Pzemysław Kata Akademia Moska w Gdyi SUPERPOZYCJA ODDZIAŁYWAŃ W GRAWITACYJNYM MODELU PROCESÓW DECYZYJNYCH W AKCJI SAR Atykuł wpowadza zasadę supepozycji jako istotego składika modelu matematyczego podejmowaia decyzji wybou ejou ozpoczęcia poszukiwań podczas akcji poszukiwaia i atowaia życia a mozu. Umożliwia oa modelowaie oddziaływań powadzących do podjęcia decyzji wybou początkowej pozycji odiesieia dla wyzaczaia ejou poszukiwań SAR dla wielu ozbitków oczekujących a pomoc. WSTĘP Jedym z elemetów atowaia życia a mozu jest poszukiwaie ozbitków dyfujących wskutek katastofy statku. Opeacja taka wymaga dotacia jedostek atowiczych w ejo poszukiwań, co częstokoć zajmuje wiele godzi, w ciągu któych ozbitkowie zmieiają swą lokalizację [1]. Podczas powadzoej akcji SAR wyzaczae są obszay poszukiwań, któe pzeszukiwae są według okeśloych wzoów maewowych [5]. Kształt, ozmia i lokalizacja obszaów poszukiwaia może być wyzaczoa zgodie z zaleceiami IMO [5]. Publikowae wyiki badań wskazują ówież a możliwość budowy badziej efektywych modeli wyzaczaia obszaów poszukiwań []. Istotym elemetem tych modeli jest podział ozbitków a dyfujących w wodzie i zajdujących się w tatwach atukowych []. Podział te podyktoway jest odmieymi paametami uchu wyika to w dużej mieze z óżic w elacji pomiędzy powiezchią awiewu i powiezchią boczego opou dla ozbitków zajdujących się bezpośedio w wodzie czy też w tatwie peumatyczej bądź łodzi atukowej []. Waz z upływem czasu powstają w ejoie katastofy ozłącze obszay, w któych pawdopodobieństwo występowaia ozbitków jest elatywie duże [9]. Zachodzi wówczas koieczość dokoaia pzez dowodzącego akcją SAR wybou kolejości pzeszukiwaia poszczególych obszaów (ys. 1). Popawe pzydzieleie podejoów poszukiwań poszczególym jedostkom poszukującym wymieiae jest jako jede z czyików decydujących o skuteczości akcji atowiczej [3].
38 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, 67, gudzień 010 Rejo poszukiwań ozbitków w wodzie Pozycja katastofy statku Pozycja jedostki atowiczej Rejo poszukiwań ozbitków w tatwach Rys. 1. Poblem decyzyjy pzy zbliżaiu się jedostki atowiczej do ejou dyfu ozbitków Zagadieie wybou pozycji odiesieia dla wyzaczaia obszaów poszukiwań jest bezpośedio związae ze skuteczością podjętej akcji SAR. W kosekwecji ma ie tylko aspekt techiczy, ale ówież humaitay, gdyż od decyzji koodyatoa akcji SAR może być uzależioa liczba ozbitków, któzy zostaą uatowai. Pozycja odiesieia wybaa zgodie z pefeowaymi pzez koodyatoa akcji kyteiami może być pozycją [7]: ajbliższą jedostce atowiczej, z ajwiększą oczekiwaą liczbą ozbitków, z ajbadziej zagożoymi ozbitkami (ajkótszy czas do śmieci), z ozbitkami ajłatwiejszymi do zalezieia (ajwiększe pawdopodobieństwo wykycia), z ozbitkami ajłatwiejszymi do podjęcia a pokład jedostki atowiczej (śodek atukowy ułatwiający podjęcie ozbitka), zlokalizowaą w ejoie ajmiej iebezpieczym dla jedostki atowiczej. Wszystkie wymieioe kyteia moża uzać za uzasadioe. Powstaje zatem wielokyteialy poblem decyzyjy (wybou), któy może zostać ozwiązay za pomocą óżych metod optymalizacji wielokyteialej. 1. ZASTOSOWANY MODEL ODDZIAŁYWANIA Na potzeby ozwiązaia poblemu wybou ejou ozpoczęcia poszukiwań pzez jedostkę atowiczą pzyjęto występowaie jedokieukowego oddziaływaia ozbitków a jedostkę atowiczą, a ściślej a koodyatoa akcji SAR dokoującego alokacji jedostek. Pzyjęto założeie, że decyzja dowodzącego akcją poszukiwaia i atowaia życia a mozu jest acjoala i wyika z defiiowalych pzesłaek. Łączy wpływ tych pzesłaek, wywieay a dowodzącego akcją SAR, azwao oddziaływaiem potzeby udzieleia pomocy ozbitkom (w skócie oddziaływaiem PP) [7].
