Drgania, dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny. Katarzyna Weron

Drgania, dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny Katarzyna Weron

Polecana literatura Polecam też skrypt: David Morin, Waves http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves

Liniowość: Oscylator harmoniczny Prawo Hooke a: F x (x) = kk F = F x, F y, F z = ( kk, 0,0) x = 0: położenie równowagi 0 x x < 0 F x = kk > 0 0 F x = kk < 0 x 0 x > 0 x x < 0: wychylenie z położenia równowagi x > 0: wychylenie z położenia równowagi

Ruch harmoniczny małe wychylenia Z II zasady Newtona: F x = ma x = m dv x dd = m d2 x dt 2 F = F x, F y, F z = ( kk, 0,0) m d2 x dt 2 = kk x + k m x = 0 P 2 W = F dl P 1 Jakie x t spełnia to równanie?

Ruch harmoniczny rozwiązanie x + k m x = 0 ( ) Spróbujmy: x t = AAAA ωω + φ x = AA sin ωω + φ, x = Aω 2 ccc ωω + φ Wstawiamy do : Aω 2 ccc ωω + φ + k m ω 2 + k m AAAA ωω + φ = 0 AAAA ωω + φ = 0

Ruch harmoniczny rozwiązanie x + k m x = 0 Spróbujmy: x t = AAAA ωω + φ ω 2 + k m AAAA ωω + φ = 0 Spełnione dla każdego t jeśli: ω 2 = k m ω = k m

Częstość kątowa x + k m x = 0, x t = AAAA ωω + φ x t + 2π ω = AAAA ω t + 2π ω + φ = AAAA ωω + 2π + φ = AAAA ωω + φ = x(t) T = 2π ω okres

Amplituda (A) i faza (φ) x + k m x = x + ω2 x = 0, x t = AAAA ωω + φ x 0 = AAAA 0 + φ = AAAA(φ) φ = 0 x 0 = AAAAA = A David Morin, http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves

Inne formy rozwiązań x + k m x = x + ω2 x = 0, x t = AAAA ωω + φ = Asss ωω + φ = B c ccc ωω + B s sss ωω = Ce iii + C e iii B c = AAAAA, B s = AAAAA Wiesz skąd te inne formy?

Wzór Eulera i rozwiązanie ogólne e ii = cccc + iiiii wzór Eulera e ii = cccc iiiii Stąd: 2cccc = e ii + e ii, 2iiiiφ = e ii e ii Szukamy zwykle ogólnego rozwiązania w postaci: x t = Ce rr, x = CCe rr, x = Cr 2 e rr x + k m x = 0 Cr 2 e rr + k m Cerr = 0 r 2 + k m = 0 r = ±ii równanie charakterystyczne

Rozwiązanie ogólne Szukamy zwykle ogólnego rozwiązania w postaci: x t = Ce rr Otrzymaliśmy: r = ±ii Mamy dwa rozwiązania: x 1 t = C 1 e iit, x 2 t = C 2 e iii Zasada superpozycji w układach liniowych: x t = x 1 t + x 2 t = C 1 e iii + C 2 e iii

Rozwiązanie musi być rzeczywiste x t = x 1 t + x 2 t = C 1 e iii + C 2 e iii Żeby x t było rzeczywiste to C 1 = C 2 Czyli: C 1 = C = C 0 e ii, C 2 = C = C 0 e ii x t = C 0 e ii C 0 e iωω + C 0 e ii C 0 e iii = 2C 0 cos (ωω + φ) Czyli faktycznie tożsame formy

W równaniach liniowych obowiązuje zasada superpozycji x 1 t i x 2 t - rozwiązania liniowego równania różniczkowego Rozwiązaniem jest też dowolna kombinacja liniowa x t = C 1 x 1 t + C 2 x 2 (t) Liniowe jednorodnego równania różniczkowego rzędu n: n liniowo niezależnych rozwiązań. Każda kombinacja liniowa tych n rozwiązań jest rozwiązaniem. Liniowa niezależność funkcji: żadna z tych funkcji nie jest równa kombinacji liniowej pozostałych.

