Co to są równania ruchu? Jak je całkować?
|
|
- Bogdan Rybak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Co to są równania ruchu? Jak je całkować? Maria Przybylska CA UMK M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
2 Ruch ciała i jego opis Problemy co to jest ruch: zmiana położenia ciała względem pewnego układu odniesienia jak przewidywać zmiany położenia ciała w czasie, równania ruch jako infinitezymalny przepis na zmianę położenia w nieskończenie krótkim przedziale czasu, jak przewidywać położenie ciała w skończonym przedziale czasu całkowanie równań ruch co robić gdy równań nie można scałkować analiza jakościowa równań ruchu. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
3 Wielkości opisujące ruch położenie punkt w R 3 scharakteryzowany wektorem wodzącym r = (x, y, z) tor krzywa zadana w sposób parametryczny prędkość x = x(t), y = y(t), z = z(t) r(t + t) r(t) v(t) = lim = dr t 0 t dt przyspieszenie v(t + t) v(t) a(t) = lim = dv t 0 t dt = d2 r dt 2 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
4 Sir Isaac Newton zainteresowania: filozofia naturalna (fizyka), matematyka, astronomia, filozofia, alchemia, teologia chrześcijańska matematyka: rachunek różniczkowy i całkowy (walka o pierwszeństwo z Leibnizem), uogólnienie wzoru binomialnego na potęgi rzeczywiste, metoda Newtona znajdowania przybliżonych zer funkcji, badanie własności szeregów, fizyka: 3 prawa ruch, prawo powszechnej grawitacji, zgodność praw Keplera z prawem powszechnego ciążenia, konstrukcja teleskopu refrakcyjnego, teoria światła i kolorów, pomiar prędkości dźwięku. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
5 Prawa ruchu zasady dynamiki Newtona 1 Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego jednostajnego, jeżeli siły przyłożone nie zmuszą ciała do zmiany tego stanu 2 Jeśli na ciało działa siła F, to ciało porusza się z przyspieszeniem a wprost proporcjonalnym do działającej siły F, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała m. Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i odbywa się w kierunku prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona. ma = F M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
6 Jak rozwiązywać równania ruchu? Problem znamy F czyli a + warunki początkowe r 0 = r(0), v 0 = v(0) = jak wyznaczyć r = r(t)? gdy nie działa siła F = 0 gdy działa siła F = 0 ma = F ṙ = v, m v = F, ma = 0 v(t) = v 0 = const, v(t) = dr dt = v 0, r(t) = v 0 t + r 0. r 0 = r(t 0 ), v 0 = v(t 0 ). M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
7 Inne równania ruchu układ Lorenza Układy dynamiczne ẋ i = v i (x 1,..., x n ), i = 1,..., n x i wielkości charakteryzujące układ, np. współrzędne x i i składowe prędkości v i = ẋ i. ẋ = σ(y x), ẏ = x(r z) y, ż = xy bz, opisuje zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze. Zmienne: x natężenie konwekcji, y różnica temperatur pomiędzy prądami wstępujacymi i zstępujacymi, odchylenie rozkładu temperatury w pionie od równowagowego. σ liczba Prandtla, r liczba Rayleigha. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
8 Pytania, pytania... 1 co oznacza znaleźć rozwiązania lub scałkować równania ruchu? 2 rozwiązania w jakiej klasie funkcji? 3 czy można w ścisły sposób odróżnić układy rozwiązalne od nierozwiązalnych? 4 jak dowodzić nierozwiązalności? 5 jak odróżnić układy rozwiązalne od nierozwiązalnych bez znajdowania jawnej postaci rozwiązań? 6 czy istnieją wielkości, których obecność pociąga za sobą rozwiązalność równań ruchu? Ich obecność wyznacza trajektorię w niejawny sposób. 7 jak szukać takich wielkości, 8 jak dowieść, że takich wielkości nie ma? M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
9 Całkowalność w kwadraturach Newton, Poincaré Zapisane rozwiązania ogólnego przy pomocy skończonej liczby następujących po sobie operacji działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, rozwiązywanie równań algebraicznych (wyciąganie pierwiastków) kwadratur czyli wyznaczanie funkcji pierwotnych (całek nieoznaczonych) odwracanie funkcji na zbiorze funkcji elementarnych. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
