Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 4 Podstawiając to do wzoru na energię kinetyczną: K = ma sin t + ( δ ) Podstawiając = k / m K = ka sin t ( + δ ) -5 Energia kinetyczna w ruchu harmonicznym prostym Energia całkowita jest sumą energii kinetyczne i potencjalnej: E cal = U + K = ka cos t [ cos ( t + δ ) + sin ( + δ )] = ka t sin t + δ + cos t + δ = PoniewaŜ ( ) ( ) ( t + δ ) + ka sin ( + δ ), to: E cal = ka -6 To równanie mówi o waŝnej własności ruchu harmonicznego prostego: Energia całkowita w ruchu harmonicznym prostym Energia całkowita w ruchu harmonicznym prostym jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. JeŜeli ciało jest maksymalnie wychylone ( x = ± A ), to całkowita energia jest równa energii potencjalnej. Gdy ciało porusza się w kierunku połoŝenia równowagi, wtedy energia kinetyczna układu wzrasta, a energia potencjalna maleje. Kiedy przechodzi przez połoŝenie równowagi, wtedy prędkość ciała jest maksymalna, a energia potencjalna równa zero. Po przejściu połoŝenia równowagi energie kinetyczna maleje, a energia potencjalna rośnie, aŝ do ponownego Rysunek -6 zatrzymania ciała. Cały czas suma energii kinetycznej i potencjalnej pozostaje stała. Rysunek -6 pokazuje wykres U i K w funkcji czasu. Obie krzywe mają ten sam kształt, tylko jedna osiąga maksimum, podczas E cal U = E cal śr E cal K = śr E cal
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 5 gdy druga w tym momencie przybiera wartość równą zero. Średnie wartości tych energii w ciągu jednego lub więcej cykli są równe i poniewaŝ ich średnie wartości wynoszą: U + K = E, to U K = E śr = śr cal -7 Na rysunku -7 energia potencjalna U jest wykreślona w funkcji x. Energia całkowita stała i E cal jest E cal = ka dlatego przedstawiona jako pozioma linia. Linia ta przecina krzywą energii potencjalnej w punktach x = A i x A =. Rysunek -7 P R Z Y K Ł A D. Ciało o masie 3kg połączone ze spręŝyną wykonuje drgania o amplitudzie 4cm i okresie s. (a) Ile wynosi całkowita energia? (b) Jaka jest maksymalna prędkość ciała? (c) Dla jakiego połoŝenia x prędkość będzie równa połowie swojej maksymalnej wartości? Analiza zadania (a) Energię całkowitą moŝna znaleźć znając amplitudę i stałą spręŝystości, a ta ostatnia moŝe wyliczona na podstawie masy i okresu. (b) Prędkość maksymalną znajdziemy kiedy energia kinetyczna będzie równa energii całkowitej. (c) MoŜemy powiązać ze sobą prędkość i połoŝenie poprzez zasadę zachowania energii całkowitej. (a). Zapisz wzór na energię całkowitą uŝywając stałej k i A :. Stała k zawiązana jest z okresem i masą : 3. Podstaw wartości k i A do wzoru na E : E = E = ka k 4π m 4π = m = = T ka = ( 3kg) ( s ) = 9,6 N / m ( 9,6 N / m)(,4 ) =,37 J (b) Aby naleźć vmax przyjmij, Ŝe cała energia mvmax = E
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 6 jest równa energii kinetycznej : (c). Zasada zachowania energii ma postać: v = v i znajdź. Podstaw max x : v E m (,37 J ) max = = = E = mv + 3kg kx,6m / s E = m vmax + kx = mvmax + 4 kx E + kx 4 3 3 ka 4 4 4 = E, kx = E E = E = 3 3 x = A = = ( 4cm) 3,46 cm -3 Wahadło matematyczne. Wahadło matematyczne składa się z nici o długości L i małej kulki o masie m. Kiedy kulka zostaje puszczona swobodnie ze swojego początkowego wychylenia