jest więc blisko 2000 razy mniejsza niż masa nukleonu. Masa zredukowana elektronu w atomie 1 m e M
|
|
- Judyta Szymczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Atom wooropoobny 161 Rozział 15 Atom wooropoobny UWAGA : W rozziale tym traktujemy elektron jako cząstkę bezspinową. Innymi słowy, nie bierzemy po uwagę faktu, że elektron posiaa spin 1/. W alszych rozziałach rozważymy znaczenie spinu i omówimy jak jego uwzglęnienie moyfikuje otrzymane tutaj rezultaty Wprowazenie Atom skłaa się z jąra i elektronów. Jako całość jest elektrycznie obojętny, łaunek jąra i chmury elektronowej wzajemnie się znoszą. W skła jąra wchozą protony i neutrony zwane haronami, bowiem są one związane siłami jąrowymi oziaływania silne, których natury i własności nie bęziemy tu omawiać). Masy protonu i neutronu wynoszą m P = kg, m N = kg. 15.1) Masę jąra atomowego można w przybliżeniu wyliczyć ze wzoru M = A Z)m N + Zm P, 15.) gzie A liczba masowa, Z liczba atomowa łaunek jąra). Na ogół masa jąra jest nieco mniejsza niż M wynikająca ze wzoru 15.). Wiąże się to z tzw. efektem masy obecnym ze wzglęu na energię wiązania nukleonów w jąrze. Masa elektronu wynosi m e = kg, 15.3) jest więc blisko razy mniejsza niż masa nukleonu. Masa zreukowana elektronu w atomie µ = Mm e M + m e = m e m e /M m e 1 m e M ), 15.4) niewiele się różni o masy elektronu. Rozmiary jąra atomowego są około 5 rzęów wielkości mniejsze niż rozmiary atomu jako całości. Dlatego też potraktujemy jąro jako obiekt punktowy obarzony masą M i łaunkiem Ze. Jąro jest źrółem coulombowskiego pola elektrycznego, w którym znajuje się elektron. Energia potencjalna elektronu w tym polu ana jest wzorem V r) = β r, gzie β = Ze 4πε. 15.5) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 161
2 Atom wooropoobny 16 Rozważać tu bęziemy atom złożony z elektronu i jąra, które uznajemy za cząstki punktowe obarzone masą i łaunkiem elektrycznym). Jest to więc ukła wóch ciał, które oziałują za pośrenictwem potencjału centralnego. Rezultaty poprzeniego rozziału mogą więc z powozeniem być zastosowane o opisu atomu wooropoobnego. Założymy, że atom jako całość spoczywa tzn. jego śroek masy jest nieruchomy, co zresztą nie ma tu większego znaczenia). Ruch wzglęny elektronu wzglęem śroka masy, praktycznie pokrywającego się z jąrem atomu) opiszemy za pomocą hamiltonianu H = p µ β r, 15.6) co jak wiemy, sprowazi się o analizy opowieniego raialnego równania Schröingera. 15. Stabilność atomu Dyskusja klasyczna Zanim przejziemy o kwantowo-mechanicznego opisu atomu rozważmy przez chwilę moel klasyczny. W moelu tym elektron krąży po orbicie la prostoty kołowej) wokół jąra atomowego. Siła Coulomba spełnia rolę siły ośrokowej, zatem µv r = β r, 15.7) gzie v prękość elektronu, zaś r promień orbity. Obliczając z tego równania pę elektronu p = µv znajujemy jego energię kinetyczną E kin = p µ = β r. 15.8) Wobec tego całkowita energia elektronu w klasycznym atomie to E tot = E kin + E pot = β r β r = β r. 15.9) Energia E tot nie jest ograniczona z ołu, bo r może być owolnie małe. Elektron poruszający się po orbicie kołowej porusza się z przyspieszeniem ośrokowym). Elektroynamika klasyczna mówi, że łaunek poruszający się z przyspieszeniem emituje fale elektromagnetyczne. Fale te unoszą energię, którą traci elektron. Energia elektronu ujemna) coraz barziej maleje, więc r maleje. Elektron na orbicie o promieniu r jest niestabilny, i w końcu spaa na jąro. A więc w moelu klasycznym rozmiary atomu powinny być takie same jak rozmiary jąra. Stwierzenia te są ewientnie sprzeczne z oświaczeniem. Rozmiary atomu są o kilka rzęów wielkości większe niż jąra wskazuje na to słynne oświaczenie Rutherfora). Wizimy więc, że fizyka klasyczna nie może poprawnie opisać struktury atomu Dyskusja kwantowo-mechaniczna Na gruncie mechaniki kwantowej można przeprowazić barzo proste oszacowania wskazujące, że atom jest stabilny. Elektron w atomie posiaa pewien śreni pę p i znajuje się w pewnej śreniej oległości r o jąra. Obie te śrenie możemy z grubsza) przyjąć jako charakterystyki rozmycia obu wielkości, które muszą spełniać zasaę nieoznaczoności p r = p r. 15.1) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 16
3 Atom wooropoobny 163 Oszacowanie 15.1) pozwala stwierzić, że energia kinetyczna elektronu E kin p µ µ r ) Szacując teraz energię całkowitą, mamy E tot = E kin + E pot µ r β r. 15.1) bowiem E kin zastąpiliśmy zgonie z 15.11) ) czymś większym. Pokreślmy, że prowazimy tu jeynie oszacowania rzęów wielkości, a nie ścisłe obliczenia np. szacujemy 1/r jako 1/ r, a nie ściśle przez r 1 ). Zbaajmy teraz okłaniej wyrażenie stojące po prawej stronie nierówności 15.1). Wprowaźmy w tym celu funkcję fx) = µx β x ) Nietruno sprawzić, że funkcja ta ma minimum, bowiem f x) = β x µx 3 =, la x = µβ ) Wartość minimalna tej funkcji to f min = µβ ) Jeśli więc w 15.1) zastąpimy prawą stronę jej minimalną wartością równą f min, to nierówność bęzie "tym barziej" prawziwa. Mamy więc E tot µβ ) Nierówność ta, bęąca konsekwencją zasay nieoznaczoności, orzeka, że energia całkowita elektronu w atomie jest ograniczona z ołu. Elektron nie może stracić owolnie użej energii, a więc nie może spaść na jąro. Mechanika kwantowa, w przeciwieństwie o klasycznej, zapewnia stabilność atomu. Co więcej, minimalizacja prawej strony nierówności 15.1) zachozi la r = µβ, 15.17) co stanowi oszacowanie rozmiarów atomu gy elektron ma minimalną energię. Mechanika kwantowa wyjaśnia stabilność atomu na postawie prawa przyroy jakim jest zasaa nieoznaczoności. Zumiewający jest fakt, że oszacowanie 15.16)) energii elektronu okłanie pokrywa się ze ściśle obliczoną energią jonizacji energią najniższego poziomu energetycznego). Oszacowanie r ane w 15.17)) także jest bliskie ścisłemu wynikowi. Przechozimy teraz o ścisłej yskusji kwantowo-mechanicznej, która w pełni potwierzi otrzymane tu oszacowania Kwantowo-mechaniczna teoria atomu wooropoobnego Równanie raialne yskusja własności Równanie raialne la atomu wooropoobnego W przypaku kwantowo-mechanicznym, energia potencjalna elektronu w polu coulombowskim jąra jest ana wzorem 15.5). Jest to potencjał sferycznie symetryczny centralny) i zachowuje S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 163
