OLIMPIADA MATEMATYCZNA

Transkrypt

1 OLIMPIADA MATEMATYCZNA Na stronie internetowej wwwomgedupl Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów (OMG) ukazały się ciekawe broszury zawierające interesujące zadania wraz z pomysłowymi rozwiązaniami z tegorocznych Obozów Naukowych dla poziomu OM oraz poziomu OMG Chciałbym zaproponować dodatkowe rozwiązania przedstawianych tam zadań W matematyce bardzo ważną rzeczą jest znajomość wielu rozwiązań jednego zadania Znakomicie kształtuje to nasz umysł narzędzie do rozwiązywania zadań z którymi wiele osób także w szkole czy na studiach nie daje sobie rady PIERWSZE UOGÓLNIENIE PEWNEGO TWIERDZENIA Przedstawiamy zadanie 17 z tegorocznych Obozów Naukowych dla poziomu OM Niezerowe liczby rzeczywiste a b c d spełniają warunki Wykaż że W broszurze dla poziomu OM przedstawione zostały dwa pomysłowe sposoby rozwiązania tego zadania przy czym w drugim sposobie założenie zostało zredukowane (osłabione) do warunku a + b + c + d = 0 tzn w dowodzie nierówności nie był wykorzystywany warunek Poniżej przedstawię lemat (lemat to twierdzenie pomocnicze którego zadaniem jest uproszczenie dowodów innych twierdzeń na przykład przy wyznaczaniu wartości liczby w 17 numerze Świata Matematyki) w którym założenie będzie zredukowane do warunku gdzie: a b c d niezerowe liczby rzeczywiste W dowodzie nierówności nie będzie zatem wykorzystywany warunek a + b + c + d = 0 Wówczas z przedstawionego lematu i z drugiego sposobu rozwiązania zadania 17 zamieszczonego w broszurze dla Poziomu OM tegorocznych Obozów Naukowych natychmiast wynika twierdzenie które jest uogólnieniem zadania 17 Ponadto przedstawiony lemat będziemy mogli traktować jako trzeci sposób rozwiązania zadania 17 Twierdzenie Dla dowolnych liczb rzeczywistych a b c d takich że a + b + c + d = 0 lub dla niezerowych liczb rzeczywistych a b c d takich że zachodzi nierówność Lemat Dla niezerowych liczb rzeczywistych a b c d takich że zachodzi nierówność Dowód lematu Z założenia mamy gdzie: a b c d to różne od zera liczby rzeczywiste Mnożąc obie strony równości przez a b c d otrzymujemy: bcd + acd + abd + abc = 0 23

2 Podnosimy obie strony równości do kwadratu Jak podnieść do kwadratu sumę czterech składników? Jaki to wzór? Odpowiedź jest prosta wystarczy wykonać mnożenie (w + x + y + z) (w + x + y + z) i uporządkować składniki otrzymanej sumy wykonajcie to jednak sami Otrzymamy wówczas wzór (w + x + y + z) 2 = w 2 + x 2 + y 2 + z 2 + 2wx + 2wy + 2wz + 2xy + 2xz + 2yz Korzystając ze wzoru na kwadrat czterech składników wyznaczmy (bcd) 2 + (acd) 2 + (abd) 2 + (abc) 2 + 2bcdacd + 2bcdabd + 2bcdabc + 2acdabd + 2acdabc + 2abdabc = 0 (bcd) 2 + (acd) 2 + (abd) 2 + (abc) 2 + 2abcd (cd + bd + bc + ad + ac + ab) = 0 z czego po uporządkowaniu otrzymamy Zatem (bcd) 2 + (acd) 2 + (abd) 2 + (abc) 2 + 2abcd (ab + ac + ad + bc + bd + cd) = 0 (bcd) 2 + (acd) 2 + (abd) 2 + (abc) 2 = -2abcd (ab + ac + ad + bc + bd + cd) Ponieważ liczby a b c d są niezerowymi liczbami rzeczywistymi więc ich iloczyn będzie również liczbą różną od zera Zatem obie strony ostatniej równości możemy podzielić przez -2abcd co po zamianie równania stronami daje Podnosząc obie strony równości do kwadratu otrzymujemy (1) i przekształcamy prawą stronę tej równości Wykorzystując wartość bezwzględną i korzystając z tego że x 2 = x 2 ostatnią równość możemy zapisać w postaci (2) Dlaczego w ten sposób przekształciliśmy prawą stronę równości (1)? Otóż będziemy chcieli skorzystać z zależności między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną dla czterech nieujemnych liczb rzeczywistych x 1 = bcd 2 x 2 = acd 2 x 3 = abd 2 x 4 = abc 2 o średniej geometrycznej i arytmetycznej pisaliśmy w 25 numerze Świata Matematyki w artykule Ciągi liczbowe i ich własności cz2 Nierówność między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną dla czterech nieujemnych liczb rzeczywistych x 1 x 2 x 3 x 4 ma postać przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x 1 = x 2 = x 3 = x 4 (3) 24

3 Przedstawiony wzór oznacza że średnia arytmetyczna czterech liczb jest większa od średniej geometrycznej tych czterech liczb Udowodnimy że przedstawiona powyżej nierówność jest prawdziwa Dowód tej nierówności przeprowadzimy w dwóch krokach 1 Na początek udowodnimy że dla dowolnych dwóch nieujemnych liczb x 1 x 2 zachodzi nierówność Ponieważ obie strony nierówności są nieujemne więc obie strony nierówności możemy podnieść do kwadratu w wyniku czego otrzymujemy Końcowa nierówność jest zawsze prawdziwa co dowodzi prawdziwości wzoru 2 Wykorzystując udowodniony przed chwilą wzór wykażemy że dla dwóch zmiennych Na mocy wzoru udowodnionej nierówności dla x 1 x 2 możemy zapisać i Po dodaniu obu stron nierówności stronami i przekształcając otrzymujemy Dzieląc obie strony nierówności przez 2 otrzymujemy Zauważmy że po lewej stronie mamy już średnią arytmetyczną czterech liczb x 1 x 2 x 3 x 4 a po prawej stronie średnią arytmetyczną dwóch wyrażeń Zastosujmy więc do prawej strony ostatniej nierówności jeszcze raz udowodnioną nierówność dla dwóch liczb czyli co należało dowieźć Działania na potęgach (pierwiastkach) zostały opisane w Kursie przygotowawczym do matury z matematyki część 3 Potęgi i pierwiastki dostępnym dla prenumeratorów Świata Matematyki 25

4 W równaniu (2) na 25 stronie wyrażenie jest średnią arytmetyczną składników licznika Wykorzystując zależność między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną otrzymujemy Zauważmy że obie strony nierówności są nieujemne więc możemy podnieść do kwadratu obie jej strony zatem Przekształcając prawą stronę tej nierówności otrzymamy Ponieważ liczby a b c d są niezerowymi liczbami rzeczywistymi to obie strony tej nierówności możemy pomnożyć przez co daje Wróćmy do ostatniej równości na 25 stronie Korzystając teraz z powyższej nierówności możemy zapisać Zatem ponieważ x H x możemy zapisać (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 2 H 4 abcd H 4 abcd otrzymaliśmy nierówność (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 2 H 4 abcd którą mieliśmy wykazać w zadaniu 17 (dla poziomu OM) Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Jak łatwo zauważyć jest to dowód z wykorzystaniem drugiego warunku cytowanego na stronie 24 twierdzenia Dowód z wykorzystaniem pierwszego warunku znajduje się w cytowanej wcześniej broszurze 26

5 DRUGIE UOGÓLNIENIE PEWNEGO TWIERDZENIA Lemat Dla dowolnych liczb rzeczywistych a b c d takich że abcd G 0 zachodzi nierówność Dowód lematu Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną zatem (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 2 H 0 Z założenia mamy abcd G 0 Mnożąc obie strony powyższej nierówności przez 4 dostajemy 4abcd G 0 Z nierówności (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 2 H 0 i 4abcd G 0 wynika że Korzystając z udowodnionego lematu możemy uogólnić twierdzenie przedstawione w zadaniu Pierwsze uogólnienie pewnego twierdzenia i zapisać je w następującej postaci: Twierdzenie Dla dowolnych liczb rzeczywistych a b c d takich że a + b + c + d = 0 lub abcd G 0 lub dla niezerowych liczb rzeczywistych a b c d takich że zachodzi nierówność (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 2 H 4abcd JESZCZE JEDEN DOWÓD zadanie 2 z tegorocznych Obozów Naukowych dla poziomu OMG Udowodnij że dla dowolnych liczb rzeczywistych a b c zachodzi nierówność 7a(b + c) G 5(a 2 + b 2 + c 2 ) Rozwiązanie W broszurze dla poziomu OMG przedstawione zostały trzy interesujące dowody tej nierówności Przedstawiam czwarty dowód tej nierówności Korzystając z tego że x 2 = x 2 jak w poprzednim zadaniu możemy zapisać 5 (a 2 + b 2 + c 2 ) = 5 ( a 2 + b 2 + c 2 ) Przekształcimy wyrażenie a 2 + b 2 + c 2 w następujący sposób 27

6 Dlaczego dokonaliśmy tego przekształcenia? Otóż zaraz się przekonacie jednak najpierw sprawdzimy nierówność dla dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x y przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Dowód tej nierówności dla dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x y jest bardzo prosty Teraz go przeprowadzimy (x - y) 2 H 0 x 2 + y 2-2xy H 0 x 2 + y 2 H 2xy przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Do obu stron nierówności dodajemy x 2 + y 2 dzielimy obie strony nierówności przez 4 x 2 + y 2 + x 2 + y 2 H 2xy + x 2 + y 2 2x 2 +2y 2 H (x + y) 2 przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Ponieważ obie strony nierówności są nieujemne (nieujemne liczby rzeczywiste x y) możemy więc spierwiastkować obie strony nierówności Uzyskaliśmy zatem nierówność przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Jeśli x = b i y = c to korzystając z ostatniej nierówności mamy Zauważmy że obie strony tej nierówności są nieujemne (wartości bezwzględne b c ) więc możemy podnieść do kwadratu obie jej strony Pomnóżmy teraz przez 2 obie strony tej nierówności 28

7 oraz dodajmy a 2 do obu jej stron Pomnóżmy jeszcze przez 5 obie strony tej nierówności a otrzymamy Wracając do równania z poprzedniej strony i korzystając z ostatniej nierówności otrzymujemy Zatem Lewa strona otrzymanej nierówności odpowiada już treści zadania Zajmiemy się teraz przekształceniami prawej strony nierówności Skorzystamy teraz z nierówności między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną opisanej w 25 numerze Świata Matematyki w artykule Ciągi liczbowe i ich własności cz2 dla dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x = 2 a 2 y = ( b + c ) 2 Przypominamy że nierówność między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną dla dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x y ma postać: przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Dowód nierówności między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną dla dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x y został już przedstawiony w poprzednim zadaniu jednak przeprowadzimy go jeszcze raz w inny sposób Do obu stron nierówności dodajemy 4 xy (x - y) 2 H 0 x 2 + y 2-2xy H 0 x 2 + y 2-2xy + 4 xy H xy x 2 + y xy H 4 xy Dzielimy obie strony nierówności przez 4 (x + y) 2 H 4 xy przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Obie strony tej nierówności są nieujemne (przyjmujemy nieujemne wartości liczb rzeczywistych x y) więc możemy spierwiastkować obie strony nierówności i otrzymujemy przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Nierówność zatem została udowodniona 29

8 Jeżeli x = 2 a 2 y = ( b + c ) 2 to korzystając z udowodnionej nierówności mamy mnożąc obie strony nierówności przez 5 otrzymujemy Wracając do nierówności z poprzedniej strony i korzystając z otrzymanej nierówności mamy zatem Zauważmy że a więc Wracając do ostatniej otrzymanej nierówności mamy H 7 = = 7 (; a b ; + ; a c ;) H 7 ; a b + a c ; H 7 ( a b + a c ) = 7 a (b + c ) zatem H 7 a (b + c ) Marian Maciocha 30