18. Układy liiowe i zliearyzowae Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji VII. Układy liiowe i zliearyzowae 18.1. Podstawowe własości kład liiowego Opisae metody aalizy dyamiki kładów dotyczą prawie zawsze kładów liiowych. Ta różorodość metod jest wyikiem charakterystyczych własości kładów liiowych: 1º W kładach liiowych ma zastosowaie zasada sperpozycji, co sprawia, że rozwiązaie rówaia różiczkowego opisjącego dyamikę kład jest smą składowej swobodej i wymszoej. 2º Zaa postać rozwiązaia swobodego każdego liiowego kład dyamiki, a parametry tego rozwiązaia są wyzaczae a podstawie algebraiczego rówaia charakterystyczego. 3º Kryterim położeia pierwiastków rówaia charakterystyczego wystarcza do określeia stabilości kład liiowego. 4º Rozwiązaie swobode decydje o własościach dyamiczych kład liiowego. 5º Własości dyamicze kład liiowego ie zależą od wymszeia. 6º Odpowiedź a pochodą sygał rówa się pochodej odpowiedzi a te sygał. 7º Układ liiowy ma jede pkt rówowagi. 8º Stabilość lb iestabilość kład ie zależy od warków początkowych jeśli kład liiowy jest stabily to jest stabily globalie, a jeśli jest iestabily to rówież globalie. 9º Układy liiowe moża opisać za pomocą trasmitacji dzięki zastosowai przekształceia Laplace a / Forier a. Sprawdź własość 6º a przykładzie fkcji implsowej δ(, która jest pochodą fkcji skokowej 1(. Z której własości wyika, że reakcja kład ie zależy od pkt pracy? Jakie praktycze zaczeie może mieć pojęcie globalej stabilości? Własości dyamicze kładów liiowych zależą jedyie od ich biegów (składowej swobodej rozwiązaia). W kładach ieliiowych ie moża zastosować zasady sperpozycji, a tym samym ie podział rozwiązaia a składowe swobode i wymszoe. W efekcie bardzo trdo jest zaleźć rozwiązaie rówaia różiczkowego ieliiowego. Poza tym własości dyamicze, takie jak choćby stabilość, mogą zależeć od warków początkowych i od fkcji wymszającej a wejści. W kładach ieliiowych moża jedak w prosty sposób określić rówaie statycze (zerjąc pochode zmieych wejściowych i wyjściowych) i wyzaczyć pkt rówowagi kład dla daej wartości a wejści. Rówaia ieliiowe mogą mieć jedak więcej iż jede pkt rówowagi, jeśli rówaie statycze ma więcej iż jedo rozwiązaie, a przykład w przypadk kład 2 2 &( + ( = ( rówaie statycze = ma dwa pierwiastki = ±. Aalitycze metody badaia dyamiki kładów ieliiowych są bardzo ograiczoe i złożoe. Stosje się więc róże zabiegi aby sprowadzić problem do przypadk liiowego, czyli zliearyzować ( ). Taki zliearyzoway opis moża stosować (badać) w pewym ograiczoym zakresie zmia wielkości, a przykład w otoczei pkt rówowagi. Do badaia modeli liiowych i zliearyzowaych stosje się te same metody, jedak wioski z aalizy model zliearyzowaego są poprawe tylko w ograiczoym zakresie. 18.2. Założeia praszczające opis W modelach kostrowaych a potrzeby atomatyki problem ieliiowości rozwiązje się bardzo często dzięki zastosowai opisów przybliżoych. Modele te ie słżą do tworzeia wirtalej rzeczywistości, tylko do opisaia podstawowych zjawisk, zazwyczaj istotych z pkt widzeia sterowaia obiektem. 18.2.1. Liearyzacja statycza a przykładzie zbiorików Pierwszym sposobem proszczeia model jest przeaalizowaie warków kostrkcji i przezaczeia model w cel zdefiiowaia dopszczalych założeń. Praktyczie w każdym model występją założeia a temat stałych wartości określoych parametrów obiekt. Na przykład bardzo wiele parametrów zależy od temperatry 1, ale zakłada się, że temperatra badaego kład jest praktyczie iezmiea lb że jej wpływ jest pomijaly w porówai z iymi zjawiskami, które są przedmiotem badań. i 1 p. parametry elektrycze, gęstość, ciepło właściwe, wymiary geometrycze patrz p. [3/r.5 11] - 85 -! RĘKOPIS PWr
Typowym sposobem proszczeia jest też zastosowaie w kostrkcji model zamiast fkcji ieliiowej jej liiowego przybliżeia metodą sieczej lb styczej (Rys. VII-1) ( ). Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji Rys. VII-1. Liiowe przybliżeie fkcji Modele zbiorików ze swobodym wypływem są ieliiowe ale moża go prościć liearyzjąc wzór a swobody wypływ ( ) a przykład metodą sieczej (Rys. VII-2) miimaly wypływ cieczy f wy wyosi zero, a maksymaly ma miejsce przy maksymalej wysokości cieczy h ma, która wyika z wysokości ścia zbiorika (są to jedocześie atrale ograiczeia zastosowaia model). Zliearyzoway model ma postać: f wy A w 2 gh Ah& ( = f we ( ah( (VII-1) gdzie współczyik a wyika z rówości: ah h (VII-2) ah = A h ma Rys. VII-2. Liearyzacja swobodego wypływ ma w 2gh ma Dokładość model zależy od pkt pracy wyzaczoego przez aktaly poziom cieczy w zbiorik. Model zliearyzoway moża przetworzyć do postaci czło iercyjego ( ). Dokłade modele kaskad, p. (I-56), (I-58), (I-59), są ieliiowe, więc oprócz wyzaczeia pkt rówowagi, trdo je aalizować łatwiej przeprowadzić badaia symlacyje ( ). Możliwa jest jedak aaliza modeli zliearyzowaych i sformłowaie przybliżoych wiosków. Wartości wszystkich parametrów powyższych modeli moża wyzaczyć a podstawie wymiarów geometryczych. 18.2.2. Modele z parametrem zamiast zmieej - obiekty cieple Stały przypływ Pompa z reglacja przepływ,... 19. Modele ieliiowe 19.1. Aaliza kładów ieliiowych 19.1.1. Przyczyy ieliiowości obiektów Liiowe modele dyamiki moża aalizować dokładie i różymi metodami. Natomiast dokłada aaliza dyamiki kładów ieliiowych jest zaczie trdiejsza a często wręcz iemożliwa, poieważ ie moża podzielić problem a prostsze podzadaia (ie moża stosować zasady sperpozycji), rzadko zae jest rozwiązaie ieliiowych rówań różiczkowych a własości kład zależą i od pkt pracy, i od wymszeia. Tymczasem rzeczywiste obiekty są zawsze ieliiowe i 1, choćby ze względ a fizycze ograiczeia sygałów, wyikające a przykład z wymiarów geometryczych czy warków bezpieczeństwa (Rys. VII-3). ma mi mi ma Rys. VII-3. Ograiczoa liiowość sygałów ma mi mi ma Rys. VII-4. Nasyceie - ieliowość ieróżiczkowala Nieliiowości rzeczywistych obiektów (procesów) mogą mieć zarówo charakter fkcji różiczkowalych (p. fkcje potęgowe, wymiere), jak i fkcji ieróżiczkowaych (p. asyceie Rys. VII-4). Fkcje ieróżiczkowale są często wykorzystywae w badaiach symlacyjych ( ), atomiast w badaiach aalityczych ika się ich (ograicza się aalizę do liiowego zakres zależości sygałów). i 1 Patrz: kłady ieliiowe, p. [3/r.5.1] - 86 -! RĘKOPIS PWr
19.1.2. Liearyzacja dyamicza Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji Ogóla metoda postępowaia w przypadk modeli ieliiowych ale różiczkowalych polega a wykoai liearyzacji dyamiczej w pkcie rówowagi kład i 1. Zakładając, że ieliiowy model ma postać: ( ) ( m) f (, & (,..., (, (, & (,..., ( = (VII-3) ( ) to metoda polega a rozwiięci fkcji f(,) w szereg Taylora, ograiczei tego rozwiięcia do elemetów liiowych i przesięci kład współrzędych do pkt rówowagi f(, ): ( ) ( ) ( + & ( +... + ( + ( + & ( +... + ( = (VII-4 ( ) ( ) & & ) gdzie:,...,,... są parametrami zliearyzowaego model wyzaczoymi jako & & wartości pochodych fkcji f po zmieych, i ich pochodych, obliczoe w pkcie rówowagi (, ). Iterpretacja liearyzacji dyamiczej f(,) (Rys. VII-5) pokazje, że przybliżeie model polega a wyzaczei prostej f(, ) styczej do fkcji f(,) w pkcie rówowagi to właśie ta prosta jest zliearyzowaym modelem zapisaym w przesiętym kładzie współrzędych f(, Rys. VII-5. Liearyzacja dyamicza w pkcie rówowagi ) Poprawość wiosków a temat własości dyamiczych (p. stabilości/iestabilości) ieliiowego kład, wyprowadzoe a podstawie badaia zliearyzowaego model zależą od dokładości przybliżoego model, a przykład obowiązją tylko w pewym otoczei pktów rówowagi. 19.2. Badaia symlacyje 19.2.1. Zasady Ograiczoe możliwości aalityczego badaia kładów ieliiowych powodją, że często wykorzystje się badaia symlacyje. Modele w postaci rówań różiczkowych liiowych i ieliiowych są wprowadzae do programów symlacyjych wedłg tych samych zasad ( ). Rówaia liiowe mają dodatkowe możliwości defiiowaia modeli oparte a macierzowych rówaiach sta i trasmitacjach. Różice w badaiach dyamiki modeli liiowych i ieliiowych polegają a zakresie badań własości kład ieliiowego powiy być zbadae w różych pktach pracy i dla różych parametrów wymszeń. Ostroża powia być też iterpretacja wiosków badaia symlacyje pokazją wyik dla kokretych wartości parametrów i zmieych. Uogólieie tych wyików staowi oddziele zadaie. 19.2.2. Defiiowaie modeli w plik fkcyjym Defiicja model w plik fkcyjym wymaga przedstawieia go w postaci kład rówań pierwszego rzęd ( ), a przykład w przypadk model va der Pola: 2 & 1 = 2 && ( = c( 1 ) & 2 (VII-5) & 2 = c( 1 ) 2 1 Baday model ależy zapisać w plik fkcyjym, zgodie z zasadami kostrkcji takich plików w daym programie symlacyjym (Tab. IV-3). Tab. VII-1. Przykład fkcji defiijącej model dyamiki Matlab Scilab Octave fctio[prim] = vdp(t, ) global c; prim = [(2);... c*(1-(1)^2)*(2)-(1)]; fctio[prim] = vdp(t, ) global c; prim(1) = (2); prim(2)=c*(1-(1)^2)*(2) - (1); edfctio i 1 Patrz: liearyzacja dyamicza, p. [3/r.2.3.1] - 87 -! RĘKOPIS PWr
Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji Zakładając, że vdp z odpowiedim rozszerzeiem jest azwą plik zawierającego model, rchomieie symlacji moża zrealizować w skrypcie (Tab. IV-4). Tab. VII-2. Przykład symlacji z wykorzystaiem fkcji defiijącej model dyamiki Matlab Scilab Octave global c c=1; ted=1; = [-2.5; 2.5]; [T,]=ode45('vdp',[ ted], ); plot( (:,1), (:,2) ) c=1; ted=1 ; = [-2.5; 2.5]; t = lispace(, ted,5); eec('vdp.sci'); [] = ode(,, t, vdp); plot( (1,:), (2,:) ) 19.3. Portrety kładów ieliiowych 19.3.1. Własości portretów kładów ieliiowych Portrety fazowe kładów ieliiowych mogą mieć jede lb więcej pktów rówowagi w zależości od rozwiązaia rówaia statyczego. Układ ieliiowy może być stabily/iestabily globale, ale jeśli kład ma więcej pktów rówowagi, to może być stabily w jedych a iestabily w iych pktach, i wówczas rozróżiamy stabilość/iestabilość lokalą i globalą (Rys. VII-6). Wyzaczeie portret fazowego kład ieliiowego w odpowiedio dżym otoczei pktów rówowagi możliwia określeie obszarów stabilych warków początkowych (obszarów stabilości). s s s s Rys. VII-6. Idee stabilości/iestabilości globalej/lokalej W pobliż pktów rówowagi portrety kładów ieliiowych ale różiczkowalych 1 są zbliżoe do liiowych wzorców (stabile/iestabile węzły, ogiska, siodła). To spostrzeżeie potwierdza możliwość aalizy stabilości kład ieliiowego w ograiczoym zakresie wokół pktów rówowagi za pomocą liearyzacji model w otoczei tych pktów ( ). W te sposób moża rówież zidetyfikować pkty rówowagi a portretach kładów ieliiowych. 19.3.2. Wyzaczaie portretów Eksperymetale wyzaczaie portret fazowego wymaga przemyślaego wybieraia warków początkowych i czas trwaia eksperymet (początk i dłgości trajektorii), tak aby moża było jedozaczie wioskować o globalej i lokalej stabilości badaego obiekt. Iformacje a o ilości pktów rówowagi czy o charakterze ieliiowości zaczie łatwiają zadaie ( ). Załóżmy, że przedstawioe poiżej portrety zawierają wszystkie charakterystycze trajektorie. Co moża powiedzieć o modelach, które mają takie portrety fazowe?... a) b) c) 1º Zazacz kierki trajektorii. 2º Ile pktów rówowagi ma model? Określ ich typ i stabilość. 3º Czy model jest liiowy? 4º Czy kład jest stabily globalie? Uzasadij. - 1 bez elemetów typ przekaźik, strefa ieczłości,... - 88 -! RĘKOPIS PWr
Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji VIII. Podsmowaie metod badaia dyamki 2. Badaia doświadczale Wyzaczaie charakterystyki statyczej, odpowiedzi skokowej (implsowej), charakterystyki częstotliwościowej, portret fazowego jakiś rysek przedstawiający idee 21. Badaia aalitycze i symlacyje 21.1. Podsmowaie metod badaia Model dyamiki obiekt moża zyskać przez modelowaie a podstawie praw fizyki lb a drodze eksperymet idetyfikacyjego. Róże sposoby kostrkcji model prowadzą do różych form matematyczych, ale istieje rówież wiele metod przekształcaia poszczególych form w ie (Rys. A-1). określeie graic obiekt (we, wy) i założeń Simlik (bloki I modelowaie (prawa fizyki, założeia) klasyfikacja rówaia różiczkowe (r.r.) kłady o parametrach skpioych idetyfikacja eksperymetala (obiekt stabily) charakt. czasowa charakt. częstotl. r.r. ieliiowe 1 r. -tego rzęd Matlab (M-pliki) r. sta liearyzacja pkty rów. =cost w p.rów. rozw.wielom. r.r. liiowe 1 r. -tego rzęd kryteria r. sta trasformata pkt rów. =cost Simlik (State-space) Cotrol (fkcja ss) trasmitacja pkt rów. =cost Simlik (Trasf.Fc) Cotrol (fkcja tf) pierw. rozw. swobode położ. pierw. stabilość obiekt Rys. A-1. Formy i przekształceia opis dyamiki obiektów Na schemacie zazaczoo jedyie ajczęściej stosowae przekształceia w szczególości te opisae w opracowai: przekształceie (liiowego/ieliiowego) rówaia -tego rzęd w kład rówań pierwszego rzęd ( ), przekształceie rówaia/kład rówań liiowych do trasmitacji ( ), liearyzacja rówaia/kład rówań ieliiowych ( ). Własości dyamiki obiekt ie zależą od formy model. Model może jedak ograiczać zakres badań, a przykład zastosowaie liiowego model do ieliiowego obiekt ( ), czy zastosowaie trasmitacji determijący zerowe warki początkowe ( ). Róże formy modeli są związae z różymi metodami aalizy własości obiekt, a przykład sposobem wyzaczaia rówaia charakterystyczego czy pkt rówowagi. Możliwe są też róże sposoby defiiowaia modeli w programach symlacyjych: - schematy rówań różiczkowych (liiowych/ieliiowych) kostrowae a bazie bloków całkjących, p. Matlab/Simlik: bloki It ( ), - kłady rówań sta (liiowe/ieliiowe) defiiowae w plikach fkcyjych, p. Matlab: M-pliki ( ) - 89 -! RĘKOPIS PWr
Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji - kłady rówań sta w postaci macierzowej (liiowe) wprowadzae przez specjalizowae bloki lb fkcje, p. Matlab/Simlik: bloki State-space, Matlab/Cotrol: fkcje ss ( ), - trasmitacje wprowadzae przez specjalizowae bloki lb fkcje - Matlab/Simlik: bloki Trasfer Fc, Matlab/Cotrol: fkcje tf oraz zpk ( ). 21.2. Wybór model i metody badaia Programy symlacyje oferją róże sposoby defiiowaia i badaia modeli dyamiki kładów (przedstawioe w poprzedich rozdziałach). W ogólości wybór metody zależy od: założoego cel jak model będzie wykorzystyway, jakie zjawiska i własości będą badae, możliwości techiczych jakie fkcje są dostępe w wybraym/dostępym programie symlacyjym, miejętości badacza opaowaie różych metod daje możliwość wybraia metody optymalej (prostej, szybkiej, iwersalej, ) w daym przypadk. W szczególości podczas wybor metody względia się: typ model czy baday model jest liiowy ieliiowy (czy msi być ieliiowy), formę model czy pierwoty model ma postać rówań różiczkowych czy trasmitacji, czy moża/warto przekształcić go a ią formę, wybór zmieych wejściowych czy moża ograiczyć ilość wejść model przyjmjąc, że iektóre z ich mają zawsze stałe wartości (są więc parametrami model), sposób prezetacji wyików charakterystyki czasowe, wskaźiki obliczoe a ich podstawie, 22. Programy symlacyje 22.1. O fkcjach, toolbo ach, iterfejsach 22.1.1. Matlab/Simlik i ie programy 22.1.2. Cotrol 22.1.3. Narzędza modelowaia fizyczego (Simscape) Narzędzia Simscape możliwiają przygotowaie model bez zajomości rówań matematyczych opisjących obiekt. Następie moża przeprowadzić symlację w cel przetestowaia projektowaych systemów współpracjących z tym obiektem (p. sterowików, kładów przetwarzających sygały). Dzięki bibliotekom elemetów dotyczących kilk ajbardziej poplarych dome fizyczych, możliwe jest bdowaie złożoych systemów i przeprowadzaie testów bez koieczości bdowaia kosztowych prototypów. W trakcie webiarim omawiae będą przykłady bdowaia model prostego kład mechaiczego oraz rozszerzaia go o koleje elemety. Przedstawioe zostaie rówież zastosowaie języka skryptowego Simscape Lagage. Poadto prezetowae będą możliwości wykorzystaia Simscape do bdowy bardziej skomplikowaych systemów obejmjących astępjące domey: mechaiczą (Simscape Mltibody), hydraliczą (Simscape Flids), elektroiczą (Simscape Electroics), apędów pojazdów (Simscape Drivelie) oraz elektroeergetykę (Simscape Power Systems). 22.2. Metody całkowaia meryczego (co jest pod spodem ) Najprostsze metody idea Co jeszcze Idetyfikacja a metody probalistycze (azewictwo) - 9 -! RĘKOPIS PWr
Wybrae pozycje z literatry Dodać krótką charakterystykę Dyamika kładów podstawy aalizy i symlacji 1. Amborski K., Marsak A., Teoria sterowaia w ćwiczeiach, WNT, Warszawa 1978 2. Close C.C., Frederick D.K., Newell J.C., Modelig ad aalysis of dyamic systems, Joh Wiley & Sos, 22 3. Czemplik A., Modele dyamiki kładów fizyczych dla iżyierów, WNT, Warszawa 28 4. Czemplik A., Praktycze wprowadzeie do opis, aalizy i symlacji dyamiki obiektów, Oficya Wydawicza Politechiki Wrocławskiej (DBC), Wrocław 212 5. Czemplik A., Scilab i Matlab podstawowe zastosowaia iżyierskie, Oficya Wydawicza Politechiki Wrocławskiej (DBC), Wrocław 212 6. Czemplik A., Metodologia symlacyjych badań dyamiki obiektów z zastosowaiem pakietów Matlab i Scilab,... 7. Fideise W., Techika reglacji atomatyczej, PWN, Warszawa 1978 8. Frakli G.F. i i., Feedback cotrol of dyamic systems, Pearso, 21 9. Halawa J., Symlacja i kompterowe projektowaie dyamiki kładów sterowaia, Oficya Wydawicza Politechiki Wrocławskiej, Wrocław 27 1. Kaczorek T., Teoria kładów reglacji atomatyczej, WNT, Warszawa 1974 11. Krma K.J., Teoria reglacji, WNT, Warszawa 1975 12. Osowski S., Modelowaie i symlacja kładów i procesów dyamiczych, Oficya Wydawicza Politechiki Warszawskiej, Warszawa 27 13. Żchowski A., Uproszczoe modele dyamiki. Wydawictwo Uczeliae Politechiki Szczecińskiej, Szczeci 1998 14. Ecyklopedia techiki Atomatyka, Poradik atomatyka,... i ie Pozycje z lat siedemdziesiątych moża zastąpić owszymi opracowaiami ale podae pozycje to klasyka dziedziy. - 91 -! RĘKOPIS PWr