PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba skorzystać z równań fizycznych (prawo Hooke a). Na powierzchni zewnętrznej panuje płaski stan naprężenia (wynika to z warunków brzegowych). W praktyce pomiarowej wyznaczamy stan odkształceń na podstawie kilku (przynajmniej trzech) zmierzonych odkształceń liniowych na wybranych kierunkach. Do wyznaczenia dwu odkształceń głównych i kąta potrzeba trzech pomiarów I, II, III odkształceń liniowych w różnych i ustalonych kierunkach. Kierunki te są zazwyczaj z góry ustalone w tzw. rozecie tensometrycznej, dla których to kątów wyprowadzone są wzory na odkształcenia główne i ich kierunki względem kierunków pomiarowych.

ROZETA Wzór transformacyjny: α α γ α α 2 2 x1 xcos + ysin + xysin cos Jeśli znamy,, x1 x y oraz α, to możemy wyznaczyć odkształcenie kątowe: xy 2 2 γ xy x 1 x cos α y sin α 2 2cosα sinα oraz kierunki główne tg2θ x γ xy y 1,2 x + y x + y γ xy ± 2 + 2 2 2

Przykład W punkcie ciała, w którym panuje płaski stan naprężenia (płaski w płaszczyźnie xyη ) zmierzono odkształcenia w trzech kierunkach. Znaleźć pełny tensor odkształceń w układzie xyz i naprężenia główne. Dane: x 4 10 10, y 4 510, 4 η 210, E 5 210 MPa, ν 0.3 Macierz przejścia z układu xyz do ξη z obrót o kąt 0 45 α. cosα sinα 0 Q sinα cosα 0 0 0 1

Prawo transformacji dla odkształceń: Q Q : ' ij ik jl kl QQ + QQ + QQ + QQ + QQ + η ' 22 21 21 11 21 22 12 21 23 13 22 21 21 22 22 22 Q22Q2323 + Q23Q2131 + Q23Q2232 + Q23Q2333 0.5 + 0.5 + 0 + 0.5 + 0.5 + 0 + 0 + 0 + 0 x xy xy y xy 0.5 x + y η 10 0.5 10 + 5 2 5.5 10 Płaski stan naprężenia w płaszczyźnie x,y czyli z 0 2G + λ + + 0 z z x y z ( G ) 4 4 x + y λ x + y ν z 15 10 0.3 / 0.7 6.43 10 2 + λ ν 1 ν 4 4

Tensor odkształcenia w układzie xyz: Stałe materiałowe: T 10 5.5 0 5.5 5.0 0 10 0 0 6.43 E 5 2G 1.538 10 MPa 1+ ν Eν 5 λ 1.154 10 MPa 1+ ν 1 2ν 4 Równania fizyczne: 2G + λ + + 11 11 11 22 33 2G + λ + + 22 22 11 22 33 2G + λ + + 12 2G12 13 2G13 2G 33 33 11 22 33 23 23

Naprężenie styczne: τ xy 2G xy 84.6 MPa Naprężenie normalne: x + 5 4 1.538 10 10 10 98.9 252.7 MPa y z + 5 4 1.538 10 5 10 98.9 175.8 MPa 5 4 1.538 10 6.43 10 + 98.9 0 spr o.k. Tensor naprężeń w układzie xyz: T 252.7 84.6 0 84.6 175.8 0 MPa 0 0 0 Naprężenia główne: 2 2 1,2 0.5 + ± + 4τ x y x y xy 1 307.2 MPa 2 121.3 MPa

Przykład Znaleźć wektor naprężeń przy przecięciu płaszczyzną o wektorze normalnym a ( 1 2 2) Znaleźć składową normalną i styczną tego wektora naprężeń. Dany stan naprężeń : T 1 4 2 4 3 7 2 7 1 p T v V a gdzie: 2 2 2 1 + 2 + 2 3 v 1 3 a 2 a 3 2 3

1 2 2 1+ 4+ 2 3 3 3 13 3 1 2 2 4+ 3+ ( 7) 4 3 3 3 3 1 2 2 10 2+ ( 7) + 1 3 3 3 3 p V wektor naprężeń p V 1 v ( 13 8 20) 5 9 3 iloczyn skalarny (liczba) 5 9 10 V p V v i v 9 składowa normalna wektora naprężeń 10 9

13 + 5 44 3 9 9 τ 4 10 2 s pv V + 3 9 9 składowa styczna wektora naprężeń 10 + 10 20 3 9 9 Sprawdzenie: τ 1 n s ( 220 20 200) 0 81 + + o.k.