10 Wahadło matematyczne mała amplituda II zasada dynamiki Newtona ml 2 d2 θ = mgl sin θ dt2 dla małych odchyleń od położenia równowagi sin θ θ d 2 θ dt 2 + ω2 θ = 0, ω = g l = const równanie liniowe o stałych współczynnikach rozwiązanie w funkcjach elementarnych θ = A sin(ωt + γ), A, γ const M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
11 Wahadło matematyczne dowolna amplituda d 2 ϕ dt 2 + ω2 sin ϕ = 0. O użyteczności całki energii do jakościowego zrozumienia dynamiki. Oznaczenie: Π = ω 2 cos ϕ h = 1 2 ϕ2 ω 2 cos ϕ = 1 2 ϕ2 0 ω 2 cos ϕ 0 do scałkowania równań ruchu dϕ 2(h + ω 2 cos ϕ) = dt, dϕ 2(h + ω 2 cos ϕ) = t M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
12 Wahadło matematyczne dowolna amplituda d 2 θ dt 2 + ω2 sin θ = 0. Rozwiązania są znane i wyrażają się złożonymi funkcjami specjalnym przypadek oscylacyjny gdy kąt zmienia się w pewnych granicach θ [ θ max, θ max ] θ = 2 arc sin[h sn ω(t t 0 )] sn( ) funkcja eliptyczna Jacobiego (sinus amplitudy) przypadek ruchu pełzajacego, ruch po separatrysie θ = 4 arc tg exp[ω(t t 0 )] π gdy θ π, to t, przypadek rotacyjny, k = θ 0 /(2ω) [ ] θ 0 θ = 2 am 2 (t t 0), θ 0 (t t 0 ) = 2 θ/2 0 du 1 1 sin 2 (u) k 2 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
13 Całkowalność a prawa zachowania układ dynamiczny ẋ i = v i (x 1,..., x n ), i = 1,..., n Co to są całki pierwsze i ich własności Całki pierwsze to funkcje zależne od zmiennych opisujacych układ: I = I (x 1,..., x n ), które pozostają stałe w trakcie dynamiki układu. I (x 1,..., x n ) = I (x 1 (t 0 ),..., x n (t 0 )) Przykłady: energia, pęd, moment pędu,... Kryterium infinitezymalne: di (x 1,..., x n ) := dt n i=1 I x i v i = 0, Istnienie n 1 (funkcjonalnie) niezależnych całek pierwszych implikuje całkowalność w kwadraturach Wniosek: Układ posiadający n 1 (funkcjonalnie) niezależnych całek pierwszych jest całkowalny. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
14 Równania Eulera Π + Ω Π = 0, Π = I Ω I = diag(i 1, I 2, I 3 ) tensor bezwładności I 1 = Π Π Π 2 3 = Π, Π, H = 1 ( ) Π Π2 2 + Π2 3 = 1 2 I 1 I 2 I 3 2 Π, I 1 Π M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
15 Zagadnienie dwóch ciał redukcja dwa punkty materialne 1 i 2 o masach m 1 (np. Słońce) i m 2 (np. Ziemia) o promieniach wodzących x 1, x 2 oddziałujace grawitacyjnie F 1,2 = F 2,1 = Gm 1m 2 r r 2 r gdzie r = x 2 x 1 i r = r. Układ posiada środek masy (wektor wodzacy R) i jeśli nie działają na niego żadne siły zewnętrzne to na mocy I prawa dynamiki porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku: R(t) = R 0 + Ṙ 0 (t t 0 ), R = m 1x 1 + m 2 x 2, m 1 + m 2 gdzie R 0 = R(t 0 ) i Ṙ 0 = Ṙ(t 0 ). Równania ruchu m 1 ẍ 1 = Gm 1m 2 r 2 µ r = Gm 1m 2 r 2 r r, m 2ẍ 2 = Gm 1m 2 r 2 r r, µ = m 1m 2 m 1 + m 2 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29 r r
16 Zagadnienie dwóch ciał redukcja Jeśli rozwiążemy problem zredukowany, to mamy rozwiązanie wyjściowego układu bo x 1 (t) = R(t) µ m 1 r(t), x 2 (t) = R(t) + µ m 1 r(t). Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu c = r µv, v = ṙ, r c = 0 czyli ruch względny jest płaski. Przechodzimy do współrzędnych biegunowych o początku w punkcie o masie m 1 i położenie masy m 2 jest wyznaczone przez r i θ. W tych współrzędnych dwie całki ruch mają postać c = µr 2 ϕ, h = 1 2 µṙ2 Gm 1m 2 r M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
17 Wektor Laplaca-Rungego-Lenza µ ( e + r r ) = v c Wektor e jest stały wyłącznie dla sił postaci F = α 1 r r 2 r. Ponieważ r c = 0 więc e c = 0. Jesli c = 0, to e c i leży w płaszczyźnie orbity. Jeśli c = 0 to e = r/r µ(r e + r) = r v c = c (r v) = c c = c 2. Jeśli e = 0, to r = c 2 /µ = const i ruch po okręgu. Załóżmy, że e = 0, oznaczmy stały kąt ω = (x, e), punkt m 2 ma współrzędne (r, θ). Wprowadzamy kąt ν = θ ω i wtedy e r = er cos ν. Powyższe równanie można przepisać jako r = c2 /µ 1 + e cos ν. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