Wahadło matematyczne układ nieliniowy F x = mmmmmm Druga zasada dynamiki: ma x = mmmmmm a x = ggggg = d2 x dt 2 Długość łuku: x = LL Równanie ruchu: nieważki pręt punktowa masa θ + g L ssss = 0 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

Jak to rozwiązać? θ + g L ssss = 0 ssss = θ θ3 3! + θ5 5! Jeśli założysz, że θ 0, wtedy ssss = θ θ + g L θ = 0

Wahadło matematyczne i oscylator harmoniczny Wahadło matematyczne i oscylator harmoniczny: θ + g L θ = 0 x + k m x = 0 Częstość własna wahadła (kątowa): Okres nie zależy od masy ani wychylenia?! ω 0 2 = g L ω = 2π T = 2ππ T 0 = 2π ω 0 = 2π L g

Okres drgań prawdziwego wahadła T 0 = 2π ω 0 = 2π L g Tego się uczymy w szkole By Alessio Damato, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1415324

Przestrzeń konfiguracyjna dla oscylatora harmonicznego 10 5 θ, dθ/dt 0-5 -10 0 2 4 6 8 10 t

Przestrzeń fazowa dla oscylatora harmonicznego dθ/dt 10 5 0-5 Każdy punkt w tej przestrzeni określa stan układu Przestrzeń położeń i pędów x, y, z, p x, p y, p z Dla układu wielu cząstek x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, p x1, p y1, p z1, p x2, p y2, p z2, -10-10 -5 0 5 10 θ

A jeśli interesują nas duże kąty? θ + g L ssss = 0 Jak to rozwiązać? A co jeśli jakieś dodatkowe siły? Tłumienie Wymuszanie cykliczne Wahadło może zadziwić!

Oscylator tłumiony i wymuszany mx + kk = 0 oscylator harmoniczny (liniowe jednorodne) mx + bx + kk = 0 tłumienie (liniowe jednorodne) mx + bx + kk = F(t) wymuszanie (liniowe niejednorodne) x + b m x + k F t x = m m = f t = f 0sin (ωω) Liniowe równania różniczkowe dla położenia klocka x Brak niespodzianek Liniowe jednorodne bardzo łatwe do rozwiązania

Inne równanie nieliniowe: Prawo Newtona powszechnej grawitacji Każda masa M przyciąga inną masę m z siłą: GGG r RN mr r 2 = mmm r r 2 Stała grawitacji: G = 6.67428 67 10 11 Nm 2 /kg 2 Przykład: M z 5.9736 10 24 m kk r z 6373.14km r F F z = G M z r z 2 m, G M z r z 2 9.81 m s 2 M

Czy układ słoneczny jest stabilny? 1887 król Szwecji Oscar II: nagroda H. Poincare (1854-1912), francuski matematyk Za co? (c) Wikipedia

Co zrobił Poincare? Problem 3 ciał i równania dynamiki, 1890 (270 stron) Zaskakująco skomplikowane zachowanie Problem stabilności układu słonecznego nie jest rozwiązany do dziś Podwaliny teorii chaosu

Równanie logistyczne dynamika populacji ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n x x r x c r r x c rc c c c r c c c + = + = + = = + + + 1 ) (1 1 1 1 1 1 1 a P. F. Verhulst (belgijski matematyk), 1845:

Dynamika populacji Populacja Pantofelków w labolatorium Popularny skorupiak ( pchła wodna ) Populacja fok na wyspie Świętego Pawła, Alaska

Iteracja równania logistycznego c t+1 = ac t (1 c t ) Przykład: a = 0.5, c 0 = 0.5 c 1 = ac 0 1 c 0 = 1 2 1 2 1 1 2 = 1 2 3 = 1 8 = 0.125 c 2 = ac 1 1 c 1 = 1 2 1 8 1 1 8 = 1 16 7 8 = 7 128 = 0.05 c 0 > c 1 > c 2 > Przykład: a = 0.5, c 0 = 1 c 1 = ac 0 1 c 0 = a 1 0 = 0 c 2 = ac 1 1 c 1 = a 0 1 = 0

Przykłady: c t+1 = ac t (1 c t ) 0.8 0.6 0 < a < 1 0.8 0.6 1 < a < 2 c t 0.4 c t 0.4 0.2 a=0.7 0 0 5 10 15 20 t 0.8 0.6 0.2 a=1.45 0 0 5 10 15 20 t 0.8 0.6 c t 0.4 0.2 a=2.75 0 0 5 10 15 20 t c t 2 < a < 3 3 < a < 4 0.4 0.2 a=3.2 0 0 5 10 15 20 t

Co możemy otrzymać? Punkty stałe Cykle Chaos c t+1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 a=1.45 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c t 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 a=3.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c t 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 a=4 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c t

Punkty stałe c t+1 = f c t = ac t (1 c t ) Punkt stały: c t+1 = f c t = c t = c Czyli: ac 1 c = c ac ac 2 = c c a 1 ac = 0 c = 0, c = a 1 a c t+1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 a=2.75 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c t

Co to znaczy, że punkt stały jest stabilny? Atraktor Punkt stały niestabilny Punkt stały stabilny Układy dynamiczne Punkt stały Punkt stały stabilny Punkt stały niestabilny Fizyka Równowaga Równowaga trwała Równowaga nietrwała

Kryterium stabilności x t = x + ε t, x t+1 = x + ε t+1, f x = x Niech odległość ε t od punktu stałego mała: x t+1 = f x t = f x + ε t f x + f x ε t = x + λε t Czyli: x t+1 = x + ε t+1 x t+1 x + λε t ε t+1 λε t, λ = f x Odległość od punktu stałego rośnie z czasem: λ > 1 Odległość od punktu stałego rośnie z czasem: λ < 1

Typy punktów stałych f '( x*) < 1 przyciągający (stabilny) f '( x*) > 1 < f ' 0 < f ' < 1 1 < f ' < f ' < 1 1 0 odpychający (niestabilny) odpychający schodkowo przyciągajacy schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie

Typy punktów stałych równania logistycznego f = ax ( 1 x), f ( x *) a 1 x* = 0, x* = a a 1 f ' = a(1 2x), f '(0) = a, f ' = 2 a = x * 0 < a < 1 odpychający schodkowo 1 < a < 2 przyciągający schodkowo 2 < a < 3 przyciągający spiralnie 3 < a < 4 odpychający spiralnie a

Zachowanie dla a<1 1 0.12 0.9 0.11 c t+1 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 c t 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.1 0.04 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c t 0.03 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t 0 < a < 1 odpychający schodkowo 1 < a < 2 przyciągający schodkowo 2 < a < 3 przyciągający spiralnie 3 < a < 4 odpychający spiralnie

a=1.45 1 0.35 0.9 0.8 0.3 0.7 c t+1 0.6 0.5 c t 0.25 0.4 0.2 0.3 0.2 0.15 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t 0 < a < 1 odpychający schodkowo c t 1 < a < 2 przyciągający schodkowo 2 < a < 3 przyciągający spiralnie 3 < a < 4 odpychający spiralnie

a=2.75 1 0.8 0.9 0.8 0.7 0.7 0.6 c t+1 0.6 0.5 0.4 c t 0.5 0.4 0.3 0.3 0.2 0.1 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c t 0 < a < 1 odpychający schodkowo 1 < a < 2 przyciągający schodkowo 2 < a < 3 przyciągający spiralnie 3 < a < 4 odpychający spiralnie 0.1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t

a=3.2 1 0.9 0.8 0.7 0.8 0.7 0.6 c t+1 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c t c t 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t 0 < a < 1 odpychający schodkowo 1 < a < 2 przyciągający schodkowo 2 < a < 3 przyciągający spiralnie 3 < a < 4 odpychający spiralnie

a=3.5 c t+1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 c t 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 c t 1 < a < a 3 < a a < 1 < < 2 3 4 0.1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie

a=4 c t+1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 c t 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c t Chaos deterministyczny: mieszanie w przestrzeni fazowej Nieregularna trajektoria wrażliwość na warunki początkowe 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t

Intermitencje, EX: a = 3.828, c 0 = 0.5 przełączanie pomiędzy fazami cyklicznymi i chaosem

Iteracja równania logistycznego koncentracja początkowa liczba iteracji function[c,t]=logist(c0,a,n) t=0:1:n; c t + 1 = ac t ( 1 c t ) c(1)=c0; for i=1:n c(i+1)=a*c(i)*(1-c(i)); end

Diagram Feigenbauma for i=1:1000 a=0.004*i; n=500; [c,t]=log(0.1,a,n); x=ones(100,1)*a; plot(x,c(n-99:n),'.'); hold on; end function[c,t]=log(c0,a,n) t=0:1:n; c(1)=c0; for i=1:n c(i+1)=a*c(i)*(1-c(i)); end

Opady deszczu

Konwekcja (c) http://www.satirnet.com (c) http://www.satirnet.com Gorące powietrze unosi się do góry chmury burzowe powstają w wyniku konwekcji 1962, Saltzman równania dla prostej konwekcji

Model pogody wg. Lorenza Edward Lorenz, MIT w 1961 (w wieku 44 lat) Przypadek a może lenistwo? Odkrycie małe zmiany warunków początkowych prowadzą do zupełnie innych prognoz pogody. Punkt wyjścia uproszczone równania konwekcji

Układ Równań Lorenza jeszcze więcej uproszczeń dx dt dy dt dz dt = σ ( y x) = α x y xz = xy β z σ α β = = = 10 28 8 3 Wielkości wybrane przez Saltzmana

