R R. dt w 1 (t) w 2 (t), forma b Q przybiera postać. 175 f 3 f
|
|
- Bartosz Urban
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WIELOMIANY LEGENDRE A DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) R R Rozważmy przestrzeń wektorowa V := R [ ] [,] na ciałem R wielomiany owolnego stopnia na ocinku omkniȩtym [, ]), wyposażona w formȩ kwaratowa Q : V R : w t [wt)]. Forma ta, bȩa c jawnie ściśle) oatnio określona, o czym można siȩ też przekonać na postawie analizy symetrycznej formy wuliniowej b Q stowarzyszonej z Q poprzez formułȩ polaryzacyjna b Q : V V R : w, w ) b Q w, w ) := [Qw + w ) Qw ) Qw )] inukuje iloczyn skalarny na V, any wzorem w w ) Q := b Q w, w ). t w t) w t), W szczególności możemy rozpatrywać bazy V ortogonalne wzglȩem ) Q tj. iagonalizuja ce b Q ). Boaj najprostsza metoa konstrukcji takiej bazy jest algorytm Grama Schmita, który przećwiczymy na najbliższych zajȩciach. Za.. Zortogonalizować bazȩ jenomianowa {e k } k 0,4, e k t) := t k poprzestrzeni R 4 [ ] [,] V wielomiany stopnia równego co najwyżej 4) biora c za pierwszy wektor bazy ortogonalnej f 0 := e 0. Rozw. W wyniku proceury ortogonalizacji uzyskujemy bazȩ f 0 = e 0, f = e, f = e 3 e 0, f 3 = e e, f 4 = e e e 0. W bazie { f k } k 0,4 ualnej o { f k } k 0,4 forma b Q przybiera postać b Q = f 0 f f f f f f 3 f f 4 f 4. Powyższa proceura aje nam z okłanościa o normalizacji, która ustalamy w zgozie z powszechnie przyjȩta konwencja ) pierwszych piȩć wielomianów Tj. przez bezpośrenia iagonalizacjȩ metoa Lagrange a, ba ź też w owołaniu o kryterium wyznacznikowego Sylvestera Jacobiego.
2 Legenre a P 0 := f 0, P := f, P := 3 f, P 3 := 5 f 3, P 4 := 35 8 f 4. W celu ustalenia postaci wielomianu P n la owolnej wartości ineksu n N warto poczynić banalna obserwacjȩ: opełnienie ortogonalne wzglȩem ) Q ) poprzestrzeni R n [ ] [,] wymiaru im R R n [ ] [,] = n w przestrzeni R n [ ] [,] wymiaru im R R n [ ] [,] = n + ma wymiar rzeczywisty, wystarczy wiȩc znaleźć owolny wielomian w n stopnia ) spełniaja cy warunek ) eg w n = n k 0,n : e k w n ) Q = 0, aby wyznaczyć P n z okłanościa o niezerowego mnożnika skalarnego, P n = α n w n, α n R. Za [Fic48], bȩziemy szukać w n w ość szczególnej postaci. Zauważmy najpierw, że owolny) wielomian w n R n [ ] [,] można przestawić jako pochona wielomianu W n+ stopnia o jeen wyższego, który ma w punkcie t = zero. W rzeczy samej, na mocy postawowego twierzenia rachunku całkowego zachozi wiȩc mamy w n t) = t W n+ t) = t t s w n s), s w n s). Zastosowawszy ten argument n-krotnie, możemy ostatecznie przepisać w n w postaci w n t) = n t n W nt) la pewnego wielomianu W n R n [ ] [,], który spełnia równości k 3) W n ) = 0, t W n) = 0, k, n. k Jeśli teraz postawić tak określony wielomian w n o warunku ) i ocałkować uzyskane wyrażenie przez czȩści, to otrzymamy 0 = e k w n ) Q = n t t k n t n W nt) ) l=0 l+ l t t W nt) n k l tk n l + ) n+ t W n t) n t n tk, zatem biora c po uwagȩ nierówność k < n oraz 3), sprowazamy powyższe wyrażenie o postaci n l+ l ) t l t k n l t= t W n) = 0. n k l=0
3 Skoro jenak 0 k < n jest owolne, to ostajemy tym sposobem ukła równości W n ) = 0, Jest zatem koniecznie k t k W n) = 0, k, n. W n t) = t ) t + ) W n t) la pewnego W n R n[ ] [,], a nato wiȩc też 0 = t [ t ) t + ) W n t)] t=± = ±W n ±), W n t) = t ) t + ) W n 4 t) la pewnego W n 4 R n[ ] [,]. Jest całkowicie jasnym, że na koniec ostajemy przeto ostatecznie Wniosek: W n t) = t ) n t + ) n, w n t) = n t n. n P n = α n. t n Wartość mnożnika α n ustalamy narzucaja c oatkowy warunek t n P n )! =, przy którym n = α n nt n = αn t) n n ) =... = αn n n!, t= t= czyli t n n P n t) = 4). n n! t n Powyższy zapis nosi miano formuły Roriguesa. Powyższa formuła pozwala w prosty sposób wykazać ortogonalność bazy Legenre a przestrzeni V i zarazem ustalić normalizacjȩ wielomianów P n. Istotnie, bez truu obliczamy P m P n ) Q = = m+n m! n! ) m m+n m! n! t m t m t ) m t t ) m n t n m+n t m+n, ska wniosek, że ilekroć m > n lub z uwagi na symetriȩ ) Q m < n, zachozi równość P m P n ) Q = 0, 3
4 wyrażaja ca wzajemna ortogonalność wielomianów Legenre a różnego stopnia. W ten sam sposób ochozimy o wzoru P n P n ) Q = ) n n n!) = n)! n n!) n)! n n!) 0 π 0 t n t n = n)! n n!) t t ) n = t = cos θ = n)! n n!) θ sin θ) n+. 0 π t t ) n θ sin θ sin θ) n Powyższa całkȩ można bez truu policzyć, np. korzystaja c z metoy całkowania przez czȩści, a nastȩpnie rekurencyjnie) wyrażaja c ja przez analogiczna całkȩ la n = 0. Na koniec ostajemy 4 n) 3 5 n + ) n)! n n!) [ 4 n)] = n)! n + )! n n!) = n +. Wprost z konstrukcji wielomianów Legenre a wynika nastȩpuja ce P n P n ) Q = n)! n n!) Stw.. Wielomian Legenre a P n ma na ocinku otwartym ], [ okłanie n parami różnych miejsc zerowych. Dowó: [za [Arn97]] Liczba zer 0 P n ) wielomianu P n stopnia n) spełnia oczywista nierówność 0 P n ) n. Załóżmy przeciwnie o owozonej tezy że 0 P n ) < n. Niechaj ± 0 P n) oznacza liczbȩ tych zer, w których wartość) P n zmienia znak, czyli tzw. zer prostych oznaczmy je jako t k ], [, k, ± 0 P n). Naturalnie Utwórzmy kombinacjȩ liniowa ± 0 P n) < n. 0 P n) := ± 0 P n) k=0 λ k P k wielomianów Legenre a stopnia nie wiȩkszego niż ± 0 P n) o tej własności, że ma zera tylko) w punktach t k i sa to zera proste, a nato 0 0 P n)) > 0. Jest oczywistym, że 0 P n) istnieje, gyż np. 0 P n)t) := ± 0 P n) k= t t k ) ma ża ane własności w szczególności 0 P n)) > 0 jako iloczyn 0 P n) czynników oatnich), a przy tym eg 0 P n) = ± 0 P n), wiȩc na mocy konstrukcji 0 P n) R ± 0 P n)[ ] [,] span R P k. k 0, ± 0 P n) n n!) n + )! 4
5 Ponieważ zarówno wartości) P n jak i wartości) 0 P n) zmieniaja znak wyła cznie w punktach t k i w każym z przeziałów ]t k, t k+ [, k, ± P 0 n) ich wartości) maja ten sam znak, przeto t P n t) 0 P n)t) > 0, co jenak jawnie przeczy ortogonalności P n wzglȩem wszystkich P k, k < n, wynikaja cej wprost z konstrukcji wielomianów Legenre a. Ta sprzeczność pokazuje, że musi zachozić równość 0 P n ) = n. Poamy teraz reprezentacjȩ całkowa wielomianów Legenre a, szczególnie przyatna w owozeniu spełnianych przez nie rekurencji oraz równania różniczkowego, la którego tworza one bazȩ rozwia zań. W celu wyprowazenia rzeczonej reprezentacji rozpatrzymy przełużenie analityczne analityczne napotkanej wcześniej funkcji zmiennej rzeczywistej f n t) := n, t R na płaszczynȩ zespolona, ane wzorem f n z) := n z ) n, z C. Na mocy uogólnionego wzoru Cauchy ego la owolnie wybranego konturu S obiegaja cego jenokrotnie w kierunku przeciwnym o kierunku ruchu wskazówek zegara) punkt t R otrzymujemy wynik πi f n ζ) ζ t) = n+ n! n fn t) t n n n! n t n. Prawziwa jest wiȩc poniższa formuła całkowa Schläfliego: ζ ) n 5) P n t) = n πi ζ t), n+ która stanowi punkt wyjścia o naszych alszych rozważań, prowazonych zasaniczo weług [WW0]. W pierwszej kolejności wykorzystamy powyższa formułȩ o wyprowazenia wóch prostych relacji pseuo-)rekurencyjnych spełnianych przez wielomiany Legenre a. Bȩziemy przy tym korzystać z twierzenia o różniczkowaniu całki z parametrem, którego założenia w oczywisty sposób spełnia całka Schläfliego. Zacznijmy o prostej obserwacji: 0 = ζ ) n+ = ζ ζ ) n ζ ) n+ n + ζ t) n+ ζ t) n+ ζ t) n+ ζ t + t) ζ ) n ζ ) n+ ζ t) n+ ζ t) n+ ζ ) n ζ = ζ t) + t ) n ζ n ζ t) ) n+ n+ ζ t), n+ 5
6 która przepiszemy w postaci ζ ) n+ ζ t) t n+ ζ ) n ζ t) = n+ ζ ) n ζ t). n Przemnożywszy obie strony ostatniej równości przez, ostajemy n πi ζ ) n 6) P n+ t) t P n t) = n πi ζ t), n co po zróżniczkowaniu wzglȩem zmiennej t prowazi o pierwszej z poszukiwanych pseuo-)rekurencji t P n+t) P n t) t t P nt) = n P n t). W poobny sposób obliczamy 0 = ζ ζ ) n ζ t) n ζ ) n ζ = ζ t) + n + ) ζ ) n ζ t + t) ζ ) n n n ζ t) n ζ t) n+ ζ ) n ζ = n + ) ζ t) + n ) n ζ ) n nt n ζ t) n ζ t), n+ co w świetle 6) można przepisać w postaci postawowej rekurencji la wielomianów Legenre a: n + ) P n+ t) n + ) t P n t) + n P n t) = 0. Nastȩpnie wyprowazimy równanie różniczkowe spełniane przez wielomian Legenre a P n a opisane w poniższym Stw.. Wielomian Legenre a P n spełnia równanie różniczkowe Legenre a ) t 7) t P nt) t t P nt) + n n + ) P n t) = 0. Dowó: Różniczkujemy stronami równość 5), otrzymuja c przy tym tożsamości t P nt) = n + ζ ) n n πi ζ t), n+ t P n + ) n + ) ζ ) n nt) = n πi ζ t). n+3 Pozwalaja one zapisać przeskalowana ) lewa stronȩ owozonego równania, jak nastȩpuje: [ n πi ) t n + t P nt) t ] t P nt) + n n + ) P n t) ζ ) n [ = ) n + ) t t ζ t) + n ζ t) ] ζ t) n+3 ζ ) n [ n ζ n + ) t ζ + n + ] ζ t) n+3 6
7 ζ ) n [ n + ) ζ ) + n + ) ζ ζ t) ]. ζ t) n+3 Na poobieństwo wcześniejszych rachunków liczymy 0 = ζ ) n+ = n + ) ζ ζ ) n n + ) ζ t) n+ ζ t) n+ To ostatecznie aje [ n πi ) t n + t P nt) t ] t P nt) + n n + ) P n t) = 0, co należało wykazać. ζ ) n+ ζ t) n+3. Uwaga kulturoznawcza: Równanie Legenre a ) t 8) t yt) t yt) + nn + ) yt) = 0 t pojawia siȩ w naer naturalny sposób w analizie zaganienia Laplace a w trzech wymiarach, 9) 3) u = 0, gy tylko okonać rozzielenia zmiennych ur, ϕ, θ) = Rr) Φϕ) Θθ) po przejściu o stanarowych) współrzȩnych kulistych r, ϕ, θ). W tych współrzȩnych 3) = r ) + sin θ ) + r r r r sin θ θ θ r sin θ) ϕ, wiȩc też równanie 9) przybiera postać r R ) Rr) r r r) + sin θ Θθ) θ a alej przepisuje siȩ jako ukła równań Φϕ) = λ Φϕ) ϕ ) sin θ) Rr) r r Rr) r + sin θ Θθ) sin θ Θ θ θ) ) + θ ) Θθ) sin θ θ = λ Φ sin θ) Φϕ) ϕ = 0, zaanych la pewnej stałej rzeczywistej λ. Poobnie jak w przypaku wuwymiarowym π-okresowość rozwia zania u wymaga istnienia liczby całkowitej n Z spełniaja cej tożsamość gyż mamy λ = n, Φ n ϕ) = A n cos λϕ) + B n sin λϕ) = A n cosnϕ) + B n sinnϕ). Możemy zatem przyja ć, bazȩ rozwia zań pierwszego z zaganień skłaowych stanowia funkcje sinnϕ) oraz cosnϕ), ineksowane liczbami naturalnymi W pełnej analogii o przypaku wuwymiarowego w poniższych rozważaniach antycypujemy jenoznaczność rozwia zania zaganienia brzegowego) Laplace a w konkretnej sytuacji fizycznej, która moelujemy przy użyciu harmonicznego pola skalarnego u. 7
8 n N. Postawiaja c λ w tak określonej postaci o rugiego z zaganień skłaowych, otrzymujemy równanie sin θ) r Rr) ) + sin θ sin θ Θθ) ) = n, Rr) r r Θθ) θ θ które znowu możemy rozpisać jako ukła wóch równań ) r r Rr) r = µ Rr), ) ) Θθ) sin θ θ sin θ θ µ n sin θ) Θθ) zefiniowanych la pewnej stałej rzeczywistej µ. Postulujemy a wówczas koniecznie R m r) = r m, m Z, µ = mm + ). Na koniec wprowazamy nowa zmienna i w ten sposób la t := cos θ Θt) := Θ θt)) otrzymujemy uogólnione) równanie Legenre a ) [ ] t t Θt) t + mm + ) n Θt) = 0. t Bazȩ jego rozwia zań tworza tzw. stowarzyszone wielomiany Legenre a. W przypaku istnienia symetrii osiowej w moelowanym zaganieniu, tj. la u ϕ, powyższe równanie sprowaza siȩ o wyprowazanego uprzenio równania Legenre a 8). Literatura [Arn97] V.I. Arnol, Lectures on Partial Differential Equations, PHASIS, 997. [Fic48] G.M. Fichtenholz, Course of Differential an Integral Calculus, vol., Gostekhizat, 948. [WW0] E.T. Whittaker an G.N. Watson, A Course of Moern Analysis, Cambrige University Press, 90. Warszawa, 4. marca 0 r. 8
Wielomiany Hermite a i ich własności
3.10.2004 Do. mat. B. Wielomiany Hermite a i ich własności 4 Doatek B Wielomiany Hermite a i ich własności B.1 Definicje Jako postawową efinicję wielomianów Hermite a przyjmiemy wzór Roriguesa n H n (x)
Przekształcenie całkowe Fouriera
Przekształcenie całkowe Fouriera Postać zespolona szeregu Fouriera Niech ana bęzie funkcja f spełniająca w przeziale [, ] warunki Dirichleta. Wtey szereg Fouriera tej funkcji jest o niej zbieżny, tj. przy
WYKŁAD nr Ekstrema funkcji jednej zmiennej o ciągłych pochodnych. xˆ ( ) 0
WYKŁAD nr 4. Zaanie programowania nieliniowego ZP. Ekstrema unkcji jenej zmiennej o ciągłych pochonych Przypuśćmy ze punkt jest punktem stacjonarnym unkcji gzie punktem stacjonarnym nazywamy punkt la którego
Elektrodynamika. Część 2. Specjalne metody elektrostatyki. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektroynamika Część 2 Specjalne metoy elektrostatyki Ryszar Tanaś Zakła Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.phys.amu.eu.pl/\~tanas Spis treści 3 Specjalne metoy elektrostatyki 3 3. Równanie Laplace a....................
Harmoniki sferyczne. Dodatek C. C.1 Wprowadzenie. Całka normalizacyjna I p (n)
3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 1 Doatek C Harmoniki sferyczne C.1 Wprowazenie Harmoniki sferyczne są funkcjami specjalnymi pojawiającymi się w wielu zaganieniach fizyki. W poręcznikach fizyki matematycznej
15 Potencjały sferycznie symetryczne
z ϕ θ r y x Rysunek : Definicje zmiennych we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ) 5 Potencjały sferycznie symetryczne 5. Separacja zmiennych Do tej pory omawialiśmy problemy jednowymiarowe, które służyły
Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Mechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II
1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 6 Własności wielomianów ortogonalnych Wszystkie znane rodziny wielomianów ortogonalnych dzielą pewne wspólne cechy: 1) definicja za pomocą wzoru różniczkowego, jawnej sumy lub funkcji tworzącej;
1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Analityczne metody kinematyki mechanizmów
J Buśkiewicz Analityczne Metoy Kinematyki w Teorii Mechanizmów Analityczne metoy kinematyki mechanizmów Spis treści Współrzęne opisujące położenia ogniw pary kinematycznej Mechanizm korowo-wozikowy (crank-slier
Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Wielomiany Legendre a
grudzień 2013 grudzień 2013 Funkcja tworząca 1 (4.1) g(x, t) = = P n (x)t n, 1 2xt + t 2 albo pamiętając, że x = cos θ 1 (4.2) g(cos θ, t) = = P n (cos θ)t n. 1 2 cos θ t + t 2 jeżeli rozpatrzyć pole wytwarzane
WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Definicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Obliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Do wprowadzania symboli pochodnych można wykorzystać paletę Calculus lub skróty klawiszowe: SHIFT+? - wprowadza symbol pierwszej pochodnej.
1. Pochone funkcji Mathca umożliwia obliczenie pochonej funkcji w zaanym punkcie oraz wyznaczenie pochonej funkcji w sposób symboliczny. 1.1 Wyznaczanie wartości pochonej w punkcie Aby wyznaczyć pochoną
Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 3 Specjalne metody elektrostatyki 3 3.1 Równanie Laplace
Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Równanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Ważny przykład oscylator harmoniczny
6.03.00 6. Ważny przykła oscylator harmoniczny 73 Rozział 6 Ważny przykła oscylator harmoniczny 6. Wprowazenie Klasyczny, jenowymiarowy oscylator harmoniczny opowiaa potencjałowi energii potencjalnej:
n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1
Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Rozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Metoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
x = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać
3.. Zaeżność od kąta θ Aby rozwiązać równanie 3.9) da dowonego ν m, rozważymy przypadek z m 0, a potem pokażemy jak z tego rozwiązania przez wieokrotne różniczkowanie wygenerować rozwiązanie da dowonego
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Wyk lad 3 Grupy cykliczne
Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym
Rozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
5. Aproksymacja Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Paweł Urban Jakub Ptak Łukasz Janeczko
Przestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Lista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Relacje Kramersa Kroniga
Relacje Kramersa Kroniga Relacje Kramersa-Kroniga wiążą ze sobą część rzeczywistą i urojoną każej funkcji, która jest analityczna w górnej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej. Pozwalają na otrzymanie części
Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
WPPT 2r., sem. letni KOLOKWIUM 1 Wroc law, 19 kwietnia 2011
A N A L I Z A F U N K C J O N A L N A WPPT r, sem letni KOLOKWIUM Wroc law, 9 kwietnia 0 ZADANIE ab W pewnej przestrzeni mamy wie metryki i przy czym czyni nasz a przestrzeń zwart a a jest s labsza o (tzn
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Własności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.
Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +
= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Wielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Geometria Różniczkowa II wykład dziesiąty
Geometria Różniczkowa II wykła ziesiąty Wykła ziesiąty rozpoczyna serię wykłaów poświęconych geometrii symplektycznej. Zajmować się bęziemy głównie zastosowaniami geometrii symplektycznej w mechanice,
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania
1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym
1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Równanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Wielomiany Legendre a, itp.
3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 25 Dodatek D Wieomiany Legendre a, itp. Wieomiany Legendre a i stowarzyszone z nimi funkcje są szeroko omawiane w wieu podręcznikach fizyki matematycznej.
1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
ROZDZIAŁ 5. Renty życiowe
ROZDZIAŁ 5 Renty życiowe Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy czy osoba której przyszły czas
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Promieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą