Metody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii

Podobne dokumenty
Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

gruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:

Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej

METODA SIŁ KRATOWNICA

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY

2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów.

1. Obciążenie statyczne

Twierdzenia o wzajemności

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE

Ćwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Uwaga: Linie wpływu w trzech prętach.

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ

OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, weber@zut.edu.pl strona:

Mechanika teoretyczna

Rozwiązywanie ramy statyczne niewyznaczalnej Metodą Sił

ZADANIA - POWTÓRKA

WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia

gruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił

Narysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. 3ql

Układy liniowosprężyste Clapeyrona

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów

PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ

Karta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

MECHANIKA BUDOWLI LINIE WPŁYWU BELKI CIĄGŁEJ

Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeo dobieram wstępne przekroje prętów.

AiR_WM_3/11 Wytrzymałość Materiałów Strength of Materials

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1

1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ...

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Wytrzymałość Materiałów I studia zaoczne inŝynierskie I stopnia kierunek studiów Budownictwo, sem. III materiały pomocnicze do ćwiczeń

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH

Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, weber@zut.edu.pl

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

Wytrzymałość materiałów. Wzornictwo przemysłowe I stopień (I stopień / II stopień) ogólno akademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Wprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym

Treść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Z-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials

{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM.

Wytrzymałość materiałów Strength of materials

8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:

MECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH

Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2

Stateczność ramy - wersja komputerowa

7. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH

Metoda Różnic Skończonych (MRS)

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

Praca siły wewnętrznej - normalnej

PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE

Mechanika i wytrzymałość materiałów BILET No 1

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3

MECHANIKA BUDOWLI. Linie wpływu sił w prętach kratownic statycznie niewyznaczalnych

ECTS Liczba godzin w tygodniu Liczba godzin w semestrze W C L P S W C L P III E IV

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

5.1. Kratownice płaskie

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

Mechanika i Budowa Maszyn

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

Wytrzymałość materiałów. Budowa i eksploatacja maszyn I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W POWŁOKACH ZBIORNIKÓW OSIOWO SYMETRYCZNYCH

WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE

ĆWICZENIE 6 Kratownice

Sił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

WIERZBICKI JĘDRZEJ. 4 (ns)

Nieliniowości fizyczne Część 2 : Nieliniowość sprężysta. Teoria nośności granicznej

Wprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z

Transkrypt:

Metody energetyczne Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii

dv 1 N dx Ndu EA dv dv S 1 M dx M sdϕ GI 1 M gdx M gdϑ EI S Energia sprężysta układu prętowego dv 1 β TdvT GA Tdx

( ) ( ) 1 Sila wewnętrzna dv dx Sztywnosc 1 dv N dx EA Rozciąganie: 1 M g dv dx EI Zginanie: 1 s s M dv dx GI Skręcanie: 1 dv T dx GA β Ścinanie:

V l ( Sila wewnętrzna) ( Sztywnosc) 0 dx Rozciąganie: V l Ndx EA 0 Skręcanie: V l s 0 M dx GI s Zginanie: V M dx l g 0 EI Ścinanie: V l βtdx GA 0

Jeśli siła wewnętrzna oraz sztywność nie zależą od x V ( Sila wewnętrzna) ( Sztywnosc) dlugosc Jeśli N oraz EA nie zależą od x Jeśli M s oraz GI s nie zależą od x Rozciąganie: V Nl EA Skręcanie: V M s l GI s Jeśli M g oraz EI nie zależą od x Jeśli T oraz GA nie zależą od x Zginanie: V M l g EI Ścinanie: V β GA Tl

W przypadku ogólnym energia sprężysta odkształcenia odcinka pręta o długości dx będzie równa sumie prac składowych sił wewnętrznych N, M s, M gy, M gz, T y, T z na odpowiadających im przemieszczeniach du, dϕ, dθ y, dθ z, dυ T, dw T. Jeśli odcinek pręta o długości dx uznać za odrębny układ, to N, M s, M gy, M gz, T y, T z należy traktować jako siły zewnętrzne 1 dv Ndu + M d + M d + M d + T d + T dw ( ) s ϕ gy ϑy gz ϑz y υt z T

Po uwzględnieniu, że przemieszczenia są następującymi funkcjami składowych sił wewnętrznych du Ndx EA dϕ M sdx GI s dϑ y M dx gy EI y d M dx β Tdx gz y y ϑ z dυ T EI z GA dw T βztdx z GA Otrzymamy zależność dv 1 N M M M β T T + + + + + EA GIs EI y EI z GA GA s gy gz y y β z z dx

Energia sprężysta w pręcie prostym w przypadku ogólnym V l 1 N M M M β T T + + + + + EA GI 0 s EI y EI z GA GA s gy gz y y β z z dx

Metody energetyczne wyznaczania przemieszczeń Castigliana Maxwella-Mohra

Metoda Maxwella-Mohra W celu określenia dowolnego uogólnionego przemieszczenia u w prętowym układzie liniowosprężystym metodą Maxwell-Mohra wykonamy następujące operacje: Wyznaczymy siły N, M s, M gy, M gz, T y, T z w prętach układu, wywołane obciążeniem rzeczywistym Obciążamy układ siłą jednostkową odpowiadającą poszukiwanemu przemieszczeniu u i wyznaczamy N, M s, M gy, M gz, T y, T z, które wywołuje ona w prętach 1

W miejsce jednostkowej siły wprowadźmy siłę uogólnioną o wartości P (P0), która wywoła dodatkowo siły wewnętrzne: 1 PN', PM, PM, PM, PT, PT ' ' ' ' ' s gy gz y z V ' ' ' ( N + PN ) ( M ) ( ) s + PM Mgy + PM s gy + + + l 1 EA GI1 s EI y 0 ( M + PM ) β ( T + PT ) β ( T + PT ) + + EI z GA GA ' ' ' gz gz y y y z z y dx u V P P 0

Metoda Maxwella-Mohra u l NN M M M M M M β T T T T + + + + + EA GI 0 s EI y EI z GA GA ' ' ' ' ' ' s s gy gy gz gz y y y βz z z dx W celu określenia przemieszczenia u metodą Maxwella-Mohra dla dowolnego liniowosprężystego układu prętowego należy dokonać sumowania całek, obliczonych dla poszczególnych przedziałów (prętów).

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe Układ prętowy jest statycznie niewyznaczalny, jeśli nie można określić reakcji w podporach czy sił wewnętrznych w przekrojach prętów, posługując się wyłącznie równaniami równowagi. Liczba sił statycznie niewyznaczalnych, czyli hiperstatycznych, równa różnicy między liczbą wszystkich sił niewiadomych, a liczbą równań równowagi, określa stopień statycznej niewyznaczalności układu prętowego.

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe Rozwiązanie każdego zadania statycznie niewyznaczalnego oprócz wykorzystania warunków równowagi wymaga uwzględnienia geometrycznych i fizycznych aspektów odkształcalności ciała. Formułuje się w tym celu trzy grupy zależności: A. Równania równowagi, B. Warunki geometryczne C. Związki fizyczne Wyróżnić można dwie podstawowe metody rozwiązywania zadań statycznie niewyznaczalnych: - metodę sił - metodę przemieszczeń

Równania równowagi ql R R A 1 0 M A + RAl ql Równania: Niewiadome: 3 Zadanie jednokrotnie (3-) statycznie niewyznaczalne B 0

Warunki geometryczne Reakcja R B (traktowana jako wielkość hiperstatyczna) jest spowodowana podparciem belki w punkcie B, co odpowiada następującemu warunkowi geometrycznemu υ B 0

Związki fizyczne Związek fizyczny powinien uzależniać υ B od sił działających na belkę oraz jej własności sprężystych. Okazuje się, że warunek geometryczny υ B 0 jest po prostu dodatkowym warunkiem brzegowym.

Metoda sił Algorytm postępowania 1. Określić rodzaj i liczbę wielkości podporowych i sformułować równania równowagi

Metoda sił - Punkt C podpora przegubowa stała dwie reakcje (pozioma i pionowa) - Punkt A utwierdzenie trzy reakcje (pozioma, pionowa i moment) HA + HC + ql 0 równania VA + VC 0 równowagi 1 Vl C Hl C ql + M A 0

Metoda sił Algorytm postępowania. Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności i utworzyć podstawowy układ prętowy

Metoda sił - Liczba niewiadomych 5 (reakcje) - Liczba równań 3 5 3 - rama jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna Wielkości hiperstatyczne: X 1 H c X V c

Metoda sił Algorytm postępowania 3. Określić warunki geometryczne oraz związki fizyczne i sformułować na ich podstawie równania kanoniczne metody sił

Metoda sił Δ, Δ -część przemieszczeń 1P P u 1 i u spowodowana działaniem obciążenia q. Związki fizyczne u 1 0, u 0 u f X + f X +Δ 1 11 1 1 1P u f X + f X +Δ 1 1 P f X + f X +Δ 0 11 1 1 1P f X + f X +Δ 0 1 1 P

Metoda sił Algorytm postępowania 4. Obliczyć współczynniki równań kanonicznych metody sił

Metoda sił X X 1 1 1 M g11, M g1 M g1, M g M g1p, M gp l 1 1 f M M dx+ M M dx f 1 g1 g11 g g1 1 EI EI 0 0 l Algorytm postępowania l l 1 1 11 g11 g1 EI + EI 0 0 f M dx M dx l l 1 1 g1 g EI + EI 0 0 f M dx M dx l 1 1 Δ M M dx+ M M dx 1P g1p g11 gp g1 EI EI 0 0 l l 1 1 Δ M M dx+ M M dx P g1p g1 gp g EI EI 0 0 l

Metoda sił Algorytm postępowania 5. Wyznaczyć z równań kanonicznych metody sił wielkości hiperstatyczne X1 X

Metoda sił Algorytm postępowania 6. Wykorzystując równania równowagi, znaleźć pozostałe niewiadome

Metoda sił Algorytm postępowania 7. Sformułować równania i narysować wykresy sił wewnętrznych

Metoda sił Algorytm postępowania 8. Wyznaczyć poszukiwane przemieszczenia

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliana Energia sprężysta układu statycznie niewyznaczalnego V jest wyrażona przez znane siły zewnętrzne (obciążenia) i niewiadome wielkości hiperstatyczne X 1,..., X n oraz niehiperstatyczne. Jeżeli wykorzystując równania równowagi, uzależni się niewiadome niehiperstayczne od wielkości hiperstatycznych oraz obciążeń, energia V stanie się funkcją X 1,..., X n, jako zmiennych niezależnych. Warunki geometryczne, jakie muszą spełniać przemieszczenia u 1,..., u n, odpowiadające wielkościom hiperstatycznym X 1,...,X n, można zapisać nastepująco u 1 0,..., u n 0

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliana Stosując metodę Castigliana, można określić przemieszczenia z wykorzystaniem do tego celu energii sprężystej V(X 1,..., X n ) u 1 V,..., un X 1 V X n związki fizyczne Po podstawieniu do związków geometrycznych: V X 1 V 0,..., 0 X n

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliana Spośród wszystkich możliwych zbiorów wielkości X 1,..., X n zbiorem rzeczywistych wielkości hiperstatycznych jest ten, dla którego energia sprężysta całego układu prętowego V osiąga wartość minimalną.