Radosław KŁOSŃSK Uiwersytet Zieloogórski, stytut Metrologii Elektryczej Wyzaczaie immitacji i ocea odkształcającego charakteru dwójików pasywych o okresowo zmieych parametrach Streszczeie. Przedmiotem pracy jest ocea ziekształcającego charakteru dwójika o okresowo zmieych parametrach a podstawie wyzaczoego operatora immitacji widmowej. W dziedziie czasu dyskretego związek miedzy okresową odpowiedzią a okresowe wymuszeie układu parametryczego opisay jest za pomocą operatora cykloparametryczego. W wyiku przetrasformowaia tego operatora do dziedziy częstotliwościowej otrzymuje się immitację widmową. a jej podstawie moża wyzaczyć współczyik THD sygału odpowiedzi a siusoidale wymuszeie. Przedyskutowao możliwość zastosowaia opisaej metody do określaia ziekształcającego charakteru dwójików ieliiowych. Oprócz rozważań teoretyczych zaprezetowao rówież wyiki symulacji komputerowych. Abstract. This paper describes a method of distortio properties assessmet based o the circular parametrical operator idetificatio. A THD factor (total harmoic distortio) of curret sigal i case of siusoidal supply may be calculated o the basis of the parametrical freuecy operator. The problems of the idetificatio of the oliear two-termials usig the preseted method are discussed. Apart from theoretical cosideratios, some examples of umerical experimet have bee preseted. Słowa kluczowe: dwójiki odkształcające, operator cykloparametryczy, immitacja, współczyik THD; Keywords: distortig two-termials, circular parametrical operator, two-termial fuctio, THD factor; Wstęp Pojawiaie się wyższych harmoiczych apięć i prądów w obwodach elektroeergetyczych spowodowae jest zazwyczaj obecością odbiorików iestacjoarych lub ieliiowych. Określeie immitacji takich odbiorików, o ile mogą osiągąć okresowy sta ustaloy, jest bardziej skomplikowae iż opis stosoway dla układów SLS. Dwójiki klasy SLS (skupioe, liiowe, stacjoare) mogą przekształcać okresowy sygał wymuszający a okresowy sygał odpowiedzi bez mieszaia harmoiczych. Każda harmoicza sygału odpowiedzi powstaje tylko i wyłączie z tej samej harmoiczej wymuszeia. Fukcję przetwarzaia takich dwójików w dziedziie częstotliwości określa zespoloa immitacja widmowa H(ω). Harmoicze, których ie ma w wymuszeiu ie mogą pojawić się w sygale odpowiedzi. a sytuacja ma miejsce w przypadku dwójików iestacjoarych SL o okresowo zmieych parametrach. Aby dwójik iestacjoary mógł osiągąć okresowy sta ustaloy, musi istieć wspóly okres zmia parametrów i sygału wymuszającego. Przetwarzaie okresowego sygału wymuszającego a okresową odpowiedź odbywa się z mieszaiem harmoiczych. Każda harmoicza odpowiedzi układu może zależeć od kilku lub wszystkich harmoiczych obecych w wymuszeiu. Tak więc w sygale odpowiedzi mogą pojawić się harmoicze, których wymuszeie ie zawiera. W tym przypadku uogólioa immitacja widmowa dwójików parametryczych dla sygałów okresowych o dyskretym widmie ma postać ieskończoej macierzy o zespoloych elemetach. Przedmiotem pracy jest metoda wyzaczaia immitacji widmowej i a jej podstawie ocea odkształcającego charakteru dwójika. Zazwyczaj obwody elektrycze zasilae są ze źródeł apięciowych, a odpowiedzią jest prąd, w takim przypadku bardziej przydaty jest operator admitacji. Przy wymuszeiu prądowym wykorzystuje się operator impedacji. Z puktu widzeia propoowaej metody wybór rodzaju immitacji ie ma