Chaos w układach dynamicznych: miary i kryteria chaosu

Transkrypt

1 : miary i kryteria chaosu Uniwersytet Śląski w Katowicach, Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii : miary i kryteria chaosu

2 Temat tego referatu jest związany z teorią układów dynamicznych która ma wiele zastosowań w różnych dziedzinach nauki. Będą nas interesować dokładniej zachowania chaotyczne układów. : miary i kryteria chaosu

3 Temat tego referatu jest związany z teorią układów dynamicznych która ma wiele zastosowań w różnych dziedzinach nauki. Będą nas interesować dokładniej zachowania chaotyczne układów. Głównym celem tego referatu jest przedstawienie kryteriów które wyróżniają układy chaotyczne od nie-chaotycznych oraz przedstawienie miar opisujących stopień chaotyczności w sposób ilościowy. : miary i kryteria chaosu

4 W celu rozjaśnienia tego zagadnienia oraz uściślenia naszych rozważań przedstawię defincje podstawowych pojęć Definicja Układem dynamicznym nazywamy trójkę (T, X, f ) gdzie T jest monoidem (półgrupą z elementem neutralnym), X jest zbiorem f jest funkcją: f : U T X X Ponadto: Używamy notacji: I (x) = {t T ; (t, x) U} f (0, x) = x f (t 1, f (t 2, x)) = f (t 1 + t 2, x) f x(t) def = f (t, x) f t (x) def = f (t, x) : miary i kryteria chaosu

5 W tym referacie skupię się na układach dynamicznych ciągłych. : miary i kryteria chaosu

6 W tym referacie skupię się na układach dynamicznych ciągłych. Definicja Układem dynamicznym ciągłym nazywamy układ równań różniczkowych zwyczajnych: dx i = Fi(x, c) dt Gdzie x = (x 1, x 2,... x n) R n jest punktem w przestrzeni fazowej, (c 1, c 2,... c k ) R k są parametrami określającymi układ, w anglojęzycznej literaturze spotyka się z nazwą control parameters. : miary i kryteria chaosu

7 W tym referacie skupię się na układach dynamicznych ciągłych. Definicja Układem dynamicznym ciągłym nazywamy układ równań różniczkowych zwyczajnych: dx i = Fi(x, c) dt Gdzie x = (x 1, x 2,... x n) R n jest punktem w przestrzeni fazowej, (c 1, c 2,... c k ) R k są parametrami określającymi układ, w anglojęzycznej literaturze spotyka się z nazwą control parameters. Definicja Układ będzie nazywali Lipchitzowskim jeżeli funkcje F 1(x, c) określające układ spełniają warunek Lipchitza: F (x; c) F (x ; c) < L(c) x x gdzie: L: R k (0; + ) : miary i kryteria chaosu

8 Twierdzenie Jeżeli układ dynamiczny jest Lipchitzowski w otoczeniu punktu x 0, to istnieje dodatni s że: 1 Istnieje funkcja φ(t) = (φ 1(t), φ 2(t)... φ n(t)) spełniająca równanie różniczkowe określające ten układ na przedziale s t s z φ(0) = x 0 2 Funkcja ta jest jednoznacznie określona : miary i kryteria chaosu

9 Twierdzenie Jeżeli układ dynamiczny jest Lipchitzowski w otoczeniu punktu x 0, to istnieje dodatni s że: 1 Istnieje funkcja φ(t) = (φ 1(t), φ 2(t)... φ n(t)) spełniająca równanie różniczkowe określające ten układ na przedziale s t s z φ(0) = x 0 2 Funkcja ta jest jednoznacznie określona W przypadku w którym układ jest Lipchitzowski na całej przestrzeni fazowej twierdzenie te można rozszerzyć: Twierdzenie Jeżeli układ dynamiczny jest Lipchitzowski, to istnieje jednoznacznie określona trajektoria dla dowolnego punktu początkowego, trajektorię tą można rozciągnąć asymptotycznie dla t + : miary i kryteria chaosu

10 W przypadku ciągłych układów dynamicznych często stosuje się nomenklaturę pozwalającą na ujednolicenie większości definicji z definicjami odpowiadających pojęć w układach dyskretnych: jako układ dynamiczny ciągły w tej nomenklaturze rozumiemy trójkę (T, X, f ), funkcję f nazywamy potokiem fazowym (ang. flow): f t : x 0 x(x 0, t) x(t) = f t (x 0) jest trajektorią. Funkcja f jest potokiem fazowym generowanym przez pole wektorowe określające układ. : miary i kryteria chaosu

11 Przedstawię po krótce pojęcia które są związane z ewolucją układu dynamicznego Definicja The dodatnią orbitą punktu x względem funkcji f jest: O + (x) = {f k (x); k 0} Jeżeli f ma odwrotną możemy zdefiniować orbitę ujemną: O (x) = {f k (x); k 0} Definicja Punkt przestrzeni fazowej x nazywamy punktem stałym jeżeli t>0f t (x) = x, orbita dodatnia dla tego punktu jest singletonem {x} : miary i kryteria chaosu

12 Definicja Punkt p nazywamy stabilnym w sensie Lapunowa jeżeli: ε>0 δ>0 j 0 x p < δ f j (x) f j (p) < ε : miary i kryteria chaosu

13 Ze względu na stabilność punkty stałe możemy podzielić na: 1 ścieki 2 źródła 3 punkty siodłowe 4 centra : miary i kryteria chaosu

14 Przykład Przykładem prostego układu dynamicznego który dla pewnych parametrów wykazuje złożone, chaotyczne zachowania jest oscylator Duffinga: d 2 x dt 2 = ax 4 + bx 2 + γ dx + c cos(w t) dt Przedstawiając powyższe równanie w równoważnej formie otrzymujemy: dx dt = v dv dt = ax 4 + bx 2 + γv + c cos(w t) : miary i kryteria chaosu

15 Pola wektorowego oscylatora Duffinga bez tłumienia i z tłumieniem : miary i kryteria chaosu

16 Rozwiązania periodyczne (γ = 0) : miary i kryteria chaosu

17 Przypadek z tłumieniem : miary i kryteria chaosu

18 Baseny przyciągania: : miary i kryteria chaosu

19 Zachowanie chaotyczne : miary i kryteria chaosu

20 Przedstawiony w 1961 roku przez Edwarda Lorenza model: : miary i kryteria chaosu

21 Przedstawiony w 1961 roku przez Edwarda Lorenza model: dx dt = σx + σy dy = rx Y XZ dt dz = bz + XY dt : miary i kryteria chaosu

22 Przedstawiony w 1961 roku przez Edwarda Lorenza model: dx dt = σx + σy dy = rx Y XZ dt dz = bz + XY dt Układ ten mimo wydawało by się prostej postaci wykazuje skomplikowane zachowanie. Dla pewnego zbioru parametrów układ przejawia zachowanie chaotyczne. : miary i kryteria chaosu

23 Przedstawiony w 1961 roku przez Edwarda Lorenza model: dx dt = σx + σy dy = rx Y XZ dt dz = bz + XY dt Układ ten mimo wydawało by się prostej postaci wykazuje skomplikowane zachowanie. Dla pewnego zbioru parametrów układ przejawia zachowanie chaotyczne. Najczęściej wspominaną cechą układu Lorenza jest jego wrażliwość na warunki początkowe, dwie trajektorie oddalone od siebie początkowo o niewielką odległość w przestrzeni fazowej wykazują istotnie różną ewolucję. : miary i kryteria chaosu

24 : miary i kryteria chaosu

25 Cechą wspólną układów chaotycznych jest wrażliwość na warunki początkowe, jednakże cecha ta nie jest oczywiście cechą wystarczającą: można podać wiele przykładów układów, w tym kilka trywialnych, które mają tą własność a ich dynamika jest prosta, nie-chaotyczna. : miary i kryteria chaosu

26 Cechą wspólną układów chaotycznych jest wrażliwość na warunki początkowe, jednakże cecha ta nie jest oczywiście cechą wystarczającą: można podać wiele przykładów układów, w tym kilka trywialnych, które mają tą własność a ich dynamika jest prosta, nie-chaotyczna. W celu uściślenia naszych dalszych rozważań będziemy musieli postarać się sformułować definicję układu chaotycznego. W literaturze można spotkać się z różnymi definicjami układów chaotycznych, nie ma natomiast ścisłej definicji która byłaby ogólnie przyjętą, w naszych rozważaniach będziemy stosować następującą: : miary i kryteria chaosu

27 Cechą wspólną układów chaotycznych jest wrażliwość na warunki początkowe, jednakże cecha ta nie jest oczywiście cechą wystarczającą: można podać wiele przykładów układów, w tym kilka trywialnych, które mają tą własność a ich dynamika jest prosta, nie-chaotyczna. W celu uściślenia naszych dalszych rozważań będziemy musieli postarać się sformułować definicję układu chaotycznego. W literaturze można spotkać się z różnymi definicjami układów chaotycznych, nie ma natomiast ścisłej definicji która byłaby ogólnie przyjętą, w naszych rozważaniach będziemy stosować następującą: Definicja Układem chaotycznym nazywamy układ dynamiczny który: 1 Jest wrażliwy na warunki początkowe 2 Wykazuje tzw. mieszanie topologiczne 3 Zawiera gęste orbity periodyczne : miary i kryteria chaosu

28 Przejdę teraz do istoty tego referatu mianowicie do przedstawieniu kryteriów i miar pozwalających na określenie czy dany układ wykazuje zachowania chaotyczne czy też nie. Metody te polegają na analizie szeregów czasowych generowanych przez układ. Takim szeregiem może być np. ciąg jednej ze współrzędnych punktów wchodzących w skład określonej trajektorii. : miary i kryteria chaosu

29 są miarą wrażliwości na warunki początkowe układu dynamicznego. Dostarczają informacji o tym jak zmienia się odległość między dwoma różnymi trajektoriami w przestrzeni fazowej. : miary i kryteria chaosu

30 Definicja Rozpatrzmy dwie trajektorie w przestrzeni fazowej początkowo odległe o δd 0 wykładniaiem maksymalnym Lapunowa nazywamy: λ = lim lim t + δd δd(t) ln t δd 0 gdzie: δd(t) jest odległością tych trajektorii w chwili t : miary i kryteria chaosu

31 Przykład Współczynnik Lapunowa w funkcji parametru a dla odwzororowania logistycznego: x n+1 = ax n(1 x n) : miary i kryteria chaosu

32 Z terminem entropia można spotkać się w różnych dziedzinach matematyki i nauki w ogólności. Koncepcja ta jako pierwsza pojawiłą się na gruncie termodynamiki i fizyki statystycznej, później idea ta została (w zmienionej formie) użyta w innych niż te termodynamiczne problemach. Zwykle jako entropia rozumiemy miarę nieuporządkowania. : miary i kryteria chaosu

33 Jako pierwszy termim entropia zaproponował Clausius w 1805 roku w nawiązaniu do wcześniejszej (1824) pracy Carnota którą obecnie znamy pod nazwą- Drugiej Zasady Termodynamiki. W tym rozumieniu: Definicja Jako zmianę entropii S podczas przejścia układu fizycznego z jednego stanu do drugiego: dq S = T gdzie: dq jestd infinitezymalnym przyrostem ciepła, T temparaturą (w skali bezwzględnej) w danym momencie. : miary i kryteria chaosu

34 Kolejną definicję entropii podał Ludwig Boltzman. Definicja S = k ln W gdzie W jest liczbą stanów mikroskopowych realizujących dany stan makroskopowy : miary i kryteria chaosu

35 Kolejnym przykładem entropii jest entropia Shannona związana z teorią informacji Definicja Rozpatrzmy zbiór prawdopodobieńst {p 1, p 2,..., p n} takich, że i = 1 n p i = 1. Entropią Shannona dla tak zadanego zbioru prawdopodobnieńst nazywamy: H(p) = n p i log 2 p i i=1 : miary i kryteria chaosu

36 W układach dynamicznych entropia jest miarą mieszania się stanów które jest jednym z cech wyróżniających układ chaotyczny. Jest ona pewnym analogonem wcześniej przedstawionych pojęć. Pierwszym krokiem który musimy wykonać w celu zastosowania tej miary na danym układzie dynamicznym jest dyskretyzacja - podzielenia na skończoną ilość komórek przestrzeń fazową (lub jej części). : miary i kryteria chaosu

37 W układach dynamicznych entropia jest miarą mieszania się stanów które jest jednym z cech wyróżniających układ chaotyczny. Jest ona pewnym analogonem wcześniej przedstawionych pojęć. Pierwszym krokiem który musimy wykonać w celu zastosowania tej miary na danym układzie dynamicznym jest dyskretyzacja - podzielenia na skończoną ilość komórek przestrzeń fazową (lub jej części). Następnym krokiem jest rozważenie ewolucji zbioru punktów znajdujących się początkowo w jednej z komórek. Po n krokach czasowych zliczamy ilość punktów w każdej z komórek. Dla odpodniej dużej próby początkowych punktów w ten sposób uzyskamy prawdopodobieństwa na to,że punkt z komórki początkowej ewoluje w czasie n do danej komórki. : miary i kryteria chaosu

38 Definicja Jako entropię dynamiczną rozumiemy: S n = k p i ln p i gdzie: p i jest prawdopodobieństem na znalezienie się punktu w r-tej komórce po czasie n. Sumowanie odbywa się po wszystkich komórkach i : miary i kryteria chaosu

39 Przejdźmy teraz do zdefiniowania entropii Kołmogorowa-Sinsaya. Jej idea opiera się na tym, że w rozpatrywanych przez nas zagadnieniach istotniejsze od wartości entropii jest to jak ona zmienia się w miarę ewolucji układu w czasie. Pewną miarą tej zmiany po czasie n daje nam: K n = 1 (Sn+1 Sn) τ : miary i kryteria chaosu

40 Przejdźmy teraz do zdefiniowania entropii Kołmogorowa-Sinsaya. Jej idea opiera się na tym, że w rozpatrywanych przez nas zagadnieniach istotniejsze od wartości entropii jest to jak ona zmienia się w miarę ewolucji układu w czasie. Pewną miarą tej zmiany po czasie n daje nam: K n = 1 (Sn+1 Sn) τ Po uśrednieniu tak zdefiniowanej miary otrzymujemy: K = lim N 1 N 1 Nτ n=0 (S n+1 S n) = lim N 1 Nτ (S N S 0) : miary i kryteria chaosu

41 Ostatnim krokiem jest dokonanie dwóch kolejnych przejść granicznych: Definicja Entropią Kołmogorowa-Sinsaya nazywamy: lim lim lim τ 0 L 0 N 1 Nτ (S N S 0) : miary i kryteria chaosu

42 Robert Gilmore, Marc Lefranc The Topology of Chaos Wiley-VCH Verlag GmbH Tomasz Downarowicz Entropy in Dynamical Systems Cambrigde University Press Robert C. Hilborn Chaos and Nonlinear Systems Oxford University Press. Robinson C. Dynamical System Stability, Symbolic Dynamics and Chaos CRC Press Wiggins Stephen Introduction to aplied nonlinear dynamical system and chaos. Springer-Verlag New York : miary i kryteria chaosu

43 Dziękuję za uwagę : miary i kryteria chaosu