4 Atom wooropoobny 164 się jak r k, k. Wobec tego zgonie z ogólnymi własnościami rozwiązań równania Schröingera la potencjałów centralnych, funkcje falowe w reprezentacji położeniowej są postaci ψ αlm = R αl r) Y lm θ, ϕ), = 1 r u αlr) Y lm θ, ϕ), 15.18) przy czym, zgonie z teorią przestawioną w poprzenim rozziale, funkcja raialna musi spełniać raialne równania Schröingera już z potencjałem coulombowskim) µ r + ll + 1) µ r β ] u αl r) = E αl u αl r) ) r Ponato, z ogólnej teorii wiaomo, że funkcja raialna u αl r) w otoczeniu zera musi zachowywać się jak u αl r) r. 15.) Liczba kwantowa α jest na razie bliżej nieokreślona, Wyniknie ona z rozwiązania równania raialnego. Wimo hamiltonianu Klasyczny przyciągający potencjał coulombowski jest zmoyfikowany przez tzw. człon centryfugalny tak, że ruch ciała zachozi w potencjale efektywnym V eff r) = β r + L µr, 15.1) gzie L jest momentem pęu wzglęem śroka masy. Moment pęu jest w polu centralnym zachowany, więc rugi człon w 15.1) ma charakter ominujący la małych oległości r. Dla użych r ominuje natomiast przyciągający człon coulombowski. W rezultacie potencjał efektywny ma minimum, co można w elementarny sposób sprawzić, baając funkcję V eff r). Typowy kształt takiego potencjału efektywnego przestawiony jest na rys.15.1), z którego jenak nie należy wyciągać żanych wniosków ilościowych. Rys. 15.1: Klasyczny potencjał efektywny w atomie wooropoobnym. w nawiasie kwaratowym w równaniu raialnym 15.19). Wracamy teraz o yskusji przypaku kwantowego. Można wtey wykazać, że wimo zbiór energii E αl ) skłaa się z części yskretnej i części ciągłej. Wynika to z następującego rozumowania. Dla energii E > ruch klasyczny jest nieograniczony przestrzennie. W rezultacie, równanie raialne ma fizycznie opuszczalne rozwiązania la E >, takie że wimo energii jest ciągłe. Wówczas opowienie funkcje falowe typu zbliżonego o fal płaskich) są nienormowalne w kwaracie, więc trzeba je normować o elty Diraca. Z rugiej strony, la E <, ruch klasyczny jest ograniczony. Dla tego przypaku równanie raialne ma fizycznie opuszczalne rozwiązania tylko la yskretnych wartości E αl. Wimo jest więc yskretne i funkcje własne normowalne jak zwykle o jeynki. W przypaku kwantowo-mechanicznym rolę potencjału centryfugalnego ogrywa rugi człon zależny o orbitalnej liczby kwantowej l) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 164
5 Atom wooropoobny Rozwiązanie równania raialnego Zamiana zmiennych w równaniu raialnym W świetle powyższych uwag przechozimy o yskusji równania raialnego 15.19). Mnożymy je stronami przez czynnik µ/, ll + 1) r r + µβ ] 1 u αl r) = µe αl r u αl r). 15.) Chcemy teraz pozbyć się współczynnika przy członie 1/r w operatorze po lewej. Dokonujemy postawienia r = ρ a B = ρ a Z, gzie a = µβ = 4πε µe tzw. promień Bohra. 15.3) Nowa zmienna ρ = r/ab jest bezwymiarowa. Następnie zamieniamy zmienną w operatorze różniczkowania r = ρ r rρ = 1 a B ρ, r = ρ r rρ r = 1 a B ρ. 15.4) Wykorzystując powyższe postawienia w równaniu raialnym, ostajemy ll + 1) ρ ρ + ] u αl ρ) = µe αl ρ a u B αlρ). 15.5) Przekształcamy współczynnik po prawej stronie, korzystając z 15.3) µe αl a B = E αl 4πε ) 1 µz e 4 = E αl gzie E IB = µz e 4 E IB 4πε ). 15.6) Pokażemy później, że wielkość E IB jest energią jonizacji atomu wooropoobnego. Czyli nasze równanie raialne w zmiennej ρ = r/ab ma postać ll + 1) ρ ρ + ] u αl ρ) + E αl u αl ρ) =. 15.7) ρ E IB W alszej analizie równania raialnego 15.7), ograniczymy się o przypaku E αl <, 15.8) a więc o wima yskretnego które zresztą otrzymamy). Dlatego też możemy wprowazić oznaczenie pomocnicze w postaci oatniego parametru λ αl = E αl E IB >. 15.9) Wobec tego nasze równanie raialne przybiera postać ll + 1) ρ ρ + ] ρ λ αl u αl ρ) =, 15.3) la zmiennej ρ = r/ab. Przypomnijmy, że zgonie z 15.) funkcja raialna po zamianie zmiennej) musi spełniać warunek u αl ρ) ρ ) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 165
6 Atom wooropoobny 166 Uwzglęnienie zachowania asymptotycznego Przeprowazimy jakościową yskusję rozwiązania równania 15.3) la użych ρ 1. Dla takich ρ człony ρ 1 i ρ przestają ogrywać znaczącą rolę. A więc asymptotycznie, równanie to reukuje się o ] ρ λ αl u αl ρ) =. 15.3) Rozwiązaniem tego równania równanie oscylatora z urojoną częstością) jest u αl ρ) = exp ±ρλ αl ) ) Jest to oczywiście rozwiązanie przybliżone człony ρ 1 i ρ zaniebaliśmy) la ostatecznie użych ρ. Funkcja raialna u αl ρ) zgonie z ogólnymi regułami postępowania przy potencjałach centralnych) musi być unormowana o jeności. A więc rozwiązanie asymptotyczne ze znakiem + w eksponencie musimy orzucić jako nienormowalne, a tym samym fizycznie nie o przyjęcia. Szukać więc bęziemy rozwiązania równania raialnego 15.3) w postaci u αl ρ) = exp ρλ αl ) f αl ρ), 15.34) gzie nowa, nieznana funkcja f αl ρ) musi zostać znaleziona. Zwróćmy w tym miejscu uwagę, że wyróżniamy tu exp ρλ αl ), ale formalnie nie orzucamy rozwiązania z plusem, tj. exp +ρλ αl ), "siezi" ono na razie ukryte w funkcji f alphal. Trzeba je bęzie zientyfikować i przy końcu obliczeń orzucić jako niecałkowalne. Postulat 15.34) musimy teraz wstawić o równania 15.3) i znaleźć opowienie równanie la funkcji f αl ρ). Krok polegający na obliczeniu rugiej pochonej funkcji u αl anej postulatem 15.34) i postawienie o 15.3) opuszczamy, proste ćwiczenie