18 Zagadnienie dwóch ciał Rodzaje orbit r = p 1 + e cos ν, p = c2 µ. 0 < e < 1 elipsa e = 1 parabola e > 1 hiperbola Siedem wielkości skalarnych zachowywanych w trakcie ewolucji: składowe c i e oraz energia h ale tylko pięć spośród nich jest funkcjonalnie niezależnych. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
19 Zagadnienie N ciał n mas punktowych m i posiadających wektory wodzące x i R 3 oddziałujących grawitacyjnie m i ẍ i = N Gm i m j (x j x i ) x j=1,j =i i x j 3 = U, U = x i 1i<jN Potrzebnych 6N 1 całek pierwszych a znanych jest tylko 7: 1 3 składowe całkowitego pędu L = n i=1 m i v i, Gm i m j x i x j 2 3 składowe całkowitego momentu pędu L = N i=1 x i m i v i, 3 energia całkowita h = m i v 2 i /2 + U, 4 odseparowanie ruchu środka masy redukujące wymiar problemu. Już zagadnienie 3 ciał jest niecałkowalne! M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
20 Piłeczka odpustowa na gumce ( ) r ẍ = ω 2 l0 x, r ) ÿ = ω 2 ( r l0 r z = ω 2 ( r l0 r y, ) z g, r = x 2 + y 2 + z 2, ω 2 = k/m. k stała sprężystości m masa ciężarka l 0 długość wahadła w położeniu równowagi gdy k(l l 0 ) = mg. plynch/swingingspring/ M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
21 Jak zobaczyć niecałkowalność cięcie Poincaré M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
22 Cięcie Poincaré dla piłeczki odpustowej h = 1 2m (p2 1 + p2 2 + p3) 2 + mgz k(r l 0) 2, p i = mx i L z = xp 2 yp 1 ( ) h = 1 pr 2 + p2 θ 2m r 2 + p2 ϕ r 2 sin 2 mgr cos θ + 1 θ 2 k(r l 0) 2, L z = p ϕ M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
23 Jak ściśle dowodzić niecałkowalności? równania wariacyjne Główna idea Informacja o zachowaniu rozwiązań układu nieliniowego wokół pewnego rozwiązania szczególnego są zawarte w równaniach wariacyjnych. W układzie ẋ = v(x), x = (x 1,... x n ) T, ze znanym rozwiązaniem szczególnym ϕ(t) dokonujemy podstawienia x = ϕ(t) + ξ Równania wariacyjne d dt ξ = A(t)ξ, v A(t) = x (ϕ(t)). M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
24 Algebraiczna teoria Galois Problem jak wyrazić pierwiastki wielomianu a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = 0, a 0 = 0, a i R, przy pomocy a i używając tylko operacji algebraicznych: dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i rozwiązywania równań algebraicznych czyli czy równanie jest rozwiązalne przez pierwiastniki n = 1, x = a 1 a 0, n = 2, x 2 + px + q = x 1,2 = p 2 ± p 2 n = 3 Cardano n = 4 Ferrari. ( x + p ) 2 p 2 = 2 4 q, p = b a, q = c a 4 q = b ± b2 4ac, 2a M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
25 Całkowalność a różniczkowa teoria Galois istnieje odpowiednik algebraicznej toerii Galois dla równań różniczkowych liniowych (o niestałych współczynnikach) tzw. różniczkowa teoria Galois, przy pomocy tej teorii sprawdza się rozwiązalność równań liniowych. Można znaleźć nowe układy rozwiązalne, można wyrazić warunki konieczne całkowalności nieliniowego układu dynamicznego przy pomocy różniczkowej grupy Galois równań wariacyjnych, uzyskane warunki są możliwe do sprawdzenia, udowodniono niecałkowalność wielu układów a także znaleziono kilka nowych nieznanych układów całkowalnych. M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
26 Potencjały Henona-Heilesa V = Dx 2 y C 3 y 3 przypadki całkowalne D = 0 D/C = 1/6 D/C = 1/16 D = C = 1 y = 0 płaszczyzna (x, ẋ) M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
27 O pewnym jednorodnym potencjale V 10 = 4 2q q 1q q2 2q q3 3 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
28 I 1 = 12p2 4 27q2 6 18q2(q q 1 q 3 + 2q3) 2 + 4(6p1 2 3p q1 3 2q3)(3p q3) q2(3p 2 3( 2 2q 1 4q 3 ) + 12p 1 p 3 (q 1 + 2q 3 ) 2q3(12q q 1 q 3 + 2q3)) 2 12p 2 q 2 (2p 3 (16q q q 1 q 3 4q3) p 1 (q q3)) 2 12p2(2p 2 3 (2 2p 1 + p 3 ) 4(q 2 q 3 )q 3 (q 2 + q 3 ) 2q 1 (5q q3)), 2 I 2 = 81q2(2 8 2q 1 + q 3 ) + 216p 2 p 3 q2( 5 2q 1 + 2q 3 ) + 54q2(p p q1 3 24q1q q 1 q3) p 2 p 3 q1q 2 2 (3p q q1q q 1 q3) 2 72p1(3p q3) p 2 p 3 q2(p q1(2 2 2q 1 + 3q 3 )) + 144p1( 3 2p 2p p 2 q 2 q3 2 3p 3 q2(q q 3 )) 32(p p2q 4 1q p2q 2 1( 3 2p q 1 q3) q1(3p q3)) 3 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
