METODA OBLICZENIA HARMONICZNYCH NAPIĘCIA WYJŚCIOWEGO FALOWNIKA ZA POMOCĄ FUNKCJI BESSELA

Transkrypt

1 MIOSŁAW LEWANDOWSKI METODA OBLICZENIA HAMONICZNYCH NAPIĘCIA WYJŚCIOWEGO FALOWNIKA ZA POMOCĄ FUNKCJI BESSELA A METHOD OF CALCULATIONS OF HAMONICS IN OUTPUT VOLTAGE OF A INVETE USING BESSEL S FUNCTIONS Streszczeie Abstract W iiejszym artykule opisao sposób kształtowaia przebiegu sterującego alowikiem apięcia, zapewiającego regulację podstawowej harmoiczej sygału wyjściowego oraz miimalizacje zawartości harmoiczych. Przedstawioo algorytm wyzaczaia współczyików szeregu Fouriera a podstawie ukcji Bessela pierwszego rodzaju. Te sposób wyzaczaia współczyików umożliwia szybkie ustaleie charakterystyk sygału bez potrzeby jego całkowaia i związaych z tym eektów uboczych. Słowa kluczowe: ukcja Bessla, współczyiki aalizy Fouriera, alowik apięcia The paper aims to preset the algorithm or the estimatio o the coeiciets o the Fourier aalysis. The estimatio is based o Bessel s uctio o the irst kid. The aalysis o the Fourier coeiciets provides with urther details about the iluece the parameters o the sigiicat amplitudes ad series o the harmoics that orm the shape o the sigal. This approach o the coeiciet estimatio eables ast detectig o the sigal details without the ecessary itegratio ad it s side eects. Keywords: Bessel uctio, coeiciets o the Fourier aalysis, bridge iverter Dr iż. Mirosław Lewadowski, Istytut Maszy Elektryczych, Wydział Elektryczy, Politechika Warszawska.

2 6. Wstęp Mimo wielu aalogii istiejących pomiędzy sterowaiem silikiem idukcyjym i silikiem prądu stałego, ie moża powiedzieć, że istieje jakaś jeda stadardowa metoda regulacji apędów trakcyjych z silikami idukcyjymi, tak jak w przekształtikowych apędach prądu stałego. Wyika to z postaci zależości a momet silika idukcyjego, która wskazuje, że momet silika idukcyjego może być reguloway a wiele różych sposobów w zależości od wyboru elektromagetyczych zmieych stau. Jedemu czasowemu przebiegowi mometu będzie odpowiadał zbiór par przebiegów czasowych określoych elektromagetyczych zmieych stau. Obecie istieje wiele odmia sterowaia wektorowego w zależości od metod modulacji PWM []. Sygały okresowe moża aproksymować ( przybliżać za pomocą tzw. szeregu Fouriera, czyli sumy sygałów (ko siusoidalych (harmoiczych o odpowiedio dobraych częstotliwościach. Trasormacja Fouriera jest podstawowym arzędziem aalizy częstotliwościowej sygałów.. Zastosowaie ukcji Bessla do wyzaczeia współczyików Fouriera Przebieg czasowy okresowy moża przedstawić w postaci A ( ( t = + A cos( ω + si( ω t B t = = Współczyiki A, A, B azywamy współczyikami Fouriera i określamy je ogólie zaymi wzorami []. Opis matematyczy przebiegu apięcia wyjściowego alowika i zarazem określający czasy staów przewodzeia zaworów (tyrystorów, trazystorów pracujących w trybie impulsowym alowika apięcia poday jest rówaiem ( [9] U ( t, s, s, ϕ, ψ, ε = U [ s ( t, s, s, ϕ, ψ ] c + π m si + ( ( πa( t, s, s, ϕ, ψ cos m ( ω t ϕ ε ( gdzie: U c wartość apięcia zasilaia alowika (wartość stała, ω częstotliwość kątowa podstawowej harmoiczej sygału wyjściowego alowika, m wielokrotość impulsów względem częstotliwości podstawowej harmoiczej, φ kąt przesuięcia azowego między sygałami wieloazowymi, ψ aza podstawowej harmoiczej sygału wyjściowego alowika, ε kąt przesuięcia azowego wzorca ciągu impulsów dystrybucji, ideks sumacyjy szeregu dystrybucyjego, określający dokładość obliczeń.

3 7 Za pomocą opisaych parametrów możemy wymusić zarówo amplitudę podstawowej harmoiczej, jak i jej azę, a także wpływać a spektrum sygału wyjściowego. Chwilową wartość głębokości modulacji szeregu impulsów zapisuje się jako parametryczą zmieą czasu ( t s, s, ϕ, ψ s m (3, Fukcje modulacyje stosowae w przekształtikach obwodów główych pojazdów trakcyjych są różej postaci. Do ajczęściej stosowaych ależy modulacja siusoidala opisaa rówaiem s m = s + s cos( θ (4 Przebieg U po uwzględieiu (4 zapiszmy w astępującej postaci (5, dogodej do dalszej aalizy U = s + s cos + ( θ U (5 gdzie oraz U = si m (6 = π ( πs cos( m θ ( t = ω ( t ϕ ψ θ ( t = ω ( t ϕ ψ ε θ, (7 Dla s =,5 wyrażeie (6, po uwzględieiu (4 i (7, przyjmuje postać π U = si s cos cos m (8 = π π ( θ + ( θ Uwzględiając wyrażeie a sius sumy kątów, otrzymujemy π U = si s cos cos m (9 = π π π π ( θ cos + cos s cos( θ si ( θ Biorąc pod uwagę związki (, ( między ukcjami trygoometryczymi i ukcjami Bessela pierwszego rodzaju w postaci [9] ( *cos( θ = J ( [ ( cos ( cos 4 ( cos6...] s J s θ J 4 s θ + J s θ ( *cos( θ = [ J ( s cos θ J ( s cos3θ + J ( s cos5θ...] cos s 6 ( si s 3 5 (

4 8 oraz s π = s, otrzymujemy gdzie + π π Z = ( ; Z = (, Z = cos, Z = si ( N P C S * U = U + U + U + U + U (3 3 4 ( θ m θ U = J ( s Z Z cos ( (4 ( C N ( θ + m θ U = J ( s Z Z cos ( (5 ( C N ( θ m θ = U J ( s Z Z cos ( (6 3 ( S P ( θ + m θ = U J ( s Z Z cos ( (7 4 ( S P U = J (8 π ( s ( ( Z cos θ S m gdzie: ideks w sumie określający rząd ukcji Bessela pierwszego rodzaju. Ze wzoru (3 wyika wprost struktura czasowa i częstotliwościowa sygału U. Przebieg apięcia wyjściowego alowika jest sumą ieskończoą sygałów harmoiczych o dyskretych pulsacjach ω i k i ω k i = ( ± ( m ± m ieparzyste parzyste Amplituda pulsacji podstawowej ω określoa jest przez wartość,5s, a amplituda rzędu m przez wartość J (s ukcji Bessela zerowego rzędu w pukcie s. Amplitudy par boczych dla ustaloego mają jedakową wysokość i określoą przez wartość J (s dla ieparzystego J (s dla parzystego oraz ukcji Bessela w pukcie s. Udział poszczególych składowych harmoiczych zależy silie od wartości wskaźika s i jego zależości od. Teoretyczie pasmo przebiegu opisaego wyrażeiem U jest ieograiczoe. Z dokładej aalizy, uwzględiającej właściwości ukcji Bessela, wyika jedak, że prawie cała moc przebiegu jest zawarta w paśmie ograiczoym. W aalizie zawartości harmoiczych w prądzie silika czy prądzie sieci trakcyjej waże zaczeie ma oszacowaie szerokości tego pasma w zależości od wartości s. Wykres ukcji Bessela kilku pierwszych rzędów zmieej s pokazay jest a ryc.. Dla określoej war- (9

5 tości s zaczące wartości przybierają ukcje Bessela kilku wyższych rzędów, w praktyce od pewego rzędu prążki bocze widma sygału są już a tyle małe, że moża je pomiąć. 9 J (arg J (arg J (arg J 3 (arg yc.. Fukcje Bessela pierwszego rodzaju Fig.. Bessel uctios o the irst kid 3. Wybrae elemety algorytmu Dla zadaej wartości m wyzaczamy rzędy zaczących harmoiczych wg wyrażeń (9 i opisaej własości wyikającej z ukcji Bessela oraz szeregujemy pary liczb i, dla których spełioy jest waruek rzędu obliczaej harmoiczej. Obliczmy wartości ukcji Bessla J ( s ( lub ( s ( J ( oraz azy ( θ ± m θ lub ( ( θ ± m θ ( w zależości od (parzyste, ieparzyste i przyjmując ω =. Ze względu a akt, że dla szeregu par i ukcja opisaa wyrażeiem (4 (8 spełia waruek zadaego rzędu harmoiczych, ważą czyością redukującą czas obliczeń jest wybór szeregu par i, dla których amplitudy zadaej harmoiczej mają zaczącą wartość. Na ryciie przedstawioo przebieg U dla m = 5 i s =,5. W tablicy przedstawioo amplitudy poszczególych harmoiczych obliczoych wg wyrażeia (3 i wg trasormaty Fouriera, dla dwóch różych ilości próbek przebiegu LP = i LP =.

6 3 yc.. Przebieg czasowy U oraz widmo sygału dla s =,5 i m = 5 Fig.. The course the temporary U, as well as the spectrum o sigal or s =,5 ad the m = 5 Tablica ząd Amplitudy wybraych harmoiczych harmoiczych wg współczyików Fouriera wg wzoru LP = LP = (3,588,5693,499,577,5,578 :,96,588,7,575,6,578 3,494,59,468,578,466,578 5,543,5943,54,573,547,578 7,434,5975,46,5735,466,578 9,,66,5,5738,6,578 : 7,45,63,,575,97,578 9,776,663,83,5754,843,578 3,56,537,6,566,, 3,89,5,86,5659,843,578 33,95,589,9,5656,97, Wioski Amplitudy al boczych p. 3 i 7 mają różą amplitudę, atomiast gdy liczymy wg wzoru (3, amplitudy al boczych mają rówe amplitudy. óżice wyikają z metody liczeia. Dokładość obliczeń moża poprawić, zwiększając liczbę badaych okresów, co oczywiście zwiększa czas obliczeń. Algorytm obliczeia współczyików Fouriera z zasto-

7 3 sowaiem ukcji Bessela, pozwala a zacze zmiejszeie czasu obliczeń. Dla daej liczby próbek LP, obliczając współczyiki Fouriera, komputer szacukowo wykouje LP razy istrukcje możeia. W przypadku obliczaia współczyików Fouriera z zastosowaiem ukcji Bessela, istrukcja możeia wywoływaa jest razy. Skróceie czasu obliczeń jest istotą zaletą aalizy widma w czasie rzeczywistym. Literatura [] Cholewicki T., Metody obliczaia obwodów elektryczych, PWT, Warszawa. [] Lewadowski M., Modulator szerokości impulsów w układzie apędowym pojazdu trakcyjego, Koerecja aukowa,,problemy ozwoju Trakcji Elektryczej w Polsce, Warszawa 983. [3] Lewadowski M., Waż y ń s k i K., Układ sterowaia silikiem asychroiczym z modulacją szerokości impulsów, III Sympozjum,,Podstawowe problemy eergoelektroiki, PTETiS., Bielsko-Biała 985. [4] Lewadowski M., Szelą g A., Miimizig o output voltage o the iverter, Archiv ür Elektrotechik, 986. [5] Lewadowski M., Microprocesor-cotrolled PWM modulator IASTED, Coerece Idetyicatio, Modellig ad Simulatio, Paris 987. [6] Lewadowski M., Systemy sterowaia i dyamika pojazdów trakcyjych wyposażoych w komputery pokładowe, KBN Grat r 33439, 996. [7] McLachla N.W., Fukcje Bessela dla iżyierów, PWN, 964. [8] O r ł owska-kowalska T., Bezczujikowe układy apędowe z silikami idukcyjymi, OWPW, 3. [9] Skarpetowski G., Sposób sterowaia elektryczym zaworem przekształtika, zeczpospolita Polska, Patet Nr [] S k a r p e t o w s k i G., Uogólioa teoria przekształtików statyczych, WPW, Warszawa 997. [] S z a b a t i J., Przetwarzaie sygałów, PWN, 5.