z różniczkowania). Po postawieniu, człon wykłaniczy uprości się. W rezultacie otrzymamy równanie tylko la funkcji f αl ρ), które ma postać ρ λ αl ρ + ρ ) ll + 1) ] ρ f αlρ) = ) Zanim przejziemy o kolejnych kroków rozwiązania tego równania przypominamy warunek 15.31). Ze wzglęu na postulat 15.34), łatwo wiać, że funkcja f αl ρ) musi spełniać analogiczny warunek f αl ρ), ρ bowiem czynnik wykłaniczy ąży o jeynki, gy ρ ) Rozwiązanie przez szereg potęgowy Przestawimy tu pewną metoę rozwiązywania równania różniczkowego 15.35) przy warunku 15.36)), polegającą na poszukiwaniu rozwiązania w postaci szeregu potęgowego f αl ρ) = ρ s C q ρ q = C q ρ q+s 15.37) Czynnik ρ s prze szeregiem wynika stą, że musimy zapewnić spełnienie warunku 15.36). A więc szereg nie może rozpoczynać się o wyrazu wolnego. Nie wiemy jenak, jaka jest najniższa potęga S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 166
7 Atom wooropoobny 167 zmiennej ρ. Stą czynnik ρ s z przou. Sensowne jest więc przyjąć, że C. W trywialny sposób obliczamy pierwszą i rugą pochoną szeregu. Wynik tych obliczeń wstawiamy o równania raialnego 15.35) otrzymując q + s)q + s 1) C q ρ q+s λ αl q + s) C q ρ q+s 1 + C q ρ q+s 1 ll + 1) C q ρ q+s = ) W równaniu tym grupujemy wyrazy, pierwszy i ostatni oraz wa pozostałe. Dostajemy ] q + s)q + s 1) ll + 1) Cq ρ q+s + 1 λ αl q + s) ] C q ρ q+s 1 = ) Z pierwszego szeregu wyorębniamy wyraz z numerem q =. Mamy więc ss 1) ll + 1) ] C ρ s + ] q + s)q + s 1) ll + 1) Cq ρ q+s + q=1 1 λ αl q + s) ] C q ρ q+s 1 =. 15.4) W trzecim członie eliminujemy q = przez postawienie q = q + 1, więc q = q 1, przy czym q = 1,,.... Przepisujemy równanie 15.4) z przenumerowanym ostatnim członem i otrzymujemy ss 1) ll + 1) ] C ρ s + ] q + s)q + s 1) ll + 1) Cq ρ q+s + q =1 q=1 1 λ αl q 1 + s) ] C q 1 ρ q +s = ) Tym samym w obu szeregach mamy najniższą potęgę zmiennej ρ równą s 1. Zaniebując prim w ostatnim członie, łączymy oba szeregi i ostajemy równanie ss 1) ll + 1) ] C ρ s + q=1 { q + s)q + s 1) ll + 1) ] Cq + 1 λ αl q 1 + s) ] C q 1 } ρ q+s =. 15.4) Uzyskane równanie musi być spełnione la każego ρ. Wobec tego musi znikać współczynnik w pierwszym członie, a także wszystkie współczynniki szeregu. Ponieważ z założenia C, więc równanie 15.4) jest równoważne parze równań ss 1) ll + 1) =, 15.43a) q + s)q + s 1) ll + 1) ] Cq = 1 λ αl q 1 + s) ] C q 1, 15.43b) przy czym rugie równanie obowiązuje la q 1. Jak więc wiać, równanie to jest związkiem rekurencyjnym, w którym C pełni rolę stałej owolnej lub też jest znane skąiną). S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 167
8 Atom wooropoobny 168 Teraz z równania 15.43a) mamy s s ll + 1) = ) Jest to warunek, który już baaliśmy przy ogólnym równaniu raialnym, a zatem s 1 = l + 1, s = l ) W ogólnym kontekście mówiliśmy, że pierwiastek s = l trzeba orzucić, bowiem nie zapewnia on właściwego zachowania funkcji raialnej w otoczeniu zera. I teraz postępujemy poobnie orzucając to rozwiązanie. Wybieramy, jako fizyczne jeynie s = s 1 = l ) Skoro więc wykłanik s jest już określony, to wstawiamy go o równania 15.43b), które wobec tego przyjmuje postać q + l + 1)q + l) ll + 1) ] Cq = 1 λ αl q + l) ] C q ) Wymnażając i upraszczając mamy w końcu q q + l + 1 ) C q = 1 λ αl q + l) ] C q ) Stą oczywiście wynika związek rekurencyjny C q = 1 λ αlq + l) q q + l + 1) C q 1, przy czym q ) Traktując stałą C za znaną możemy więc zbuować cały szereg. Wobec tego poszukiwaną funkcję raialną możemy przestawić w postaci sfaktoryzowanej u αl ρ) = exp ρλ αl ) ρ l+1 C q ρ q, 15.5) gzie zmienna ρ związana jest ze współrzęną raialną r = a B ρ. Funkcja ta ewientnie spełnia warunek u αl ρ). Problem więc sprowaza się o wyznaczenia C ρ i o analizy powyższej relacji rekurencyjnej Dyskusja rekurencji i kwantowanie energii Współczynniki szeregu bęącego rozwiązaniem naszego równania raialnego spełniają relację rekurencyjną 15.49). Parametr λ αl jest, ogólnie rzecz biorąc, owolną liczbą rzeczywistą jej kwarat to wartość własna energii). Wobec tego licznik relacji rekurencyjnej jest na ogół różny o zera la owolnego całkowitego q. Dla użych q z 15.49) mamy w przybliżeniu C q q 1 λ αl q C q ) Załóżmy, że obowiązuje powyższa relacja. Wtey napiszemy q = λ αl q q 1. Stą w oczywisty sposób mamy alej q = λ αl) q q!. 15.5) 15.53) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 168
9 Atom wooropoobny 169 Opowiaa to rozwinięciu w szereg funkcji q ρ q = λ αl ) q q! ρ q = exp λ αl ρ ) 15.54) Porównując ten wynik z funkcją raialną 15.5) wizimy, że jeśli licznik relacji rekurencyjnej 15.49) nie znika, to la użych ρ, gy ogrywają rolę przee wszystkim uże liczby q, funkcja raialna zaczyna się zachowywać jak u αl ρ) exp ρλ αl ) ρ l+1 exp ρλ αl ), 15.55) co jako niecałkowalne, jest fizycznie nieopuszczalne. Zauważmy, że analizując asymptotyczne zachowanie u αl ρ) wspomnieliśmy, że przy faktoryzacji jak w 15.34) nie ginie rozwiązanie zachowujące się jak exp +ρλ αl ). Właśnie się nam ono pojawiło z powrotem. Musimy więc orzucić te rozwiązania, które ają szeregi nieskończone. A zatem w relacji rekurencyjnej musi się tak zarzyć, że la pewnego q licznik znika q=k N λ αl q + l) 1 = ) Wówczas współczynnik C k =. Na mocy rekurencji wszystkie następne współczynniki C k+p =, ostatnim niezerowym współczynnikiem jest C k 1. Szereg się więc urywa staje się wielomianem zmiennej ρ. Funkcja raialna przyjmie postać u αl ρ) = k 1 exp ρλ αl ) ρ l+1 C q ρ q, 15.57) i tym samym jest całkowalna w kwaracie, czyli normowalna. Musi więc istnieć taka liczba całkowita k 1 bo q 1), że λ αl k + l) 1 = = λ αl = 1 k + l ) Weług wprowazonego oznaczenia 15.9) warunek ten zapisujemy λ αl = E αl E IB = 1 k + l, la k ) Uzyskany rezultat jest równoważny kwantowaniu energii wartości własnych raialnego równania Schröingera. Utożsamiając nieokreśloną otą liczbę kwantową α z oatnią liczbą całkowitą k, możemy napisać E kl = E IB, la k ) k + l) Oznacza to, że mamy warunek kwantowania energii. Spośró energii E αl <, tylko te spełniające warunek 15.6) prowazą o fizycznie akceptowalnych normowalnych) rozwiązań. Wszystkie inne energie ają rozwiązania nienormowalne fizycznie nie o przyjęcia. Do yskusji kwantowania energii w/g 15.6) wrócimy alej. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 169