29 12p1(4p p 2 p 3 q 2 (16q q q 1 q 3 4q3) 2 + 9q2(2q q 1 q 3 + q3) q1(3p q3) p2(p q2q 2 3 2q 1 (q2 2 2q3)) 2 + 6q2(9 2 2p3q q3( 6q q 1 q 3 + q3))) 2 144q2(p 4 2(7q q 1 q 3 + 2q3) 2 + 3q1(3p q 3 ( 2q q 1 q 3 + q3))) 2 48q2(p 2 2(5 4 2q 1 + 4q 3 ) + 4p2q 2 1(8q q 1 q 3 + 3q3) 2 + 8q1(9p 3 3q q3( 6 2 2q q 1 q 3 + 2q3))) 2 + 6p 1 (16 2p 2p p2p 2 3 (8q1 3 6q 1 q q 2q 2 3 ) + 4p2q 3 2 ( 16 2q q 1 q 3 + 2(3q q3)) 2 + 3p 3 q2(9 2 2q2 4 64q1( 3 2q 1 + 2q 3 ) 12q2(2 2 2q q 1 q 3 + 2q3)) p 2 q 2 ( 3 2p3q q 1 q q1q q2(4q q 1 q q3))). 3 M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki / 29
Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)
Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)
Bardziej szczegółowoZagadnienie dwóch ciał
Zagadnienie dwóch ciał Rysunek : Rysunek ilustrujący zagadnienie dwóch ciał. Wektor R określa położenie środka masy, wektor x położenie masy m, a wektor x 2 położenie masy m 2. Położenie masy m 2 względem
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoPrawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd
Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Siły - wektory Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (Mechanika) Wykład II: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny, ruch jednostajnie przyspieszony
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoFizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
w poprzednim odcinku 1 Wzorce sekunda Aktualnie niepewność pomiaru czasu to 1s na 70mln lat!!! 2 Modele w fizyce Uproszczenie problemów Tworzenie prostych modeli, pojęć i operowanie nimi 3 Opis ruchu Opis
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowomechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)
Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Kinematyka ruchu
Bardziej szczegółowoFizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
w poprzednim odcinku 1 Opis ruchu Opis ruchu Tor, równanie toru Zależność od czasu wielkości wektorowych: położenie przemieszczenie prędkość przyśpieszenie UWAGA! Ważne żeby zaznaczać w jakim układzie
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)
Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) I (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają
Bardziej szczegółowoFizyka 1- Mechanika. Wykład 4 26.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
Fizyka 1- Mechanika Wykład 4 6.X.017 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ III zasada dynamiki Zasada akcji i reakcji Każdemu działaniu
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład III: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny Pojęcia podstawowe
Bardziej szczegółowoWykład 5 - całki ruchu zagadnienia n ciał i perturbacje ruchu keplerowskiego
Wykład 5 - całki ruchu zagadnienia n ciał i perturbacje ruchu keplerowskiego 20.03.2013 Układ n ciał przyciągających się siłami grawitacji Mamy n ciał przyciągających się siłami grawitacji. Masy ciał oznaczamy
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoMiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki
MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej
Bardziej szczegółowoRuch pod wpływem sił zachowawczych
Ruch pod wpływem sił zachowawczych Fizyka I (B+C) Wykład XV: Energia potencjalna Siły centralne Ruch w polu grawitacyjnym Pole odpychajace Energia potencjalna Równania ruchu Znajomość energii potencjalnej
Bardziej szczegółowoDwa przykłady z mechaniki
Rozdział 6 Dwa przykłady z mechaniki W rozdziale tym przedstawimy proste przykłady rozwiązań równań mechaniki Newtona. Mechanika Newtona zajmuje się badaniem ruchu układu punktów materialnych w przestrzeni
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (Mechanika) Wykład II: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny, ruch jednostajnie przyspieszony
Bardziej szczegółowoKinematyka, Dynamika, Elementy Szczególnej Teorii Względności
Kinematyka, Dynamika, Elementy Szczególnej Teorii Względności Fizyka wykład 2 dla studentów kierunku Informatyka Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki Politechnika Śląska 15 października 2007r.
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu
MECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu Prowadzący: dr Krzysztof Polko Dynamiczne równania ruchu Druga zasada dynamiki zapisana w postaci: Jest dynamicznym wektorowym równaniem ruchu. Dynamiczne
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu
J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoPodstawowy problem mechaniki klasycznej punktu materialnego można sformułować w sposób następujący:
Dynamika Podstawowy problem mechaniki klasycznej punktu materialnego można sformułować w sposób następujący: mamy ciało (zachowujące się jak punkt materialny) o znanych właściwościach (masa, ładunek itd.),
Bardziej szczegółowoWydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska. Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni
Wydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz obszerniejsze listy zadań do kursu są dostępne
Bardziej szczegółowoDynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki
Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki I. Zasada bezwładności Gdy działające siły równoważą się ciało fizyczne pozostaje w spoczynku lubporusza się ruchem prostoliniowym ze stałą prędkością. II. Zasada
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne*
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne* Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha * Resnick, Halliday,
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Pojęcia podstawowe Punkt materialny Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać. Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały. Nie jest
Bardziej szczegółowoV.4 Ruch w polach sił zachowawczych
r. akad. 5/ 6 V.4 Ruch w polach sił zachowawczych. Ruch cząstki w potencjale jednowyiarowy. Ruch w polu siły centralnej. Wzór Bineta 3. Przykład: całkowanie wzoru Bineta dla siły /r Dodatek: całkowanie
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoObraz Ziemi widzianej z Księżyca
Grawitacja Obraz Ziemi widzianej z Księżyca Prawo powszechnego ciążenia Dwa punkty materialne o masach m 1 i m przyciągają się wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną
Bardziej szczegółowoModelowanie układów dynamicznych
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd
Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub porusza się ruchem prostoliniowym i jednostajnym, jeśli siły przyłożone
Bardziej szczegółowoRuchy planet. Wykład 29 listopada 2005 roku
Ruchy planet planety wewnętrzne: Merkury, Wenus planety zewnętrzne: Mars, Jowisz, Saturn, Uran, Neptun, Pluton Ruch planet wewnętrznych zachodzi w cyklu: koniunkcja dolna, elongacja wschodnia, koniunkcja
Bardziej szczegółowoPrawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Dynamika ruchu po okręgu siła dośrodkowa Prawa ruchu w układzie nieinercjalnym siły bezwładności Prawa ruchu w układzie obracajacym się siła odśrodkowa siła
Bardziej szczegółowoFizyka 1- Mechanika. Wykład 4 27.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
Fizyka 1- Mechanika Wykład 4 27.X.2016 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ III zasada dynamiki Zasada akcji i reakcji Każdemu działaniu
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne*
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne* Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha * Resnick, Halliday,
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoSztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym
Sztuczny satelita Ziemi Ruch w polu grawitacyjnym Sztuczny satelita Ziemi Jest to obiekt, któremu na pewnej wysokości nad powierzchnią Ziemi nadano prędkość wystarczającą do uzyskania przez niego ruchu
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności
Zasady dynamiki Newtona Pęd i popęd Siły bezwładności Copyright by pleciuga@o2.pl Inercjalne układy odniesienia Układy inercjalne to takie układy odniesienia, względem których wszystkie ciała nie oddziałujące
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoRuch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe
Ruch obrotowy bryły sztywnej Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe Ruch obrotowy ruch po okręgu P, t 1 P 1, t 1 θ 1 θ Ruch obrotowy ruch po okręgu P,
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoOpis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia
Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Nazwa Przedmiotu: Mechanika klasyczna i relatywistyczna Kod przedmiotu: Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: rok studiów,
Bardziej szczegółowoFIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań
FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań Andrzej Przybyszewski Michał Witczak Marcin Talarek. Definicja pracy na odcinku A-B 2. Zdefiniować różnicę energii potencjalnych gdy ciało przenosimy z do B
Bardziej szczegółowoZderzenia. Fizyka I (B+C) Wykład XVI: Układ środka masy Oddziaływanie dwóch ciał Zderzenia Doświadczenie Rutherforda
Zderzenia Fizyka I (B+C) Wykład XVI: Układ środka masy Oddziaływanie dwóch ciał Zderzenia Doświadczenie Rutherforda Układ środka masy Układ izolowany Izolowany układ wielu ciał: m p m 4 CM m VCM p 4 3
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 IV. Pęd, zasada zachowania pędu
Podstawy fizyki sezon 1 IV. Pęd, zasada zachowania pędu Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Pęd Rozważamy
Bardziej szczegółowoZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.
ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją
Bardziej szczegółowoJan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły
Bardziej szczegółowoDrgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. dr inż. Romuald Kędzierski
Zasady dynamiki Newtona dr inż. Romuald Kędzierski Czy do utrzymania ciała w ruchu jednostajnym prostoliniowym potrzebna jest siła? Arystoteles 384-322 p.n.e. Do utrzymania ciała w ruchu jednostajnym prostoliniowym
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoR o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
R o z d z i a ł KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Kinematyka zajmuje się opisem ruchu ciał bez uwzględniania ich masy i bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały. Przez punkt materialny rozumiemy
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoElementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Elementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Po czym można rozpoznać, że na ciało działają siły? Możliwe skutki działania sił: Po skutkach działania sił. - zmiana kierunku ruchu
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona
Zasady dynamiki Newtona Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub porusza się ruchem prostoliniowym i jednostajnym, jeśli siły przyłożone nie zmuszają ciała do zmiany tego stanu Jeżeli na ciało nie działa
Bardziej szczegółowoMechanika Analityczna
Mechanika Analityczna Wykład 2 - Zasada prac przygotowanych i ogólne równanie dynamiki Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej 29 lutego 2016 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowo18. Siły bezwładności Siła bezwładności w ruchu postępowych Siła odśrodkowa bezwładności Siła Coriolisa
Kinematyka 1. Podstawowe własności wektorów 5 1.1 Dodawanie (składanie) wektorów 7 1.2 Odejmowanie wektorów 7 1.3 Mnożenie wektorów przez liczbę 7 1.4 Wersor 9 1.5 Rzut wektora 9 1.6 Iloczyn skalarny wektorów
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoZasady zachowania. Fizyka I (Mechanika) Wykład VI:
Zasady zachowania Fizyka I (Mechanika) Wykład VI: Zasady zachowania energii i pędu Zasada zachowania momentu pędu Zderzenia elastyczne Układ środka masy Zasada zachowania pędu II zasada dynamiki Pęd układu
Bardziej szczegółowoFIZYKA. Wstęp cz.2. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok
Wstęp cz. IZYKA Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-, pok.3 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Zastosowanie rachunku różniczkowego w fizyce V t s V s t V ds PRZYKŁAD:
Bardziej szczegółowoPodstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika
Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Dynamika Prowadzący: Kierunek Wyróżniony przez PKA Mechanika klasyczna Mechanika klasyczna to dział mechaniki w fizyce opisujący : - ruch ciał - kinematyka,
Bardziej szczegółowoDr Kazimierz Sierański www. If.pwr.wroc.pl/~sieranski Konsultacje pok. 320 A-1: codziennie po ćwiczeniach
Dr Kazimierz Sierański kazimierz.sieranski@pwr.edu.pl www. If.pwr.wroc.pl/~sieranski Konsultacje pok. 320 A-1: codziennie po ćwiczeniach Forma zaliczenia kursu: egzamin końcowy Grupa kursów -warunkiem
Bardziej szczegółowoI. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 4
Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada
Bardziej szczegółowoElementy dynamiki mechanizmów
Elementy dynamiki mechanizmów Dynamika pojęcia podstawowe Dynamika dział mechaniki zajmujący się ruchem ciał materialnych pod działaniem sił. Głównym zadaniem dynamiki jest opis ruchu ciał pod działaniem
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Bardziej szczegółowoFIZYKA I ASTRONOMIA RUCH JEDNOSTAJNIE PROSTOLINIOWY RUCH PROSTOLINIOWY JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY RUCH PROSTOLINIOWY JEDNOSTAJNIE OPÓŹNIONY
FIZYKA I ASTRONOMIA RUCH JEDNOSTAJNIE PROSTOLINIOWY Każdy ruch jest zmienną położenia w czasie danego ciała lub układu ciał względem pewnego wybranego układu odniesienia. v= s/t RUCH
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoUkłady fizyczne z więzami Wykład 2
Układy fizyczne z więzami Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna
Bardziej szczegółowoSIŁA JAKO PRZYCZYNA ZMIAN RUCHU MODUŁ I: WSTĘP TEORETYCZNY
SIŁA JAKO PRZYCZYNA ZMIAN RUCHU MODUŁ I: WSTĘP TEORETYCZNY Opracowanie: Agnieszka Janusz-Szczytyńska www.fraktaledu.mamfirme.pl TREŚCI MODUŁU: 1. Dodawanie sił o tych samych kierunkach 2. Dodawanie sił
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowoZadania z mechaniki dla nanostudentów. Seria 3. (wykład prof. J. Majewskiego)
Zadania z mechaniki dla nanostudentów Seria 3 (wykład prof J Majewskiego) Zadanie 1 Po równi pochyłej o kącie nachylenia do poziomu równym α zsuwa się klocek o masie m, na który działa siła oporu F = m
Bardziej szczegółowom Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoOpis ruchu obrotowego
Opis ruchu obrotowego Oprócz ruchu translacyjnego ciała obserwujemy w przyrodzie inną jego odmianę: ruch obrotowy Ruch obrotowy jest zawsze względem osi obrotu W ruchu obrotowym wszystkie punkty zakreślają
Bardziej szczegółowoRuch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony
Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch
Bardziej szczegółowoPODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 1 WSTEP KINEMATYKA - OPIS RUCHU DYNAMIKA - OPIS ODDZIAŁYWAŃ. Piotr Nieżurawski.
PODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 1 WSTEP KINEMATYKA - OPIS RUCHU DYNAMIKA - OPIS ODDZIAŁYWAŃ Piotr Nieżurawski pniez@fuw.edu.pl Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski http://www.fuw.edu.pl/~pniez/bioinformatyka/
Bardziej szczegółowoRUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika
Bardziej szczegółowoFizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 10
Fizyka 1 (mechanika) 1100-1AF14 Wykład 10 Jerzy Łusakowski 12.12.2016 Plan wykładu Grawitacja Wzór Bineta Grawitacja Oddziaływanie grawitacyjne m 2 m 1 r 12 F 21 F 12 F 12 = G m 1m 2 r 12 r12 2 ; G=6.67
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 II. DYNAMIKA
Podstawy fizyki sezon 1 II. DYNAMIKA Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Kinematyka a dynamika Kinematyka
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 3 Specjalne metody elektrostatyki 3 3.1 Równanie Laplace
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoV. RÓWNANIA RUCHU MECHANIKI KLASYCZNEJ Janusz Adamowski
V. RÓWNANIA RUCHU MECHANIKI KLASYCZNEJ Janusz Adamowski 1 1 Wstęp Rozważamy ruch jednej cząstki klasycznej w jednym wymiarze. Otrzymane wyniki będzie można łatwo uogólnić na przypadek pojedynczej cząstki
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowo