Harmoniki sferyczne. Dodatek C. C.1 Wprowadzenie. Całka normalizacyjna I p (n)

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 1 Doatek C Harmoniki sferyczne C.1 Wprowazenie Harmoniki sferyczne są funkcjami specjalnymi pojawiającymi się w wielu zaganieniach fizyki. W poręcznikach fizyki matematycznej są one zazwyczaj wyprowazane i omawiane w kontekście cząstkowych równań różniczkowych np. w elektroynamice, przy rozwiązywaniu równania Poissona la skończonego rozkłau łaunków. Przestawiona w tym rozziale yskusja kłazie zasaniczy nacisk na fakt, że harmoniki sferyczne są w reprezentacji położeniowej funkcjami własnymi operatora orbitalnego momentu pęu. W związku z tym, posługujemy się tu ość specyficznymi metoami rachunkowymi. W rozziale 13 pokazaliśmy, że harmoniki sferyczne są postaci Y lm θ, ϕ θ ϕ l m e imϕ F lm θ. C.1 Co więcej, znaleźliśmy jawne wyrażenie la przypaku maksymalnego m m max l otrzymując Y l l θ, ϕ 1l! 2 l e ilϕ sin θ l, C.2 l! i wskazaliśmy, że harmoniki z mniejszymi wartościami liczby m uzyskać możemy stosując wielokrotnie operator obniżający L. Oczywiście z C.2 natychmiast wynikają proste przypaki szczególne 1 Y θ, ϕ, C.3a 3 3 Y 1 1 θ, ϕ 1 2 2π eiϕ sin θ Y 2 2 θ, ϕ 1 12 8 e2iϕ sin 2 θ, 8π eiϕ sin θ, 15 32π e2iϕ sin 2 θ. C.3b C.3c Obliczenia y ll anego w C.2 musimy tutaj uzupełnić. Chozi o obliczenie całki normalizacyjnej 13.6 i o yskusję wyboru fazy. Ten rugi aspekt ołożymy na później najpierw wyprowazimy ogólną postać harmonik la owolnego m. C.1.1 Całka normalizacyjna I p n Konstruując harmoniki sferyczne, o normalizacji funkcji Y l l θ, ϕ potrzebowaliśmy całki I 1 l zefiniowanej jako I 1 l 1 x 1 x 2 l. C.4 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 1

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 11 Obliczymy całkę nieco ogólniejszą, a mianowicie wykażemy, że zachozi relacja I p n p x p 2 x 2 n p 2n+1 2n!! 2n + 1!! p 2n+1 2 n n! 2 2n + 1!, C.5 gzie liczba p 1, zaś n naturalna. Bęziemy szukać relacji rekurencyjnej spełnianej przez te całki ze wzglęu na ineks n. W oczywisty sposób mamy p I p n x p 2 x 2 p 2 x 2 n 1 p 2 I p n 1 p x x 2 p 2 x 2 n 1. C.6 Całkę występującą w powyższej relacji obliczamy przez części. Bierzemy gx x oraz f x xp 2 x 2 n 1 zatem fx p 2 x 2 n /2n. Otrzymujemy więc p x x 2 p 2 x 2 n 1 x p 2 x 2 n p 2n + p x 1 2n p 2 x 2 n. Ponieważ człon brzegowy znika, więc uzyskaną całkę możemy postawić o wzoru C.6 I p n p 2 I p n 1 1 2n I pn, a więc otrzymujemy poszukiwaną relację rekurencyjną I p n 2n 2n + 1 p2 I p n 1. Prosta inukcja prowazi o wniosku, że I p n 2n!! 2n + 1!! p 2n I p. Całka I p jest trywialnie prosta o obliczenia C.7 C.8 C.9 C.1 I p p x p. Łącząc wa ostatnie rezultaty, otrzymujemy I p n p x p 2 x 2 n 2n!! 2n + 1!! p 2n+1. Proste przekształcenia współczynnika kombinatorycznego pozwalają napisać C.11 C.12 I p n 2n!! 2 2n + 1! p 2n+1 2n n! 2 2n + 1! p 2n+1. C.13 A zatem teza C.5 poana na wstępie jest uowoniona. Na zakończenie zauważmy, że łatwo zastosować uzyskany wynik C.12 o przypaku, w którym wykłanik n przechozi w liczbę połówkową n 2k 1/2. Otrzymujemy wtey I p 2k 1 2 p x 2k 1!! 2k!! p 2 x 2 2k 1/2 p 2k 2k 1!! 2 k k! p 2k. C.14 Oczywiście całkę normalizacyjną harmoniki sferycznej Y l l otrzymujemy z powyższych formuł kłaąc po prostu p 1. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 11

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 12 C.2 Wyprowazenie postaci Y l m θ, ϕ la m < l C.2.1 Zastosowanie operatora obniżającego Mając Y l l θϕ możemy, stosując operator obniżający L, obniżać liczbę m. Operator L ziałając na stan lm aje L l m ll + 1 mm 1 l, m 1 l m + 1l + m l, m 1. C.15 Wobec tego k-krotne zastosowanie operatora L / o stanu l l proukuje k l l l, l k. C.16 Kłaąc l k m otrzymamy l m L l l l, m, C.17 gzie trzeba wyznaczyć stałą proporcjonalności. Lemat C.1 k l m-krotne ziałanie operatora L / na stan l l aje l m l l! l m! l m, C.18 gzie m < l, lecz m l. Dowó. Stosujemy inukcję wzglęem m malejącego o m max C.18 la m l ale po prostu l o m min l. Relacja l l! l + l! l l, C.19 czyli tożsamość. Zakłaamy, że C.18 jest spełnione la pewnego m. Baamy jej słuszność la m o jeen mniejszego, tj. la m 1. A więc l m 1 l l Z założenia inukcyjnego l m 1 l l l m L l l. C.2! l m! l m. C.21 Na mocy C.15 mamy alej l m 1 l l! l m!! l m + 1! l + m 1! l m + 1l + m l, m 1 l, m 1, C.22 co stanowi tezę la m 1. Na mocy zasay inukcji lemat jest uowoniony. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 12

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 13 Z wykazanego wzoru C.18 wynika więc, że l m L Y l m θ, ϕ θ ϕ l m θ ϕ l, l! l m! l m L Y l lθ, ϕ! l m! e iϕ! l m! θ + i ctg θ l m Y l lθ, ϕ, C.23 gzie wykorzystaliśmy postać 13.34c operatora obniżającego w reprezentacji położeniowej. Postawiamy teraz Y l l θ, ϕ weług C.2 otrzymując Y l m θ, ϕ 1l l m! e iϕ θ + i ctg θ l m e ilϕ sin θ l. C.24 Musimy teraz zbaać ziałanie l m-tej potęgi operatora różniczkowego L / na funkcje stojące po jego prawej stronie. C.2.2 Operator L / k w reprezentacji położeniowej Najpierw wyrażenie, w którym operator L / ziała jenokrotnie. Zatem L e ilϕ sin θ l e iϕ θ + i ctg θ e ilϕ sin θ l e il 1ϕ sin θl l cos θ sin θl θ sin θ C.25 Wprowazimy teraz pożyteczne oznaczenie, które bęziemy stosować w alszych rozważaniach, wtey gy bęzie to wygone. Zamienimy zmienną, pisząc ξ cos θ, θ ξ θ ξ sin θ ξ. C.26 Po takiej zamianie z C.25 ostajemy Zauważmy teraz, że e ilϕ sin θ l e il 1ϕ sin θ sin θl ξ eil 1ϕ sin θ l 1 sin θ l sin θl ξ l cos θ sin θl sin θ l cos θsin θ l 2 sin θ l. C.27 ξ sin θl ξ 1 ξ2 l/2 l 2 1 ξ2 l/2 1 2ξ l cos θ sin θ l 2. C.28 Wykorzystując C.28 w C.27 ostajemy L e ilϕ sin θ l eil 1ϕ sin θ l 1 sin θ l eil 1ϕ sin θ l 1 ξ sin θ, ξ sin θl + ξ sin θl sin θ l C.29 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 13

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 14 co wynika z elementarnych zasa różniczkowania. Uogólniamy rezultat C.29 pisząc k e ilϕ sin θ l eil kϕ sin θ l k eil kϕ sin θ l k k sin θ ξk k cos θ k sin θ. C.3 Formuła ta została już sprawzona la k 1. Uowonimy ją przez inukcją. Zakłaamy słuszność C.3 la pewnego k i baamy tezę la k + 1. L k e ilϕ sin θ l k+1 e ilϕ sin θ l e iϕ θ + i ctg θ e il kϕ sin θ l k k ξ k sin θ, gzie skorzystaliśmy z założenia inukcyjnego. Dalej otrzymujemy { k+1 L e ilϕ sin θ l e iϕ e il kϕ 1 k θ sin θ l k sin θ ξk e il k 1ϕ { e il k 1ϕ { + i ctg θ sin θ ξ l k il k eil kϕ sin θ l k 1 ξ 2 cos θ sin θ l k+1 sin θ ξ 1 ξ2 l k/2 k sin θ ξk } l k/2 k sin θ k ξ k sin θ ξk } k sin θ ξk C.31 Obliczamy pochoną w pierwszym skłaniku ξ 1 ξ2 l k/2 l k 2 + sin θ 1 ξ 2 l k l k/2 k+1 sin θ ξk+1 } cos θ sin θ l k+1 k sin θ ξk. C.32 1 ξ 2 l k/2 1 2ξ ξl k 1 ξ 2 l k+2/2 l k cos θ sin θ l k+2 l k cos θ sin θ l k+2. C.33 Wstawiając tą pochoną o C.32 wizimy, że pierwszy i trzeci skłanik wzajemnie się znoszą. Mamy więc k+1 e ilϕ sin θ l e il k+1ϕ sin θ k+1 sin θ l k sin θ ξk+1 e il k+1ϕ 1 sin θ l k+1 k+1 ξ k+1 sin θ. C.34 Wyrażenie to pokrywa się z tezą C.3 wziętą la k + 1. Na mocy zasay inukcji, równość C.3 jest uowoniona. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 14

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 15 C.2.3 Harmoniki Y l m θ, ϕ Wypiszmy uowonioną relację C.3 la k l m: l m L e ilϕ sin θ l eimϕ l m sin θ m ξ l m sin θ, i zastosujmy w wyrażeniu C.24 la harmonik sferycznych Y lm θ, ϕ 1l e imϕ l m l m! sin θ m cos θ l m sin θ, C.35 C.36 co stanowi końcowy wynik, określający postać harmonik sferycznych la owolnego l oraz la liczby m w opowienim zakresie, tj. l m l. Bez truu sprawzamy, że wzór ten, la l m, o razu sprowaza się o wcześniej obliczonej harmoniki Y l l anej w C.2. C.3 Jawne obliczenia pewnych harmonik sferycznych A. Harmoniki Y l, l θ, ϕ Wyliczmy z C.36 harmonikę z m l, a więc Y l, l θ, ϕ 1l! e ilϕ! sin θ l ξ 1 ξ 2 l, C.37 gzie jak zwykle w tym rozziale ξ cos θ. Wyrażenie 1 ξ 2 l jest wielomianem zmiennej ξ, w którym w najwyższej potęze mamy ξ 2 l 1 l ξ, co wynika z rozwinięcia wumianu Newtona. Wkła o pochonej rzęu sl a jeynie owa najwyższa potęga ξ. Dlatego też ξ 1 ξ 2 l ξ 1l ξ 1 l!. C.38 Wykorzystując pochoną w C.37 otrzymujemy Y l, l θ, ϕ 1l 1! 1 B. Inna postać Y l l θ, ϕ! e ilϕ sin θ l. Weźmy po uwagę Y l l θ, ϕ. Zgonie z C.2 mamy Y l l θ, ϕ 1l! 2 l e ilϕ sin θ l l! 1 e iϕ sin θ 2 l 1 l 1 2 l 1 l 1! e ilϕ sin θ l 1 l! 1 + 1! e il 1ϕ sin θ l 1. W ostatniej linii o razu rozpoznajemy harmonikę Y l 1 l 1 θ, ϕ i tym samym piszemy Y l l θ, ϕ e iϕ sin θ Y l 1,l 1 θ, ϕ. C.39 C.4 C.41 Poobne formuły rekurencyjne, pozwalające wyrazić harmoniki o większych ineksach prze te o ineksach niższych bywają pożyteczne w praktycznych obliczeniach. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 15

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 16 C. Harmoniki Y l,l 1 θ, ϕ Po raz kolejny bierzemy ogólną formułę C.36, w której kłaziemy m l 1 i ostajemy Y l,l 1 θ, ϕ 1l Obliczenie pochonej jest proste 1! e il 1ϕ sin θ l 1 ξ 1 ξ2 l. C.42 ξ 1 ξ2 l ξ 1 ξ 2 l 1 cos θ sin θ 1 C.43 i po postawieniu o C.42 otrzymujemy Y l,l 1 θ, ϕ 1 l 1 2 l 1 l 1! 1! e il 1ϕ cos θ sin θ l 1. C.44 Ze wzoru tego wynikają szczególne przypaki la l 1 i l 2, a mianowicie 3 Y 1 θ, ϕ Y 21 θ, ϕ 1 2 cos θ, C.45 5 15 6 eiϕ cos θ sin θ 8π eiϕ cos θ sin θ. C.46 Wzór C.44 bywa też przyatny w nieco innej postaci. Przekształcając go, ostajemy Y l,l 1 θ, ϕ 1 l 1 1! cos θ 2 l 1 e il 1ϕ cos θ sin θ l 1 l 1! cos θ Y l 1,l 1 θ, ϕ, C.47 gzie rozpoznaliśmy harmonikę Y l 1,l 1. Wzór ten zapiszemy w postaci cos θ Y l 1,l 1 θ, ϕ 1 Y l,l 1 θ, ϕ. C.48 Jest to kolejny, pożyteczny związek łączący harmoniki o różnych wartościach ineksów. D. Harmoniki Y l,l 2 θ, ϕ Ponownie bierzemy formułę C.36, tym razem kłaziemy m l 2 i ostajemy Y l,l 2 θ, ϕ 1l 2! 2! e il 2ϕ 2 sin θ l 2 ξ 2 1 ξ2 l. C.49 Znów musimy obliczyć pochoną 2 ξ 2 1 ξ2 l ξ 1 ξ 2 l 1 ξ 1 ξ 2 l 1 + ξ l 11 ξ 2 l 2 2ξ 1 ξ 2 l 2 1 ξ 2 2 ξ 2 l 1 1 ξ 2 l 2 1 1 ξ 2 1 1 cos 2 θ sin θ 2. C.5 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 16

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 17 Postawiając obliczoną pochoną o C.49 ostajemy Y l,l 2 θ, ϕ 1l 1 2 l 1 l 1! Stą, w szczególności wynika Y 2 θ, ϕ 1 2 5 2 8π 2! e il 2ϕ sin θ l 2 1 1 cos 2 θ 8π 1 3 cos 2 θ 5 2 16π C.51 1 3 cos 2 θ. C.52 W tym przypaku warto także zająć się formułą C.51. Przepisujemy ją w postaci 1 Y l,l 2 θ, ϕ 2 1 1 cos 2 θ 1 2 1l 2 3! e il 2ϕ sin θ l 2 4l 1 2 l 2 l 2! 1 cos 2 θ 1 Y l 2,l 2 θ, ϕ, C.53 bowiem w pierwszej równości rozpoznaliśmy harmonikę Y l 2,l 2. Relacja powyższa stanowi kolejny, przyatny związek pomięzy harmonikami sferycznymi o różnych ineksach. C.4 Inny sposób konstrukcji Harmoniki sferyczne C.36 wyprowaziliśmy wychoząc z warunku L + l l, gzie m l j4est maksymalne. Równie obrze moglibyśmy rozpocząć o stanu l, l z minimalną opuszczalną wartością m. Opowieni warunek miałby postać L l, l, który w reprezentacji położeniowej sprowaza się o równania e iϕ θ + i ctg θ Y l, l θ, ϕ. Ponieważ weług C.1 Y l, l θ, ϕ e ilϕ F l, l θ, więc równanie C.54 reukuje się o C.54 F l, l θ θ l ctg θ F l, l θ, C.55 a więc ientycznego z 13.52. Postać rozwiązania także bęzie ientyczna, czyli zamiast 13.56 mamy teraz F l, l θ C l sin θ l. Normowanie przebiega również ientycznie, co prowazi o rezultatu Y l, l θ, ϕ eiα! e ilϕ sin θ l. C.56 Normowanie nie pozwala ustalić fazy. W poprzenim wypaku fazę ustaliśmy okonując pewnego wyboru. Tutaj możemy postąpić analogicznie, żąając e iα 1, po to aby zachować zgoność ze wzorem C.39. Mając więc Y l, l θ, ϕ 1! e ilϕ sin θ l, C.57 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 17

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 18 możemy konstruować harmoniki sferyczne o coraz większym m. Oczywiście w tym przypaku musimy posłużyć się operatorem ponoszącym L+ l m ll + 1 mm + 1 l, m + 1 l + m + 1l m l, m + 1. C.58 Operator ten spełnia relację L+ l+m l, l! l m! l m, C.59 której owó tak jak w lemacie C.18 przeprowazimy przez inukcję, rozpoczynając o m l, a potem iąc w kierunku rosnących m. Następnie otrzymujemy formułę analogiczną o C.23 l m! l+m L+ Y l m θ, ϕ θ ϕ l m Y l, lθ, ϕ! l m! e iϕ! θ + i ctg θ l+m Y l, lθ, ϕ, C.6 co po wykorzystaniu w C.57 prowazi o wyrażenia Y l m θ, ϕ 1 l m! e iϕ θ + i ctg θ l+m e ilϕ sin θ l, C.61 w pełni analogicznego o C.24. Działanie potęg operatora L + / na funkcję stojącą z prawej możemy obliczać tak samo jak w obliczeniach prowazących o wzoru C.3. Możemy jenak postąpić inaczej, zauważając że w reprezentacji położeniowej L+ k e ilϕ sin θ l L k e ilϕ sin θ l. C.62 Korzystając teraz z C.3 otrzymujemy oczywiście ξ cos θ L+ k e ilϕ sin θ l e il kϕ sin θ l k 1 k e il kϕ sin θ l k k sin θ ξk k ξ k sin θ, C.63 bowiem operator różniczkowania zmienia znak przy sprzężeniu hermitowskim tyle razy ile wynosi jego rzą. Zapisując C.63 la k l + m mamy L+ l+m e ilϕ sin θ l 1 l+m e imϕ sin θ m l+m ξ l+m sin θ, C.64 co z kolei jest analogiem C.35. Stosując teraz C.64 w C.61 otrzymujemy następujące wyrażenie la harmonik sferycznych Y l m θ, ϕ 1l+m l m! e imϕ sin θ m l+m cos θ l+m sin θ. C.65 co jest wyrażeniem nieco innym niż C.36, lecz w pełni równoważnym. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 18

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 19 C.5 Harmoniki i ich sprzężenia zespolone Mamy wie równoważne efinicje Y lm θ, ϕ 1l l m! e imϕ sin θ m l m sin θ C.66 cos θ l m lub Y lm θ, ϕ 1l+m l m! e imϕ sin θ m l+m sin θ C.67 cos θ l+m Obliczając sprzężenie zespolone określenia C.66 mamy Ylm 1l θ, ϕ l m! e imϕ sin θ m l m ξ l m sin θ. C.68 Weźmy teraz rugi wzór, tj. C.67, w którym położymy m zamiast m. Otrzymamy w ten sposób Y l, m θ, ϕ 1l m l m! e imϕ sin θ m l m ξ l m sin θ C.69 Zestawiając wa powyższe wzory wizimy, że Y lmθ, ϕ 1 m Y l, m θ, ϕ, C.7 wystarczy więc obliczać harmoniki sferyczne tylko la m nieujemnych. Harmoniki o ujemnym ineksie m otrzymujemy przez sprzężenie zespolone i opasowanie znaku. C.6 Relacja rekurencyjna la harmonik sferycznych Uowonimy teraz następującą relację rekurencyjną la harmonik sferycznych l + m + 1l m + 1 Y lm θ, ϕ cos θ Y l+1,m θ, ϕ + 3 l + ml m + Y l 1,m θ, ϕ 1. C.71 Dowó tego wzoru jest osyć żmuny, mimo to warto go uważnie prześlezić. Najpierw jenak wykażemy kilka stwierzeń pomocniczych Lemat C.2 Dla operatora obniżającego w reprezentacji położeniowej zachozi następująca relacja komutacyjna L, cos θ e iϕ sin θ. C.72 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 19

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 2 Dowó. Niech f fθ, ϕ oznacza owolną funkcję falową zależną o zmiennych kątowych. Obliczamy ziałanie komutatora na funkcję f L, cos θ L L fθ, ϕ cos θ f cos θ f Po skróceniu mamy e iϕ θ + i ctg θ cos θ f cos θ e iϕ θ + i ctg θ e iϕ sin θ f cos θ f θ L, cos θ fθ, ϕ e iϕ sin θ fθ, ϕ. Z owolności funkcji f wynika teza C.72. + e iϕ cos θ f θ f + i ctg θ cos θ f i ctg θ cos θ Lemat C.3 Dla operatora obniżającego w reprezentacji położeniowej zachozi także L, e iϕ sin θ. C.73 C.74. C.75 Dowó. Jak poprzenio, la owolnej funkcji falowej g gθ, ϕ mamy L, e iϕ sin θ gθ, ϕ e iϕ θ + i ctg θ bowiem wszystkie człony się znoszą parami. e 2iϕ sin θ e iϕ sin θ g θ + i ctg θ e iϕ e iϕ sin θ g + i cos θ θ + e 2iϕ sin θ g θ i cos θ g e 2iϕ cos θ g sin θ g θ + i cos θ g e iϕ g i g + g + e 2iϕ sin θ g g i cos θ θ, C.76 Lemat C.4 Dla k N zachozi w reprezentacji położeniowej relacja komutacyjna L k, cos θ k k 1 e iϕ sin θ. C.77 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 2

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 21 Dowó. Przez inukcję. Teza la k 1 jest uowoniona w C.72. Przyjmujemy C.77 za prawziwe la pewnego k i baamy la k + 1 L k+1 k k L L L L, cos θ, cos θ +, cos θ k 1 k L L k e iϕ sin θ + e iϕ L sin θ k L k + 1 e iϕ sin θ. C.78 Pierwsza równość wynika z własności komutatorów, ruga z C.72 i z założenia inukcyjnego, a trzecia z faktu, że funkcja e iϕ sin θ i operator L komutują. Otworzyła się teza la k + 1 co, na mocy zasay inukcji, kończy owó. Uowonione wzory zastosujemy o analizy wyrażenia cos θ Y lm θ, ϕ. Dla skrócenia notacji bęziemy pomijać argumenty harmonik sferycznych. Na mocy relacji C.23 piszemy cos θ Y lm! l m! cos θ l m Y l l. C.79 Stosując komutator C.77 la k l m, otrzymujemy L l m cos θ Y lm cos θ Y l l! l m! l m 1 L l m e iϕ sin θ Y l l. C.8 Następne kroki polegają na przekształceniu funkcji na które ziałają potęgi operatora obniżającego L. Najpierw skorzystamy z C.48, w którym zamieniamy l l + 1, a zatem cos θ Y l,l 1 + 3 Y l+1,l. Natomiast z C.41 wynika, że e iϕ sin θ Y l l sin 2 θ Y l 1,l 1 Y l 1,l 1 + I alej, z C.53 po zamianie l l + 1 otrzymujemy + 3 Y l+1,l 1 cos 2 θ 1 4l Y l 1,l 1 cos 2 θ Y l 1,l 1. C.81 C.82 C.83 ską, po elementarnych przekształceniach ostajemy 1 4l + 3 Y l+1,l 1 + Y l 1,l 1 cos 2 θ Y l 1,l 1. C.84 Wobec tego z C.82 po postawieniu C.84 ostajemy e iϕ sin θ Y l l Y l 1,l 1 + 1 4l + 3 Y l+1,l 1 + Y l 1,l 1 C.85 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 21

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 22 W wyrażeniu tym występują tylko wie harmoniki sferyczne. Uporząkowanie współczynników prowazi o e iϕ 2 sin θ Y l l Y l+1,l 1 + 3 Y l 1,l 1. C.86 I teraz postawiamy wzory C.81 i C.86 o formuły C.8 ostając 1 l m L cos θ Y lm Y l+1,l! l m! + 3 2 l m 1 L l m Y l+1,l 1 + 3 l m 1 L + l m Y l 1,l 1. C.87 Na postawie C.76 w reprezentacji położeniowej po zamianie l l 1, mamy l m 1 Y l 1,l 1 2! l m 1! l + m 1! Y l 1, m, C.88 co pozwala przekształcić ostatni człon w C.87 l m 1 L l m Y l 1,l 1! l m! 2! l m 1! l m Y l 1,m! l m! l + m 1! l + m l m 1 l m Y l 1,m l + ml m 1 Y l 1,m. C.89 Postawiając teraz C.89 zamiast ostatniego skłanika o C.87 ostajemy L l m cos θ Y lm Y l+1,l + 3! l m! l m 2 l m 1 L Y l+1,l 1 + l + ml m 1 Y l 1,m. C.9 Porównując powyższy wzór z naszą tezą C.71 wizimy, że jena jej część jest już "gotowa". Pozostaje rozważyć pierwsze wa skłaniki C.9. W tym celu znów wracamy o wzoru C.18, w którym zamieniamy l l + 1 i wtey l+1 m L + 2! l m + 1! Y l+1,l+1 Y l+1,m. C.91 l + m + 1! S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 22

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 23 Połóżmy teraz m l, wobec tego ostajemy L Y l+1,l+1 + 2!! Y l+1,l + 1 Y l+1,l. C.92 Stą oczywiście wynika, że Y l+1,l 1 + 1 Y l+1,l+1. C.93 Weźmy ponownie C.91 ale tym razem la m l 1, zatem 2 Y l+1,l+1 2 + 2!! Y l+1,l 1 2 + 2 Y l+1,l 1. C.94 Wobec tego mamy Y l+1,l 1 1 2 + 2 Y l+1,l+1. C.95 Mamy już wszystko co potrzeba o obliczenia pierwszego skłanika w C.9. Wstawiamy o niego C.93 i C.95 i ostajemy L l m 2 l m 1 L Y l+1,l l m Y l+1,l 1 + 3! l m! 1 l+1 m L Y l+1,l+1 + 3! l m! + 1 2 1 l+1 m L l m Y l+1,l+1. C.96 2 + 2 Oba człony zawierają tę samą potęgę operatora L, która ziała na tę samą harmonikę sferyczną. Można więc te wielkości wyłączyć z nawiasu kwaratowego, w którym zostanie jeynie czynnik liczbowy. Porząkując ten czynnik, wyrażamy pierwszy skłanik wzoru C.9 w postaci l + m + 1 l+1 m L Y l+1,l+1 + 2 + 3! l m! + 2 + 3! l m! l + m + 1 + 2! l + 1 m! l + 1 + m! Y l+1,m, C.97 gzie po prawej stronie równości wykorzystaliśmy C.18 wzięte po zamianie l + 1. Dokonując uproszczeń w czynnikach liczbowych sprowazamy pierwszy skłanik wzoru C.9 o 1 + 2 + 3 l + m + 1 + 2 l + 1 m l + 1 + m l + m + 1 l m + 1 Y l+1,m + 3 Y l+1,m C.98 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 23

3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 24 I wreszcie, uproszczony pierwszy skłanik wzoru C.9 postawiamy na jego miejsce tj. o C.9 i w końcu otrzymujemy cos θ Y lm l + m + 1 l m + 1 + 3 Y l+1,m + l + ml m 1 Y l 1,m, C.99 co okłanie pokrywa się z równością C.71. Pracochłonne i skomplikowane wyprowazenie jest więc zakończone. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 24