Lenistwo Lorenza i jego Królewska Pszczoła x 25 20 15 10 5 0-5 -10-15 -20-25 1 101 201 301 401 501 601 701 801 901 t

Narysujmy to w przestrzeni

Cechy atraktora Lorenza Trajektorie są przyciągane przez ograniczony obszar przestrzeni fazowej Ruch jest nieregularny Wrażliwość na warunki początkowe (sekwencja pętli) Ten atraktor jest dziwny!

atraktor Roesslera (1976) x' = ( y + z) y' = x + ay z' = b + xz cz a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7

Wzorzec chaosu wyrabianie ciasta rozciąganie składanie

Gdzie są rodzynki? Odległość rośnie wykładniczo

Chaos i losowość 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Data: Dr. C. Ting Który z tych szeregów czasowych jest chaotyczny, a który losowy?

Mapa powrotów prawdę ci powie: x(t+1)od x(t) Odwzorowanie Henona x n+1 = 1.4 - x 2 n + 0.3 y n y n+1 = x n 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Biały szum -2-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 0 50 100 150 200 250 300 350 400-2 -2-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Pomyśl o tym

Ćwiczenie: Drgania tłumione Opór powietrza, wody itd. tłumi oscylacje Załóżmy, że siła oporu: F x = bv x = b dd dd II zasada dynamiki: ma x = bv x kk m d2 x dd = b dt2 dd kk mx + bx + kk = 0 x + b m x + k m x = 0 x + 2βx + ω 0 2 x = 0

Ćwiczenie: Drgania tłumione Rozwiąż równanie: mx + 2βx + ω 0 2 x = 0 Rozwiązania szukaj w postaci: x t = e αα Otrzymasz rozwiązanie: x t = C 1 e α 1t + C 2 e α 2t, gdzie α 1,2 = β ± β 2 ω 0 2 x t = e ββ C 1 e β2 ω 0 2 t + C2 e β2 ω 0 2 t

Ćwiczenie: Drgania tłumione x t = e ββ C 1 e β2 ω 0 2 t + C2 e β2 ω 0 2 t Drgania nietłumione: β = 0 x t = C 1 e ω 0 2 t + C2 e ω 0 2 t = C 1 e i ω 0 2 t + C2 e i ω 0 2 t = C1 e iω 0t + C 2 e iω 0t

Ćwiczenie: Drgania tłumione x t = e ββ C 1 e β2 ω 2 0 t + C2 e β2 ω 2 0 t Drgania słabo tłumione β < ω 0 β 2 ω 2 0 < 0 x t = e ββ C 1 e i ω 0 2 β 2 t + C2 e i ω 0 2 β 2 t x t = e ββ C 1 e iω1t + C 2 e iω1t, ω 1 = ω 2 0 β 2 Drgania krytyczne β = ω 0 x t = C 1 e ββ + C 2 te ββ

W zależności od tłumienia β/ω 0 x t = e ββ C 1 e β2 ω 0 2 t + C2 e β2 ω 0 2 t Małe tłumienie (a) Krytyczne tłumienie (b) Silne tłumienie (c)

Drgania wymuszone mx + bx + kx = F t x + 2βx + ω 0 x = f t Siła okresowa wymuszająca: f t = f 0 cos ωω Rachunek bardziej skomplikowany patrz Taylor Częstość drgań własnych ω 0 = k m Częstość z tłumieniem ω 1 = ω 0 2 β 2 Częstość rezonansowa ω = ω 2 = ω 0 2 2β 2 ω 0

Drgania wymuszone i rezonans Drgania swobodne przykłady? Drgania wymuszone Amplituda drgań małe tłumienie Częstość siły wymuszającej/częstość własna

Równania różniczkowe rzędu pierwszego Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego dd dd + p x y = f(x), p x, f(x) funkcje ciągłe na przedziale a, b : jednorodne: f x = 0 niejednorodne: f x 0 Rozwiązanie równania jednorodnego dd dd dd + p x y = 0 = p x y = p x dd dd dd y ln y = P x + lll y = Cexp( P(x)) P x - funkcja pierwotna p x

Dlaczego ω to częstość? x 0 = A, v 0 = 0 x t = Acos (ωω) x t = x t + T, T to okres cos ωω = cos ω t + T z własności cosinusa: cos ωω = cos (ωω + 2π) cos ωω + 2π = cos( ωω + ωω) 2π = ωω ω = 2π T = 2ππ Częstość (liczba okresów w 1s) oznaczana: f lub ν

Wahadło matematyczne i sprężyna: okres, położenie, prędkość i energia Restnik Halliday Walker