Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i + ka j,, A j,, A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,, A i + ka j,, A j,, A n ] det[a 1,, A i,, A j,, A n ] + det[a 1,, ka j,, A j,, A n ] Ponadto det[a 1,, ka j,, A j,, A n ] 0 Twierdzenie 2 Jeśli macierz A [a ij ] n n jest macierzą trójkątną to: det A a 22 a nn Dowód Jeśli σ i to w wyrażeniu a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) występuje przynajmniej jedno zero Zatem det(a) a nn Zadanie Obliczyć wyznacznik macierzy: 2 1 2 1 1 1 1 Rozwiązanie W Twierdzeniu 1 udowodniliśmy, że wyznacznik macierzy nie zmienia się gdy do pewnego wiersza macierzy dodamy inny pomnożony przez stałą Możemy więc do drugiego wiersza dodać pierwszy pomnożony przez 2: 2 1 2 1 1 1 1 0 1 2 5 0 2 5 10 0 0 1 0 0 0 1 r 2 2r 1 1 1 1 1 r r 2 r 4 2r 2 r 4 +r 0 0 1 0 0 5 2 0 0 1 0 0 0 0 1 r r 1 1 0 1 2 5 r 4 2r r 4 r 1 0 0 1 0 0 1 0 r 4 r 1
Twierdzenie Jeśli macierz kwadratowa A stopnia n ma postać: [ ] B C A 0 D gdzie B i D są macierzami kwadratowymi stopni k i n k, a 0 jest macierzą zerową wymiaru (n k) k, to: det A (det B) (det D) Zadanie Na podstawie powyższego twierdzenia wyznacznik: 5 2 1 1 0 1 2 1 2 1 0 0 0 4 1 0 0 0 2 2 jest równy: 1 2 2 1 1 2 1 4 1 2 2 Twierdzenie 4 (Cauchy) Niech A i B będą macierzami kwadratowymi stopnia n wtedy: det(a B) det(a) det(b) Zadanie Udowodnić, że jeśli A jest macierzą odwracalną to det A 0 i det(a 1 ) 1 det A Rozwiązanie Ponieważ A A 1 I to mamy det(a A 1 ) det I 1 Z twierdzenia Cauchy ego mamy: 1 det(a A 1 ) det(a) det(a 1 ) zatem det A 0 i otrzymujemy det(a 1 ) 1 det A Rozwinięcie wyznacznika względem kolumny (wiersza) macierzy Niech A [a ij ] n n będzie macierzą kwadratową, wtedy przez A ij oznaczać będziemy macierz wymiaru (n 1) (n 1) powstałą z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny Twierdzenie 5 (Laplace) Niech A będzie macierzą stopnia n wtedy: det A a 1j ( 1) 1+j det A 1j + a 2j ( 1) 2+j det A 2j + + a nj ( 1) n+j det A nj, det A a i1 ( 1) i+1 det A i1 + a i2 ( 1) i+2 det A i2 + + a in ( 1) i+n det A in 2
Pierwszy z powyższych wzorów nazywamy rozwinięciem wyznacznika względem j-tej kolumny, a drugi względem i-tego wiersza Zadanie Obliczyć wyznacznik: 2 4 1 2 5 5 4 Rozwiązanie Rozwiniemy ten wyznacznik względem drugiego wiersza: 2 4 1 2 5 5 4 1( 1) 2+1 4 5 4 + 2( 1)2+2 2 4 4 + 5( 1)2+ 2 5 Często wyznaczniki oblicza się łącząc różne metody Jeśli korzystamy z rozwinięcia wyznacznika dobrze jest czasem wyzerować niektóre elementy w wierszu Zadanie Obliczyć wyznacznik: 1 1 2 4 5 1 2 4 1 0 1 4 2 1 Rozwiązanie Możemy najpierw wyzerować elementy w pierwszej kolumnie pod pierwszym wierszem, a następnie rozwinąć względem pierwszej kolumny: 1 1 2 4 5 1 2 4 1 0 1 4 2 1 w 2 w 1 w 2w 1 w 4 + w 1 1 1 2 0 5 2 5 0 2 1 4 0 7 1( 1) 1+1 5 2 5 2 1 4 7 Niech A [a ij ] n n będzie macierzą kwadratową, wtedy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij nazywać będziemy element b ij ( 1) i+j det A ij, a macierz: b 11 b 12 b 1n A D b 21 b 22 b 2n b n1 b n2 b nn Obliczmy następujący iloczyn A (A D ) T :
1 Iloczyn i-tego wiersza i i-tej kolumny wynosi: [a i1, a i2,, a in ] b i1 b i2 b in a i1b i1 + a i2 b i2 + + a in b in a i1 ( 1) i+1 det A i1 + a i2 ( 1) i+2 det A i2 + + a in ( 1) i+n det A in det A 2 Iloczyn i-tego wiersza i j-tej kolumny dla i j wynosi: [a i1, a i2,, a in ] b j1 b j2 b jn a i1b j1 + a i2 b j2 + + a in b jn a i1 ( 1) j+1 det A j1 + a j2 ( 1) j+2 det A j2 + + a in ( 1) j+n det A jn 0 ostatnia równość wynika z faktu, że a i1 ( 1) j+1 det A j1 + a j2 ( 1) j+2 det A j2 + + a in ( 1) j+n det A jn jest wyznacznikiem macierzy, która powstała z macierzy A przez zastąpienie j-tego wiersza wierszem i-tym, więc wyznacznik ten jest równy 0 Zatem mamy: A (A D ) T det A 0 0 0 0 0 det A 0 0 0 0 0 det A 0 0 0 0 0 0 det A co oznacza, że jeśli det A 0 to macierz A jest odwracalna Udowodniliśmy, następujące twierdzenie: Twierdzenie 6 Macierz kwadratowa A jest odwracalne wtedy i tylko wtedy gdy det A 0 Konstrukcja macierzy odwrotnej Powtórzmy jeszcze raz konstrukcję macierzy odwrotnej Jeśli A [a ij ] n n jest macierzą kwadratową stopnia n to mamy: A 1 1 det A (AD ) T gdzie A D [b ij ] n n, b ij ( 1) i+j det A ij, macierz A ij jest macierzą kwadratową stopnia n 1, która powstała z macierzy A przez wykreślanie i-tego wiersza i j-tej kolumny 4
Zadanie Wyznaczyć macierz odwrotną do: 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Przekształcenia elementarne wierszy macierzy Niech A będzie dowolną macierzą o wymiarze m n o współczynnikach z pewnego ciała K i niech A [a ij ] m n Przekształceniem elementarnym wierszy macierzy A nazywamy jedno z poniższych przekształceń: (1) zamiana dwóch wybranych wierszy macierzy, (2) dodanie do wiersza A i wiersza ka j (dla i j) () pomnożenie wybranego wiersza przez pewien element niezerowy element ciała K Można również mówić o przekształceniach elementarnych kolumn macierzy Wniosek 1 Jeśli macierz A jest kwadratowa to pierwsze z przekształceń elementarnych zmienia tylko znak wyznacznika, a drugie nie zmienia wyznacznika macierzy A Macierz A [a ij ] m n nazywamy macierzą trapezową jeśli: A a 12 a 1 a 1n 0 a 22 a 2 a 2n 0 0 a a n 0 0 a kk a kn 0 0 0 0 0 0 przy czym wiersze od pierwszego do k-tego są niezerowe Twierdzenie 7 Niech A będzie macierzą wymiaru m n, wtedy przy pomocy przekształceń elementarnych można macierz A sprowadzić do pewnej macierzy trapezowej Dowód W dowodzie wykorzystujemy tzw Algorytm Gaussa Niech A [a ij ] m n będzie dowolną macierzą Jeśli 0 to można przy pomocy tego elementu wyzerować wszystkie elementy leżące pod nim w pierwszej kolumnie w następujący sposób: 5
od wiersza i-tego [a i1, a i2,, a in ] odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez współczynnik (jest to przekształcenie (2)) a i1 czyli a i1 [, a 12,, a 1n ] otrzymując: [0, a i2 a i1 a 12,, a in a i1 a 1n ] W ten sposób pod elementem pierwszym w pierwszej kolumnie pojawią się zera Jeśli element 0 to możemy zastosować przekształcenie (1), sprawdzamy który z elementów a i1 jest niezerowy i przestawiamy wiersze Po dokonaniu tych przekształceń otrzymujemy macierz: a 11 a 12 a 1 a 1n 0 a 22 a 2 a 2n 0 a 2 a a n 0 a m2 a m a mn Dalej postępujemy tak samo dla macierzy (m 1) (n 1): a 22 a 2 a 2n a 2 a a n a m2 a m a mn Zadanie Sprowadzić do postaci trapezowej macierz: oraz macierz: 5 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 4 5 Rzędem macierzy A wymiaru m n nazywamy ilość niezerowych wierszy postaci trapezowej macierzy A i oznaczamy go przez r(a) Uwaga 1 Jeśli macierz A ma wymiar m n to r(a) min(m, n) Uwaga 2 r(a) r(a T ) Uwaga Rząd macierzy kwadratowej A stopnia n wynosi dokładnie n wtedy i tylko wtedy gdy det A 0 6
Zadanie Wyznaczyć rząd macierzy w zależności od parametru a: a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a Inne podejście Niech A będzie macierzą m n wtedy minorem stopnia k min(m, n) tej macierzy nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z A przez skreślenie m k wierszy i n k kolumn Przykład Minorami stopnia 2 macierzy: 1 1 2 4 5 1 1 4 2 1 [ ] 1 są na przykład det (wykreślono ostatni wiersz oraz trzecią i czwartą 4 [ ] 1 1 kolumnę), lub det (wykreślono drugi wiersz oraz drugą i czwartą 1 2 kolumnę) Twierdzenie 8 Rząd macierzy A jest równy stopniowi maksymalnego niezerowego minora zawartego w macierzy A 7