Projekt FPP "O" Kosma Jędrzejewski

Transkrypt

1 Projekt FPP "O" Kosma Jędrzejewski --0 Projekt polega na wyznaczeniu charakterystyk gęstości stanów nośników ładunku elektrycznego w obszarze aktywnym lasera półprzewodnikowego GaAs. Wyprowadzenie wzoru na gęstość stanów W celu wyznaczenia wzoru na gęstości stanów ograniczmy rozważania do sześcianu o boku L. Warunki na powstanie fali stojącej w sześcianie narzucają skwantowane wartości wektora falowego k : = k x n x Lx gdzie n x to dowolna dodatnia liczba naturalna. W przestrzeni wektora falowego wszystkie możliwe stany zajmują objętość sfery o promieniu równym długości wektora falowego, czyli V całkowita = 4. Skoro wektor π falowy k ma skwantowane wartości, a każdy kwant ma wymiar to najmniejsza L możliwa objętość - przypadająca na jeden stan - to objętość sześcianu o boku V stanu V całkowita π, czyli L. Aby uzyskać całkowitą liczbę stanów należałoby podzielić przez V stanu, przy czym w V całkowita uwzględniamy tylko tą sfery w której wszystkie składowe 8 wektora k przymują dodatnie wartości oraz przez pomnożenie przez uwzględniamy spin elektronu: k 8 4 N k L k Człon w powyższym równaniu ma sens gęstości stanów, a L to objętość π półprzewodnika. Aby policzyć gęstość stanów w przestrzeni energii należy wykorzystać fakt, że gęstość stanów to różniczka liczby stanów i wyliczyć ją według następującego przepisu: ρ (E) = dn = dn. Najpierw obliczamy pierwszy człon przepisu de dk dk de dn = d k = k, podstawiamy k=, które wzięło się z zależnosci m e E dk dk π dyspersyjnej E(k) = k aby otrzymać w rezultacie m ef Page of 6

2 Projekt FPP "O" Kosma Jędrzejewski --0 dn m e E = E m e. Potem obliczamy drugi człon przepisu dk dk = =. Wymnażając obydwa człony ze sobą de d de m e E m e E m e otrzymujemy wzór na gęstość stanów w półprzewodniku objętościowym: ρ (E) = m e E =. m e E m e m e E π Page of 6

3 Projekt FPP "O" Kosma Jędrzejewski --0 Obliczenia charakterystyk gęstości stanów dla wykresów Niniejszy projekt w całości został napisany w programie Mathcad. Program ten umożliwia wykonywanie obliczeń numerycznych i symbolicznych na wzorach matematycznych zapisanych językiem naturalnym oraz rysowanie wykresów na podstawie tychże wzorów. Napiszę, więc wzory na gęstości stanów, a program Mathcad sam wyliczy charakterystyki gęstości stanów dla określonych parametrów materiału półprzewodnika objętościowego. Jednostki i stałe, które w programie Mathcad trzeba zadeklarować: k B <- elektronowolt <- masa elektronu.8 0 <- stała Boltzmana Właściwości materiału półprzewodnikowego (GaAs): <- masa efektywna elektronów 0.55 <- masa efektywna dziur E g.4 <- szerokość przerwy zabronionej Obliczenia energetycznego modelu pasmowego półprzewodnika: 0 E v E g <- dolna krawędź pasma przewodnictwa <- górna krawędź pasma walencyjnego Dodatkowe założenia: E fn E fp E v T 00 <- energia Fermiego dla elektronów na krawedzi pasma przewodnictwa <- energia Fermiego dla dziur na krawedzi pasma walencyjnego <- temperatura pokojowa Obliczenia gęstości stanów elektronowych w paśmie przewodzenia: ρ c (E) E Page of 6

4 Projekt FPP "O" Kosma Jędrzejewski --0 Obliczenia gęstości stanów dziurowych w paśmie walencyjnym: ρ v (E) E v E Obliczenia rozkładu prawdopodobieństwa Fermiego dla elektronów i dziur: f c (E) exp E E fn + T k B f v (E) exp E E fp + T k B Obliczenia ważonej gęstości stanów elektronowych w paśmie przewodzenia: ρ cw (E) ρ c (E) f c (E) Obliczenia ważonej gęstości stanów dziurowych w paśmie walencyjnym: ρ vw (E) ρ v (E) f v (E) Zakresy energii dla wykresów: E 0, E.8,.79. Wykresy charakterystyk gęstości stanów Na poniższym wykresie wykreślamy gęstość stanów (niebieska linia), funkcję Fermiego- Diraca (linia czarna przerywana) i ważoną gęstość stanów (linia czerwona) dla elektronów w funkcji energii: ρ c E f c E 0 ρ cw E 0 E ( ) Page 4 of 6

5 Projekt FPP "O" Kosma Jędrzejewski --0 Na poniższym wykresie wykreślamy gęstość stanów (niebieska linia), funkcję Fermiego- Diraca (linia czarna przerywana) i ważoną gęstość stanów (linia czerwona) dla dziur w funkcji energii: ρ v E 0 f v E 0 ρ vw E E ( ) Przydatność charakterystyk gęstości nośników i stanów Pole pod ważoną gęstością stanów nośników (pole pod czerwoną krzywą na wykresach) odpowiada obsadzeniu stanów przez te nośniki w poszczególnych pasmach. Można obliczyć to pole dla elektronów w pasmie przewodzenia oraz dla dziur w pasmie walencyjnym jak pokazano poniżej. Koncentracja elektronów w pasmie przewodzenia: n + 0. E d exp E E E fn + k B T n = Koncentracja dziur w pasmie walencyjnym: p.8 E v E v E d exp E E fp + k B T E p = Page 5 of 6

6 Projekt FPP "O" Kosma Jędrzejewski --0 Jeśli znamy gęstość elektronów i dziur w pasmach, to możemy wyznaczyć różnicę liczby (na jednostkę czasu i objętości) przejść wymuszonych elektronów z pasma przewodnictwa i absorbcyjnych elektronów z pasma walencyjnego, jeśli tylko znamy prawdopodobieństwa tych procesów. Jeśli ta różnica będzie dodatnia, wtedy ośrodek będzie wzmacniał, jeśli nie będzie absorbował. Gęstości stanów mogą posłużyć do wyznaczenia współczynnika wzmocnienia ośrodka aktywnego. Bibliografia: Bernard Ziętek Lasery Wydanie II Wydawnictwo Naukowe UMK Toruń King_Notes_Density_of_States_DD0D.pdf (dostęp 06--0) Page 6 of 6