Lista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =

Transkrypt

1 Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam z Laprasa. Rozwińmy to względem ostatniego wiersza. Patrząc na kolejne wyznaczniki macierzy M ni zobaczymy, że mnożymy je przez zera we wszystkich miejscach poza pierwszym i ostatnim elementem. Dla ułatwienia, najpierw pomińmy element pierwszy - do niego wrócimy za chwilę. Co do ostatniego, jeśli skreślimy ostatni wiersz i ostatnią kolumnę, otrzymamy D n. Z założenia indukcyjnego, jej wyznacznik to n. Teraz, niech C n będzie macierzą D n bez pierwszej kolumny i ostatniego wiersza. Z Laprasa i z obserwacji powyżej, wyznacznik D n to znak det(c n ) + n, gdzie znak to ( ) n+.... C n =... Z pomocą eliminacji gaussa możemy ją łatwo sprowadzić do postaci... C n =... Znów zróbmy Laprasa tym razem względem pierwszego wiersza. Wyznaczniki M i będą mnożone przez poza ostatnim elementem. Wyznacznik macierzy z usuniętą pierwszą i ostatnią kolumną to. Mnożymy to przez i znak. Znak to ( ) n +. Czyli wyznacznik C n to ( ) n+. Wracając do wyznacznika D n, jak już wcześniej wspomniałem, wynosi on ( ) n+ det(c n )+n = ( ) n+ ( ) n+ + n = ( ) (n+) + n. Można łatwo zauważyć, że pierwszy składnik tej sumy to, niezależnie od n. Stąd otrzymujemy, że det(d n ) = + n = n

2 UWAGA! ROZWIĄZANIE INNE (SZYBSZE): Dowód. Weźmy nasze D n. Zauważmy, że jeśli dodamy do pierwszego wiersza wszystkie kolejne dostaniemy: n... D n =.... Czyli macierz dolnoprzekątniową. Wyznacznik tej macierzy to iloczyn liczb na przekątnej: n = n Zadanie Pokaż, że jeśli X ma rozkład P oisson(λ) to zachodzi E(X n ) = λe[(x + ) n ]. Za pomocą tego związku policz E[X 3 ]. Dowód. E(X n ) = x n λx e λ = x= x n λx e λ - Zauważmy, że dla x = wyraz to. = λ x= x n λx e λ (x )! = λ (x+) n λx e λ = λe[(x+) n ] Policzenie E[X 3 ] zostawiam czytelnikowi jako ćwiczenie. Tu trzeba skorzystać z jakichś prostych własności, które wykorzystywaliśmy i dowodziliśmy na poprzednich listach. Zadanie 3 Zmienna X ma rozkład P oissona. Jak wygląda E(X!)? E(X!) = λx e λ = λ x e λ = e λ λ Zadanie 4 Oblicz I = e (x +y ) dx dy

3 Przenieśmy się na współrzędne biegunowe. Widzimy, że w takim wypadku x = r cos θ oraz y = r sin θ Widzimy też, że θ [, 36 ] (lub inaczej [, ]), a r [, ). Teraz, wystarczy jakobian przekształcenia: sin θ r cos θ cos θ r sin θ = r No i liczymy całeczkę: re r dθ dr = re r dθ dr = [ e ] r / = Zadanie 5 Dane są niezależne zmienne losowe X, Y o rozkładzie U[, ]. Niech x, y - wylosowane wartości zmiennych X, Y. Innymi słowy mamy odcinek [, ] i losujemy z niego x i y, dzieląc go na trzy części. Musimy sprawdzić, jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych trzech punktów utworzymy trójkąt. Okej. To jest w sumie zadanie podobne do jakiegoś zadania z LO, tylko trochę bardziej skomplikowane (troszeczkę). Na początku, wiemy, że losowanie punktów na prostej [, ] jest izomorficzne z losowaniem jednego punktu w przestrzeni [, ]x[, ]. To nam trochę ułatwi. Teraz, możemy zmniejszyć przestrzeń zdarzeń o połowę - pamiętając o tym i ostateczny wynik pomnożyć przez - zakładając, że x y. W naszej przestrzeni otrzymaliśmy trójkąt. Teraz, zastanówmy się jakie warunki muszą spełniać proste stworzone przez punkty, by dały się one złożyć w trójkąt. Trójkąt da się utworzyć, jeśli najdłuższy odcinek jest krótszy niż suma dwóch pozostałych. Nasz odcinek ma długość, więc najdłuższy odcinek musi być mniejszy od. Mamy zatem równania: x < - bo długość [, x] musi być mniejsza od, jako, że jest to pierwszy punkt na prostej. Podobnie z y, tyko y >, bo odcinek [y, ] musi być krótszy niż. Ostatni warunek, to odległość pomiędzy x a y musi być mniejsza od, stąd y x < y < x +. Rysujemy więc trzy proste. x =, i zaznaczamy pole na lewo od niej (x < ), y = i zaznaczamy obszar na górze od niej (y > ), i prostą y = + x, i zaznaczamy pole na dół od niej (y < + x). Część wspólna tych obszarów wyznacza nam trójkąt. Całka po tym trójkącie da nam połowę prawdopodobieństwa z zadania (pamiętamy że podzieliliśmy przestrzeń zdarzeń na pół). Obrazek poniżej obrazuje (hehe) co zrobiliśmy: 3

4 Czerwone pole to to co mamy policzyć. Ustalmy sobie x. x. Z prostej y = x +, widać, że y x +. Mamy już wszystko. Obliczmy całkę: x+ 8 Pamiętamy, że wynik trzeba wymnożyć przez, więc wynik to 4. Zadanie 6 Zadanie 5 dla gęstości f(t) = t. To jest zadanie 5, tylko inaczej liczymy ostatnią całkę. Zmienne są niezależne, f(x) = x, f(y) = y, f(x, y) = 4xy. Obliczmy całkę: x+ 4xy x (x + )dx = Pamiętamy, że wynik trzeba wymnożyć przez, więc wynik to 48. [ ( )] ( x x3 = ) = = 96 Zadanie 7 Mamy f(x, y) =, dla < x + y <. Oblicz gęstości brzegowe X i Y. Po pierwsze zauważmy, że warunek x + y > gwarantuje nam jedynie, że x i y są niezerowe. Poza tym mamy x + y = i mamy policzyć pole pod nią. Widać, że jest to równanie okręgu o promieniu. Wiedząc to możemy bez problemu ustalić jakie mamy granice całkowania. Dla ustalonego x, mamy x + y < y < x x < y < x. Dla ustalonego y - analogicznie. f(x) = f(y) = x x dy = x y y y dx = 4

5 Zadanie 8 Pokaż, że zmienne z zadania 7 są niezależne. Pokaż, że współczynnik korelacji wynosi. To, że zmienne nie są niezależne widać od razu. Teraz, pokażę, że współczynnik korelacji wynosi. Dowód. p = µ m m wspoczynnik korelacji Gdzie: µ = E[(X EX)(Y EY )] moment centralny m = E(X ) moment zwyky m = E(Y ) moment zwyky Okej. No to liczymy. Znów ustalamy sobie np. x. x przebiega od do (bo cały czas mówimy o okręgu o promieniu ) E(X) = E(X ) = E(Y ) = x E(Y ) = x x x x x x x x y x E[(X )(Y )] = E(XY ) = y x p = 8 x = x x dx = dx = x x dx = 4 ( x ) 3 3 xy dx = 4 dx = Zadanie 9 Niech X = Y cos Y, X = Y sin Y, < Y <, Y. Znajdź gęstość g(y, y ) zmiennej (Y, Y ). Sprawdź czy Y i Y są niezależne. To się robi jakoś tak, że oblicza się jakobian, mnoży się przez gęstość. WKa ułatwił zadanie bo mamy już podane granice całkowania, więc obliczenie zależności zmiennych robi się trywialne. Coś w stylu: Jakobian: Gęstość: Gęstość y : J = cos Y Y sin Y sin Y Y cos Y = Y cos Y Y sin Y = Y = Y f(y ) = f(y, y ) = f(x, x ) J = y y pi dy = [ y y ] = y y = 5

6 Gęstość y : Niezależność: f(y ) = y pi dy = pi f(y, y ) = y pi = pi y = f(y ) f(y ) Wychodzi, że są niezależne. Z dokładnością do poprawności metody (na 95% poprawna). 6