10 Atom wooropoobny Funkcje raialne ogólne sformułowanie Wstawmy teraz warunek kwantowania w postaci 15.58) o relacji rekurencyjnej 15.49). Otrzymujemy la q 1 C q = 1 1 k+l q + l) C q 1, 15.61) q q + l + 1) co po elementarnych przekształceniach można zapisać w postaci C q = k + l k q q q + l + 1) C q ) Jak już wiemy szereg urywa się gy q staje się równe k), ając wielomian stopnia k 1. Uwzglęniając jeszcze warunek kwantowania 15.58) w funkcji raialnej 15.57), mamy u kl ρ) = ρ exp k + l ) k 1 ρ l+1 C q ρ q, 15.63) gzie, konsekwentnie, zamiast α piszemy α k. Współczynniki C q wyznaczamy z rekurencji 15.6). Dla q = 1 mamy C 1 = k + l k 1 l + C ) Następnie z 15.6) i z powyższego ostajemy C = k + l k l + 3) C 1 = Postępując tak alej uzyskujemy C 3 = Ponieważ = k + l ) k 1)k ) 1 l + )l + 3) C ) k 3 k + l 3 l + 4) C ) 3 k 1)k )k 3) k + l 1 3 l + )l + 3)l + 4) C ) k 1)k ) k q) = k 1)! k q + 1)]!, 15.67) nietruno więc jest kontynuować omawianą proceurę, która prowazi o wniosku, że ) q C q = 1) q k 1)! l + 1)! C, 15.68) k + l k 1 q)! q! l q)! co w oparciu o relację rekurencyjną 15.6) można prosto uowonić przez inukcję matematyczną wzglęem numeru q. Zwróćmy uwagę, że lewa strona w 15.67) ewientnie zeruje się la q = k. Prawa strona ma wtey w mianowniku czynnik 1)!, który ąży o +. A zatem prawa strona 15.67) także zeruje się la q = k. Dlatego też możemy stwierzić, że C q=k =, co w świetle poczynionych uwag wiać z 15.68). Otrzymane wyrażenie na współczynniki C q możemy postawić o wzoru 15.63). Wracając jenocześnie o zmiennej r, postawiamy ρ = r/a B i otrzymujemy ) r u kl r) = C exp r l+1 k + l) a B k 1 1) q k 1)! l + 1)! k 1 q)! l q)! q! r k + l) a B ) q, 15.69) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 17
11 Atom wooropoobny 171 przy czym czynnik a l+1) B normalizacyjnego r u kl = 1. Pełna funkcja raialna wynika z 15.69) i ma postać R kl r) = 1 r u klr) ) r = C exp r l k + l) a B k 1 1) q r q! k + l) a B wciągnęliśmy o stałej C, którą wyznaczymy oczywiście z warunku ) q k 1)! l + 1)! k 1 q)! l q)! 15.7) 15.71) Zwyczajowo funkcje raialne 15.71) poaje się w nieco innej, choć całkiem równoważnej postaci. Wrócimy o tego zaganienia w czasie yskusji uzyskanych wyników w następnych paragrafach Dyskusja uzyskanych rezultatów Rzęy wielkości parametrów atomowych Dozwolone wartości energii elektronu w atomie wooropoobnym wartości własne hamiltonianu) wynikają z otrzymanego warunku kwantowania energii 15.6). Aby go przeyskutować rozważmy jawne wyrażenie 15.6) la energii jonizacji E IB = µ Ze 4πε ) = 1 µ c Z e 4πε c ). 15.7) Wprowazimy teraz niezmiernie pożyteczne wielkość, zwaną stałą struktury subtelnej, którą stanarowo oznaczamy przez α = 1 ) e 1 4πε c ) Posługując się stałą struktury subtelnej, zapisujemy energię jonizacji jako E IB = µc Z α ) Ponieważ masa zreukowana µ m e, zatem czynnik µc jest praktycznie równy masie spoczynkowej elektronu wyrażonej w jenostkach energii). Energia jonizacji jest o α razy, a więc około razy mniejsza. Pokreślmy także, że la ciężkich atomów gy Z jest uże), energia E IB może być już porównywalna z masą spoczynkową elektronu. Wtey teoria nierelatywistyczna załamuje się i o opisu ciężkich atomów niezbęna staje się teoria relatywistyczna, co już wybiega poza program naszego wykłau. Wyraźmy jeszcze promień Bohra 15.3) za pomocą stałej struktury subtelnej α, a B = a Z = 1 Z Onotujmy, że wielkość ) 4πε µ e = 1 Z µc ) c ) 4πε e = 1 Z µc ) 1 α ) λ c = µc Å 15.76) nazywamy comptonowską ługością fali elektronu. Jak nietruno obliczyć promień Bohra a.5 Å, jest o trzy rzęy wielkości większy niż λ c. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 171
12 Atom wooropoobny Poziomy energetyczne. Główna liczba kwantowa Przypomnijmy otrzymany powyżej patrz 15.6) warunek kwantowania energii E kl = E IB k + l), 15.77) gzie la ustalonego l całkowitego, mamy nieskończenie wiele poziomów energetycznych, bowiem k = 1,,.... Każy poziom jest przynajmniej l + 1) krotnie zegenerowany. Wynika to stą, że la ustalonego l, magnetyczna liczba kwantowa m numerująca harmoniki sferyczne występujące w funkcji falowej przyjmuje właśnie tyle wartości. Jest to egeneracja o charakterze zasaniczym, wynikająca z symetrii sferycznej potencjału coulombowskiego. Występuje tu jenak również egeneracja przypakowa, a mianowicie jest tak wtey gy k + l = k + l. W przypaku atomu wooropoobnego energia nie zależy ozielnie o liczb kwantowych k i l, lecz zawsze o ich sumy. Ponieważ k 1, więc wygonie jest wprowazić, nową liczbę kwantową n zastępującą sumę k + l. Definiujemy więc tzw. główną liczbę kwantową n = k + l, n = 1,, 3, ) Zwróćmy uwagę na istotne ograniczenie wynikające z określenia głównej liczby kwantowej. Liczba k musi być większa lub równa jeności, wobec tego to ograniczenie na k = n l pociąga za sobą ograniczenie na l. Skoro n l 1, to n l + 1 Lub też l n 1. Wobec tego, la anego określonego) n musi być l =, 1,,..., n ) Orbitalna liczba kwantowa przy ustalonym n) może więc przyjmować skończoną ilość różnych wartości. Wracając o kwantowania energii za pomocą głównej liczby kwantowej n wizimy, że ozwolone energie atomu wooropoobnego ane są wzorem E n = E IB n, 15.8) co jest wynikiem ientycznym z rezultatem wynikającym z moelu Bohra patrz Uzupełnienia) wyprowazonym jenak z ścisłych