, że rozwiązania są w postaci rzeczywistej 5 W pracy obliczenia dokonuje się w jednostkach energii Fermiego (patrz rozdz.4)

Układ BCS bez zaburzeń 13 gdzie ρ(x) to gęstość fermionów. V eff = g bf 2W (x) g = g bf ρ(x) (2.9) 2.2 Układ BCS bez zaburzeń Układ równań (2.3) rozwiązuje się metodą kolejnych iteracjii. Dla pierwszej iteracji przyjmuje się początkowe wartości 00, W 00. Kolejne iteracje przeprowadza się, aż do momentu, gdy dx 0,i 0,i 1 < 10 3. 6 Ponieważ komputery moga operować jednynie skończoną liczbą danych, wprowadza się ucięcie. W pracy przestrzeń konfiguracyjna przyjmuje dyskretne wartości x i = l +i l, gdzie 2 M i = 0, 1..M, M 2000. Skończona liczba punktów oznacza, że można opisać kwazicząstki odpowiadające energii E n < E Λ, gdzie E Λ definiuje się jako energia obcięcia. Pozostałe kwazicząstki uwzględnia się przez zastosowanie przybliżenia lokalnej stałej gęstośći (LDA, ang. local density approximation). Poprawkę liczy się dla, ponieważ dla układu niezaburzonego i wybranych modów (u i, v i ) różnica między wyliczoną dokładnie, a dla danego obcięcia Λ ma wartość 0 (x) 0,Λ (x) Λ 1 2. Dla W (x) różnica wynosi tylko W 0 (x) W 0,Λ (x) Λ 5 2. Podane błędy mogą dodawać się w kolejnych procedurach iteracyjnych i tym samym utrudniać zbieżność [8]. W pracy przyjmuje się, że rozmiar przestrzeni wynosi l = 20. Dla podanej wielkości l niezerową wartość przerwy energetycznej 0 otrzymuje się począwszy od parametru równego g K 1.1. 2.2.1 Zależnośc temperaturowa Istnieje krytyczna temperatura T BCS = 1.78 0 (0) 7 (patrz. rozdział 1.4.5) powyżej, której nie istnieją pary Coopera (patrz 1.4.5). Dla skończonych temperatur obserwuje się zależność 0 (T ) podaną na wykresie (2.1) 6 W 0 (x) uzbieżnia się znacznie szybciej niż 0, dlatego 0 warunkuje uzbieżnienie 7 0 (0) dla niezaburzonego układu BCS dla T = 0.

14 Samolokalizacja Rysunek 2.1: Zależność 0 od T dla g = 1.2. 2.3 Zachowanie domieszki kondensatu w układzie BCS Układy rownań dla BCS i układ BEC (2.8) rozwiązuje się przez samouzgodnienie, które otrzymuje się metodą kolejnych iteracji. Dla pierwszej iteracji przyjmuje się początkowe wartości 0, W 0 oraz φ 0 (x). Postuluje się, że początkowe φ 0 (x) 2 ma kształt funkcji Gaussowskiej zlokalizowanej wokół x = 0. W pierwszej części uzbieżnia sie układ BCS. Nastepnie wylicza się V eff i wyznacza stan podstawowy dla kondensatu bozonów. Otrzymane φ(x) ponownie wprowadza się do układu rownań BCS. Procedurę powtarza się, aż do wysycenia. Nakłada się periodyczne warunki brzegowe na podukład fermionów. 8 Dla małego parametru sprzężenia g bf gęstość bozonów odpowiada funkcji cos 2 ( πx), xɛ[ l, l ]. Wzrost g l 2 2 bf powoduje, że rozkład gęstości kondensatu zwęża się. Odpowiednio obserwuje się również modyfikację gęstości układu BCS. Dla gbf K kondensat bozonów zostaje uwięziony w potencjale (odpychającym g bf > 0 lub przyciągającym g bf < 0) wytworzonym przez odkształconą gęstość fermionow. Warunkiem samolokalizacji jest niezależność szerokości połówkowej rozkładu bozonow od warunków brzegowych. Wprowadza się kryterium polegające na określeniu wartości gbf K, dla której szerokość funkcji gęstości kondensatu się nie zmienia przy podwojeniu rozmiaru rozpatrywanej przestrzeni. Jako miarę szerokości przyjmuje się odchylenie standardowe σ = 8 Szczegóły patrz rozdz.(4) Obliczenia numeryczne

Samolokalizacja dla g bf > 0 15 (x x )2. 2.3.1 Samolokalizacja dla g bf > 0 Mały układ kondensatu Bosego Einsteina znajdujący się w systemie BCS ma stan związany,w którym się samolokalizuje rys.(2.2). Rysunek 2.2: Samolokalizacja dla g bf = 1.2 i g = 1.2. Górny panel przedstawia funkcję parującą, środkowy gęstość fermionów, a dolny gęstość prawdopodobieństwa dla bozonów Zależność od g bf Na rys.2.3 zestawiono wyniki dla różnych wartości sprzężenia g bf przy ustalonej wartości g = 1.2. Parametr g potencjału dla BCS, jest dobrany tak, by dla układu niezaburzonego istniał stan nadprzewodnictwa. Im większa wartość g bf, tym węższy staje się profil gęstości kondensatu. Dla sprzężeń rzędu g bf = 1.3 w układzie BCS pojawiają się oscylacje i W. Na rys.(2.4) przedstawiono zależność odchylenia standardowego odpowiadające gęstości prawdopodobieństwa φ(x) 2 w zależności od g bf. Wyznaczono dwie krzywe odpowiadające odchyleniom dla różnych rozmiarów przestrzeni odpowiednio: l 1 = 20 i l 2 = 40. Wraz ze wzrostem parametru sprzężenia między BEC, a BCS gęstość kondensatu bozonów staje się niezależna od zmiany warunków brzegowych. Wartość minimalna, dla której obserwuje się samolokalizację jest równa g K bf 1.

16 Samolokalizacja Rysunek 2.3: Wykres, ρ BEC oraz ρ BCS w zależnosći od g bf dla g = 1.2 2.3.2 Odpowiedź BCS g bf > 0 Obserwacja gęstości prawdopodobieństwa dla układu BCS pozwala stwierdzić,że wraz z pojawieniem się samolokalizacji kondensatu, w gęstości układu BCS obserwujemy wyżłobienie. Dla g bf = 0 gęstość fermionów można napisać jako ρ(x) = k 0 ρ k (x) (2.10) Pierwszy wyraz sumy dla k = 0 ma postać ρ 0 (x) = v 0 (x) 2, kolejne, dla których pęd k 0, można zapisać jako ρ k (x) = v k (x) 2 + v k (x) 2. Na rys.(2.5) zamieszczono według rosnącej wartości k niezaburzone kwazicząstki tj. ρ k (x). Następnie naniesiono odpowiadające im rozwiązania dla g bf = 1.2. Na podwykresie A przedstawiono kwazicząstkę znajdującą się na dnie morza Fermiego ρ 0 (x) = v 0 (x) 2. Kształt deformacji jest wynikiem oddziaływania odpychającego między kondensatem,a podukładem fermionów. Kolejne podrysunki od B do E odpowiadają kolejnym wartością pędu k. Ostatnie dwie kwazicząstki znajdują się już poza powierzchnią Fermiego.

Samolokalizacja dla g bf < 0 17 Rysunek 2.4: Wykres zależności odchylenia standardowego od g bf. 2.3.3 Samolokalizacja dla g bf < 0 Dla oddziaływań przyciągających między kondensatem a układem BCS obserwuje się samolokalizację dla BEC przedstawioną na rys. (2.6). Zależność od g bf Wzrost parametru oddziaływania między podukładami powoduję, że zwiększa się prawdopodobieństwo obserwacji kondensatu w punkcie x = 0, patrz rys.(2.7). Kryterium samolokalizacji jest analogiczne jak dla g bf < 0, tzn. sprawdza się, czy dla zwiększonego dwukrotnie obszaru przestrzeni szerokość gęstości prawdopodobieństwa pozostaje stała. Jeżeli w stosunku do układu niezmienionego, tj. dla l = 20, przesunięcie jest nieznaczne to zakłada się, że istnieje pułapkujący potencjał, którego stanem związanym jest samozlokalizowany kondensat BEC. Na wykresie (2.8) zbadano odchylenia standardowe dla koncentracji kondensatu zależności od g bf dla dwóch wartości rozmiaru przestrzeni. Począwszy od gbf k = 1.2 kondensat jest zlokalizowany.

18 Samolokalizacja Rysunek 2.5: Porównanie kwazicząstek dla g = 1.2 dla g bf = 0 oraz g bf = 1.2. Odpowiedź BCS g bf < 0 Na rys.2.9 zestawiono elementy sumy gęstości ferminów, którą dla niezaburzonego układu można zapisać w postaci ρ = ρ 0 (x) = v 0 (x) 2 + v k (x) 2 + v k (x) 2. k 0 Zauważono,że kwazicząstka na dnie morza Fermiego jest zlokalizowana. Profil deformacji pozostałych kwazicząstek charakteryzuje zmniejszającym się wyżłobieniem. Wyniki analityczne dla g = 0 Dla g = 0 również mamy doczynienia z samolokalizacją kondensatu. Okazuje się, że taki uproszczony problem można rozwiązać analitycznie zakładając, że odkształcenia doznaje jedynie mod fermionowy na dnie morza Fermiego. Wówczas układ równań ma postać: [ 12 ] 2x µ + g bf φ 2 v = Ev, [ 1 ] 2 2 x + g bf (ρ 0 + v 2 ) φ = µ b φ, (2.11) dla którego istnieje następujące rozwiązanie analityczne:

Samolokalizacja dla g bf < 0 19 Rysunek 2.6: Samolokalizacja g bf = 1.2 dla g = 1.2. Górny panel przedstawia funkcję parującą, środkowy gęstość fermionów, a dolny gęstość prawdopodobieństwa dla bozonów. φ(x) = v(x) = gbf 2 1 cosh( g bf x 2 ) Rozwiązanie to pozwala stwierdzić, że gdy l tzn. dla nieskończonej przestrzeni można spodziewać się samolokalizacji nawet dla bardzo małych wartości g bf. Dla g bf 0 zakres, na którym lokalizuje się kondensat dąży do nieskończoności jak 2. g bf Podaną zależność spełniają parametryczne jasne solitony. Takie dwa wzajemnie pułapkujące się obiekty są spotykane w optyce nielinowej.

20 Samolokalizacja Rysunek 2.7: Wykres, ρ BCS oraz ρ BEC w zależności od g bf dla ustalonego g = 1.2. 2.4 Poprawka temperaturowa Dla poprawki temperaturowej T = 0.1 zauważa się nieznaczne zmiany w profilu gęstości kondensatu i układu BCS dla obu znaków parametru g bf > 0, g bf < 0 Na rys.(2.10) przedstawia się samolokalizację kondensatu w skończonych temperaturach. Słaba zależność od temperatury jest spowodowana faktem, że dla układu fermionów kwazicząstki mające największy wpływ na samolokalizację znajdują się na dnie morza Fermiego. Natomiast efekty temperaturowe są najsilniejsze na powierzchni Fermiego. 2.5 Porównanie miedzy g bf > 0 g bf < 0 Dla dwóch różnych charakterów sprzężeń między fermionami i bozonami istnieje samolokalizacja kondensatu. Mechanizm samolokalizacji warto prześledzić analizując postać deformacji kwazicząstek dla obu przypadków. Dla przyciągających i odpychających oddziaływań największy wpływ na samolokalizację mają kwazicząstki znajdujące się na dnie morza fermiego. Dla g bf > 0, czyli oddziaływań odpychających, wszystkie kwazicząstki składają się na wyżłobienie w gęstości prawdopodobieństwa układu BCS i efektywnie wszystkie dają przyczynek do pułapkującego potencjału powodującego samolokalizację BEC. Dla g bf < 0 mechanizm jest inny. W tym przypadku mamy doczynienia z lokalizacją kwazicząstki z dna morza Fermiego. Jest ona uwięziona w stanie podstawowym potencjału, który

Porównanie wyników z samolokalizacją neutralnej domieszki w Kondensacie Bosego-Einsteina 21 Rysunek 2.8: Wykres σ w zależności od g bf dla g = 1.2. jest sumą potencjału pochodzącego od przyciągających oddziaływań między podukładami BCS i BEC, oraz oddziaływań z pozostałymi cząstkami w układzie. Ta jedna kwazicząstka jest odpowiedzialna za powstanie studni potencjału, w której lokalizuje się kondensat. Na rys.(2.11) przedstawiono samolokalizację dla g bf > 0 oraz g bf < 0 dla tej samej wartości parametru g. Okazuje się, że szerokość rozkładu prawdopodobieństwa dla bozonów dla g bf > 0 ma mniejszą wartość niż dla g bf < 0. 2.6 Porównanie wyników z samolokalizacja neutralnej domieszki w Kondensacie Bosego-Einsteina W pracy [6] autorzy rozważają przypadek samolokalizacji dla M boznow w jednowymiarowym kondensacie Bosego-Einsteina. Tak określony układ jest opisany przez funkcję produktową, na którą składa się: funkcja falowa M atomów oraz funkcja opisująca kondensat N atomów. W publikacji rozważa się samolokalizację dla dodatniego oraz ujemnego sprzężenia (λ ib ) miedzy bozonami,a kondensatem Bosego Einsteina. Autorzy zauważają,że deformacja kondensatu wykazuje wgłębienie w profilu gęstosci dla oddziaływań odpychajacych oraz wzniesienie, gdy kondensat i domieszkowane bozony wzajemne przyciągają się. Autorzy proponują rozwiązania analityczne dla uzyskanych wyników numerycznych. W układzie BCS również obserwuje się zmiany profilu zależne od znaku parametru odziaływania między domieszką, a układem BCS. Różnica między rozważanymi układami polega

22 Samolokalizacja Rysunek 2.9: Porównanie kwazicząstek dla g = 1.2, g bf = 0 oraz g bf = 1.5. Rysunek 2.10: Zależność samolokalizacji od temperatury. W górnych panelach przestawiono funkcję parującą, w środkowych gęstość fermionów. Na najniższych zestwiono profil prawdopodobieństwa gęstości kondensatu. na istnieniu nieskończonego spektrum modów w układzie BCS,które wzajemnie ze sobą oddziałują. W efekcie rozwiązania nie mają symetrii,którą charakteryzowały się rozwiązania dla układu kondensatu i bozonowej domieszki. Analityczne wyniki dla układu BCS i domieszki kondensatu można otrzymać, jeżeli przyjmie się zerowanie parametru g,czyli brak oddziaływań

Realizacja eksperymentalna 23 Rysunek 2.11: Porównie Samolokalizacji g bf > 0 dla g bf < 0 między fermionami. 2.7 Realizacja eksperymentalna Eksperymentalnie układ jednowymiarowy realizuje sie przez zastosowanie silnie anizotropowej podłużnej pułapki.zwężenie otrzymuje się np. przez zastosowanie harmonicznej pułapki o dużej częstości ω, dzięki czemu w ściskanych kierunkach nie są obsadzone stany wzbudzone. Efektywnie otrzymuje się system jednowymiarowy zajmujący ograniczony obszar przestrzenny. Badany model można zrealizować eksperymentalnie,jeżeli zastosuję się np. mieszaninę litu w dwóch różnych stanach elektornowych i domieszki niedużej liczby atomów potasu. W zastosowanych jednostkach 9 parametry oddziaływania przyjmują postać: dla oddziaływania miedzy fermionami g = 2a f ω m f hk f dla oddziałwyaniam między fermionami a kondensatetm g bf = 2a fbω m b hk f Stosując rezonanse Feshbacha można zmieniać wartości długości rozpraszania a. Samolokalizacja istnieje dla g bf = 1.2 oraz g = 1.2. Przyjmując, że ω = 2 π500[hz] oraz 9 4.Jednostki

24 Samolokalizacja L = 50[µm] otrzymuje się następujące wartości: a f = 86[nm], a bf = 24[nm]. Liczba fermionów wynosi odpowiednio : N6 Li 20. Inna bardziej skomplikowana metoda realizacji badanego układu polega na zastosowaniu mieszaniny dwóch różnych atomów gazów fermionowych. Poprzez rezonanse Feshbacha otrzymuje się układ BEC złozony z dwuatomowych molekuł oraz niezwiązanych fermionów. Po ponownym zastosowaniu rezonansów Feschbacha wcześniej niezwiązane fermiony przekształcą się w stan BCS. Proces ten nie wpływa na molekuły BEC.

Rozdział 3 Podsumowanie W powyższej pracy opisano samolokalizację małej domieszki molekuł tworzących kondensat Bosego-Einsteina zanurzony w układzie BCS. Otrzymano następujące rezultaty: 1. Samolokalizacja istnieje dla ujemnych i dodatnich wartości sprzężenia między cząstkami kondensatu, a układem fermionów powyżej pewnej wartości gbf K. Dla ustalonego parametru oddziaływania dla fermionów g = 1.2 krytyczna wartość g bf dla oddziaływań odpychających wynosi dla gbf K = 1, a dla potencjału przyciągającego gk bf = 1.1. 2. Wraz z samolokalizacją kondensatu zaburzenia doznaje profil prawdopodobieństwa gęstości fermionów. Dla g bf > 0 obserwuje się wyżłobienie w profilu gęstości układu BCS; dla g bf < 0 następuje wzniesienie. 3. Samolokalizację kondensatu można obserwować w skończonych temperaturach. Słaba zależność od temperatury jest spowodowana faktem,że dla układu BCS, kwazicząstki mające największy wpływ na samolokalizację znajdują się na dnie morza Fermiego. Natomiast efekty temperaturowe są najsilniejsze na powierzchni Fermiego. Zastosowany model można dowolnie modyfikować. Przede wszystkim badany model można uogólnić na większą liczbę wymiarów. W tym celu trzeba zastosować procedurę normalizacji funkcji, która tylko dla przypadku jednowymiarowego ma skończone wartości. Warto również podobnie jak autorzy [6] rozważyć kwantowe fluktuacje powstające wokół rozwiązań dla stanów podstawowych układu bozonów i fermionów oraz uwzględnić oddziaływania między cząstkami kondensatu. Układ może stanowić ciekawe spektrum do badań eksperymentalnych.

Rozdział 4 Uzupełnienie 4.1 Jednostki W pracy obliczenia dokonywane są w jednostkach energii Fermiego odpowiadającej układowi nieoddziałującyhc fermionów. energia 2E f = h2 k f m f położenie l o = 1 k f 4.2 Formalizm drugiej kwantyzacji Formalizm drugiej kwantyzacji dla opisu wielociałowego jest wynikiem wyboru bazy w postaci stanów Focka.[1] Ogólnie Hamiltonian opisujący stan wielu cząstek przyjmuje postać: Ĥ = i Ĥ 0 ( p i r i ) + 1 V ( r i r j ) (4.1) 2 Pierwszy człon zawierący sumę jednocząstkowych operatorów energii Ĥ.V jest potencjałem oddziaływania. W formaliźmie drugiej kwantyzacji wybiera się bazę stanów Focka, gdzie każdemu wektorowi bazowemu przyporządkowuje się liczbę cząstek w danym stanie jednocząstkowym. i j n 1 n 2... >, Σ j n j = N Stany te są stanami własnymi operatorów liczby cząstek ˆn j. Dla fermionów wartość własna tych operatorów wynosi n j = 0, 1, natomiast stany własne układu bozonów są symetryczne ze względu na zamianę cząstek, dlatego n j może przyjmować każdą dodatnią liczbę całkowitą. Aby otrzymać postać hamiltionianu (4.1) w bazie Focka należy posłużyć się operatorami kreacji â i i anihilacji â i, które spełniają poniższe reguły: KOMUTACJI dla bozonów [â i, â j ] = δ i,j (4.2)

28 Uzupełnienie dlatego â i..., n i... >= n i...n i 1,... > (4.3) â i ] = n i + 1..., n i + 1... > (4.4) ANTYKOMUTACJI dla fermionów [â i, â j ] + = 0 (4.5) [â i, â j ] + = δ i,j (4.6) â i..., n i... >= θ i ni...n i 1,... > (4.7) â i ] = θ i(1 n i ) n i + 1..., n i + 1... > (4.8) Hamiltonian przyjmuje postać: H = i,j < ij V kl >= i 1 θ i = ( 1) v i, v i = n j (4.9) j=1 < i H 0 j > â iâj + 1 < ij V kl > a i a j â i â j (4.10) 2 < i H j >= d 3 r ijkl d 3 rφ i ( r)h 0 ( r)φ j ( r) (4.11) d 3 r φ i ( r)φ j( r )V ( r r )φ k ( r)φ l ( r ) (4.12) gdzie φ i ( r) to jednocząstkowe funkcje falowe zdefiniowane na przestrzeni stanów pojedynczej cząskti. Wygodnie jest posłużyć się operatorem pola bozonowego(fermionowego): ˆψ( r) = i φ i ( r)â i (4.13) ˆψ( r) = i φ i ( r) â i (4.14) Operatory podlegają związkom komutacyjnym lub antykomutacyjnym o postaci: [ ˆψ( r), ˆψ( r )] ± = 0 (4.15) [ ˆψ( r), ˆψ ( r )] ± = δ( r r ) (4.16) [ ˆψ ( r), ˆψ ( r )] ± = 0 (4.17) Jeżeli uwzględnić 4.14 Hamiltonian 4.10 przyjmuje postać: Ĥ = d 3 r ˆψ ( r)ĥ0 ˆψ( r) + 1 2 d 3 r d 3 r ˆψ ( r) ˆψ ( r )V ( r r ) ˆψ( r ) ˆψ( r) (4.18)