φ, zaczyna się wahać z określonym okresem T.Ile wynosi ten okres T? Siłami działającymi na kulkę są: siła cięŝkości mg r i siła napręŝenia nici T r (Rysunek -8). Jak widać siła cięŝkości mg ma składową mg cosφ wzdłuŝ nici i składową mg sinφ styczną do łuku okręgu w kierunku malenia kąta φ. Niech s będzie długością łuku zaznaczoną na rysunku. Wtedy: Rysunek -8 s = Lφ -8 gdzie φ jest mierzone w radianach. Dla składowej stycznej drugie prawo dynamiki Newtona moŝna zapisać w postaci: F t d s d φ = mg sinφ = m = ml
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 7 lub d φ g sinφ L = -9 Zwróćmy uwagę, Ŝe masa nie pojawia się w powyŝszym równaniu ruch wahadła nie zaleŝy od jego masy. Dla małych kątów sin φ φ i d φ g φ L = - Równanie - ma ten sam kształt jak równanie - opisujące ruch ciała przymocowanego do spręŝyny. Tak więc ruch wahadła matematycznego, dla małych wahnięć, jest w przybliŝeniu ruchem harmonicznym prostym. Równanie - moŝna zapisać : gdzie d φ = φ - g L = - W związku z tym okres drgań jest równy: T π = π L g = -3 Okres wahań wahadła matematycznego Rozwiązaniem równania - jest ( δ ) φ = φ cos t + Gdzie φ jest maksymalnym kątowym wychyleniem wahadła. Z równania -3 widać, Ŝe im większa długość wahadła tym większy okres. Ale okres drgań pozostaje stały bez względu na amplitudę (dopóki wychylenia są niewielkie). -4 Wahadło fizyczne. Bryła sztywna umieszczona na osi przechodzącej przez punkt inny niŝ środek masy i wytrącona z równowagi będzie wykonywać drgania. Taki układ nazywa się wahadłem fizycznym. RozwaŜmy płaską figurę umocowaną do osi oddalonej o D od środka cięŝkości i odchylonej o kąt φ Oś Rysunek -9 śm
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 8 (Rysunek -9). Wartość momentu siły względem osi wynosi Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego ma postać: MgD sinφ i dąŝy do zmniejszenia kąta φ. d φ τ = Iα = I gdzie α jest przyspieszeniem kątowym, a I jest momentem bezwładności bryły względem punktu podwieszenia. Podstawiając lub: MgD sinφ jako moment siły działający na bryłę otrzymamy: d φ MgD sinφ = I d φ MgD sinφ I = -4 Tak jak poprzednio; drgania są w przybliŝeniu drganiami harmonicznymi, jeŝeli wychylenie kątowe jest niewielkie i moŝemy przyjąć sin φ φ. W tym przypadku otrzymamy: gdzie d = MgD / I φ = -5 MgD φ = φ I. Wtedy okres wyniesie: T π = π I MgD = -6 Okres drgań wahadła fizycznego. -5 Drgania tłumione. KaŜda drgająca spręŝyna, wahające się wahadło po pewnym czasie zatrzyma się, poniewaŝ energia mechaniczna ulegnie rozproszeniu z powodu wszechobecnej siły tarcia. Tego rodzaju drgania nazywamy tłumionymi. JeŜeli tłumienie jest małe, to układ będzie wykonywał Rysunek -
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 9 drgania, których amplituda z czasem będzie powoli maleć (Rysunek -). Zarówno amplituda i energia, która jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy, maleją o stały ułamek w tych samych przedziałach czasu. O takim rodzaju zmniejszania mówimy, Ŝe jest maleniem wykładniczym (eksponencjalnym). Siła, która działa na tłumiony układ drgający taki na przykład jak na rysunku - moŝe być zapisana za pomocą doświadczalnego wzoru r r F = bv gdzie b jest stałą zwaną współczynnikiem oporu. PoniewaŜ siła tłumiąca jest skierowana przeciwnie do kierunku ruchu, to wykonuje ujemną pracę i tym samym powoduje, Ŝe energia mechaniczna układu maleje. Ruch układu tłumionego moŝe być opisany dzięki drugiej zasadzie Newtona. Na ciało o masie m zawieszone na spręŝynie o stałej spręŝystości k działa wypadkowa siła kx bdx /. podstawiając to do F x = ma x otrzymamy: dx d x kx b = m -7 Równanie róŝniczkowe dla ruchu harmonicznego tłumionego. Rozwiązanie tego równania róŝniczkowego wymaga znajomości podstawowych metod rozwiązywania równań róŝniczkowych. Rozwiązanie w przypadku małego tłumienia ma postać: Rysunek - x = ( b / m) t t / τ cos( ' t + δ ) = A e cos( ' t + δ ) -8 A e Gdzie A jest maksymalną amplitudą, a m = b τ -9 jest czasem zaniku, lub inaczej stałą czasową. Częstotliwość ( b / m) = + ( b / m ) ' jest dana wzorem: ' = -3 gdzie jest częstotliwością jeŝeli nie ma tłumienia ( = k / m dla masy przymocowanej na spręŝynie). JeŜeli tłumienie jest niewielkie: / m linia na rysunku - odpowiada b <<, wtedy ' x = A i x = A gdzie A jest dana wyraŝeniem: jest prawie równe. Przerywana A ( b / m) t t / τ = A e = A -3 e
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 3 JeŜeli współczynnik oporu b stopniowo zwiększać, to częstość kątowa równą zero dla wartości krytycznej b c = m -3 ' będzie maleć, aŝ osiągnie wartość JeŜeli b jest większe lub równe wartości krytycznej b c, to układ nie wykonuje drgań. JeŜeli b = bc mówimy, Ŝe układ znalazł się w stanie krytycznego tłumienia; powraca on wtedy bez wykonywania drgań do połoŝenia równowagi w najkrótszym moŝliwym czasie. Na rysunku - przedstawione są dwie krzywe: ciągła dla przypadku, gdy tłumienie osiąga wartość krytyczną i przerywana, gdy współczynnik oporu jest większy od wartości krytycznej. Jednym z zastosować tłumienia krytycznego, czy tłumienia ponad krytycznego jest zastosowanie odpowiedniego płynu w amortyzatorach samochodowych. Amortyzator jest sprawny, jeŝeli po naciśnięciu boku samochodu i puszczeniu, wraca on do połoŝenia równowagi bez wykonywania drgań. PoniewaŜ energia drgań jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy, energia drgań tłumionych ( średnia w ciągu jednego okresu) teŝ ulegnie zmniejszeniu proporcjonalnie do czasu drgań: b = b c b> b c Rysunek -, to E gdzie m A = m t / τ t / τ ( A e ) = E e = -33 E = m A. Widzimy, Ŝe czas zaniku jest czasem, po którym energia zmniejsza się e razy w porównaniu z wartością początkową. Oscylator tłumiony jest często opisywany przez podanie dobroci Q układu drgającego Q m τ = b = -34 Definicja dobroci. MoŜna pokazać, Ŝe dobroć Q związana jest z energią traconą w ciągu jednego okresu. RóŜniczkując równanie -33 otrzymamy: de = E τ e t / τ = E τ JeŜeli strata energii w ciągu jednego okresu jest stosunkowo nieduŝa, to moŝna zamienić de na T. Wtedy E / E w ciągu jednego okresu jest dane równaniem: E i na E E T π π = = τ τ Q = -35
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 3 lub Q π = -36 ( E / E) okres Fizyczna interpretacja dobroci przy mały tłumieniu zatem Q jest odwrotnie proporcjonalne do ułamka traconej energii w ciągu jednego okresu. -6 Drgania wymuszone, rezonans. Aby porzymać układ tłumiony w ruchu naleŝy do układu dostarczać cały czas energię. JeŜeli tak się dzieje to mówimy, Ŝe mamy do czynienia z drganiami wymuszonymi. Kiedy napędzamy huśtawkę poprzez odpowiednie poruszanie swoim ciałem i nogami, wtedy wymuszamy drgania. JeŜeli będziemy dostarczać energię do układu szybciej niŝ jest ona rozpraszana, to energia układu będzie wzrastać i amplituda drgać będzie rosnąć. JeŜeli energia będzie dostarczana z tą samą prędkością co rozpraszana przez układ, to amplituda pozostanie stała. Rysunek -3 przedstawia układ składający się z ciała Rysunek -3 zawieszonego na spręŝynie, który jest wprawiany w ruch poprzez wprawianie punktu podwieszenia w ruch harmoniczny prosty o częstości. Początkowo taki ruch ciała jest dość skomplikowany, jednak po pewnym czasie ruch się ustala i drgania układu odbywają się z tą samą częstością co drgania wymuszane ( przez rękę ) i ze stałą amplitudą, a zatem i stałą energią. W stanie ustalonym energia dostarczana do układu w czasie jednego okresu poprzez działanie siły wymuszającej jest taka sama jak energia rozproszona z układu w wyniku tłumienia w ciągu jednego okresu. Amplituda, a tym samym energia układu w stanie ustalonym zaleŝy nie tylko od amplitudy układu wymuszającego drgania ( ręka z deseczką), ale takŝe od jego częstości. Częstością własną oscylatora nazywamy P śr częstość z jaką drga on, gdy nie ma sił tłumiących. ( W tym przypadku dla ciała przymocowanego do spręŝyny: = k / m ). JeŜeli częstość drgań wymuszających jest w przybliŝeniu równa częstości drgań własnych to układ będzie drgać z duŝą amplitudą. Dla przykładu, jeŝeli źródło drgań wymuszających ( ręka ) na rysunku -3 drga z częstością drgań własnych układu klocek m spręŝyna, to amplituda drgań klocka będzie znacznie większa niŝ amplituda deseczki. Zjawisko to nosi nazwę rezonansu. Kiedy częstość drgań wymuszających jest równa częstości Rysunek -4 Małe tłumienie, duŝe Q DuŜe tłumienie, małe Q
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 3 drgań własnych, to energia absorbowana przez oscylator jest maksymalna. Częstość drgań własnych jest wtedy nazywana częstością rezonansową układu. Średnia prędkość z jaką energia jest absorbowana jest równa średniej mocy dostarczanej przez układ wymuszający. Rysunek -4 przedstawia wykresy średniej mocy dostarczanej do układu w funkcji częstości wymuszających dla dwóch róŝnych wartości tłumienia. Krzywe te nazywamy krzywymi rezonansowymi. Kiedy tłumienie jest małe (duŝa wartość Q ), wtedy jak widać z rysunku oscylator absorbuje (w i) w pobliŝu częstości rezonansowej znacznie więcej energii, dzięki sile wymuszającej, niŝ wtedy, gdy energia jest absorbowana przy innej częstości. Wtedy szerokość krzywej rezonansowej jest stosunkowo wąska. JeŜeli tłumienie jest duŝe, to krzywa rezonansowa jest niŝsza, a szerokość rezonansowa znacznie szersza. ( Szerokość rezonansowa liczona jest dla takiego zakresu częstości, w którym wartość mocy dostarczanej do układu spada do połowy swojej maksymalnej wartości patrz rysunek - 4). Dla stosunkowo małego tłumienia, moŝna pokazać, Ŝe stosunek szerokości rezonansowej do częstości rezonansowej jest równy odwrotności dobroci.: = Q W rezultacie dobroć Q moŝna policzyć bezpośrednio z krzywej rezonansowej. -37 Szerokość rezonansowa przy małym tłumieniu. MoŜna łatwo przeprowadzić eksperyment przedstawiający