zaczeia. Stąd w pracy zazwyczaj używaymi określeiami są immitacja, wymuszeie i odpowiedź dwójika. W dziedziie czasu dyskretego związek między apięciem i prądem dwójika SL w okresowym staie ustaloym opisay jest za pomocą operatora cykloparametryczego w postaci macierzy. Operator taki może być wyzaczoy a podstawie próbek par sygałów zaciskowych z wykorzystaiem orygialego algorytmu idetyfikacji. Poprzez trasformację operatora cykloparametryczego do dziedziy częstotliwościowej otrzymuje się widmową immitację H ( ω ). a jej podstawie moża oceić odkształcający charakter dwójika a przykład wyzaczając współczyik THD odpowiedzi a siusoidale wymuszeie. Opis układu SL Związek między sygałami wejściowym i wyjściowym układu klasy SL (skupioe, liiowe, iestacjoare) opisay jest, w ogólym przypadku, za pomocą rówaia różiczkowego o zmieych współczyikach postaci: i i () ai() t y t = bi t x t i= i= () () () () () gdzie: x( t ) - sygał wymuszeia, yt () - sygał odpowiedzi, () i (), () i x t y () t - i-te pochode sygałów. Współczyiki ai ( t) oraz i ( ) b t występujące w rówaiu () zależą od czasu, poieważ parametry układu zmieiają się w czasie. Rozwiązaie rówaia () dae jest w postaci: () () () (, ) ( ) y t = Hx t = h t τ x τ dτ gdzie: htτ (, ) - odpowiedź impulsowa układu. Dla układów iestacjoarych kształt odpowiedzi impulsowej zależy od mometu podaia impulsu. W miarę upływu czasu parametry układu zmieiają się, więc zmieia się sposób jego działaia. W odróżieiu od układów stacjoarych, dla których odpowiedź impulsowa ze względu a iezmieość kształtu może być traktowaa jak ht τ dla układów fukcja jedej zmieej ( ) iestacjoarych SL odpowiedź impulsowa htτ (, ) jest fukcją dwóch zmieych: t - czasu bieżącego oraz τ - mometu podaia impulsu.
W dziedziie czasu dyskretego związek między próbkami sygałów wejścia i wyjścia układu SL opisay jest za pomocą rówaia różicowego: (3) Ai( ) y( i) = Bi( ) x( i) i= i= gdzie: x( ), y( ) - próbki sygałów wymuszeia i odpowiedzi zebrae z odstępem τ p. Rozwiązaie rówaia różicowego (3) dae jest w postaci sumy: (4) y( ) = Hx( ) = h(, m) x( m) gdzie: h(, m ) - odpowiedź impulsowa a impuls Kroecker a δ ( m). Współczyiki Ai ( ), i ( ) B w rówaiu różicowym (3) dla układów iestacjoarych zależą od czasu dyskretego. Podobie jak w dziedziie czasu ciągłego kształt dyskretej odpowiedzi impulsowej układu iestacjoarego zależy od przesuięcia w czasie i odpowiedź impulsowa ie może być traktowaa jak fukcja jedej zmieej: Jak wykazao w pracach [,,3], układy iestacjoare o okresowo zmieych parametrach mogą osiągąć okresowy sta ustaloy pod warukiem istieia wspólego okresu zmia parametrów i sygału wymuszającego. -okresową odpowiedź układu o -okresowo zmieych parametrach a -okresowe wymuszeie w staie ustaloym moża wyzaczyć posługując się operatorem cykloparametryczym daym w postaci macierzy: y( ) h, h,... h, x( ) y() h, h,... h, x() (5) =............... y( ) h ( ), h,... h x, lub krócej: (6) y = Hx gdzie: H - operator cykloparametryczy układu, x, y wektory próbek sygałów wymuszeia i odpowiedzi, h m, = h (, m) - -ta próbka cykliczej odpowiedzi impulsowej [4]: (7) h(, m) = h(, m p) p= Jeżeli wymuszeiem jest apięcie a zaciskach dwójika, a odpowiedzią jest prąd, to operator cykloparametryczy H ma charakter admitacji. Operator te określoy w dziedziie czasu dyskretego w postaci macierzy cykloparametryczej może reprezetować związki admitacyje dwójika dla wszystkich harmoiczych, które moża zakodować w próbkach przypadających a okres zmia sygałów i parametrów, a więc dla harmoiczych o umerach ieprzekraczających /. Działaie operatora odzwierciedla ziekształcający charakter dwójika parametryczego, czyli możliwość mieszaia i geerowaia harmoiczych. Zjawiska te moża lepiej iterpretować a podstawie operatora widmowego H ( ω ), który uzyskuje się po przetrasformowaiu rówaia (5) do dziedziy częstotliwościowej. Widmowy opis układów o okresowo zmieych parametrach Próbki sygału okresowego mogą być wyrażoe za pomocą szeregu zespoloych amplitud składowych harmoiczych [5,6]: (8) ( ) ( τ p) x = x = Xmw m= =,,,..., gdzie: τ p - okres próbkowaia, - liczba próbek a okres sygału, τ p = T, X m - dla < m - amplituda zespoloa m-tej harmoiczej, - dla < m - m X m X = - sprzężoa amplituda zespoloa (-m)-tej harmoiczej, - dla m= - X podwója wartość składowej stałej, π j w e =, Wartości amplitud zespoloych moża wyzaczyć a postawie próbek sygałów z zależości: m = X = x w (9) m ( τ p) Przekształceie widmowe (8), (9) to dyskrete przekształceie Fouriera (DPF). Ciąg X uzyskay ze wzoru (9) jest -okresowy, podobie jak sygał x( ). Wzór (9) daje dokłade wyiki pod warukiem, że widmo sygału x( ) jest ograiczoe oraz () m> X m = tz. są spełioe założeia twierdzeia o próbkowaiu. W przeciwym razie pojawia się błąd akładaia widma (aliasig). Wzory (8) i (9) moża zapisać w postaci macierzowej: () () x= FX X = F x lub X= m m F x gdzie: x wektor próbek sygału, X wektor zespoloych amplitud oraz zespoloych amplitud sprzężoych, F tzw. m F = w, F - odwrota macierz macierz Fouriera, [ ] m Fouriera o właściwości F F ( - zak sprzężeia). = Aby zaleźć widmowy odpowiedik operatora cykloparametryczego H ależy obie stroy rówaia (6) pomożyć lewostroie przez F oraz podstawić
rówaie (). Uwzględiając rówaie () w odiesieiu do sygału y otrzymuje się: (3) = = ( ω ) skąd ostateczie: Y F HFX H X H ω = F HF = F HF (4) ( ) W ogólym przypadku operator H ( ω ) dla układu o okresowo zmieych parametrach jest macierzą liczb zespoloych. Poieważ wektory X i Y są wypełioe amplitudami zespoloymi, a od połowy ich sprzężeiami, oraz macierz cyklopatametrycza H ma wszystkie elemety rzeczywiste, macierz H ( ω ) ma budowę pseudo symetryczą. Każdy elemet macierzy ma swój odpowiedik w postaci elemetu sprzężoego zajdujący się po przeciwej stroie względem środka macierzy [7]. Elemety zajdujące się a główych przekątych określają związek między amplitudami zespoloymi wymuszeia i odpowiedzi dla określoej harmoiczej. Pozostałe elemety macierzy wiążą ze sobą amplitudy harmoiczych o różych częstotliwościach. W te sposób określoy jest mechaizm przetwarzaia harmoiczych wymuszeia w harmoicze odpowiedzi o iych częstotliwościach, a więc zjawiska mieszaia i geerowaia harmoiczych oraz zależość od przesuięcia w czasie. Elemety zajdujące się w dwóch skojarzoych kolumach o umerach k oraz -k określają mechaizm geerowaia składików zespoloych amplitud harmoiczych odpowiedzi pochodzących od k-tej harmoiczej wymuszeia. atomiast elemety zajdujące się w dwóch skojarzoych wierszach o umerach m oraz -m określają mechaizm geerowaia określoej harmoiczej odpowiedzi ze wszystkich harmoiczych wymuszeia. Dla układu stacjoarego macierz H jest cyklicza i po przekształceiu zgodie z (4) do dziedziy widmowej macierz H ( ω ) przyjmuje postać macierzy diagoalej. W tym przypadku widać rozdzieleie harmoiczych, tz. amplituda określoej harmoiczej sygału wyjściowego zależy tylko od amplitudy tej harmoiczej sygału wejściowego. Układ opisay diagoalą macierzą H ( ω ), a więc układ typu SLS ie może geerować harmoiczych ieobecych w wymuszeiu. Wyzaczaie immitacji o okresowo zmieych parametrach Peły pomiar immitacji dwójika o okresowo zmieych parametrach to wyzaczeie wszystkich elemetów macierzy cykloparametryczej H lub operatora immitacji widmowej H ( ω ). Trzymając się defiicji macierzy cykloparametryczej (5) z uwzględieiem metody wyzaczaia operatora cykloparametryczego, (7) aby określić H ależałoby dokoać pomiaru (zebrać próbki) przesuiętych o okres próbkowaia τ p cykliczych odpowiedzi impulsowych (a cyklicze impulsy wymuszeia), a astępie wpisać je w odpowiedi sposób do macierzy. a metoda to podaie a wejście układu iezależych liiowo sygałów wymuszeia i zebraie odpowiedzi a te sygały, a astępie wyzaczeie operatora H a zasadzie rozwiązaia układu rówań liiowych -tego stopia [4]. Próba bezpośrediego wyzaczeia operatora immitacji widmowej H ( ω ) to seria pomiarów próbek odpowiedzi przy mooharmoiczych wymuszeiach o różych częstotliwościach (po dwa wymuszeia o różych fazach początkowych dla każdej częstotliwości), a astępie rozkład uzyskaych sygałów odpowiedzi a składowe harmoicze. Jeżeli peła zajomość operatora immitacji widmowej H ( ω ) ie jest potrzeba, w celu wyzaczeia tylko dwóch kolum (skojarzoych ze sobą) moża ograiczyć się do pomiaru przy dwóch różych (ajlepiej ortogoalych) wymuszeiach mooharmoiczych o określoej częstotliwości. Wielu problemów związaych z pomiarem immitacji o okresowo zmieych parametrach moża uikąć stosując odpowiedi aparat matematyczy. Dobrym rozwiązaiem wydaje się wykorzystaie orygialego algorytmu idetyfikacji operatora cykloparametryczego, którego wyprowadzeie przedstawioo w [,]. detyfikacja operatora cykloparametryczego to wyzaczaie elemetów macierzy H a podstawie zestawu K sygałów wymuszających X i powiązaych z imi K sygałów odpowiedzi układu Y. Korzysta się tutaj z astępującej zależości wyikającej z rówaia (6): (5) HX = Y gdzie: X - macierz K sygałów wymuszających, każda koluma to wektor próbek jedego sygału wymuszającego, Y - macierz K sygałów odpowiedzi układu, każda koluma to wektor próbek jedego sygału odpowiedzi. W przypadku, gdy =K zadaie wyzaczeia macierzy H ma jedozacze rozwiązaie i sprowadza się do odwróceia macierzy X: (6) H = YX Warukiem uzyskaia rozwiązaia jest: (7) det X co moża uzyskać odpowiedio dobierając sygały wymuszające [4]. W przypadku, gdy <K rówaie macierzowe (5) może mieć ieskończeie wiele rozwiązań. Spośród tych rozwiązań ależy wybrać jedo ajbardziej optymale. iech kryterium optymalizacyjym będzie jak ajmiejsza zmieość parametrów układu, przy jedoczesym spełiaiu rówaia (5). Zadaie optymalizacji warukowej może być postawioe w astępujący sposób: T T (8) ( h ) h mi (9) X h = y gdzie: h - wektor zawierający elemety -tego wiersza macierzy H, y - wektor -tych próbek wszystkich K sygałów odpowiedzi układu (elemety -tego wiersza macierzy Y), h - wektor przyrostów elemetów macierzy H, dla -tego wiersza tej macierzy, defiiowaych astępująco:
() h m, = h m, h ( ), m( ) ( ) - zak odejmowaia modulo ; Kryterium optymalizacyje (8) ozacza miimalizację przyrostów elemetów macierzy H wzdłuż przekątej główej i podprzekątych do iej rówoległych. Taki wybór kryterium optymalizacyjego pochodzi od faktu, że w przypadku układu liiowego o stałych parametrach związek między sygałami odpowiedzi i wymuszeia w okresowym staie ustaloym określoy jest za pomocą macierzy cykliczej. Wtedy przyrosty elemetów zdefiiowae za pomocą wyrażeia () są rówe zero. Wybór kryterium (8) ozacza poszukiwaie operatora cykloparametryczego opisującego układ spełiający rówaie (9) o możliwie jak ajłagodiejszej zmieości parametrów. Jeżeli okaże się, że zmieość parametrów ie jest iezbęda, w wyiku optymalizacji (8) (9) uzyskaa zostaie macierz cyklicza (o zerowych przyrostach ()) opisująca układ klasy SLS. Waruki określoe rówaiem (9) wyikają bezpośredio z zależości (6). Zastosowaie metody Lagrage a prowadzi do iteracyjego rozwiązaia postawioego zadaia: T () T T = ( ) + ( ) gdzie: h X X X X Ph X X X y...... = - macierz jedostkowa,.................. P =............ - macierz cykliczego opóźieia jedostkowego. teracje moża realizować pod warukiem: () ( X T X ) det ozaczającym liiową iezależość sygałów wymuszających. Ocea odkształcającego charakteru dwójika o okresowo zmieych parametrach Posługując się widmowym operatorem immitacji dwójika o okresowo zmieych parametrach moża określić jego odkształcający charakter. Możliwe jest a przykład, a podstawie widmowego operatora admitacji Y, wyzaczeie współczyika zawartości wyższych ( ω ) harmoiczych: prądu dwójika przy zasilaiu apięciem siusoidalym (o podstawowej częstotliwości) o wartości skuteczej zespoloej U. Widmo prądu odkształcoego opisaego za pomocą próbek a okres jest ograiczoe, a więc: = = = (4) H = = = = () () 3 gdzie: () = 4 - wektor wartości skuteczych... zespoloych wyższych harmoiczych prądu płyącego przez dwójik przy zasilaiu tylko pierwszą harmoiczą apięcia U, () = 3 4... - wektor uzyskay z () przez traspoowaie i sprzężeie zespoloe elemetów. (5) Uwzględiając związek (3) moża zapisać: () () ( ω) ( ) ( ω) H Y U Y U = UY ( ω) Y ( ω) U = = = gdzie U wektor wartości skuteczych zespoloych harmoiczych apięcia w tym przypadku zawierający tylko dwa iezerowe elemety: U i U. Przy zakładaym zasilaiu wektor U ma tylko dwa iezerowe elemety, to zaczy U oraz U = U. W takim razie tylko dwie kolumy operatora Y ( ω ) o umerach oraz - mają zaczeie. Rezygując ze zbędych kolum operatora Y ( ω ) i z zerowych elemetów wektora U oraz redukując zapisać w postaci: (6) wyrażeie (5) moża U = U U = y H [ y y ] y U U A B = U U = B A U ( UAU UB U UBU UAU ) Re{ BU } = + + + = = AU + = ( cos( )) = A+ B B+ U U (3) THD H = = = Y, Y 3, gdzie: y = - wektor zawierający elemety... Y, pierwszej kolumy operatora Y ( ω ) bez Y,, Y,, Y,,
Y, Y 3, y = - wektor zawierający elemety -... Y, kolumy operatora Y ( ω ) bez Y,, Y,, Y,. Rys.. Dwójik RLC o okresowo zmieych parametrach Liczby: rzeczywista A oraz zespoloa B występujące w wyrażeiu (6) zdefiiowae są astępująco: (7) (8),,,,, = = A= Y Y = Y Y = Y,,,, = = B = Y Y = Y Y W aalogiczy sposób do (6) moża wyzaczyć kwadrat modułu pierwszej harmoiczej prądu: (9) = ( + cos( + )) gdzie: a b b U U (3),, a = Y + Y (3) b= Y,Y, Wartość współczyika zawartości wyższych harmoiczych prądu przy zasilaiu dwójika o okresowo zmieych parametrach siusoidalym apięciem o wartości skuteczej zespoloej U moża wyzaczyć a podstawie zajomości kolumy umer operatora Y ( ω ) zgodie z wyrażeiem: Rys.. Zależość współczyika THD od fazy początkowej U dla różych wariatów zmieości pojemości Rysuek. przedstawia wyiki testu polegającego a wyzaczaiu zależości współczyika THD od fazy początkowej apięcia zasilającego (góry wykres) dla różych wariatów zmieości pojemości dwójika (doly wykres). Współczyik THD jest wyzaczay a podstawie admitacyjego operatora cykloparametryczego dwójika. (3) THD ( ) ( ) H A+ B cos B+ U = = a+ b cos b+ U gdzie: A, B, a, b - liczby określoe za pomocą wzorów (7), (8), (3) i (3). Postać wyrażeia (3) jest zgoda z właściwościami układów klasy SL. iezależość współczyika THD od amplitudy apięcia U potwierdza liiowy charakter. atomiast zależość od fazy początkowej apięcia, a więc od przesuięcia w czasie, jest typowa dla układów parametryczych. Test działaia algorytmu Poiżej zaprezetowao wybrae wyiki testów działaia algorytmu idetyfikacji i wyzaczaia współczyika zawartości wyższych harmoiczych THD. Badaia przeprowadzoo a przykładzie dwójika RLC o okresowo zmieych parametrach pokazaego a rysuku. a podstawie zadawaych ciągów próbek c zmieych w czasie parametrów r( ), l( ), ( ) geeroway jest metodą opisaą w [8,9] admitacyjy operator cykloparametryczy dwójika Y, a a jego podstawie wyzacza się operator widmowy Y ( ω ) umożliwiający obliczeie współczyika THD. Rys.3. detyfikacja admitacyjego operatora cykloparametryczego sygałami impulsowymi oraz współczyik THD w fukcji fazy początkowej U uzyskay a kolejych etapach idetyfikacji
Rysuek 3. pokazuje wyiki testu polegającego a porówaiu współczyika THD obliczoego w kolejych etapach idetyfikacji admitacyjego operatora cykloparametryczego a podstawie wymuszeń w postaci impulsów i odpowiedzi a ie. Pary sygałów do idetyfikacji uzyskuje się podając określoe wymuszeie a zaday operator Y, który rówież jest wykorzystyway do geerowaia orygialej odpowiedzi a sygał wymuszeia oraz zadaej wartości współczyika THD. Współczyik THD obliczoy w wyiku idetyfikacji jedym impulsem ma zerową wartość, poieważ uzyskao operator stacjoary. Trzecia koluma wykresów to porówaia efektów działaia a apięcie testujące (ut) operatora admitacji zadaego (prąd ioryg) i operatora uzyskaego w wyiku idetyfikacji (prąd it). Rys.4. Efekty idetyfikacji operatora sygałami siusoidalymi (pierwszą harmoiczą) a rysuku 4. pokazao idetyfikację operatora a podstawie siusoidalych wymuszeń. Taka idetyfikacja, wbrew pozorom, ie jest peła, a odosi się tylko do zachowaia dwójika przy siusoidalych wymuszeiach określoej częstotliwości. Wystarcza to do dokładego wyzaczeia współczyika THD propoowaą metodą, poieważ uzyskuję się pełą idetyfikację potrzebej tutaj kolumy umer. operatora widmowego. Prąd ozaczoy it, staowiący wyik działaia operatora zidetyfikowaego a apięcie testujące ut pokrywa się z prądem ioryg uzyskaym w wyiku działaia operatora orygialego (zadaego). Zastosowaie metody do dwójików ieliiowych Dwójiki ieliiowe w okresowym staie ustaloym (o ile taki mogą osiągąć) zachowują się podobie jak dwójiki liiowe o okresowo zmieych parametrach, to zaczy ich parametry zmieiają się okresowo. Moża z powodzeiem modelować zachowaie układu ieliiowego w okresowym staie ustaloym za pomocą układu liiowego o okresowo zmieych parametrach, dla którego zmieość parametrów zostaie uzależioa od aktualych sygałów zaciskowych [8,9]. Te fakt skłaia do podjęcia próby zastosowaia podobych metod idetyfikacji i ocey ziekształcającego charakteru do układów ieliiowych w okresowym staie pracy. Aby taka próba się powiodła trzeba wziąć pod uwagę podstawowe różice między układami ieliiowymi i parametryczymi. Działaie układu parametryczego zależy od przesuięcia w czasie, a ieliiowego ie. Zachowaie układu ieliiowego zależy ie tylko od kształtu, ale rówież od wartości (amplitudy) wymuszeia. Dla układów liiowych parametryczych zaczeie ma tylko kształt wymuszeia. Wymieioe różice powodują, że idetyfikacja immitacji dwójika ieliiowego propoowaą metodą jest bardzo truda do realizacji. a podstawie jedej pary sygałów zaciskowych wymuszeia i odpowiedzi ie moża wyzaczyć choćby części elemetów operatora cykloparametryczego w wersji czasowej, czy widmowej. atomiast zmiaa wymuszeia to zmiaa stau pracy elemetu ieliiowego, a więc idetyfikoway jest już iy obiekt. Testowaie układu ieliiowego różymi sygałami a potrzeby idetyfikacji wyklucza utrzymaie stałych parametrów idetyfikowaego obiektu. Rozwiązaiem może być akładaie a wymuszeie iewielkich sygałów testujących o zikomym wpływie a sta pracy układu ieliiowego. Jeżeli sygały testujące ie zakłócają stau pracy to moża uzać, że parametry układu ie zależą od wymuszeia, a więc względem sygałów testujących, układ zachowuje się jak liiowy o okresowo zmieych parametrach i zapropoowaa metoda idetyfikacji może być wykorzystywaa. Podsumowaie a podstawie zajomości immitacyjego operatora cykloparametryczego dwójika o okresowo zmieych parametrach moża oceić jego odkształcający charakter a przykład wyzaczając współczyik THD odpowiedzi a siusoidale wymuszeie. Do pełej idetyfikacji operatora potrzeby jest zbiór iezależych liiowo sygałów wymuszających wraz z odpowiedziami. Moża częściowo wyzaczyć operator cykloparametryczy (a przykład tylko dla części widma) wykorzystując algorytm idetyfikacji, jedak aby uzyskać pozytywe rezultaty ależy odpowiedio dobierać sygały wymuszające staowiące podstawę idetyfikacji. LTERATURA [] K ł osiński R., Algorytm idetyfikacji operatora cykloparametryczego, XXV C-SPETO iedzica (3), 367-37 [] K ł osiński R., Algorytm idetyfikacji dwójików impedacyjych o okresowo zmieych parametrach operatorem cykloparametryczym, ZKwE Pozań/Kiekrz (), 3-34 [3] K ł osiński R., Kocepcja pomiaru impedacji iestacjoarych, cz..: Czasowo dyskrety opis układów o okresowo zmieych parametrach oraz reprezetacja częstotliwościowa, Zeszyty aukowe Politechiki Rzeszowskiej, Elektrotechika 5 (3), 5-34 [4] S i wc z yń s ki M., Metody optymalizacyje w teorii mocy obwodów elektryczych, Seria iżyieria elektrycza, Politechika Krakowska (995), moografia 83 [5] Papoulis A., Obwody i układy, WKŁ Warszawa (988) [6] S i wc z yń s ki M., Teoria obwodów i sygałów, cz.. Obwody elektrycze liiowe, Uiwersytet Zieloogórski () [7] S i wc z yń ska Z., Syteza cyfrowych liiowych filtrów parametryczych w dziedziie częstotliwości, XX SPETO, Ustroń (997) 487-49 [8] S i wc z yń ski M., Kł osiński R., Komputerowa symulacja zjawisk elektroeergetyczych w układach zasilających w obecości odkształceń, ZKwE 96 Pozań/Kiekrz (996), 57-6 [9] S i wc z yń ski M., Kł osiń ski R., Komputerowa aaliza ustaloych przebiegów okresowych w obwodach ieliiowych, ZKwE 97 Pozań/Kiekrz (997), 7-3 Autor: dr iż. Radosław Kłosiński, Uiwersytet Zieloogórski, stytut Metrologii Elektryczej, ul. Podgóra 5, 65-46 Zieloa Góra, E-mail: R.klosiski@ime.uz.zgora.pl;