R R. dt w 1 (t) w 2 (t), forma b Q przybiera postać. 175 f 3 f

Transkrypt

1 WIELOMIANY LEGENDRE A DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) R R Rozważmy przestrzeń wektorowa V := R [ ] [,] na ciałem R wielomiany owolnego stopnia na ocinku omkniȩtym [, ]), wyposażona w formȩ kwaratowa Q : V R : w t [wt)]. Forma ta, bȩa c jawnie ściśle) oatnio określona, o czym można siȩ też przekonać na postawie analizy symetrycznej formy wuliniowej b Q stowarzyszonej z Q poprzez formułȩ polaryzacyjna b Q : V V R : w, w ) b Q w, w ) := [Qw + w ) Qw ) Qw )] inukuje iloczyn skalarny na V, any wzorem w w ) Q := b Q w, w ). t w t) w t), W szczególności możemy rozpatrywać bazy V ortogonalne wzglȩem ) Q tj. iagonalizuja ce b Q ). Boaj najprostsza metoa konstrukcji takiej bazy jest algorytm Grama Schmita, który przećwiczymy na najbliższych zajȩciach. Za.. Zortogonalizować bazȩ jenomianowa {e k } k 0,4, e k t) := t k poprzestrzeni R 4 [ ] [,] V wielomiany stopnia równego co najwyżej 4) biora c za pierwszy wektor bazy ortogonalnej f 0 := e 0. Rozw. W wyniku proceury ortogonalizacji uzyskujemy bazȩ f 0 = e 0, f = e, f = e 3 e 0, f 3 = e e, f 4 = e e e 0. W bazie { f k } k 0,4 ualnej o { f k } k 0,4 forma b Q przybiera postać b Q = f 0 f f f f f f 3 f f 4 f 4. Powyższa proceura aje nam z okłanościa o normalizacji, która ustalamy w zgozie z powszechnie przyjȩta konwencja ) pierwszych piȩć wielomianów Tj. przez bezpośrenia iagonalizacjȩ metoa Lagrange a, ba ź też w owołaniu o kryterium wyznacznikowego Sylvestera Jacobiego.

2 Legenre a P 0 := f 0, P := f, P := 3 f, P 3 := 5 f 3, P 4 := 35 8 f 4. W celu ustalenia postaci wielomianu P n la owolnej wartości ineksu n N warto poczynić banalna obserwacjȩ: opełnienie ortogonalne wzglȩem ) Q ) poprzestrzeni R n [ ] [,] wymiaru im R R n [ ] [,] = n w przestrzeni R n [ ] [,] wymiaru im R R n [ ] [,] = n + ma wymiar rzeczywisty, wystarczy wiȩc znaleźć owolny wielomian w n stopnia ) spełniaja cy warunek ) eg w n = n k 0,n : e k w n ) Q = 0, aby wyznaczyć P n z okłanościa o niezerowego mnożnika skalarnego, P n = α n w n, α n R. Za [Fic48], bȩziemy szukać w n w ość szczególnej postaci. Zauważmy najpierw, że owolny) wielomian w n R n [ ] [,] można przestawić jako pochona wielomianu W n+ stopnia o jeen wyższego, który ma w punkcie t = zero. W rzeczy samej, na mocy postawowego twierzenia rachunku całkowego zachozi wiȩc mamy w n t) = t W n+ t) = t t s w n s), s w n s). Zastosowawszy ten argument n-krotnie, możemy ostatecznie przepisać w n w postaci w n t) = n t n W nt) la pewnego wielomianu W n R n [ ] [,], który spełnia równości k 3) W n ) = 0, t W n) = 0, k, n. k Jeśli teraz postawić tak określony wielomian w n o warunku ) i ocałkować uzyskane wyrażenie przez czȩści, to otrzymamy 0 = e k w n ) Q = n t t k n t n W nt) ) l=0 l+ l t t W nt) n k l tk n l + ) n+ t W n t) n t n tk, zatem biora c po uwagȩ nierówność k < n oraz 3), sprowazamy powyższe wyrażenie o postaci n l+ l ) t l t k n l t= t W n) = 0. n k l=0

3 Skoro jenak 0 k < n jest owolne, to ostajemy tym sposobem ukła równości W n ) = 0, Jest zatem koniecznie k t k W n) = 0, k, n. W n t) = t ) t + ) W n t) la pewnego W n R n[ ] [,], a nato wiȩc też 0 = t [ t ) t + ) W n t)] t=± = ±W n ±), W n t) = t ) t + ) W n 4 t) la pewnego W n 4 R n[ ] [,]. Jest całkowicie jasnym, że na koniec ostajemy przeto ostatecznie Wniosek: W n t) = t ) n t + ) n, w n t) = n t n. n P n = α n. t n Wartość mnożnika α n ustalamy narzucaja c oatkowy warunek t n P n )! =, przy którym n = α n nt n = αn t) n n ) =... = αn n n!, t= t= czyli t n n P n t) = 4). n n! t n Powyższy zapis nosi miano formuły Roriguesa. Powyższa formuła pozwala w prosty sposób wykazać ortogonalność bazy Legenre a przestrzeni V i zarazem ustalić normalizacjȩ wielomianów P n. Istotnie, bez truu obliczamy P m P n ) Q = = m+n m! n! ) m m+n m! n! t m t m t ) m t t ) m n t n m+n t m+n, ska wniosek, że ilekroć m > n lub z uwagi na symetriȩ ) Q m < n, zachozi równość P m P n ) Q = 0, 3

4 wyrażaja ca wzajemna ortogonalność wielomianów Legenre a różnego stopnia. W ten sam sposób ochozimy o wzoru P n P n ) Q = ) n n n!) = n)! n n!) n)! n n!) 0 π 0 t n t n = n)! n n!) t t ) n = t = cos θ = n)! n n!) θ sin θ) n+. 0 π t t ) n θ sin θ sin θ) n Powyższa całkȩ można bez truu policzyć, np. korzystaja c z metoy całkowania przez czȩści, a nastȩpnie rekurencyjnie) wyrażaja c ja przez analogiczna całkȩ la n = 0. Na koniec ostajemy 4 n) 3 5 n + ) n)! n n!) [ 4 n)] = n)! n + )! n n!) = n +. Wprost z konstrukcji wielomianów Legenre a wynika nastȩpuja ce P n P n ) Q = n)! n n!) Stw.. Wielomian Legenre a P n ma na ocinku otwartym ], [ okłanie n parami różnych miejsc zerowych. Dowó: [za [Arn97]] Liczba zer 0 P n ) wielomianu P n stopnia n) spełnia oczywista nierówność 0 P n ) n. Załóżmy przeciwnie o owozonej tezy że 0 P n ) < n. Niechaj ± 0 P n) oznacza liczbȩ tych zer, w których wartość) P n zmienia znak, czyli tzw. zer prostych oznaczmy je jako t k ], [, k, ± 0 P n). Naturalnie Utwórzmy kombinacjȩ liniowa ± 0 P n) < n. 0 P n) := ± 0 P n) k=0 λ k P k wielomianów Legenre a stopnia nie wiȩkszego niż ± 0 P n) o tej własności, że ma zera tylko) w punktach t k i sa to zera proste, a nato 0 0 P n)) > 0. Jest oczywistym, że 0 P n) istnieje, gyż np. 0 P n)t) := ± 0 P n) k= t t k ) ma ża ane własności w szczególności 0 P n)) > 0 jako iloczyn 0 P n) czynników oatnich), a przy tym eg 0 P n) = ± 0 P n), wiȩc na mocy konstrukcji 0 P n) R ± 0 P n)[ ] [,] span R P k. k 0, ± 0 P n) n n!) n + )! 4