zasa mechaniki kwantowej, a nie z poczynionych a hoc postulatów. Najmniejsza energia opowiaa n = 1: E 1 = E IB. Aby zerwać wiązanie elektronu z jąrem innymi słowy, aby zjonizować atom) trzeba oczywiście ostarczyć elektronowi energię E 1 = E IB, co wyjaśnia laczego E IB nazwaliśmy energią jonizacji. Omówmy jeszcze konwencję terminologiczną i) n = 1,, 3, 4, główna liczba kwantowa; ii) l =, 1,,..., n 1 orbitalna azymutalna) liczba kwantowa; iii) m = l,...,,..., l magnetyczna liczba kwantowa; 15.81) Stany scharakteryzowane określoną liczbą n przy owolnych l i m) nazywamy powłoką elektronową. Liczba orbitalna l określa popowłoki. Dla anego n mamy więc n popowłok, bo tyle różnych wartości może przyjmować orbitalna liczba kwantowa. W każej popowłoce mamy l + 1) stanów scharakteryzowanych różnymi liczbami magnetycznymi m. Na postawie tej yskusji łatwo możemy obliczyć krotność egeneracji n-tej powłoki elektronowej g n = n 1 l= l + 1) = n 1)n + n = n. 15.8) Nie uwzglęniamy tu spinu elektronu. Fakt, że elektron posiaa spin zwiększa krotność egeneracji o czynnik, co aje g n = n. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 17
13 Atom wooropoobny 173 Notacja spektroskopowa Tak zwana notacja spektroskopowa pochozi jeszcze z XIX wieku sprze powstania mechaniki kwantowej). Popowłokom numerowanym przez orbitalną liczbę kwantową przyporząkowane są litery w następujący sposób l = s l = 1 p l = l = 3 f l = 4 g i alej alfabetycznie 15.83) Dalej notację spektroskopową konstruujemy tak : liczba)litera). Liczba z przou numeruje powłoki elektronowe, a więc opowiaa głównej liczbie kwantowej, natomiast litera przyporząkowuje popowłoki weług powyższej tabeli. A zatem, na przykła, mamy 1s, n = 1, l =, stan postawowy s, n =, l =, } p, n =, l = 1, pierwszy stan wzbuzony it ) Powłoki elektronowe n = 1,, 3,..., czasem bywają nazywane użymi literami: K, L, M,..., i alej alfabetycznie Raialne funkcje falowe Funkcje raialne wprowazenie Na postawie ogólnych rozważań otyczących potencjałów centralnych wiemy, że pełna funkcja falowa w reprezentacji położeniowej) to iloczyn funkcji raialnej R kl r) oraz harmonik sferycznych Y lm θ, ϕ). Ponieważ wprowaziliśmy w 15.78) główną liczbę kwantową, więc musimy to uwzglęnić, okonując przenumerowania w funkcjach raialnych. Wzory 15.69) 15.71) przestawiają sposób konstrukcji funkcji raialnych. Wobec tego okonując przenumerowania pamiętamy, że k = n l oraz, że la ustalonego n liczba l przebiega o zera o n 1). W ten sposób otrzymujemy la kilku pierwszych funkcji raialnych R n=1, l= = R k=1,l=, R n=, l= = R k=,l=, R n=, l=1 = R k=1,l=1, R n=3, l= = R k=3,l=, R n=3, l=1 = R k=,l=1, R n=3, l= = R k=1,l=, 15.85) co oczywiście możemy bez truu kontynuować alej. Na postawie obliczonej funkcji 15.71) możemy wypisać jawną postać opowienio przenumerowanej funkcji raialnej ) r R nl r) = C exp r l na B n l 1 1) q ) r q n l 1)! l + 1)! q! na B n l 1 q)! l q)!, 15.86) Pozostaje nam teraz oprowazić znalezione funkcje raialne o barziej zwartej postaci. Funkcje raialne i wielomiany Laguerre a Wprowazamy teraz pewne stałe czynniki w członie r l, uwzglęniając ich owrotność z samego przou. Co więcej, z sumy w rugiej linii wyzielamy czynniki nie polegające sumowaniu i S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 173
14 Atom wooropoobny 174 jenocześnie licznik i mianownik zielimy przez ten sam czynnik. W rezultacie otrzymujemy skomplikowane wyrażenie postaci ) l nab R nl r) = C exp 1 ) ) r r l n l 1)! l + 1)! na B na B n l 1) + l + 1)]! n l 1 1) q q! r na B ) q n l 1) + l + 1)]! n l 1 q)! l q)! ) Wszystkie czynniki stojące prze sumą włącznie z silniami) i niezależne o zmiennej raialnej r zbieramy w jeną stałą normalizacyjną zależną teraz o liczb kwantowych n i l). W ten sposób raialną funkcję zapisujemy jako R nl r) = A nl exp 1 ) ) r r l na B na B n l 1 1) q q! r na B ) q n l 1) + l + 1)]! n l 1 q)! l q)! ) W rugiej linii powyższego wyrażenia mamy wielomian stopnia n l 1). Szukając w encyklopeii matematycznej znajujemy tzw. stowarzyszone wielomiany Laguerre a, zefiniowane wzorem L s) p x) = p k= 1) q q! x q p + s)! p q)! s + q)! ) A więc L s) p x) jest wielomianem stopnia p. Porównując nasz wielomian w 15.88) z wielomianami Laguerre a, wizimy, że przyjmując p = n l 1) oraz s = l + 1), możemy raialną funkcję falową zapisać za pomocą wielomianów Laguerre a R nl r) = A nl exp 1 r ) r ) l L l+1) n l 1 r ) 15.9) na B na B na B Wielomiany Laguerre a są barzo obrze znane, ich rozliczne własności są stablicowane, łatwo jest więc się nimi posługiwać patrz także Doatki matematyczne). Aby efinitywnie zakończyć analizę raialnych funkcji falowych la atomu wooropoobnego, trzeba jeszcze obliczyć stałą normalizacyjną występującą w 15.9). Normowanie Stała normalizacyjną wyznaczymy z warunku 14.53), tj. 1 = r r R nl r) ) Biorąc funkcję R nl r) z 15.9) i zamieniając zmienną całkowania x = r/na B, ostajemy ) 3 nab 1 = A nl x x l+ e x L l+1) ] n l 1 x). 15.9) Całkę taką rozważamy w Doatku matematycznym. Dana jest ona wzorem E.3a). Wobec tego z 15.9) o razu ostajemy ) 3 nab 1 = A nl n n + l)! n l 1)! ) Stą już bez truu mamy ) 3/ n l 1)! A nl = ) na B n n + l)! S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 174
15 Atom wooropoobny 175 Raialne funkcje falowe atomu wooropoobnego Wybierając owolną fazę stałej normalizacyjnej 15.94) równą zeru, postawiamy ją o wzoru 15.9) i otrzymujemy ostateczną postać raialnych funkcji falowych atomu wooropoobnego ) Z 3/ ) n l 1)! Z l R nl r) = r exp Z r ) ) L l+1) Zr n l 1, 15.95) na n n + l)! na na na gzie uwzglęniliśmy, że a B = a /Z Jawne wyrażenia la kilku pierwszych funkcji raialnych Wyrażenia la funkcji raialnych atomu wooropoobnego konstruujemy w oparciu o formułę 15.95), w której potrzebujemy jawnej postaci wielomianów Laguerre a. Te ostatnie znajujemy w tablicach, lub bez truu wyznaczamy z efinicji 15.89). Mamy wówczas L s) x) = 1, 15.96a) L s) 1 x) = s + 1) x, 15.96b) L s) x) = 1 s + 1)s + ) xs + ) + 1 x, 15.96c) co wystarczy o prostych obliczeń jawnej postaci kilku pierwszych funkcji raialnych atomu wooropoobnego. Funkcja R 1 r) W tym wypaku mamy n = 1, l = jeynie możliwe), więc n l 1) =, l + 1) = 1. W funkcji R 1 występuje więc wielomian Laguerre a L 1) x) = 1. Z 15.95), po elementarnych przekształceniach łatwo otrzymujemy ) Z 3/ R n=1, l= r) = exp Zr ) ) a a Funkcja R r) Teraz mamy n = oraz l =, a zatem n l 1) = 1, l + 1) = 1. Bierzemy więc wielomian L 1) 1 x) = x. Po prostym uporząkowaniu ostajemy ) Z 3/ R n=, l= r) = 1 Zr ) exp Zr ) ) a a a Funkcja R 1 r) Analogicznie, mamy n = oraz l = 1, a zatem n l 1) =, l + 1) = 3. Bierzemy więc wielomian L 3) = 1. Upraszczając współczynniki mamy ) 3/ ) Zr R n=, l=1 r) = 3 Z a Funkcja R 3 r) a exp Zr a ) ) Tutaj mamy n = 3 oraz l =, a zatem n l 1) =, l + 1) = 1. Z 15.96c) mamy wielomian L 1) = x / 3x + 3. Upraszczając współczynniki ostajemy ) Z 3/ ) Zr R n=3, l= r) = 1 + ) ] Zr exp Zr ). 15.1) 3a 3a 3 3a 3a S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 175
16 Atom wooropoobny 176 Funkcja R 31 r) I alej, mamy n = 3 oraz l = 1, a zatem n l 1) = 1, l +1) = 3. Z 15.96b) mamy wielomian L 3) 1 = 4 x. Proste uporząkowanie współczynników aje nam R n=3, l=1 r) = 3 Funkcja R 3 r) ) Z 3/ ) )] Zr Zr 3a 3a 3a exp Zr ) ) 3a I wreszcie n = 3 oraz l =, a zatem n l 1) =, l + 1) = 5. Z 15.96a) mamy wielomian L 5) = 1. Wobec tego R n=3, l= r) = Posumowanie Z 3a ) 3/ Zr 3a ) exp Zr ). 15.1) 3a Funkcje falowe atomu wooropoobnego elektronu w polu jąra) są numerowane trzema liczbami kwantowymi 15.81) i mają postać ψ nlm r) = R nl r) Y lm θ, ϕ), 15.13) gzie funkcje raialne ane są w 15.95), zaś harmoniki sferyczne są znane z poprzenich rozziałów. Liczby kwantowe są następujące główna liczba kwantowa n = 1,, 3, 4, ; orbitalna azymutalna) liczba kwantowa l =, 1,,..., n 1; magnetyczna liczba kwantowa; m = l,...,,..., l ) Powyższe funkcje są w reprezentacji położeniowej) stanami własnymi energii opowiaającymi wartościom własnym E n = E IB n = 1 n µz e 4 4πε ) = 1 n µc Z α, 15.15) przy czym energie te są n -krotnie zegenerowane. Wygonie jest także zauważyć, że promień Bohra a = /µβ, zatem E n = 1 n µz β = 1 n Z β a ) Funkcje falowe 15.13) tworzą zupełny zbiór funkcji ortonormalnych ψ nlm ψ n l m = δ nn δ ll δ mm ) Normowanie tych funkcji przeprowaziliśmy w sposób jawny. Ortonormalność wzglęem liczb kwantowych l i m łatwo jest wykazać, korzystając z ortonormalności harmonik sferycznych. Ortogonalność wzglęem głównej liczby kwantowej wynika z faktu, że opowiaają one różnym wartościom własnym energii. Warto zwrócić uwagę, że przy bezpośrenim owozie ortogonalności wzglęem n musimy wykazać, że zachozi relacja r r R nl r) R kl r) = δ nk, 15.18) co niestety jest trune. Wynika to stą, że argumenty wielomianów Laguerre a występujących w funkcjach raialnych są postaci Zr/na oraz Zr/ka. Fakt, że argumenty te są różne sprawia, że jawne wyliczenie omawianej całki jest barzo kłopotliwe. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 176
17 Atom wooropoobny Obliczanie śrenich r s nl Wprowazenie Interesują nas śrenie wartości oczekiwane) potęg oległości elektronu o jąra atomowego, gy atom znajuje się stanie własnym energii opisywanym liczbami kwantowymi n, l, m. Bęziemy więc baać wielkości postaci r s nl = ψ nlm r s ψ nlm, 15.19) gzie s jest liczbą całkowitą, zaś ψ nlm są funkcjami falowymi atomu wooropoobnego ψ nlm r) = R nl r) Y lm θ, ϕ) ) Zwróćmy uwagę, że w wartość oczekiwana 15.19) nie zależy o magnetycznej liczby kwantowej m, co wynika z ortonormalności harmonik sferycznych. Co więcej, ortonormalność harmonik sferycznych natychmiast reukuje trójwymiarową całkę o jenowymiarowej całki raialnej r s nl = r r s+ R nlr) ) Postawiając funkcje raialne R nl r) weług wzoru 15.95) otrzymujemy ) Z 3 r s n l 1)! nl = na n n + l)! ) Z l r r s+ r exp Z ) r L l+1) ) na na n l 1 ] Zr/na ) Dokonujemy zamiany zmiennej całkowania Z r = x, lub r = na x, ) na Z i przekształcamy całkę o postaci r s nl = ) Z 3 n l 1)! na n n + l)! = ) n l 1)! s na n n + l)! Z ) na x Z ) s+ na x s+ x l e x L l+1) ] n l 1 Z x) x x l++s e x L l+1) n l 1 x)] ) Ogólne obliczenia takich całek są niestety osyć złożone. Kilka szczególnych przypaków można jenak stosunkowo łatwo obliczyć. Są to przypaki s =, 1, oraz s = 1,. Niezbęne o obliczeń całki są poane w Doatku matematycznym. Obliczanie całek typu ) la innych s staje się barzo kłopotliwe, nie bęziemy więc tego rozważać. Innym, i to barzo wygonym wyjściem jest znalezienie opowieniej relacji rekurencyjnej, co omówimy nieco alej Kilka przypaków szczególnych Przypaek r nl Oczywiście całka r nl = ψ nlm 1 ψ nlm jest po prostu całką normalizacyjną funkcji falowych. Jej wynik jest trywialny r nl = 1, ) co zresztą jest oczywiste, jeżeli uzmysłowimy sobie, że wartość oczekiwana stałej równej r = 1) musi być równa tej samej stałej. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 177
18 Atom wooropoobny 178 Przypaek r nl Kolejna śrenia r nl opowiaa s = 1. Wobec tego po całką w ) argument x występuje w potęze l + 3. Opowienią całkę znajujemy w E.3b), więc z ) ostajemy ) n l 1)! na r nl = x x l+3 e x L l+1) n l 1 n n + l)! Z x)] = = a Z n l 1)! n n + l)! ) na Z 3n ll + 1) ] n + l)! n l 1)! 3n ll + 1) ] ) Rezultat ten warto zestawić z promieniem r n = n a /Z, obliczonym w ramach moelu Bohra por b). Niestety, w przeciwieństwie o kwantowania energii nie występuje tu zgoność. Pewnym wytłumaczeniem tego braku zgoności może być to, że tutaj a więc w kontekście mechaniki kwantowej) nie mówimy o promieniu orbity pojęcie trajektorii nie ma sensu) lecz tylko o śreniej oległości elektronu o jąra. Przypaek r 1 nl Następna śrenia, którą zbaamy opowiaa s = 1. Po całką ) występuje więc x l+1, co opowiaa tzw. całce ortogonalizacyjnej E.15) la wielomianów Laguerre a. Wobec tego ostajemy 1 r nl = = n l 1)! n n + l)! n l 1)! n n + l)! ) 1 na x x l+1 e x L l+1) n l 1 Z x)] ) Z na n + l)! n l 1)! = Z a n ) Zwróćmy tu uwagę, że ze wzorów ) i ) jasno wynika, że r 1 nl r 1 nl. Przypaek r nl I wreszcie ostatni prosty przypaek opowiaa s =. W całce ) występuje czynnik x l. Na postawie wyrażenia E.38) otrzymujemy 1 r nl = = = n l 1)! n n + l)! n l 1)! n n + l)! Z a n 3 l + 1) ) na Z Z na x x l e x L l+1) n l 1 x)] ) n + l)! l + 1)n l 1)! ) Wzór rekurencyjny Kramersa la śrenich r s nl Jak wspominaliśmy, kłopoty z obliczaniem całek typu ) można ominąć za pomocą opowieniej relacji rekurencyjnej. Punktem wyjścia o znalezienia takiej relacji la śrenich typu r s nl jest raialne równanie Schröingera, które jest spełniane przez funkcje raialne R nl r) lub u nl r). Wyprowazenie jest skomplikowane, poamy tu jeynie końcowe wyniki, a wyprowazenie okłaamy o Uzupełnień. Rezultatem ość żmunych obliczeń jest tzw. rekurencyjny S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 178
19 Atom wooropoobny 179 wzór Kramersa = s + 1) n r s nl s + 1) a Z rs 1 nl + s 4 l + 1) s ] a Z rs nl ) Relacja ta, wraz z obliczonymi już powyżej śrenimi pozwala wyliczyć wszelkie inne śrenie rozważanej postaci. Do alszych zastosowań np. przy obliczeniach za pomocą rachunku zaburzeń) przyazą się nam jeszcze następujące formuły, wynikłe ze wzoru Kramersa i z rezultatów ) ). I tak na przykła, la s =, z ) ostajemy = 3 n r nl 5 a Z r nl + 1 ] a l + 1) 4 Z r nl. 15.1) Stą zaś wynika, że r nl = n 3 5 a Z r nl 1 ] ) a 4l + 4l 3 Z r nl Postawiając wartości oczekiwane ) i ) otrzymujemy r nl = n 5a ) 3 Z 3n l l a ) ] Z 4l + 4l ) = n a Z 5n 3ll + 1) + 1 ]. 15.1) W analogiczny sposób, kłaąc w ) s = 1 i korzystając z ) oraz z ), obliczymy wartość oczekiwaną ) Z r nl = a 3 n 3 l l + 1, 15.13) ) l + 1 ) z której skorzystamy przy innych zastosowaniach. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 179
Wielomiany Hermite a i ich własności
3.10.2004 Do. mat. B. Wielomiany Hermite a i ich własności 4 Doatek B Wielomiany Hermite a i ich własności B.1 Definicje Jako postawową efinicję wielomianów Hermite a przyjmiemy wzór Roriguesa n H n (x)
Harmoniki sferyczne. Dodatek C. C.1 Wprowadzenie. Całka normalizacyjna I p (n)
3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 1 Doatek C Harmoniki sferyczne C.1 Wprowazenie Harmoniki sferyczne są funkcjami specjalnymi pojawiającymi się w wielu zaganieniach fizyki. W poręcznikach fizyki matematycznej
Ważny przykład oscylator harmoniczny
6.03.00 6. Ważny przykła oscylator harmoniczny 73 Rozział 6 Ważny przykła oscylator harmoniczny 6. Wprowazenie Klasyczny, jenowymiarowy oscylator harmoniczny opowiaa potencjałowi energii potencjalnej:
(U.13) Atom wodoropodobny
3.10.200 3. U.13 Atom wodoropodobny 122 Rozdział 3 U.13 Atom wodoropodobny 3.1 Model Bohra przypomnienie Zaznaczmy na wstępie o czym już wspominaliśmy w kontekście zasady nieoznaczoności, że model Bohra
Stany stacjonarne w potencjale centralnym
6.03.2010 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 155 Rozdział 14 Stany stacjonarne w potencjale centralnym 14.1 Postawienie problemu Jednym z najważniejszych problemów mechaniki kwantowej jest wyjaśnienie
1 Postulaty mechaniki kwantowej
1 1.1 Postulat Pierwszy Stan ukłau kwantowomechanicznego opisuje funkcja falowa Ψ(r 1, r 2,..., r N, t) zwana także funkcją stanu taka, że kwarat jej moułu: Ψ 2 = Ψ Ψ pomnożony przez element objętości
Przekształcenie całkowe Fouriera
Przekształcenie całkowe Fouriera Postać zespolona szeregu Fouriera Niech ana bęzie funkcja f spełniająca w przeziale [, ] warunki Dirichleta. Wtey szereg Fouriera tej funkcji jest o niej zbieżny, tj. przy
(U.5) Zasada nieoznaczoności
3.0.2004 26. (U.5) Zasaa nieoznaczoności 42 Rozział 26 (U.5) Zasaa nieoznaczoności 26. Pakiet falowy minimalizujący zasaę nieoznaczoności 26.. Wyprowazenie postaci pakietu Stan kwantowo-mechaniczny (lub
Mechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II
1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność
Równanie Schrödingera
3.10.2004 4. Równanie Schröingera 52 Rozział 4 Równanie Schröingera Równanie Schröingera jest postulatem mechaniki kwantowej określającym tzw. ynamikę. Zaaje ono (przy opowienio obranym warunku początkowym)
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Wykład Budowa atomu 3
Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n
Wielomiany Legendre a, itp.
3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 25 Dodatek D Wieomiany Legendre a, itp. Wieomiany Legendre a i stowarzyszone z nimi funkcje są szeroko omawiane w wieu podręcznikach fizyki matematycznej.
WYKŁAD nr Ekstrema funkcji jednej zmiennej o ciągłych pochodnych. xˆ ( ) 0
WYKŁAD nr 4. Zaanie programowania nieliniowego ZP. Ekstrema unkcji jenej zmiennej o ciągłych pochonych Przypuśćmy ze punkt jest punktem stacjonarnym unkcji gzie punktem stacjonarnym nazywamy punkt la którego
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Wykład Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna
Wykła 5 5. Pole magnetyczne, inukcja elektromagnetyczna Prawo Ampera Chcemy teraz znaleźć pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie występujące rozkłay prąów, takich jak przewoniki prostoliniowe, cewki
Chemia teoretyczna. Postulaty mechaniki kwantowej. Katarzyna Kowalska-Szojda
Chemia teoretyczna Postulaty mechaniki kwantowej Katarzyna Kowalska-Szoja Spis treści 1 Postulaty mechaniki kwantowej 2 1.1 Postulat pierwszy.......................... 2 1.2 Postulat rugi.............................
Wyk lad 3 Grupy cykliczne
Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym
Relacje Kramersa Kroniga
Relacje Kramersa Kroniga Relacje Kramersa-Kroniga wiążą ze sobą część rzeczywistą i urojoną każej funkcji, która jest analityczna w górnej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej. Pozwalają na otrzymanie części
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Atom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu:
ATOM WODORU Atom wodoru Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: U = 4πε Opis kwantowy: wykorzystując zasadę odpowiedniości
ROZDZIAŁ 5. Renty życiowe
ROZDZIAŁ 5 Renty życiowe Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy czy osoba której przyszły czas
15 Potencjały sferycznie symetryczne
z ϕ θ r y x Rysunek : Definicje zmiennych we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ) 5 Potencjały sferycznie symetryczne 5. Separacja zmiennych Do tej pory omawialiśmy problemy jednowymiarowe, które służyły
Stara i nowa teoria kwantowa
Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Elektrodynamika. Część 2. Specjalne metody elektrostatyki. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektroynamika Część 2 Specjalne metoy elektrostatyki Ryszar Tanaś Zakła Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.phys.amu.eu.pl/\~tanas Spis treści 3 Specjalne metoy elektrostatyki 3 3. Równanie Laplace a....................
Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Atomowa budowa materii
Atomowa budowa materii Wszystkie obiekty materialne zbudowane są z tych samych elementów cząstek elementarnych Cząstki elementarne oddziałują tylko kilkoma sposobami oddziaływania wymieniając kwanty pól
Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków).
Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków). 1925r. postulat Pauliego: Na jednej orbicie może znajdować się nie więcej
(U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym
3.10.2004 35. U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 131 Rozdział 35 U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 35.1 Niezmienniczość ze względu na W rozdziale 16 wspominaliśmy jedynie o podstawowych
(U.6) Oscylator harmoniczny
3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 47 Rozdział 7 U.6 Oscylator harmoniczny 7. Rozwiązanie przez rozwinięcie w szereg W głównej części wykładu rozwiązanie zagadnienia własnego dla hamiltonianu kwantowo-mechanicznego
Reprezentacje położeniowa i pędowa
3.10.2004 9. Reprezentacje położeniowa i pędowa 103 Rozdział 9 Reprezentacje położeniowa i pędowa 9.1 Reprezentacja położeniowa Reprezentacja położeniowa jest szczególnie uprzywilejowana i najczęściej
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Budowa atomów. Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków
Budowa atomów Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków Model atomu Bohra atom zjonizowany (ciągłe wartości energii) stany wzbudzone jądro Energia (ev) elektron orbita stan podstawowy Poziomy
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej
x 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:
RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
(U.16) Dodawanie momentów pędu
.0.004 7. (U.6) Dodawanie momentów pędu 5 Rozdział 7 (U.6) Dodawanie momentów pędu 7. Złożenie orbitalnego momentu pędu i spinu / 7.. Przejście do bazy sprzężonej W praktycznych zastosowaniach potrzebujemy
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
KO OF Szczecin:
XXXI OLIMPIADA FIZYCZNA (1981/198) Stopień III, zaanie teoretyczne T Źróło: Nazwa zaania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiay Fizycznej; Anrzej Kotlicki; Anrzej Naolny: Fizyka w Szkole, nr
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Fizyka 2. Janusz Andrzejewski
Fizyka 2 wykład 14 Janusz Andrzejewski Atom wodoru Wczesne modele atomu -W czasach Newtona atom uważany była za małą twardą kulkę co dość dobrze sprawdzało się w rozważaniach dotyczących kinetycznej teorii
Atom wodoru i jony wodoropodobne
Atom wodoru i jony wodoropodobne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Spis treści Spis treści 1. Model Bohra atomu wodoru 2 1.1. Porządek
Model Bohra budowy atomu wodoru - opis matematyczny
Model Bohra budowy atomu wodoru - opis matematyczny Uwzględniając postulaty kwantowe Bohra, można obliczyć promienie orbit dozwolonych, energie elektronu na tych orbitach, wartość prędkości elektronu na
Fizyka 3.3 WYKŁAD II
Fizyka 3.3 WYKŁAD II Promieniowanie elektromagnetyczne Dualizm korpuskularno-falowy światła Fala elektromagnetyczna Strumień fotonów o energii E F : E F = hc λ c = 3 10 8 m/s h = 6. 63 10 34 J s Światło
Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały
WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe
Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego
WYKŁAD 15 Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego 1 Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bosony
1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Mechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg
Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(
Równania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Zadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Wykłady z Hydrauliki- dr inż. Paweł Zawadzki, KIWIS WYKŁAD 3
WYKŁAD 3 3.4. Postawowe prawa hyroynamiki W analizie problemów przepływów cieczy wykorzystuje się trzy postawowe prawa fizyki klasycznej: prawo zachowania masy, zachowania pęu i zachowania energii. W większości
Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
Równanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe)
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 13 UKŁADY KILKU CZĄSTEK W MECHANICE KWANTOWEJ 13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe) Zajmiemy się kwantowym opisem atomu He
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Algorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Równanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie
Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe
Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji
Pierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Lista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Geometria Różniczkowa II wykład dziesiąty
Geometria Różniczkowa II wykła ziesiąty Wykła ziesiąty rozpoczyna serię wykłaów poświęconych geometrii symplektycznej. Zajmować się bęziemy głównie zastosowaniami geometrii symplektycznej w mechanice,
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów
Postulaty mechaniki kwantowej
3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".
II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym
II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym Jan Królikowski Fizyka IVBC 1 II.4.1 Ogólne własności wektora kwantowego momentu pędu Podane poniżej własności kwantowych wektorów
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Wykład Budowa atomu 2
Wykład 7.12.2016 Budowa atomu 2 O atomach cd Model Bohra podsumowanie Serie widmowe O czym nie mówi model Bohra Wzbudzenie, emisja, absorpcja O liniach widmowych Kwantowomechaniczny model atomu sformułowanie
FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Wykład Budowa atomu 1
Wykład 30. 11. 2016 Budowa atomu 1 O atomach Trochę historii i wprowadzenie w temat Promieniowanie i widma Doświadczenie Rutherforda i odkrycie jądra atomowego Model atomu wodoru Bohra sukcesy i ograniczenia
1. Podstawowe pojęcia w wymianie ciepła
PODSAWY WYMIANY CIEPŁA. Postawowe pojęcia w wymianie ciepła Sposoby transportu ciepła: przewozenie konwekcja - swobona - wymuszona promieniowanie ransport ciepła w ciałach stałych obywa się na roze przewozenia.
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Metoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu) (1.1) (1.2a)
PODSAWY WYMIANY CIEPŁA. Postawowe pojęcia w wymianie ciepła Sposoby transportu ciepła: przewozenie konwekcja - swobona - wymuszona promieniowanie ransport ciepła w ciałach stałych obywa się na roze przewozenia.
Modele atomu wodoru. Modele atomu wodoru Thomson'a Rutherford'a Bohr'a
Modele atomu wodoru Modele atomu wodoru Thomson'a Rutherford'a Bohr'a Demokryt: V w. p.n.e najmniejszy, niepodzielny metodami chemicznymi składnik materii. atomos - niepodzielny Co to jest atom? trochę
Wstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Rozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco