MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, 2017 1 / 31
1 Kręt dla bryły sztywnej 2 Ruch postępowy bryły sztywnej 3 Ruch obrotowy bryły sztywnej Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, 2017 2 / 31
Szczególny przypadek krętu Obrót wokół osi Rozpatrzymy przypadek obrotu układu punktów materialnych wokół ustalonej osi. Punkty sa rozłożona jest po pewnej objętości - do analizy wybieramy jeden punkt elementarny o masie dm. z v = ω r lub v = ω r (1) Elementarny kręt wynosi: ω r v dm dk = v r dm = ω r r dm (2) Dla układu punktów: K z = dk = ω r 2 dm (3) M M Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, 2017 3 / 31
Szczególny przypadek krętu Obrót wokół osi ω z r v dm K z = M ω r 2 dm (4) Ponieważ prędkość obrotowa jest taka sama dla każdego z punktów bryły - można ja wyciagn ać przed całkę i otrzymać: K z = ω r 2 dm = ωi (5) M gdzie I jest momentem bezwładności dla układu punktów materialnych względem osi z. Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, 2017 4 / 31
Przykład 1 Kręt bryły sztywnej Płyta kołowa o masie m B wraz dwoma ciężarkami o masie m A obraca się wokół osi z z prędkościa obrotowa ω. Jak zmieni się prędkość wirowania jeśli położenie ciężarków zmieni się z promienia r 1 na r 2? Ruch ciężarków odbywać się będzie na skutek działania sił wewnętrznych. ω m A r 3 y m B m A Dane: ω 1 = 10 1 s, m B= 2 (kg), m A = 0.2 (kg), r 1 = 0.1 (m), r 2 =0.3 (m), r 3 =0.45 (m). r 1 r 2 x Szukane: ω 2 =? Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, 2017 5 / 31
Przykład 1 Rozwiazanie cz. 1 Rozwiazuj ac korzystamy z zasady zachowania krętu dla układu punktów materialnych. Ponieważ zmiana rozłożenia masy odbywa się bez udziału sił zewnętrznych to kręt układu pozostanie stały. ω m A r 3 y m B r 1 r 2 m A x { K 1 = K B +2 K A K B = m B r3 2 4 ω 1 K A = m A r1 2 ω 1 (6) Dla drugiego położenia: K 2 = K B + 2 K A { K B = m B r 2 3 4 ω 2 K A = m A r 2 2 ω 2 Porównujac kręty możemy zapisać: (7) K 1 = K 2 = const. (8) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, 2017 6 / 31
Przykład 1 Rozwiazanie cz. 2 m B r 2 3 4 ω 1 ( mb r 2 3 4 ω 1 + 2 m A r 2 1 ω 1 = m B r 2 3 4 + 2 m A r 2 1 ω 2 = ω 1 ) ( mb r 2 3 Podstawiajac dane numeryczne: ω 2 = 10 = ω 2 ( mb r 2 3 4 ω 2 + 2 m A r 2 2 ω 2 (9) ) + 2 m A r 2 2 ) (10) 4 + 2 m A r1 2 ( ) mb r = ω 3 2 1 I1 (11) 4 + 2 m A r2 2 I 2 ( ) 0.101 + 2 0.2 0.12 1 0.101 + 2 0.2 0.3 2 = 7.66 s (12) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, 2017 7 / 31
Zasada zachowania krętu układu punktów - przykłady Wniosek z poprzedniego zadania Zmiana prędkości obrotowej zależy od zmiany momentu bezwładności układu punktów materialnych a więc od rozłożenia masy. Eksperyment na orbicie -> NASA Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, 2017 8 / 31
Przykład 2 Kręt bryły sztywnej Płyta kołowa o masie m p może obracać się bez tarcia wokół osi z. Na jej obwodzie znajduje się punkt materialny o masie m r. W chwili czasu t=0 oba obiekty pozostaja w spoczynku. Dla czasu t>0 rozpoczyna się ruch punktu m r po obwodzie płyty z prędkościa względna v w. Obliczyć z jaka prędkościa będzie obracać się płyta. Moment bezwładności płyty I z. z v w J z m r ω p r x Dane: v w = 0.2 ( m s ), m r = 0.01 (kg), I z = 2 (kgm 2 ), r = 0.5(m) Szukane: ω p =? y Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, 2017 9 / 31
Przykład 2 Rozwiazanie cz 1. Jak wygladaj a poszczególne kręty? v b v b r r K r K r Kręt punktu materialnego: K r = r m v b (13) Uwaga: v b - oznacza prędkość bezwzględna. UWAGA Nasz robaczek porusza się prędkościa względna v w po obwodzie płyty. Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 10 / 31
Przykład 2 Rozwiazanie cz. 2 Kręt płyty: K p = I z ω p (14) ω p K p ω p K r Moment bezwładności jest dodatnim skalarem więc zwrot krętu płyty jest zgodny ze zwrotem prędkości wirowania. Kierunek obrotu płyty pojawia się jako przeciwny do kierunku ruchu punktu m r. Suma krętów płyty i robaczka: K p + K r = 0 = K p = K r (15) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 11 / 31
Przykład 2 Rozwiazanie cz. 3 Liczymy kręt całkowity: K p = I z ω p, K r = m r r v b (16) Prędkość bezwzględna v b obliczamy z różnicy ruchu płyty i punktu: v w ω p m r v b = v w + v u v b = v w v u v b = v w ω p r (17) v u v w v u v b Kręt układu: K = K p K r = 0 I z ω p m r r (v w v u ) = 0 ω p = m r r v w m r r 2 + I z 0.01 0.5 0.2 ω p = 0.01 0.5 2 + 2 = 0.000491 s (18) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 12 / 31
Ruch postępowy bryły sztywnej Równanie dynamiki Równanie dynamiki ruchu postępowego ciała sztywnego ma taka sama postać jak równanie dynamiczne punktu materialnego o masie równej masie całego ciała i poddanego działaniu sił zewnętrznych działajacych na rozpatrywane ciało. Uwaga: Siły te musza spełniać warunek Mic = 0 Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 13 / 31
Ruch obrotowy bryły sztywnej Równanie dynamiki ruchu obrotowego wyprowadzimy z równania krętu: dk z dt n = M iz = M z, K z = I z ω (19) (i=1) z Podstawiajac wyrażenie na kręt do pochodnej otrzymamy: P 1 y ω o P2 x P 3 d(i z ω) dt = M z I z dω dt = M z (20) Równanie dynamiki ruchu obrotowego ciała sztywnego: I z ε = M z (21) I z φ = Mz (22) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 14 / 31
Ruch obrotowy bryły sztywnej W szczególnym przypadku brak jest momentów od sił zewnętrznych lub ich suma równa się zero M z = 0. Wówczas otrzymujemy równanie: I z ε = I z dω dt = 0 = ε = 0 = ω = const. (23) co oznacza iż takie ciało porusza się ruchem obrotowym jednostajnym. W ogólnym przypadku gdy M z 0 otrzymujemy równanie różniczkowe, które można rozwiazać otrzymujac funkcję φ(t). W przypadku gdy M z = const. ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym lub opóźnionym. Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 15 / 31
Równanie ruchu obrotowego bryły sztywnej Rozwiazuj ac równanie dla M z = const. otrzymamy: I z φ = Mz = φ = M z I z = d φ dt = M z I z (24) d φ = Mz I z dt = φ = M z I z t + C 1 (25) Warunki poczatkowe: φ(t = 0) = ω 0, φ(t = 0) = φ 0 dφ = C 1 = φ 0 = φ = M z I z t + ω 0 = dφ dt = M z I z t + ω 0 (26) ( ) Mz t + ω 0 dt = φ = M z t 2 I z I z 2 + ω 0 t + C 2 (27) φ(t) = M z t 2 I z 2 + ω 0 t + φ 0 (28) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 16 / 31
Przykład 3 Ruch obrotowy i postępowy bryły sztywnej Układ dwóch ciał znajduje się w spoczynku w chwili t=0. Płyta kołowa o masie m 1 oraz prostopadłościan o masie m 2 połaczone sa lina. Na ciała działaja siły grawitacji, brak jest tarcia. Obliczyć równanie ruchu dla płyty kołowej oraz siłę w linie. r m 1 0 φ x m 2 Dane: m 1 = 100 (kg), m 2 = 10 (kg), r = 1 (m), Szukane: φ(t), S 1 2 Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 17 / 31
Przykład 3 Rozwiazanie cz.1 Układ rozdzielamy na dwie części ponieważ każda z nich porusza się innego rodzaju ruchem. Oznaczamy wszystkie siły na rysunku. Dla ruchu obrotowego ciała m 1 możemy R napisać równanie: r φ n 0 I z ε = M zi = I z ε = S 12 r (29) m 1 G 1 S 12 S 21 i=1 Dla ciała m 2 równanie uchu postępowego: m 2 G 2 x n m 2 ẍ = F i = m 2 ẍ = G 2 S 21 (30) i=1 Otrzymujemy w ten sposób układ równań. Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 18 / 31
Przykład 3 Rozwiazanie cz.2 Wykorzystujac zwiazki ruchu puntów na obwodzie koła, liny i masy m 2 : v = dφ dt r = ω r = ẋ, a o = dω dt r = ε r = ẍ, S 12 = S 21 (31) a o v Wstawiajac do układu równań : a d r 0 φ m 1 x x x m 2 { Iz ε = S 12 r m 2 ε r = m 2 g S 12 (32) { S12 = Iz ε r m 2 ε r = m 2 g Iz ε r ) ( ε m 2 r + I z r (33) = m 2 g (34) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 19 / 31
Przykład 3 Rozwiazanie cz.3 Ostatecznie otrzymujemy równanie na przyspieszenie katowe: ε = m 2 g r m 2 r 2 + I z = Siła w linie wynosi: m 2 g r m 2 r 2 + m 1 r 2 2 = 10 9.81 12 10 1 2 + 100 12 2 = 1.63 ( 1 s 2 ) (35) S 12 = I z ε r = 50 1.635 1 = 81.75 (N) (36) Aby uzyskać równanie ruchu masy m 1 należy rozwiazać równanie: ε = dω dt = 1.635 = dω = 1.635 dt = ω = 1.635 t + C 1 (37) ω(t = 0) = 0 = 0 = 1.635 C 1 = C 1 = 0 = ω = 1.635 t (38) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 20 / 31
Przykład 3 Rozwiazanie cz.4 Rozwiazuj ac dalej: dφ dt = 1.653 t = dφ = 1.653 t dt = φ = 1.635 t2 2 + C 2 (39) φ(t = 0) = 0 = 0 = 1.635 t2 2 + C 2 = C 2 = 0 (40) Rozwiazanie końcowe: φ(t) = 1.635 t2 2 (41) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 21 / 31
Przykład 4 Ciało sztywne w postaci pręta oraz masy punktowej może obracać się wokół punktu 0. Do pręta zamocowane sa sprężyna o sztywności k i tłumik o tłumieniu c. W chwili poczatkowej pręt jest w pozycji pionowej (bez wychylenia) ale posiada pewna prędkość katow a φ(t = 0). k 0 c m 1 a a a Dane: m 1 = 10 ((kg), m 2 = 2 (kg), a = 0.1 (m), k = 100 N m), c = 5 ( N s m ), φ(0) = 0.2, φ(0) = 0 (rad) Szukane: ω o częstość drgań własnych, u częstość drgań tłumionych, φ(t) równanie ruchu. a Ruch rozpatrzyć dla tzw. małych katów. m 2 Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 22 / 31
Przykład 4 Rozwiazanie cz. 1 Pręt zamocowany jest przegubowo co umożliwia jego obroty. Oznaczamy siły jakie występuja w układzie. F s R y G1 = m 1 g, G 2 = m 2 g, F s = k x s, F t = x t c (42) R x Równanie dynamiki ruchu obrotowego: F t G 1 φ I z ε = M 0 (43) Momenty bezwładności: I z = I z1 + I z2 = m 1 (4a) 2 + m 1 a 2 + m 2 (3a) 2 (44) 12 G 2 Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 23 / 31
Przykład 4 Rozwiazanie cz. 2 Momenty sił biorace udział w ruchu: M0 = M s + M t + M G1 + M G2 (45) a sin φ F s Analiza działania momentu od sił sprężystości: a φ a cos φ M s = F s h = k a sin φ a cos φ (46) Po uproszczeniu dla tzw. małych katów sin φ φ, cos φ 1 M s = k a 2 φ (47) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 24 / 31
Przykład 4 Rozwiazanie cz. 3 a sin φ Moment od tłumika: φ G 1 2a cos φ M t = F t h = c ẋ t 2a cos φ ẋ t = v t = ω 2a = φ 2a M t = c φ (2a) 2 (48) F t Momenty od sił grawitacji: 3a sin φ G 2 M G1 = G 1 a sin φ = m 1 g a φ M G2 = G 2 3a sin φ = m 2 g 3a φ (49) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 25 / 31
Przykład 4 Rozwiazanie cz. 3 Piszac sumaryczne równanie otrzymujemy: I z ε = M s + M T + M G1 + M G2 (50) ( m1 (4a) 2 ) + m 1 a 2 + m 2 (3a) 2 φ = k a 2 φ c 12 φ (2a) 2 Podstawiajac dane numeryczne: m 1 g a φ m 2 g 3a φ (51) 0.413 φ = 16.696 φ 0.2 φ (52) Końcowa postać równania: φ + 0.484 φ + 40.426 φ = 0 (53) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 26 / 31
Przykład 4 Rozwiazanie cz. 4 Analogia Otrzymane równanie 53 jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Mimo występowania współrzędnej katowej φ można je porównać z równaniem otrzymywanym dla układu drgajacego liniowego punktu materialnego o jednym stopniu swobody. k c Równanie dla punktu materialnego: ẍ + 2n ẋ + ω0x 2 = 0 gdzie 2n = c m, ω k 0 = m (54) m x ω 0 częstość drgań własnych, u = ω0 2 n2 częstość drgań tłumionych. Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 27 / 31
Przykład 4 Rozwiazanie cz. 5 Porównujac bezpośrednio równania : ẍ + 2n ẋ + ω 2 0 x = 0 φ + 0.484 φ + 40.426 φ = 0 (55) Możemy wyznaczyć częstość drgań własnych: ω 0 = ( ) 1 40.426 = 6.358 s (56) oraz częstość drgań tłumionych: ( ) 1 u = ω0 2 n2 = 6.353 s (57) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 28 / 31
Przykład 4 Rozwiazanie cz. 6 Pozostaje rozwiazanie równania różniczkowego w celu wyznaczenia funkcji φ(t): φ + 0.484 φ + 40.426 φ = 0 (58) Równanie charakterystyczne: λ 2 + 0.484 λ + 40.426 = 0 (59) = 0.484 2 4 1 40.426 = 161.469 (60) α = 0.484 = 0.242, β = 2 Ogólna postać rozwiazania: 161.469 2 = 6.353 (61) φ = e αt (C 1 sin (βt) + C 2 cos (βt)) (62) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 29 / 31
Przykład 4 Rozwiazanie cz. 7 Podstawiajac do końcowej postaci równania α i β: φ = e 0.242 t( C 1 sin (6.353 t) + C 2 cos (6.353 t) ) (63) Stałe C 1 i C 2 należy wyznaczyć z warunków poczatkowych. Odpowiednio w chwili czasu t = 0 i φ(0) = 0: 0 = e 0.242 0( C 1 sin (6.353 0) + C 2 cos (6.353 0) ) (64) co daje C 2 = 0. Dalej uzyskujemy wzór na prędkość z różniczkowania wzoru 63 φ = 0.242 e 0.242 t C 1 sin (6.353 t)+e 0.242 t C 1 6.353 cos (6.353 t) (65) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 30 / 31
Przykład 4 Rozwiazanie cz. 8 Podstawiajac dla prędkości φ(t = 0) = 0.2 otrzymujemy: 0.2 = 0.242 e 0.242 0 C 1 sin (6.353 0)+e 0.242 0 C 1 6.353 cos (6.353 0) (66) stad C 1 = 0.0315 a końcowe rozwiazanie otrzymuje postać: φ = e 0.242 t (0.0315 sin (6.353 t) ) (67) Φ Φ 0.03 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01-0.01 2 4 6 8 10 12 14 t -0.01 2 4 6 8 10 12 14 t -0.02-0.02-0.03 Figure: Przebiegi zmian kata obrotu od czasu dla układu z tłumieniem i bez Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, 2017 31 / 31