P. Kata, Supepozycja oddziaływań w gawitacyjym modelu pocesów decyzyjych w akcji SAR 39 Zapopoowao model typu gawitacyjego poddający się opisowi matematyczemu wywodzącemu się z teoii pola (podobemu do stosowaego w opisie pola gawitacyjego czy elektostatyczego). Skostuowao wektoową fukcję oddziaływaia w postaci [7]: któą moża zapisać: dla: F ( ) T R q m Z p w k k k k k = 1 = e (1) T R q Q F = e () ( k k k k) Q= m Z p w k = 1 gdzie: całkowita liczba ozważaych lokalizacji ozbitków a mozu, m liczba ozbitków o daym współczyiku zagożeia życia Z, Z współczyik zagożeia życia ozbitka, p pawdopodobieństwo zalezieia się ozbitka w ozpatywaej pozycji, w pawdopodobieństwo wykycia ozbitka, T współczyik tudości powadzeia akcji SAR w ejoie ozbitka, R współczyik yzyka awigacyjego, q użyteczość jedostki atowiczej, Q watość potzeby udzieleia pomocy, odległość od pozycji ozbitka do pozycji jedostki atowiczej, e weso adialy. Jedą ze zmieych ciągłej fukcji wektoowej (1) jest źódłowość PP o watości Q chaakteyzowaa m.i. pzez ciągły ozkład pawdopodobieństwa występowaia ozbitków w daej lokalizacji. Pojęcie lokalizacji odosi się do techiczej ealizacji pocesu wykywaia ozbitka, więc ie jest tożsame z puktowym położeiem ozbitka (pozycją geogaficzą), ale aczej z obszaem wyikającym ze zdolości ozdzielczej spzętu używaego podczas akcji SAR (p. ozóżialości odległościowej i kątowej adau). W pzypadku aplikacji komputeowej może być dogode zdysketyzowaie ozważaego obszau i wówczas pzez lokalizację ozbitka ależy ozumieć pojedyczą komókę dysketyzacyją. W takim wypadku zmiea m opisuje liczbę ozbitków zajdujących się w obszaze daej komóki dysketyzacyjej, zaś odległość byłaby wyzaczaa od pozycji jedostki SAR do śodka daej komóki. Postać fukcji (1) awiązuje do wieloatybutowej teoii użyteczości wykozystywaej w szkole ameykańskiej optymalizacji wielokyteialej. Omówieie ewaluacji zastosowaej fukcji wektoowej pzedstawioo w [7]. Dla pzyjętej pzestzei geometyczej fukcję oddziaływaia (1) moża azwać polem wektoowym chaakteyzującym ową pzestzeń. Pole jest matema- (3)
40 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, 67, gudzień 010 tyczą fukcją położeia i czasu [4] ozacza to pzypisaie każdemu puktowi w pzestzei i czasie (dla pól stacjoaych wyłączie w pzestzei) liczby bądź wektoa, okeślających badaą cechę tej pzestzei. Natężeie pola oddziaływaia jest fomą opisu pola skupiającą się a źódle i jest ozumiae jako właściwości pzestzei, atomiast wystaczającym wyóżikiem defiiującym pole jest możość pzypisaia każdemu puktowi pzestzei jakiejś cechy. Pzyjęto, że cechą tą jest wekto atężeia oddziaływaia ozbitków a koodyatoa. Natężeie zaś pzyjmuje postać defiiowaą klasyczie jako [8]: F E = lim q (4) q 0 pzy ozaczeiach jak w zależości (1). Po wyzaczeiu gaicy otzymao atężeie pola ozważaego oddziaływaia w postaci: T R Q M Q E = e = e dla M = T R (5) Na potzeby zapopoowaego modelu pzyjęto atężeie pola oddziaływaia jako fukcję użyteczości modelu, agegującą zgodie z założeiami teoii użyteczości wszystkie cząstkowe kyteia do pojedyczego kyteium [6]. Pzedstawioe ozważaia dotyczące oddziaływaia ozbitków a koodyatoa akcji SAR ie zawieają dokładego okeśleia geometii ozpatywaej pzestzei. Nie jest to koiecze ze względu a cetaly chaakte oddziaływaia (kieuek adialy e w zależościach opisujących oddziaływaie). Tak długo jak ozpatywae są dwa pukty, czyli jeda pozycja źódłowa (ozbitek) i jeda pozycja jedostki atowiczej, któą dyspouje dowodzący akcją, oddziaływaie odbywa się a postej wyzaczoej pzez te pukty.. ZASADA SUPERPOZYCJI Wpowadzeie do ozważań większej liczby oddziałujących ze sobą elemetów wymusza okeśleie geometii pzestzei, a jakiej występują wzajeme oddziaływaia. Pzyjęto dla ozpatywaia opisywaych zjawisk oddziaływaia i popagacji płaską dwuwymiaową pzestzeń geometyczą zawieającą obsza katastofy moskiej i lokalizację jedostki atowiczej. W pzypadku ozważaia ciągłego ozkładu pzestzeego PP dogode jest wpowadzeie pojęcia gęstości powiezchiowej PP ozaczoej σ. W ajpostszym ujęciu wielkość tę moża ozumieć jako lokalą ilość PP pzypadającą a jedostkę powiezchi. Oczywiste jest, że posługiwaie się wielkością lokalą zakłada możliwość zmiay watości gęstości σ w óżych miejscach obszau, watość ta zaś jest stała wyłączie w jedym pukcie a ifiitezymalej powiezchi ds.
P. Kata, Supepozycja oddziaływań w gawitacyjym modelu pocesów decyzyjych w akcji SAR 41 Rozważoo zatem pzestzeń zawieającą obsza o okeśloym ozkładzie gęstości powiezchiowej σ( 1 ) (ys. ). Dla ozóżieia puktów badaych i źódłowych wpowadzoo kowecję, że współzęde pimowae dotyczą źódeł, iepimowae zaś puktów badaych. Rys.. Pzykładowy obsza o gęstości powiezchiowej PP wyoszącej σ ( 1 ) W dowolie wybaym pukcie kotolym P atężeie E pochodzące od pzykładowego puktu P 1 obszau źódłowego wyosi: gdzie: de M dq 1, pomień wodzący od puktu P do P 1, pozostałe ozaczeia jak w zależościach (1,, 3, 5). ( ) = e 1, (6) Po uwzględieiu zależości dq = σ ( ' ) ds wyikającej z defiicji gęstości powiezchiowej σ dla wielkości Q ozumiaej jak w zależości (3) otzymao: M σ ( ' ) ds( ' ) de ( ) = e 1, (7) Po obustoym scałkowaiu zależości (7) po całej powiezchi s i pzyjęciu puktu P 1 jako źódłowego, P zaś jako badaego uzyskao:,1 1, σ ( ) = E S M (') (') ( ' ) ds( ' ) (8) ' gdzie pomień wodzący pimoway okeśla położeia puktu źódłowego, a iepimoway badaego. Zależość (8) azwao aalogiem uogólioego pawa Coulomba ze względu a pzepowadzoy tok ozumowaia i uzyskaą postać fukcji wektoowej (aalogiczie do powszechie zaych w elektostatyce).
4 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, 67, gudzień 010 Jeżeli w całym obszaze źódłowym źódłem gęstości powiezchiowej PP jest tylko jeda pozycja ozbitków (jedo źódło PP), moża uzać to za szczególy pzypadek ozkładu. Chaakteystycza dla pozycji ozbitków stała M jest wtedy iezmiea w całym obszaze źódłowym to umożliwia wyłączeie jej pzed zak całki i otzymaie zależości: σ (') ( ' ) E ( ) = M ds( ' ) (9) ' S Lemat: Delta Diaca Pseudofukcja uogólioa delta Diaca ozaczaa δ jest pikiem spełiającym kumulatywie astępujące postulaty: δ ( ' ) = δ( x) δ( y) δ( z) w pzestzei geometyczej tójwymiaowej, δ ( ' ) gdy 0 0 = + gdy = δ( ) dv = δ() dxdydz = 1 V + + + gdzie v jest całą pzestzeią. 0 (10) W ozważaej pzestzei dwuwymiaowej uzyskao uogólioą deltę Diaca jako: δ ( ) = δ( x) δ( y) gdy 0 0 δ( ) = gdy + = 0 (11) + + δ ( ) ds = δ ( ) dxdy = 1 S gdzie s jest całą pzestzeią. Kozystając z aalogu uogólioego pawa Coulomba, wyzaczoo atężeie E pochodzące od skończoej liczby N puktowych źódeł w postokątym układzie współzędych (ys. 3). Moża pzyjąć, że w całym ozpatywaym obszaze zajduje się N obszaów źódłowych, z któych każdy jest puktem. Zatem watość gęstości powiezchiowej σ jest óża dla óżego pomieia wodzącego puktu obliczeiowego. Watość σ( ) wyosi 0 poza puktami źódłowymi Q i (czyli dla ' i ) i wyosi +, gdy pukt obliczeiowy pokyje się ze źódłowym ( ' ). i
P. Kata, Supepozycja oddziaływań w gawitacyjym modelu pocesów decyzyjych w akcji SAR 43 y pukt obliczeiowy Q N Q Q 1 1 Rys. 3. Pzykładowy ozkład puktowych źódeł (ozbitków) Kozystając z delty Diaca dla pzestzei dwuwymiaowej, moża zapisać zależość dla całego obszau obejmującego źódła: δ ( ' ) = Q δ( ' ' ) + Q δ( ' ') + Q δ( ' ') +... + Q δ( ' ') (1) albo iaczej: 1 1 3 3 σ( ' ) = Qi δ( ' ' i ) (13) Po podstawieiu zależości (13) do zależości (9) otzymao: skąd dalej: i= 1 M'Q ( ) i δ ( ' ' i ) ( ' ) E( ) = ds( ' ) (14) ' E( ) = S i= 1 i= 1 Q i M' ( ) δ ( ' ' ) ( ' ) i ds( ' ) (15) S ' W związku z właściwościami delty Diaca podczas całkowaia po każdym pomieiu iym iż ' i watość fukcji podcałkowej wyiesie zeo (delta Diaca ma watość 0 dla i, więc i cały iloczy pod zakiem całki będzie zeowy). Wyłączie dla = i watość fukcji podcałkowej będzie óża od zea, całka spowadza się więc do skończoej sumy moża to zapisać w postaci: E( ) = gdzie: pomień wodzący puktu badaego, i ideks puktu źódłowego, liczba źódeł oddziaływaia w ozpatywaym obszaze. Ei (16) i= 1 N
44 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, 67, gudzień 010 Wypowadzoa zależość (16) pezetuje zasadę supepozycji, któej podlega atężeie oddziaływaia będące fukcją użyteczości opisywaego modelu. W dowolym pukcie badaego obszau zawieającego skończoą liczbę N puktowych źódeł PP atężeie oddziaływaia jest sumą (wektoową) atężeń pochodzących od poszczególych źódeł Q i. WNIOSKI Pzedstawioy model matematyczy opisuje oddziaływaie potzeby udzieleia pomocy ozbitkowi a mozu a dowodzącego akcją SAR w ejoie katastofy. Pozwala o a sfomalizoway zapis matematyczy wpływu wywieaego a dowodzącego pzez ifomacje chaakteyzujące potzeby ozbitków, pzy założeiu acjoalości podejmowaia decyzji odośie do alokacji sił i śodków atowiczych. Zapopooway w atykule model dogodie poddaje się itepetacji polowej, umożliwiając zdefiiowaie pojęcia atężeia pola potzeby udzieleia pomocy ozbitkom a mozu. Istotą iiejszego atykułu jest wpowadzeie zasady supepozycji dla atężeia oddziaływaia pzyjętego w modelu. Umożliwia o bowiem stosowaie popoowaego modelu do opisu i aalizy oddziaływań zachodzących pomiędzy koodyatoem akcji SAR i wieloma ozbitkami ozmieszczoymi w óżych miejscach ejou poszukiwań. Należy zauważyć, że model oddziaływaia został skostuoway dla pojedyczego, elemetaego oddziaływaia zachodzącego pomiędzy jedym ozbitkiem i koodyatoem SAR. Zasada supepozycji obejmująca atężeie pola oddziaływaia zacząco ułatwi wykoywaie obliczeń wykozystujących popooway model oaz ogaicza zapotzebowaie a moc obliczeiową. W związku z iemożością całkowitego uikięcia wypadków a mozu i koieczością miimalizowaia ich skutków [3] model pozwalający a optymalizację jedego z elemetów decydujących o skuteczości akcji SAR może być kokiem w ozwoju ogaizacji systemu poszukiwaia i atowaia życia a mozu. LITERATURA 1. Budy T., Zmiee w czasie pawdopodobieństwo wykycia poszukiwaego obiektu w takcie akcji atukowej, XI Międzyaodowa Kofeecja Naukowo-Techicza Iżyieia Ruchu Moskiego, Szczeci 005.. Buciu Z., Metoda wyzaczaia obszaów poszukiwaia w akcji atowiczej a mozu, paca doktoska, Akademia Mayaki Wojeej, Gdyia 1997. 3. Buciu Z., Modelowaie obszaów poszukiwaia w aspekcie bezpieczeństwa taspotu ludzi a mozu, Oficya Wydawicza Politechiki Waszawskiej, Waszawa 003. 4. Feyma R.P., Leighto R.B., Sads W., Feymaa wykłady z fizyki, PWN, Waszawa 1974.
P. Kata, Supepozycja oddziaływań w gawitacyjym modelu pocesów decyzyjych w akcji SAR 45 5. Iteatioal Aeoautical ad Maitime Seach ad Rescue Maual, IMO/ICAO, Lodo/ Moteal 1999. 6. Jacya M., Modelowaie wielokyteiale w zastosowaiu do ocey systemów taspotowych, Oficya Wydawicza Politechiki Waszawskiej, Waszawa 001. 7. Kata P., Model wybaych oddziaływań podczas akcji SAR, XII Międzyaodowa Kofeecja Naukowo-Techicza Iżyieia Ruchu Moskiego, Szczeci 007. 8. Ladau L.D., Lifszyc E.M., Fizyka teoetycza, Teoia pola, PWN, Waszawa 1980. 9. Soliwoda J., Efektywość systemu atowictwa ze szczególym uwzględieiem detekcji temowizyjej, paca doktoska, Istytut Techiczy Wojsk Loticzych, Waszawa 004. SUPERPOSING OF INTERACTIONS DURING DECISION-MAKING PROCESSES IN SAR ACTION Summay The pape pesets developmet of autho s model of iteactios takig place betwee SAR actio coodiato ad castaways diftig off a sea disaste positio. The mai aim of the pape is fomulatio of a supepositio ule goveig a utility fuctio applied i the model i tems of its spatial distibutio. Thus, the easoig egadig SAR ships allocatio ca be udetake with egad to may castaways diftig i sepaate sub-aeas.