Obliczenia numeryczne 29 4.3 Obliczenia numeryczne Do obliczeń numerycznych przyjęto dyskretną przestrzeń położeń. Obszar przestrzeni wynosi l = 20.Definiuje się równo-odległe punkty x i = l + i l, gdzie M = 2000.Taka liczba 2 M punktów pozwala otrzymać około 250 kwazicząstek. Operator różniczkowy w rozpatrywanych układach równań, patrz (2.8), wylicza się metodą pięciopunktowej pochodnej[9] 2 f 0,0 x 2 = 1 12h 2 ( f 2,0 + 16f 1,0 30f 0,0 + 16f 1,0 f 2,0 ) (4.19) Poniżej przedstawia się wykres (4.1) 250 wartości własnych operatora energii kinetycznej wyliczonych posługując się trój- i pięcio-punktowym przybliżeniem operatora drugich pochodnych. Rysunek 4.1: Wartości własne operatora energii kinetycznej 4.4 Przybliżenie lokalne stałej gęstości(lda) Przybliżenie zakłada,że system jest lokalnie jednorodny i nieskończony[7]. Dla T = 0 równanie na przerwę energetyczna ma postać: = g u n (x)vn(x) (4.20) n=1 Dla danego ucięcia Λ wzor (4.20) można przybliżyć przez (x) Λ n=1 u n vn dk (x) + g k >k Λ (x) 2π 2E(k, x) (4.21) ( gdzie E = k 2 + W (x) µ) 2 2 + 2 jest enegią kwazicząstki o pędzie k. E Λ jest energią, której odpowiada pęd k Λ = 2E Λ + 2µ 2W (x). Gdy k Λ jest znacznie większy niż pęd Fermiego k f = 2µ 2W (x), człon podcałkowy w równaniu (4.21) może być rozwinięty względem potęg, ponieważ wszystkie człony tego

30 Uzupełnienie rozwinięcia dają zbieźne całki. Rozważa się tylko dwa wiodące człony. Po scałkowaniu otrzymujemy równanie o postaci: (x) = g co efektywnie prowadzi do Λ u n (x)vn(x) + g (x) ( ) 2πk f (x) ln kλ (x) + k f (x), (4.22) k Λ (x) k f (x) n=1 (x) = g ef (x) Λ u n (x)vn(x), (4.23) n=1 gdzie g ef (x) = 1 g 2πk f (x) g ( ). (4.24) ln kλ (x)+k f (x) k Λ (x) k f (x)

Bibliografia [1] K. Sacha Kondensat Bosego-Einsteina,Instytut Fizyki,Uniwersytet Jagielloński,Kraków, 2004 [2] P.G.de Gennes Superconductivity of Metals and Alloys,Westview press,los Angeles,1966 [3] W.Ketterle, M.W.Zwierlein Proccedings of International of PhysicsCLXIV,95 (2007) [4] A.L. Fetter, J.D.Walecka Kwantowa teoria układow wielu cząstek,2 nd,pwn, Warszawa, 1988 [5] G.D Mahan Many-Particle Physics,Plenium Press,New York, 1981 [6] K.Sacha E.Timmermans Phys.Rev A 73, 063604 (2006) [7] M. Grasso, M. Urban, Phys, Rev.A 68, 033610 (2003) [8] J. Dziarmaga, K. Sacha Laser Phys. 15, 476 (2005) [9] M.Abramowitz,I.A. Stegund Handbook of mathematical functions, 2 nd, Dover Publications,Inc, New York, 1965