5 Ponieważ zarówno wartości) P n jak i wartości) 0 P n) zmieniaja znak wyła cznie w punktach t k i w każym z przeziałów ]t k, t k+ [, k, ± P 0 n) ich wartości) maja ten sam znak, przeto t P n t) 0 P n)t) > 0, co jenak jawnie przeczy ortogonalności P n wzglȩem wszystkich P k, k < n, wynikaja cej wprost z konstrukcji wielomianów Legenre a. Ta sprzeczność pokazuje, że musi zachozić równość 0 P n ) = n. Poamy teraz reprezentacjȩ całkowa wielomianów Legenre a, szczególnie przyatna w owozeniu spełnianych przez nie rekurencji oraz równania różniczkowego, la którego tworza one bazȩ rozwia zań. W celu wyprowazenia rzeczonej reprezentacji rozpatrzymy przełużenie analityczne analityczne napotkanej wcześniej funkcji zmiennej rzeczywistej f n t) := n, t R na płaszczynȩ zespolona, ane wzorem f n z) := n z ) n, z C. Na mocy uogólnionego wzoru Cauchy ego la owolnie wybranego konturu S obiegaja cego jenokrotnie w kierunku przeciwnym o kierunku ruchu wskazówek zegara) punkt t R otrzymujemy wynik πi f n ζ) ζ t) = n+ n! n fn t) t n n n! n t n. Prawziwa jest wiȩc poniższa formuła całkowa Schläfliego: ζ ) n 5) P n t) = n πi ζ t), n+ która stanowi punkt wyjścia o naszych alszych rozważań, prowazonych zasaniczo weług [WW0]. W pierwszej kolejności wykorzystamy powyższa formułȩ o wyprowazenia wóch prostych relacji pseuo-)rekurencyjnych spełnianych przez wielomiany Legenre a. Bȩziemy przy tym korzystać z twierzenia o różniczkowaniu całki z parametrem, którego założenia w oczywisty sposób spełnia całka Schläfliego. Zacznijmy o prostej obserwacji: 0 = ζ ) n+ = ζ ζ ) n ζ ) n+ n + ζ t) n+ ζ t) n+ ζ t) n+ ζ t + t) ζ ) n ζ ) n+ ζ t) n+ ζ t) n+ ζ ) n ζ = ζ t) + t ) n ζ n ζ t) ) n+ n+ ζ t), n+ 5

6 która przepiszemy w postaci ζ ) n+ ζ t) t n+ ζ ) n ζ t) = n+ ζ ) n ζ t). n Przemnożywszy obie strony ostatniej równości przez, ostajemy n πi ζ ) n 6) P n+ t) t P n t) = n πi ζ t), n co po zróżniczkowaniu wzglȩem zmiennej t prowazi o pierwszej z poszukiwanych pseuo-)rekurencji t P n+t) P n t) t t P nt) = n P n t). W poobny sposób obliczamy 0 = ζ ζ ) n ζ t) n ζ ) n ζ = ζ t) + n + ) ζ ) n ζ t + t) ζ ) n n n ζ t) n ζ t) n+ ζ ) n ζ = n + ) ζ t) + n ) n ζ ) n nt n ζ t) n ζ t), n+ co w świetle 6) można przepisać w postaci postawowej rekurencji la wielomianów Legenre a: n + ) P n+ t) n + ) t P n t) + n P n t) = 0. Nastȩpnie wyprowazimy równanie różniczkowe spełniane przez wielomian Legenre a P n a opisane w poniższym Stw.. Wielomian Legenre a P n spełnia równanie różniczkowe Legenre a ) t 7) t P nt) t t P nt) + n n + ) P n t) = 0. Dowó: Różniczkujemy stronami równość 5), otrzymuja c przy tym tożsamości t P nt) = n + ζ ) n n πi ζ t), n+ t P n + ) n + ) ζ ) n nt) = n πi ζ t). n+3 Pozwalaja one zapisać przeskalowana ) lewa stronȩ owozonego równania, jak nastȩpuje: [ n πi ) t n + t P nt) t ] t P nt) + n n + ) P n t) ζ ) n [ = ) n + ) t t ζ t) + n ζ t) ] ζ t) n+3 ζ ) n [ n ζ n + ) t ζ + n + ] ζ t) n+3 6

7 ζ ) n [ n + ) ζ ) + n + ) ζ ζ t) ]. ζ t) n+3 Na poobieństwo wcześniejszych rachunków liczymy 0 = ζ ) n+ = n + ) ζ ζ ) n n + ) ζ t) n+ ζ t) n+ To ostatecznie aje [ n πi ) t n + t P nt) t ] t P nt) + n n + ) P n t) = 0, co należało wykazać. ζ ) n+ ζ t) n+3. Uwaga kulturoznawcza: Równanie Legenre a ) t 8) t yt) t yt) + nn + ) yt) = 0 t pojawia siȩ w naer naturalny sposób w analizie zaganienia Laplace a w trzech wymiarach, 9) 3) u = 0, gy tylko okonać rozzielenia zmiennych ur, ϕ, θ) = Rr) Φϕ) Θθ) po przejściu o stanarowych) współrzȩnych kulistych r, ϕ, θ). W tych współrzȩnych 3) = r ) + sin θ ) + r r r r sin θ θ θ r sin θ) ϕ, wiȩc też równanie 9) przybiera postać r R ) Rr) r r r) + sin θ Θθ) θ a alej przepisuje siȩ jako ukła równań Φϕ) = λ Φϕ) ϕ ) sin θ) Rr) r r Rr) r + sin θ Θθ) sin θ Θ θ θ) ) + θ ) Θθ) sin θ θ = λ Φ sin θ) Φϕ) ϕ = 0, zaanych la pewnej stałej rzeczywistej λ. Poobnie jak w przypaku wuwymiarowym π-okresowość rozwia zania u wymaga istnienia liczby całkowitej n Z spełniaja cej tożsamość gyż mamy λ = n, Φ n ϕ) = A n cos λϕ) + B n sin λϕ) = A n cosnϕ) + B n sinnϕ). Możemy zatem przyja ć, bazȩ rozwia zań pierwszego z zaganień skłaowych stanowia funkcje sinnϕ) oraz cosnϕ), ineksowane liczbami naturalnymi W pełnej analogii o przypaku wuwymiarowego w poniższych rozważaniach antycypujemy jenoznaczność rozwia zania zaganienia brzegowego) Laplace a w konkretnej sytuacji fizycznej, która moelujemy przy użyciu harmonicznego pola skalarnego u. 7

8 n N. Postawiaja c λ w tak określonej postaci o rugiego z zaganień skłaowych, otrzymujemy równanie sin θ) r Rr) ) + sin θ sin θ Θθ) ) = n, Rr) r r Θθ) θ θ które znowu możemy rozpisać jako ukła wóch równań ) r r Rr) r = µ Rr), ) ) Θθ) sin θ θ sin θ θ µ n sin θ) Θθ) zefiniowanych la pewnej stałej rzeczywistej µ. Postulujemy a wówczas koniecznie R m r) = r m, m Z, µ = mm + ). Na koniec wprowazamy nowa zmienna i w ten sposób la t := cos θ Θt) := Θ θt)) otrzymujemy uogólnione) równanie Legenre a ) [ ] t t Θt) t + mm + ) n Θt) = 0. t Bazȩ jego rozwia zań tworza tzw. stowarzyszone wielomiany Legenre a. W przypaku istnienia symetrii osiowej w moelowanym zaganieniu, tj. la u ϕ, powyższe równanie sprowaza siȩ o wyprowazanego uprzenio równania Legenre a 8). Literatura [Arn97] V.I. Arnol, Lectures on Partial Differential Equations, PHASIS, 997. [Fic48] G.M. Fichtenholz, Course of Differential an Integral Calculus, vol., Gostekhizat, 948. [WW0] E.T. Whittaker an G.N. Watson, A Course of Moern Analysis, Cambrige University Press, 90. Warszawa, 4. marca 0 r. 8