LISTA ZADAŃ NR 1 1 2 3 4 5 1 Dae sa permutacje f = 3 1 4 5 2 permutacje f g 2 oraz f g f g g = 1 2 3 4 5 4 1 2 5 3 Wyzaczyć 2 Permutacja h azywa sie odwrota do permutacji f jeśli f h = h f = e gdzie e jest permutacja idetyczościowa Permutacje odwrota do f ozaczamy f 1 Dla f g z zadaia 1 wyzaczyć f 1 g 1 oraz g f 1 g 3 Roz lożyć a cykle roz l acze permutacje 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 3 4 5 1 2 3 6 8 2 1 4 5 7 1 2 3 4 5 6 7 8 5 7 8 2 1 6 4 3 Określić rz edy tych permutacji 4 Nie wypisujac w postaci dwuwierszowej roz lożyć astepuj ace permutacje bed ace z lożeiem cykli iekoieczie roz l aczych a cykle roz l acze 1 23 4 51 2 35 1 2 3 1 4 51 2 3 43 1 4 21 2 3 5 Udowodić że i 1 i 2 i k 1 = i k i k 1 i 1 6 Roz lożyć a traspozycje permutacje h = 1 2 3 4 5 6 6 3 2 5 4 1 oraz f z zadaia 1 7 Udowodićże jeśli k jest liczba ieparzysta to kwadrat cyklu i 1 i 2 i k jest cyklem a jeśli k > 2 jest liczba parzysta to kwadrat te jest z lożeiem dwóch cykli 8 Ile jest permutacji w S które rozk ladaja sie a k j cykli j-wyrazowych j = 1 s k 1 + 2k 2 + + sk s =? 9 Wykazać że każda traspozycja jest z lożeiem ieparzystej ilości traspozycji liczb sasiedich 1
LISTA ZADAŃ NR 2 1 Rozwiać potegi 2x + 3y 4 2 W rozwii eciu pot egi zaleźć wskazay sk ladik x y 6 + 2 3 x 1 3 x 9 wprost proporcjoaly do x 3 2 12 x + wyraz sta ly x 3 Obliczyć korzystajac ze wzoru Newtoa + + + + 0 1 2 1 + + + 1 1 + 1 0 1 2 1 2 + 2 1 + 2 2 + + 2 + 0 1 2 1 4 Prostokat podzieloo a miejsze prostokaty liiami poziomymi oraz k liiami pioowymi przeprowadzoymi w rówych odstepach Iloma sposobami moża dojść od jedego wierzcho lka prostokata do przeciwleg lego mu posuwajac sie po prostych liiach poziomo i pioowo tak aby suma przebytych odcików by la rówa sumie dwóch przyleg lych boków prostokata? 5 Ile jest liczb czterocyfrowych w których moga sie powtarzać dwukrotie jedyie cyfry 1 i 2? 6 Iloma sposobami moża rozdzielić cztery róże agrody miedzy trzech pracowików jeżeli awet wszystkie agrody moga przypaść jedemu pracowikowi? 7 Kostke do gry rzucoo 10 razy Tak otrzymay zbiór ieuporzadkoway liczb azywamy losowaiem Ile jest różych losowań? W ilu losowaiach ie wystepuje liczba 6? W ilu wystepuje dok ladie 3 razy? W ilu co ajmiej 3 razy? W ilu losowaiach wystepuj a tylko liczby parzyste? 8 Zaleźć liczbe rozwiazań w liczbach ca lkowitych ieujemych a rówaia x 1 +x 2 ++ x k = ; b ierówości x 1 + x 2 + + x k Dwa rozwiazaia różiace sie porzadkiem uważamy za róże 2