Przykład Dla podanego tensora naprężeń znaleźć wartosci własne (naprężenia główne) i odpowiadające im wektory własne (kierunki główne) 1 2 0 T 2 1 0 3 2 0 0 2 xy T 1 2 2 1 2 11 + 22 11 22 2 1,2 ± + 12 2 2 1 3 2 1

Wektory własne: 1 3 (1) 1 3 2 0 v 1 (1) (1) T 1I v 2 1 3 0 v2 0 (1) 0 0 2 3 v3 ( ) 2v + 2v 0 v v (1) (1) (1) (1) 1 2 1 2 + 2v 2v 0 v v (1) (1) (1) (1) 1 2 1 2 5v 0 v 0 (1) (1) 3 3 Przyjąć wartość jednej współrzędnej obliczyć pozostałe i z otrzymanego wektora utworzyć wersor (1) v ( 1 1 0) (1) 1 1 e 0 2 2

2 1 ( ) (2) 1 1 2 0 v 1 (2) (2) T 2I v 2 1 ( 1) 0 v2 0 (2) 0 0 2 ( 1) v3 2v + 2v 0 v v (1) (1) (2) (2) 1 2 1 2 2v + 2v 0 v v (1) (1) (2) (2) 1 2 1 2 v 0 v 0 (2) (2) 3 3 (2) v 1 1 0 trójka prawoskrętna: (2) 1 1 e 0 2 2 (3) (1) (2) 1 1 1 1 e e e 0 0 0 0 1 2 2 2 2

Przykład Dane jest pole naprężeń : 11 4x1x2 12 8 22 x1 Określić obciążenie brzegowe wywołujące ten stan naprężeń:

Brzeg AB: q AB α 0 1 AB,1 α AB,2 n [ ] AB,1 11 AB,1 12 AB,2 1 2 x1 0,4 x 2 0 α + α 4x x 0+ 8 1 8 q α + α 80 + x 1 x AB,2 21 AB,1 22 AB,2 1 1 qab,1 ( A ) 8.0 qab,2 ( A ) 0 q B q B AB,1 8.0 AB,2 4.0

Brzeg AC: q q α AC,1 1 n AC α AC,2 0 1 0 x2 0,3 α + α 4x x 1 + 8 0 0 AC,1 11 AC,1 12 AC,2 1 2 x, [ ] x α + α 8 1 + 0 8 AC,2 21 AC,1 22 AC,2 1 qac,1 ( A ) 0 qac,2 ( A ) 8 q q C AC,1 0 AC,2 C 8

α BC,1 0.6 3 Brzeg BC: n BC α BC,2 0.8 x1 [ 0,4] x2 x1+ 3 4 3 2 11 4xx 1 2 4x1 x1 + 3 3x1 12x1 4 2 2 q α + α 3x 12x 0.6 + 8 0.8 1.8x 7.2x + 6.4 BC,1 11 BC,1 12 BC,2 1 1 1 1 q α + α 0.6 8 + 0.8 x 0.8 x + 4.8 BC,2 21 BC,1 22 BC,2 1 1 qbc,1 ( C ) 6.4 qbc,2 ( C ) 4.8 q B q B BC,1 6.4 BC,2 8.0

Równowaga globalna: 1) q,1 0 v 2) q v,2 0 K K 3) Wybieramy punkt np. A r A q 0 gdzie: ( x, y ) A K r q ( qv,1, qv,2 )

B C C 4 3 4 2 AB BC AC q x dx + q x dx + q x dx 8 dx + 0 dx + 1.8x 7.2x + 6.4 dx? 0,1 1 1,1 1 1,1 1 1 1 2 1 1 1 A B A 0 0 0 B C C 4 3 4 q x dx + q x dx + q x dx x dx + 8 dx + 0.8 x + 4.8 dx? 0 AB,2 1 1 BC,2 1 1 AC,2 1 1 1 1 2 1 1 A B A 0 0 0..

TEST 1. Poniższy rysunek jest graficznym obrazem płaskiego stanu naprężeń. Uzupełnij macierz T oraz rysunek. Uzupełnienie macierzy 0 0 0 T 0 1 3 0 3 2 Uzupełnienie rysunku

2. Dana jest macierz 2 0 T 0 0 2 4. Uzupełnij macierz i sporządź graficzny obraz na odpowiednio dobranej płaszczyźnie. Uzupełnienie macierzy T 2 0 2 0 0 0 2 0 4

3. Wyznacz wartości własne i określ kierunki główne: 2 4 xz T 1 4 3 4 0 4 4 0 0 0 4 T 0 4 0 4 0 0 2 11 + 33 11 33 2 1,3 ± + 13 2 2 (3) 2 2 e 0 2 2 płaszczyzna prostopadła do wersora 2 3 (3) e

4. Wyznacz wartości własne i określ kierunki główne: 0 0 0 T 0 0 3 0 3 0 yz T 0 3 3 0 2 22 + 33 22 33 2 2,3 ± + 23 2 2 1 2 3 (1) e ( 1 0 0) 1 0 2 3 3 3 (2) 2 2 e 0 2 2 (3) 2 2 e 0 2 2

5. Wyznacz wartości maxymalnych naprężeń stycznych i podaj kierunki występowania: 2 0 0 T 0 4 0 0 0 6 6. Dana jest macierz: T 2 1 10 1 2 4. Oblicz odkształcenie liniowe włókna OP.

Zadanie Dany jest stan odkształceń w punkcie podany macierzą Podaj odkształcenie liniowe na kierunku ξ podanym na rysunku: T 2 3 10 3 4 4 Transformacja ξ kierunek nowego układu który powstaje ze starego po obrocie osi x o kąt α135 stopni. Macierz transformacji cosα sinα Q sinα cosα Q Q T ξξ ξη cosα sinα xx xy cosα sinα ξη ηη sinα cosα xy yy sinα cosα

mnożenie macierzy od końca 2 2 2 2 ξξ ξη 2 2 2 3 2 2 ξη ηη 2 2 3 4 2 2 2 2 2 2

Zadanie Równania równowagi na płaszczyźnie: x x y xy + + P x 0 ( x + + P1 x 11 12 1 2 0 ) xy x y + + P y 0 y 0 0 0?0 ( x + + P2 x 12 22 1 2 + + 4+ 4 + 0?0 0 )

Zadanie 0+ 0+ 7 x?0 nie mogą 2

Zadanie τ x xy + + P x 0 x y 2 2x 2 2y P x 0 τ xy x + + y + + P y 0 y 10 2x 10 P y 0 + + 2 2 2 + 2 2 2 + 0 0 o.k. 10 2 2 + 10 + 10 0 o.k.

α v A 2 2, 2 2 Statyczne warunki brzegowe: vi vj ij Na płaszczyźnie: qvx αvxx αvyτxy q α 2 2 2 2 2 +? 5 2 2 + 5 2 + 5 2 2 + 2 2 qvy αvxτxy αvy y 2 2 2 2 2 2 1 5 2 2 2 2 ( 10 2 2 ) + + 2 2 +?

Zadanie Liczymy funkcje odkształceń: W punkcie A podstawiamy współrzędne punktu do powyższych funkcji (nie wolno podstawiać przed różniczkowaniem) ( x, x, x ) 1 1 2 3 ( x, x, x ) 3 1 2 3 (,, ) 2( x1, x2, x3) x1 (,, ) u x x x 1 1 2 3 u x x x x 3 1 2 3 3 (,, ) u x x x x 2 1 2 3 2

( x, x, x ) 12 1 2 3 ( x, x, x ) 12 1 2 3 ( x, x, x ) 12 1 2 3 Liczymy naprężenia: (,, ) (,, ) 1 u x x x u x x x + 2 x1 x2 1 u x, x, x u x, x, x + 2 x1 x2 1 u x, x, x u x, x, x + 2 x1 x2 1 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 Równania fizyczne: 11 2G11 + λ( 11 + 22 + 33 ) 22 2G22 + λ( 11 + 22 + 33 ) 2G + λ( + + ) 33 33 11 22 33 2G 12 12 2G 13 13 2G 23 23

Stałe materiałowe dla ciała izotropowego są dwie niezależne np. E, ν E lub : G, λ wyrażone przez te poprzednie 2G 1 ν 11 12 12 22 + + P1 0 + + P2 0 x x x x 1 2 Fizyczne związki odwrotne: 1 2 λ 1+ ν ν + + E 1+ ν ν + + E 1+ ν ν + + E 1+ ν 1+ ν E E Eν + ( 1+ ν ) ( 1 2ν ) 11 11 11 22 33 22 22 11 22 33 33 33 11 22 33 1+ ν E 12 12 13 13 23 23

ij Równania równowagi : + P 0 W przestrzeni: x j i 11 12 13 + + + P1 0 x1 x2 x3 12 22 23 + + + P2 0 x1 x2 x3 13 23 33 + + + P3 0 x x x 1 2 3