rezonans. Weźmy do ręki metrową linijkę za jej koniec, tak aby zachowywała się jak wahadło i poruszajmy ręką do przodu i do tyłu. Intuicyjnie będziemy poruszać ręką z częstością własną linijki i po krótkim czasie amplituda wahnięć linijki będzie znacznie większa niŝ amplituda drgań naszej ręki. JeŜeli w pewnym momencie zaczniemy poruszać ręką znacznie szybciej z większą częstotliwością, to amplituda wahnięć linijki znacznie zmaleje. Istnieje cały szereg znanych przykładów rezonansu. JeŜeli siedzimy na huśtawce, to intuicyjnie balansujemy naszym ciałem z częstością własną huśtawki. Wiele urządzeń wpada w wibracje, poniewaŝ posiadają części obracające się. (Przyjrzyjmy się, na przykład, pralce w jej cyklu wirowania). JeŜeli, na przykład, obracający się wirnik jest połączony z częściami, które mogą drgać, to części te mogą stać się oscylatorami z drganiami wymuszonymi. Podczas konstrukcji tego typu urządzeń przykłada się duŝo uwagi, aby części, które mogą wpadać w drgania miały częstości własne róŝniące się znacznie od częstości obracającego się wirnika. Matematyczne aspekty zjawiska rezonansu. Matematycznie drgania wymuszone moŝemy potraktować zakładając, Ŝe oprócz siły spręŝystości i siły tłumiącej działa na układ zewnętrzna siła wymuszająca, zmieniająca się okresowo w czasie w sposób harmoniczny: Fzew = F cost -38 gdzie jest częstością kątową siły wymuszającej. Ogólnie częstość ta nie ma nic wspólnego z częstością własną drgań układu. Kiedy jest to oczywiste, dla prostoty, pomijamy przymiotnik kątowa.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 33 Druga zasada dynamiki Newtona zastosowana do ciała o masie m przymocowanego do spręŝyny o stałej spręŝystości k, na które działa siła tłumiąca bv i siła wymuszająca cos t F ma postać: lub dv F = ma = m kx bv + F cos t = dv m m d x dv + b + m x = F cost -39 Równanie róŝniczkowe dla drgań wymuszonych. gdzie zostało podstawione k = m i Rozwiązaniem tego równania róŝniczkowego jest: ( δ ) dv / = d x /. x = Acos t -4 Wychylenie dla drgań wymuszonych. gdzie częstość kątowa jak częstość siły wymuszającej, a amplituda A i faza początkowa drgań wymuszonych δ są dane wzorami: i A tg δ F = -4 m ( ) + b m b ( ) Amplituda drgań wymuszonych. = -4 Faza początkowa drgań wymuszonych. Porównując równania -38 i -4 widzimy, Ŝe wychylenie i siła wymuszająca mają tę samą częstotliwość, ale róŝnią się fazą o δ. JeŜeli częstość drgań wymuszanych jest znacznie mniejsza niŝ częstość drgań własnych, to δ,co wynika z równania -4. W przypadku rezonansu δ = π / większa od częstości drgań własnych, wtedy. Kiedy jest znacznie δ π. W naszym prostym eksperymencie z metrową linijką, poruszaną do przodu i do tyłu mogliśmy zaobserwować, Ŝe drgania naszej ręki nie są w fazie z drganiami linijki.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 34 Prędkość ciała podlegającego drganiom wymuszonym otrzymamy licząc pochodną z x po t : dx v = = A sin t W stanie rezonansu / ( δ ) δ = π i prędkość ma taką samą fazę jak siła wymuszająca: ( t π / ) = A cost v = A sin + W rezultacie, w rezonansie ciało zawsze porusza się w kierunku przykładanej siły wymuszającej. Jak moŝna było oczekiwać, dostarczana moc do układu jest wtedy największa. Prędkość osiąga wartość maksymalną gdy =.