LISTA ZADAŃ NR 3 1 Dae sa wektory u = 2 1 v = 1 2 Wyzaczyć i arysować wektory u + v 1 2 u v 2v u u u v v 2 Wektory u v sa przekatymi rówoleg loboku Wyrazić boki tego rówoleg loboku za pomoca u i v 3 Sprawdzić że a pukty A1 3 B4 7 C2 8 D 1 4 sa kolejymi wierzcho lkami rówoleg loboku Wyzaczyć kat miedzy jego przekatymi; b pukty A 1 0 B3 4 3 C7 0 D3 4 3 sa kolejymi wierzcho lkami rombu Wyzaczyć jego katy 4 Napisać rówaia ogóle i parametrycze prostych: a przechodzacej przez pukt A 1 2 i rówoleg lej do wektora u = 3 4 b przechodzacej przez pukt B3 2 i prostopad lej do prostej y = 2x 1 5 Jakie jest wzajeme po lożeie podaych prostych? Jeśli przeciaja sie to wyzaczyć at miedzy imi a jeśli rówoleg le to ich odleg lość: k 2x + y = 3 { x = 1 + t y = 1 2t 2x y = 3 3y = x 6 Dla jakich wartości parametru m proste x + my 2m = 0 3x 2 + my + m = 0 sa prostopad le? 7 Pukt A2 1 jest wierzcho lkiem trójkata ABC pukt D0 2 jest spodkiem wysokości CD wystawioej do boku AB a prosta x y 5 = 0 zawiera bok BC Obliczyć pole tego trójkata 3
LISTA ZADAŃ NR 4 1 Napisać rówaie okregu styczego do osi Ox w pukcie A5 0 i odciajacego a osi Oy cieciw e d lugości 10 2 Wyzaczyć rówaie okregu przechodzacego przez pukt A1 1 i styczego do prostych 7x + y 3 = 0 x + 7y 3 = 0 3 Daa jest elipsa x2 9 + y2 4 = 1 Przez pukt A1 1 poprowadzić cieciw e tak aby by la w tym pukcie przepo lowioa 4 U lożyć rówaia styczych do elipsy x2 15 + y2 9 = 1 i poprowadzoych z puktu B 6 3 5 Na hiperboli x2 49 y2 16 iż drugiej = 1 zaleźć pukt który leży trzy razy bliżej jedej asymptoty 6 Na hiperboli x2 8 y2 9 = 1 zaleźć pukty w których stycze s a achyloe do osi odcietych pod katem 1π 3 7 Na paraboli y 2 = 8x zaleźć pukt którego odleg lość od ogiska jest rówa 20 8 Obliczyć parametr paraboli y 2 = 2px wiedzac że jest oa stycza do prostej x 2y+5 = 0 9 Określić typy astepuj acych krzywych: a x 2 2xy + 2y 2 4x 6y + 3 = 0; b x 2 2xy 2y 2 4x 6y + 3 = 0; c x 2 2xy + y 2 4x 6y + 3 = 0; d x 2 + 6xy + y 2 + 6x + 2y 1 = 0; e 3x 2 2xy + 3y 2 + 4x + 4y 4 = 0; f 9x 2 + 6xy + y 2 6x + 2y = 0; 4
1 Obliczyć wartość wyrażeia ZADANIA Z ALGEBRY LINIOWEJ LISTA ZADAŃ NR 5 2 3i 3 1 + i 2 5 i 4 3i 2 W zbiorze liczb zespoloych rozwi azać rówaia: iz 2 + 2 + iz + 1 i = 0 5z + z 2 = z i z 2 + iz + 1 2 = 0 3 Narysować a p laszczyźie zespoloej zbiory spe liaj ace waruki: z i = z + 1 1 < z 2 + i 3 2iz + 1 > 1 z i + z + 1 = 3 4 Napisać w postaci trygoometryczej liczby: 2 3 i 1 cos α + i si α α 0 π 1 + ictg β β π 2π 4 5 Pos luguj ac siȩ postaci a trygoometrycz a obliczyć wartość wyrażeń: 1 + i 3 12 1 i 7 1 + itg α 5 1 itg α 5 α 0 π 2 6 W zbiorze liczb zespoloych rozwi azać rówaia: z z 2 = 2iz 2 z 7 + 2z 4 + 2z = 0 e z+i = 2 3 i si 2z = 2i 7 Narysować a p laszczyźie zespoloej zbiory spe liaj ace waruki: argiz 3 = 0 Re z 3 > 0 argz + 2 3i = π 6 8 Pukty 1 3i oraz 1 + 5i s a przeciwleg lymi wierzcho lkami kwadratu Wyzaczyć pozosta le wierzcho lki 9 Korzystaj ac ze wzoru de Moivre a lub ze wzorów Eulera wyrazić: a cos 5x za pomoc a si x oraz cos x b cos 4 x przez fukcje trygoometrycze wielokrotości k ata x 5
LISTA ZADAŃ NR 6 1 Nie wykouj ac dzieleia zaleźć resztȩ z dzieleia wielomiau x 100 + 2x 40 x + 1 przez wielomia x 3 + x 2 + x + 1 2 Jedym z pierwiastków wielomiau x 4 x 3 + x 2 + 9x 10 jest z = 1 2i Zaleźć pozosta le pierwiastki i apisać rozk lad tego wielomiau a czyiki rzeczywiste 3 Liczby 1 + ai 3 + i b + i 3 c + di s a pierwiastkami wielomiau stopia 4 o wspó lczyikach rzeczywistych Napisać te wielomia 4 Jedym z pierwiastków wielomiau x 4 + px 2 + q jest liczba 2 + i gdzie p q R Wyzaczyć p q oraz pozosta le pierwiastki 5 Roz lożyć a czyiki w zbiorach Q R C wielomiay: 3x 3 5x 2 5x 1 3x 3 + 8x 2 + 10x + 4 x 6 + x x 6 2x 4 + 4x 2 8 6 Roz lożyć a u lamki proste rzeczywiste fukcje: 4x 2 x 3 x 2 2x 9x 2 3x + 8 x 3 x 2 x + 1 3 x 4 + 5x 2 + 4 x + 1 x 2 + 1 2 x 1 6
LISTA ZADAŃ NR 7 1 + i 2 1 1 Obliczyć wyzaczik metod a Sarrusa: 2i 1 i 2 1 0 3 2 Stosuj ac rozwiiȩcie Laplace a oraz operacje elemetare obliczyć wyzaczik 3 2 3 2 3 4 1 4 5 1 1 4 4 1 4 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 3 Obliczyć wyzaczik sprowadzaj ac go do postaci trójk atej 3 0 1 0 0 1 1 2 1 2 2 1 2 3 0 1 4 Obliczyć wyzacziki: a b b b a a b b a a a b a a a a a b b b b a b b b b a b b b b a 3 2 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 5 Dla wyzaczika J = 0 1 3 2 0 0 wykazać że J 0 0 0 0 1 3 astȩpie wyzaczyć J w jawej postaci 1 2 3 4 1 x 3 x 6 Rozwi azać rówaie: = 0 1 2 x 4 1 x x x = 3J 1 2J 2 a 7 Dae s a macierze: A = 3 1 1 B = 2 6 3 C = 4 2 0 1 5 1 Obliczyć wszystkie możliwe iloczyy par daych macierzy D = 3 0 1 1 2 0 0 1 2 8 Obliczyć: 05 05 05 05 2 3 1 2 a 1 0 0 a 1 0 0 a 7
LISTA ZADAŃ NR 8 1 Wyzaczyć macierze odwrote do astȩpuj acych: 2 Niech A = 1 1 2 1 1 2 3 5 3 Rozwi azać rówaie macierzowe: 1 2 3 0 1 2 1 0 4 1 1 1 0 1 1 0 0 1 Zaleźć wszystkie macierze B stopia 2 takie że AB = BA 1 2 3 5 X 3 1 2 1 + 3 0 1 0 = 0 1 2 4 4 Obliczyć wyzaczik oraz macierz odwrot a o ile istieje do macierzy A spe liaj acej rówaie: A 3 A = 0 5 Rozwi azać trzema sposobami uk lad rówań wzory Cramera macierz odwrota metoda elimiacji Gaussa: x y +z = 2 2x +3y 4z = 4 7x +3y z = 5 6 Metod a elimiacji Gaussa rozwi azać uk lady: y z +t = 3 x 2y +3z 4t = 4 x +3y 3t = 1 7y +3z t = 3 x +2y z t = 1 x +y +z +3t = 2 3x +5y z +t = a dla a = 3 i a = 4 7 Rozwi azać uk lad w zależości od parametru p: x +2y pz t = 1 x +y +z +3t = p px +5y 5z +t = 5 8 U lożyć uk lad rówań którego zbiór rozwi azań jest postaci: {1 t + 2s 1 + 2t 2 + s t s : t s R} 9 Wyzaczyć uk lad fudametaly rozwi azań uk ladu jedorodego: x 3y +2z = 0 x t = 0 x 3y +2z +2t = 0 8
