OLIMPIADA MATEMATYCZNA

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "OLIMPIADA MATEMATYCZNA"

Transkrypt

1 OLIMPIADA MATEMATYCZNA Na stronie internetowej wwwomgedupl Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów (OMG) ukazały się ciekawe broszury zawierające interesujące zadania wraz z pomysłowymi rozwiązaniami z tegorocznych Obozów Naukowych dla poziomu OM oraz poziomu OMG Chciałbym zaproponować dodatkowe rozwiązania przedstawianych tam zadań W matematyce bardzo ważną rzeczą jest znajomość wielu rozwiązań jednego zadania Znakomicie kształtuje to nasz umysł narzędzie do rozwiązywania zadań z którymi wiele osób także w szkole czy na studiach nie daje sobie rady PIERWSZE UOGÓLNIENIE PEWNEGO TWIERDZENIA Przedstawiamy zadanie 17 z tegorocznych Obozów Naukowych dla poziomu OM Niezerowe liczby rzeczywiste a b c d spełniają warunki Wykaż że W broszurze dla poziomu OM przedstawione zostały dwa pomysłowe sposoby rozwiązania tego zadania przy czym w drugim sposobie założenie zostało zredukowane (osłabione) do warunku a + b + c + d = 0 tzn w dowodzie nierówności nie był wykorzystywany warunek Poniżej przedstawię lemat (lemat to twierdzenie pomocnicze którego zadaniem jest uproszczenie dowodów innych twierdzeń na przykład przy wyznaczaniu wartości liczby w 17 numerze Świata Matematyki) w którym założenie będzie zredukowane do warunku gdzie: a b c d niezerowe liczby rzeczywiste W dowodzie nierówności nie będzie zatem wykorzystywany warunek a + b + c + d = 0 Wówczas z przedstawionego lematu i z drugiego sposobu rozwiązania zadania 17 zamieszczonego w broszurze dla Poziomu OM tegorocznych Obozów Naukowych natychmiast wynika twierdzenie które jest uogólnieniem zadania 17 Ponadto przedstawiony lemat będziemy mogli traktować jako trzeci sposób rozwiązania zadania 17 Twierdzenie Dla dowolnych liczb rzeczywistych a b c d takich że a + b + c + d = 0 lub dla niezerowych liczb rzeczywistych a b c d takich że zachodzi nierówność Lemat Dla niezerowych liczb rzeczywistych a b c d takich że zachodzi nierówność Dowód lematu Z założenia mamy gdzie: a b c d to różne od zera liczby rzeczywiste Mnożąc obie strony równości przez a b c d otrzymujemy: bcd + acd + abd + abc = 0 23

2 Podnosimy obie strony równości do kwadratu Jak podnieść do kwadratu sumę czterech składników? Jaki to wzór? Odpowiedź jest prosta wystarczy wykonać mnożenie (w + x + y + z) (w + x + y + z) i uporządkować składniki otrzymanej sumy wykonajcie to jednak sami Otrzymamy wówczas wzór (w + x + y + z) 2 = w 2 + x 2 + y 2 + z 2 + 2wx + 2wy + 2wz + 2xy + 2xz + 2yz Korzystając ze wzoru na kwadrat czterech składników wyznaczmy (bcd) 2 + (acd) 2 + (abd) 2 + (abc) 2 + 2bcdacd + 2bcdabd + 2bcdabc + 2acdabd + 2acdabc + 2abdabc = 0 (bcd) 2 + (acd) 2 + (abd) 2 + (abc) 2 + 2abcd (cd + bd + bc + ad + ac + ab) = 0 z czego po uporządkowaniu otrzymamy Zatem (bcd) 2 + (acd) 2 + (abd) 2 + (abc) 2 + 2abcd (ab + ac + ad + bc + bd + cd) = 0 (bcd) 2 + (acd) 2 + (abd) 2 + (abc) 2 = -2abcd (ab + ac + ad + bc + bd + cd) Ponieważ liczby a b c d są niezerowymi liczbami rzeczywistymi więc ich iloczyn będzie również liczbą różną od zera Zatem obie strony ostatniej równości możemy podzielić przez -2abcd co po zamianie równania stronami daje Podnosząc obie strony równości do kwadratu otrzymujemy (1) i przekształcamy prawą stronę tej równości Wykorzystując wartość bezwzględną i korzystając z tego że x 2 = x 2 ostatnią równość możemy zapisać w postaci (2) Dlaczego w ten sposób przekształciliśmy prawą stronę równości (1)? Otóż będziemy chcieli skorzystać z zależności między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną dla czterech nieujemnych liczb rzeczywistych x 1 = bcd 2 x 2 = acd 2 x 3 = abd 2 x 4 = abc 2 o średniej geometrycznej i arytmetycznej pisaliśmy w 25 numerze Świata Matematyki w artykule Ciągi liczbowe i ich własności cz2 Nierówność między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną dla czterech nieujemnych liczb rzeczywistych x 1 x 2 x 3 x 4 ma postać przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x 1 = x 2 = x 3 = x 4 (3) 24

3 Przedstawiony wzór oznacza że średnia arytmetyczna czterech liczb jest większa od średniej geometrycznej tych czterech liczb Udowodnimy że przedstawiona powyżej nierówność jest prawdziwa Dowód tej nierówności przeprowadzimy w dwóch krokach 1 Na początek udowodnimy że dla dowolnych dwóch nieujemnych liczb x 1 x 2 zachodzi nierówność Ponieważ obie strony nierówności są nieujemne więc obie strony nierówności możemy podnieść do kwadratu w wyniku czego otrzymujemy Końcowa nierówność jest zawsze prawdziwa co dowodzi prawdziwości wzoru 2 Wykorzystując udowodniony przed chwilą wzór wykażemy że dla dwóch zmiennych Na mocy wzoru udowodnionej nierówności dla x 1 x 2 możemy zapisać i Po dodaniu obu stron nierówności stronami i przekształcając otrzymujemy Dzieląc obie strony nierówności przez 2 otrzymujemy Zauważmy że po lewej stronie mamy już średnią arytmetyczną czterech liczb x 1 x 2 x 3 x 4 a po prawej stronie średnią arytmetyczną dwóch wyrażeń Zastosujmy więc do prawej strony ostatniej nierówności jeszcze raz udowodnioną nierówność dla dwóch liczb czyli co należało dowieźć Działania na potęgach (pierwiastkach) zostały opisane w Kursie przygotowawczym do matury z matematyki część 3 Potęgi i pierwiastki dostępnym dla prenumeratorów Świata Matematyki 25

4 W równaniu (2) na 25 stronie wyrażenie jest średnią arytmetyczną składników licznika Wykorzystując zależność między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną otrzymujemy Zauważmy że obie strony nierówności są nieujemne więc możemy podnieść do kwadratu obie jej strony zatem Przekształcając prawą stronę tej nierówności otrzymamy Ponieważ liczby a b c d są niezerowymi liczbami rzeczywistymi to obie strony tej nierówności możemy pomnożyć przez co daje Wróćmy do ostatniej równości na 25 stronie Korzystając teraz z powyższej nierówności możemy zapisać Zatem ponieważ x H x możemy zapisać (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 2 H 4 abcd H 4 abcd otrzymaliśmy nierówność (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 2 H 4 abcd którą mieliśmy wykazać w zadaniu 17 (dla poziomu OM) Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Jak łatwo zauważyć jest to dowód z wykorzystaniem drugiego warunku cytowanego na stronie 24 twierdzenia Dowód z wykorzystaniem pierwszego warunku znajduje się w cytowanej wcześniej broszurze 26

5 DRUGIE UOGÓLNIENIE PEWNEGO TWIERDZENIA Lemat Dla dowolnych liczb rzeczywistych a b c d takich że abcd G 0 zachodzi nierówność Dowód lematu Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną zatem (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 2 H 0 Z założenia mamy abcd G 0 Mnożąc obie strony powyższej nierówności przez 4 dostajemy 4abcd G 0 Z nierówności (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 2 H 0 i 4abcd G 0 wynika że Korzystając z udowodnionego lematu możemy uogólnić twierdzenie przedstawione w zadaniu Pierwsze uogólnienie pewnego twierdzenia i zapisać je w następującej postaci: Twierdzenie Dla dowolnych liczb rzeczywistych a b c d takich że a + b + c + d = 0 lub abcd G 0 lub dla niezerowych liczb rzeczywistych a b c d takich że zachodzi nierówność (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 2 H 4abcd JESZCZE JEDEN DOWÓD zadanie 2 z tegorocznych Obozów Naukowych dla poziomu OMG Udowodnij że dla dowolnych liczb rzeczywistych a b c zachodzi nierówność 7a(b + c) G 5(a 2 + b 2 + c 2 ) Rozwiązanie W broszurze dla poziomu OMG przedstawione zostały trzy interesujące dowody tej nierówności Przedstawiam czwarty dowód tej nierówności Korzystając z tego że x 2 = x 2 jak w poprzednim zadaniu możemy zapisać 5 (a 2 + b 2 + c 2 ) = 5 ( a 2 + b 2 + c 2 ) Przekształcimy wyrażenie a 2 + b 2 + c 2 w następujący sposób 27

6 Dlaczego dokonaliśmy tego przekształcenia? Otóż zaraz się przekonacie jednak najpierw sprawdzimy nierówność dla dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x y przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Dowód tej nierówności dla dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x y jest bardzo prosty Teraz go przeprowadzimy (x - y) 2 H 0 x 2 + y 2-2xy H 0 x 2 + y 2 H 2xy przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Do obu stron nierówności dodajemy x 2 + y 2 dzielimy obie strony nierówności przez 4 x 2 + y 2 + x 2 + y 2 H 2xy + x 2 + y 2 2x 2 +2y 2 H (x + y) 2 przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Ponieważ obie strony nierówności są nieujemne (nieujemne liczby rzeczywiste x y) możemy więc spierwiastkować obie strony nierówności Uzyskaliśmy zatem nierówność przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Jeśli x = b i y = c to korzystając z ostatniej nierówności mamy Zauważmy że obie strony tej nierówności są nieujemne (wartości bezwzględne b c ) więc możemy podnieść do kwadratu obie jej strony Pomnóżmy teraz przez 2 obie strony tej nierówności 28

7 oraz dodajmy a 2 do obu jej stron Pomnóżmy jeszcze przez 5 obie strony tej nierówności a otrzymamy Wracając do równania z poprzedniej strony i korzystając z ostatniej nierówności otrzymujemy Zatem Lewa strona otrzymanej nierówności odpowiada już treści zadania Zajmiemy się teraz przekształceniami prawej strony nierówności Skorzystamy teraz z nierówności między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną opisanej w 25 numerze Świata Matematyki w artykule Ciągi liczbowe i ich własności cz2 dla dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x = 2 a 2 y = ( b + c ) 2 Przypominamy że nierówność między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną dla dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x y ma postać: przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Dowód nierówności między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną dla dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x y został już przedstawiony w poprzednim zadaniu jednak przeprowadzimy go jeszcze raz w inny sposób Do obu stron nierówności dodajemy 4 xy (x - y) 2 H 0 x 2 + y 2-2xy H 0 x 2 + y 2-2xy + 4 xy H xy x 2 + y xy H 4 xy Dzielimy obie strony nierówności przez 4 (x + y) 2 H 4 xy przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Obie strony tej nierówności są nieujemne (przyjmujemy nieujemne wartości liczb rzeczywistych x y) więc możemy spierwiastkować obie strony nierówności i otrzymujemy przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y Nierówność zatem została udowodniona 29

8 Jeżeli x = 2 a 2 y = ( b + c ) 2 to korzystając z udowodnionej nierówności mamy mnożąc obie strony nierówności przez 5 otrzymujemy Wracając do nierówności z poprzedniej strony i korzystając z otrzymanej nierówności mamy zatem Zauważmy że a więc Wracając do ostatniej otrzymanej nierówności mamy H 7 = = 7 (; a b ; + ; a c ;) H 7 ; a b + a c ; H 7 ( a b + a c ) = 7 a (b + c ) zatem H 7 a (b + c ) Marian Maciocha 30

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Nierówności dla początkujących olimpijczyków Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk wwwomgedupl Warszawa

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2016/2017 Etap II etap rejonowy- klucz odpowiedzi

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2016/2017 Etap II etap rejonowy- klucz odpowiedzi liczba uczniów Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 016/017 Etap II etap rejonowy- klucz odpowiedzi W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi.

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnego prawdziwa jest równość: Do obu stron założenia indukcyjnego należy dodać brakujący wyraz. Sprawdzamy prawdziwość równości (1) dla. Prawa strona:.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA Wyrażenia algebraiczne ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Wyrażenie 3 a 8 a +

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13 Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie

Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy oziom: szkoły ponadgimnazjalne, 0 punktów za każde zadanie Zadanie Znajdź dwa dzielniki pierwsze liczby - Można skorzystać z artykułu

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2 LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MARZEC 06 ODPOWIEDZI I PROPOZYCJA OCENIANIA ZAMKNIĘTE ODPOWIEDZI Nr zadania 5 Odpowiedź C D C B B ZADANIE Z KODOWANĄ ODPOWIEDZIĄ Zadanie 6 cyfra dziesiątek jedności OTWARTE

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum 1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera 1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 3 (2-26.0.2009) Omówienie zadań I serii zawodów

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2015 r. 12 października 2015 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. Wykaż, że istnieje

Bardziej szczegółowo

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze... Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję

Bardziej szczegółowo

LICZBY POWTÓRKA I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 III 25 IV Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E) III i IV

LICZBY POWTÓRKA I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 III 25 IV Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E) III i IV LICZBY POWTÓRKA ZADANIE (3 PKT) W tabeli zapisano cztery liczby. I (0, 2) 0 II (2, 5) 5 ( III 25 ) 2 ( 25 ) 3 IV 2 5 5 Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E)

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.) XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL Podstawy matematyki szkolnej WAŁBRZYCH 01 Spis treści 1 Wstęp Równania stopnia drugiego.1 Teoria i przykłady............................. Podstawowe wzory skróconego

Bardziej szczegółowo

Równania Pitagorasa i Fermata

Równania Pitagorasa i Fermata Równania Pitagorasa i Fermata Oliwia Jarzęcka, Kajetan Grzybacz, Paweł Jarosz 7 lutego 18 1 Wstęp Punktem wyjścia dla naszych rozważań jest klasyczne równanie Pitagorasa związane z trójkątem prostokątnym

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ zna i potrafi stosować przekształcenia wykresów funkcji zna i

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach -5 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj

Bardziej szczegółowo

LXII Olimpiada Matematyczna

LXII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 18 lutego 2011 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych układ równań { (x y)(x 3 +y

Bardziej szczegółowo

Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko

Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko Tomasz Grębski Matematyka Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko Zadania z rozwiązaniami Spis treści Wstęp... Typowe podstawienia... 6 Symbole używane w zbiorze... 7. Podstawienie zmiennej

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2 1 POTĘGI Definicja potęgi ł ę ę > a 0 = 1 (każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi 0 daje zawsze 1) a 1 = a (każda liczba podniesiona do potęgi 1 dają tą samą liczbę) 1. Jeśli wykładnik jest

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj

Bardziej szczegółowo

Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki)

Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki) Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki) 1. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 9 czy 3 1? 9 < 30 8 10 < 9 10 3 0 < 3 1.. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 81 czy 3 49? 81 > 80 56 10 > 43

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) = Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry bardzo dobry Zdanie logiczne ( proste i złożone i forma zdaniowa oraz prawa logiczne dotyczące alternatywy,

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 1. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 1. (0 1) Liczba 8 3 3 2 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 3 9 C. 3 D. 5 3 Zadanie 2.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 78353 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 4 jest

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową

Bardziej szczegółowo