LISTA ZADAŃ NR 9 1 Obliczyć pole trójk ata o wierzcho lkach A1 2 3 B3 1 0 C1 1 1 2 Obliczyć objȩtość czworościau o krawȩdziach 1 2 3 3 1 1 3 2 1 3 Czy pukty A1 3 0 B2 4 5 C359 D0 1 2 leż a a jedej p laszczyźie? 4 Trójk at ABC rozpiȩty jest a wektorach AB = 1 5 3 wysokość tego trójk ata opuszczo a z wierzcho lka C AC = 1 0 4 Obliczyć 5 Dae s a wartości trzech si l F 1 = F 1 = 3 N F 2 = F 2 = 4 N F 3 = F 3 = 5 N Jak powiy być skierowae w przestrzei te si ly aby ich wypadkowa by la wektorem zerowym? 6 Wyzaczyć rówaie p laszczyzy przechodz acej przez pukt A1 2 3 i prostopad lej do p laszczyz 6x 12y + 3z = 0 3x + 2y 6 = 0 7 Wyzaczyć rówaie kierukowe prostej przechodz acej przez pocz atek uk ladu i rówoleg lej do p laszczyz 6x 12y + 3z = 0 3x + 2y 6 = 0 Obliczyć odleg lość tej prostej od każdej z daych p laszczyz 8 Napisać rówaie kierukowe prostej bȩd acej dwusiecz a k ata ostrego utworzoego przez proste x+2 = y 4 = z x+2 = y 4 = z 3 1 5 1 5 3 9 Zbadać czy prosta m : 3z + 13 = 0 { 2x + y z + 3 = 0 x 2y + z 5 = 0 jest zawarta w p laszczyźie π : 5y 10 Zbadać czy proste x 9 ich odleg lość 4 = y+2 3 = z 1 x 11 Zaleźć pukt przebicia p laszczyzy przez prost a l : x 1 = y+2 = z 4 0 3 1 = y+7 = z 2 2 9 x = s + t π : y = 1 + s + 2t z = 3 + 2s + 4t 2 s a skośe Jeśli tak to obliczyć oraz k at achyleia tej prostej do p laszczyzy π 12 Obliczyć odleg lość puktu P 0 1 1 od prostej x 2 = y 1 = z 3 13 Napisać rówaie kierukowe rzutu prostopad lego prostej x 9 6x 12y + 3z = 0 = y+2 4 3 = z 1 a p laszczyzȩ 14 Obliczyć objȩtość i pole powierzchi bry ly ograiczoej p laszczyzami: x y = 1 x y = 5 x + 2z = 0 x + 2z = 3 z = 1 z = 4 9
LISTA ZADAŃ NR 10 1 Dobrać liczby p q R tak aby wektor 2 6 6 3 R 4 by l kombiacja liiowa wektorów 1 p 0 0 1 0 q 1 2 Zbadać liiowa iezależość wektorów 0 1 2 1 i i 1 1 1 w przestrzei C 3 3 Wektory u v w sa liiowo iezależe Zbadać liiowa iezależość wektorów a u + v v + w w + u; b u v v w w u 4 Które z podzbiorów przestrzei R 4 określoych poiższymi warukami sa podprzestrzeiami liiowymi: a x = z = 0; b y = 1; c x = 0 lub t = 0; d x+y+z = 1; e x y < 0; f x = y = z ; g zbiór wektorów postaci a a+1 0 1 a; h zbiór wektorów postaci a a+b b a b; j zbiór wektorów postaci a ab b 0 W przypadku odpowiedzi pozytywej podać wymiar oraz przyk lad bazy tej podprzestrzei 5 Wykazać że W = {x y z t : x = t x 3y + 2z = 0} R 4 jest podprzestrzeia liiowa rozpiet a a wektorach 0 2 3 0 3 1 0 3 Dobrać baze W tak aby wektor 1 1 1 1 W mia l wszystkie wspó lrzede rówe 2 6 Wektor u ma w bazie {x 1 x 2 x k } podprzestrzei V wspó lrz ede 1 2 k Wyzaczyć wspó lrz ede tego wektora w bazie {x 1 x 1 + x 2 x 1 + x 2 + + x k } 7 Niech U V bed a podprzestrzeiami przestrzei R Wykazać że U V jest podprzestrzeia liiowa oraz dimu V dim U + dim V Podać iterpretacje geometrycza w przestrzei R 3 8 Określić wymiar podprzestrzei R 5 określoych astepuj aco: a V = li{1 2 1 0 1 2 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 3 3 0 3 0 1 0 4 0}; b W = {x y z u v : x z = 0 y + z + u v = 0} W każdym przypadku podać przk lad bazy w której wspó lrzede wektora 1 0 1 2 1 V W sa kolejymi liczbami aturalymi 9 Dla daych poprzediego zadaia wyzaczyć podprzestrzeń liiowa V W jej wymiar i przyk lad bazy Zbiór R x wielomiaów stopia co ajwyżej moża utożsamiać z przestrzeia liiowa R +1 przyjmujac że wielomiaowi a x + a 1 x 1 + + a 1 x + a 0 odpowiada wektor a a 1 a 1 a 0 R +1 W te sposób zbiór wielomiaów R x jest przestrzeia liiowa wymiaru + 1 10 Wykazać że wielomiay xk 1 x 1 k = 1 2 + 1 s a liiowo iezależe Przestawić wielomia x 4 + x 2 + 1 jako kombiacje liiowa tych wielomiaów 11 W przestrzei R 2 x rozważamy zbiór U tych wielomiaów dla których liczba 1 jest pierwiastkiem Wykazać że U jest podprzestrzeia liiowa Wyzaczyć jej wymiar i podać przyk lad bazy 10
LISTA ZADAŃ NR 11 1 Napisać macierz przekszta lceia liiowego T : R 4 R 4 daego wzorem T x y z t = x 2y + 3z 4t 3x + 5z + 2t x + y + z + 3t 5x y + 9z + t w bazie stadardowej Zaleźć jadro i obraz tego przekszta lceia oraz ich wymiary i bazy przyk ladowe 2 Zaleźć macierz przekszta lceia liiowego T x y z = x + y z 2x y + z w bazach v 1 = 1 1 0 v 2 = 1 0 1 v 3 = 0 1 1 oraz w 1 = 1 1 w 2 = 1 1 3 Podać przyk lady przekszta lceia liiowego spe liajacego waruki: a A : R 4 R 4 A1 1 1 1 = 1 1 1 1 dim Ker A = 3; b B : R 4 R 4 dim KerB = rz B = 2; c C : R 3 R 2 Ker C = {x y z = x + y + z = 0} Im C = {x y : x + 3y = 0} 4 Utożsamiajac przestrzeń wielomiaów R x z przestrzeia R +1 zaleźć macierz przekszta lceń liiowych a pochoda wielomiau; b ca lka ieozaczoa wielomiau ze sta l a rówa 0; w bazach stadardowych Wyzaczyć jadra i obrazy tych przekszta lceń 1 2 1 2 4 5 Zaleźć wektory w lase i wartości w lase macierzy a ; b 1 1 1 1 3 1 0 1 Jaka postać maja macierze tych przekszta lceń w bazach wektorów w lasych? Napisać macierze sprowadzajace dae macierze do postaci diagoalej 6 Wykazać że wektory w lase przekszta lceia liiowego 3 2 1 3 4 3 2 4 0 tworza baze przestrzei R 3 Wyzaczyć macierz A 1 korzystajac z twierdzeia Cayleya-Hamiltoa Zauważyć że macierz tego przekszta lceia spe lia także rówaie x 2 + 3x 10 = 0 i macierz odwrota moża wyzaczyć prościej Jak? 7 Za pomoca sprowadzaiado postaci diagoalej wyzaczyć ogóla postać macierzy A 1 1 1 gdzie A = 1 1 1 2 1 0 1 3 8 Wyzaczyć macierz e A jeśli A = 2 2 9 Zaleźć wartości parametru t przy których wektory x = 1 1 t 1 1 y = 0 1 2 1 0 tworza kat a 120 o b 45 o 10 Zaleźć wspó lrzede wektora 1 1 2 1 V = {a 1 a 2 a 3 a 4 : a 2 + a 3 + a 4 = 0} w bazie ortogoalej x 1 = 1 1 0 1 x 2 = 1 0 1 1 x 3 = 2 2 2 0 2 11 Wektor u = 3 1 3 0 2 uzupe lić do bazy ortoormalej podprzestrzei U = 3 {a 1 a 2 a 3 a 4 : a 1 = a 4 2a 2 +3a 3 a 4 = 0} Otrzymay uk lad ortoormaly uzupe lić do bazy ortoormalej przestrzei E 4 12 Zaleźć rzut ortogoaly wektora 1 0 0 0 a podprzestrzeń liiowa li{1 1 0 0 0 2 5 0 0 0 3 4} Obliczyć cosius kata pomiedzy daym wektorem i jego rzutem ortogoalym 11